On The Estimation of Dielectric Breakdown Voltage When Breakdown Voltage Follows the 3 Parameter Weibull Distribu-tion

UDC 621.3.015.51:537.521

論 文

絶縁破壊電 圧が3パ ラメー タ ワイ ブル分布 に従 うときの

破壊電圧 の推定 につ いて

正

員 広

瀬

英

雄

(高岳製作所)

1. ま え が き 一 般 に絶 縁 破 壊 は弱 点 因 子 に支 配 され,破 壊 確 率 分 布 は ワ イ ブ ル 分 布(1)に従 う と い わ れ て い る(2)。例 え ば,著 者 も実 際 に100個 の エ ポ キ シ樹 脂 の サ ンプ ル を 用 い て 短 時 間 上 昇 法 に よ り破 壊 電 圧 を測 定 し,分 布 の 適 合 度 検 定 を行 っ た と こ ろ,ワ イ ブル 分 布 に 従 って い る こ とが 明 らか に な って い る(3)。絶 縁 破 壊 試 験 に よ り 得 られ た デ ー タ か ら,破 壊 電 圧 の 平 均 や低 破 壊 率 の 電 圧 を推 定 す る に は,ま ず ワ イ ブ ル 分 布 のパ ラ メ ー タ推 定 を行 い,そ れ を用 い て パ ー セ ン ト点 を推 定 す る と い う手 続 きが と ら れ る 。 こ こ で,バ ー セ ン ト点 と は破 壊 確 率pを とる電 圧xp[後 述(16)式]を 意 味 す る。 従 来,ワ イ ブ ル分 布 の パ ラ メ ー タ を推 定 す る に は ワ イ ブ ル確 率 紙 が よ く用 い られ,図 式 的 な 方 法 が と られ て い た(4)。しか し,こ の 方 法 で は手 軽 に判 断 で き る と い う利 点 は あ っ て も,大 ま か で あ る た め 正確 さ に欠 け た り,あ る い は 位 置 パ ラ メ ー タ γが0で な い と き の 処 理 が しに くい とい っ た欠 点 が あ る(5)。そ こで,正 確 さ を上 げ るた め,ワ イ ブル 確 率 紙 上 で直 線 回 帰 式 を 求 め る最 小2乗 法 が 用 い られ て きた 。 し か しな が ら,一 般 に最 小2乗 法 で得 られ た 推 定値 は誤 差 分布 が 正 規 分 布 に従 う とい う前 提 が あ る と きに の み 最 尤推 定 値 と一 致 す る とい う性 質 を も つが,そ の 他 の 分 布 の と きは成 立 す る とは 限 ら な い 。 あ る い は また,こ の と き用 い ら れ る最 小2乗 法 で は サ ン プ ル のi番 目 の 順 序 統 計 量 の パ ー セ ン ト点 をi/nやi/(n+1)で 表 す(7)ことが 多 く, 必 ず し も正 確 な 推 定 値 が 得 られ る と は限 らな い 。 こ こ に,nは サ ン プ ル 数 で あ る。 一 方,最 尤 推 定 法 (Maximum Likelihood Estimation; MLE)に は そ

れ ら の 制 限 は な い 。 ま た,最 尤 推 定 値[Maximum Likelihood Estimate; MLE(混 乱 は な い と思 わ れ る の で 最 尤 推 定 法 と 同 一 略 記 を 用 い る)]は,一 致 性,漸 近 正 規 性 と い っ た 好 ま し い 性 質 を も っ て い る(8)。 し か し,MLEを 求 め る 手 続 き は 一 般 に 簡 単 で は な い(9)。 さ て,位 置 パ ラ メ ー タ γ が 既 知 で,尺 度 パ ラ メ ー タ η,形 状 パ ラ メ ー タ β が 未 知 の と き のMLEに よ る ワ イ ブ ル パ ラ メ ー タ 推 定 に つ い て は,η,β の 推 定 値 の 存 在 性,一 意 性 と も に 既 に 解 決 さ れ て お り(10),何 も 問 題 点 は な い 。 こ の 方 法 を,2パ ラ メ ー タ 最 尤 推 定 法(2PMLE)と 呼 ぶ 。 例 え ば,確 率 分 布 が 寿 命 分 布 の と き に は γ=0と 仮 定 し て よ く,2PMLEで 十 分 と 思 わ れ る 。 し か し な が ら,確 率 分 布 が 絶 縁 物 の 破 壊 電 圧 の と き に は γ>0で あ る こ と を 仮 定 し た ほ う が 望 ま し く(3),2PMLEで は 対 応 で き な い 。3パ ラ メ ー タ と も 未 知 の 場 合 の 推 定 法(3PMLE)が 望 ま れ る 。 と こ ろ が,η,β,γ と も に 未 知 の と き に はMLEが 存 在 し な か っ た り,数 値 的 にMLEを 求 め る 手 続 き が 困 難 で あ る こ と が 知 ら れ て い る 。 例 え ば,0<β ≦1の と き に は,観 測 値 の 最 小 値 が γ の 推 定 値 と な る が,η, β のMLEは 存 在 し な い(11)。 ま た,1<β ≦2の と き に は,MLEは 存 在 す る が,数 値 的 にMLEを 求 め る と き に 必 要 に な るFisherの 情 報 行 列 が 意 味 を も た な く な り(12),正 則 条 件 が 成 立 し な い(13)。 こ の た め,0<β ≦2の と き に は,3PMLEを 用 い る の は 好 ま し く な い と考 え ら れ て い る 。 そ こ で,単 純 な3PMLEに よ ら な い 推 定 値 探 索 法 が 提 案 さ れ 始 め た 。 修 正 モ ー メ ン ト法(Modified Moment Estimation; MME)(14)(15),修 正 最 尤 推 定 法

(Modified Maximum Likelihood Estimation; MMLE)(14),パ ー セ ン ト 法(Percentile Estimation Method;PE)(16)-(21)な ど が そ れ ら で あ る 。 特 に,PE

で は 数 式 の み を 用 いMME,3PMLE,MMLEの よ う な 数 値 解 析 的 方 法 を 用 い な い の で,安 定 的 に,し か も 速 く推 定 値 を 求 め る こ と が で き る 。 こ れ ら の 方 法 は い

On The Estimation of Dielectric Breakdown Voltage When Breakdown Voltage Follows the 3 Parameter Weibull Distribu-tion. By Hideo Hirose, Member (Information Mathematics

Research Laboratory, Takaoka Electric Mfg. Co., Ltd.), 広 瀬 英 雄:正 員,(株)高 岳 製 作 所 数 値 情 報 研 究 室

ず れ も0<β<3.5の と き を対 象 に し て い る(22)。 さて,実 際 の絶 縁 破 壊 電 圧 の ワ イ ブ ル パ ラ メ ー タ を 推 定 し て み る と,2<β とな る ケ ー スが 多 く(23)(24),従 ってPEの よ う な方 法 は 不 要 で あ り,従 来 の3PMLE で 対 応 した ほ うが よ い と思 わ れ る。 な ぜ な ら,MLE に は さ きに 述 べ た よ うに 一 致 性,漸 近 正 規 性 とい っ た 好 ま しい 性 質 が あ り,推 定 値 の 信 頼 度 を 求 め る こ とが で き る か ら で あ る 。 し か し な が ら,3PMLEに よ れ ば2<β で あ っ て も,局 所 最 大 値 が 大 域 的 最 大 値 で な く,し か もあ ん 点 が 存 在 した り(25),MLEが 発 散 す る ケ ー ス が あ る(26)(27)ことが 指 摘 さ れ た。 こ の た め,β の すべ て に わ た ってPEを 用 い る方 法 も考 え られ る。 と こ ろ が,2<β の よ う な 場 合,特 に8≦ β の よ う に β が 大 き い と きに は, PEに よ る パ ラ メ ー タ の 推 定 値 に は か な りの偏 り(bias)が 見 られ る こ とが わ か っ た(28)。従 っ て,2<β の と き,ワ イ ブ ル パ ラ メ ー タ を 推 定 す る に は3PMLEで あ っ て もPEで あ っ て も あ ま り好 まし い状 況 と は考 え られ な い 。 さ て,3PMLEに は パ ラ メ ー タ 発 散 の 問 題 が あ っ た 。 と ころ が,Newton-Raphson法(NRM)の 過 程 で は パ ラ メ ー タ は発 散 して も対 数 尤 度 は 収 束 して い る よ う に 思 わ れ る(26)場合 が あ る。 そ こ で,ワ イ ブ ル パ ラ メー タ で は な く,絶 縁 破 壊 電 圧xpそ の も の を推 定 す る(29)ことを 考 え て み る。 も ち ろ んxpを 求 め る に は ワ イ ブ ル パ ラ メ ー タ が 必 要 で あ るが,対 数 尤 度 が収 束 す れ ば確 率 分 布 モ デ ル も同 一 の も の に収 束 して い る と み な さ れ(第4章 後 述),従 っ てxpも 収 束 す る と考 え られ る か らで あ る。 こ の 方 法 に よ り求 め られ たxp の 推 定 値 を拡 張 され た最 尤 推 定値(Extended MLE, EMLE)と 呼 ぶ 。 この よ う に制 限 を広 げ る と,実 は2 <β の と きEMLEが 有 効 な 方 法 で あ る こ とが わ か る(28)。 本 論 文 で は,三 つ の ワ イ ブ ルパ ラ メー タ す べ てが 未 知 で あ る と き,MME, PE, 3PMLE, EMLEな どの 方 法 を用 い て 絶 縁 破 壊 電 圧xpを 推 定 し,そ れ ら の 方 法 に よ り得 られ た推 定 値 を比 較 検 討 す る。

2. 各 種 の パ ラ メー タ推 定 法

こ こで は,現 在 まで に提 唱 され て い る幾 つ か の パ ラ メ ー タ推 定 法 の ア ル ゴ リズ ム に つ い て 説 明 す る 。 <2・1> 3パ ラ メ ー タ最 尤 推 定 法(3PMLE) (1) 3PMLE 確 率 分 布 関 数 が(1)式 の ワ イ ブ ル 分 布 に 従 う と仮 定 す る。 こ の と き,尤 度Lは(2) 式 で 表 さ れ,パ ラ メ ー タ の 最 尤 推 定 値(MLE)は (3)式 の 対 数 尤 度 方 程 式 を解 く こ と に よ っ て 求 め ら れ る。 (3)式 は 非 線 形 方 程 式 で あ る か ら,こ こ で はNRM を用 い て 解 を求 め る(30)。さ て,NRMは 二 次 収 束 の性 質 を も ち収 束 は速 い が,一 方,初 期 値 選 定 が 極 め て重 要 な意 味 を も つ。 特 に(3)式 の場 合,収 束 域 が 狭 く初 期 値 選 定 が 困 難 で あ る(26)。例 え ば,η=1,β=5,γ=0 の とき,モ ン テ カ ル ロ シ ミュ レ ー シ ョン に よ り発 生 さ せ た あ る20個 の デ ー タ(表1)か らNRMに よ り推 定 値 を求 め る際,収 束 に 成 功 した 初 期 値 と失 敗 し た初 期 値 との 領 域 を 図 示 し た も の が 図1で あ る。 同 図 よ り,3PMLEで は非 常 に限 られ た 範 囲 の 初 期 値 で し か 収 束 して い な い こ と,ま た そ の領 域 の形 が 極 め て特 異 で あ る こ とが わ か る。 例 え ば,非 常 にMLEに 近 い 上 こ ろ で も発 散 し て い る場 合 が 見 受 け られ る。 この傾 向 は他 の サ ン プル デ ー タ につ い て も 同様 で あ る。 この こ と は慎 重 に選 ば れ た初 期 値 で な け れ ば収 束 値 を求 め られ な い こ と を示 唆 して い る。 そ こで,初 期 値 選 定 を 有 効 か つ 効 率 的 に 行 う た め の 直 線 探 索 法 を考 案 し た(31)(28)。 表1 サ ン プ ル デ ー タ 例 Table 1. An example of sampled data.

(2) 直 線 探 索 法 この 方 法 は,MLEが 漸 近 正 規 性 を も つ こ と に 基 づ い て い る。MLEθ は 平 均 θ (∼:真 値, :推 定 値),分 散 ・共 分 散 行 列Vを もつ 多 変 量 正 規 分 布 に従 い,そ の 分 布 の 形 状 は だ 円体 を な し て い る。 つ ま り,凸 関 数 で あ り 中 心 に 最 大 値 を も つ 。 そ こで,だ 円 体 の 中 心 を通 る 直 線 上 を 探 索 す れ ば

T. IEE Japan, Vol. 109-A , No. 12, '89 538

3パ ラ メ ー タ ワ イ ブ ル 分 布 の推 定

(黒い部分:失 敗 白い部分:成功)

図1 Newton-Raphson法 で 収 束 成 功, 失 敗 の 初 期 値 領 域

Fig.

1. Initial

value

reglon

of

convergence

suc-cess or failure in Newton-Raphson method. 最 大 値 を 見 つ け る こ とが 期 待 で き る と思 わ れ る。 特 に,ワ イ ブ ル 分 布 の 場 合,2パ ラ メ ー タ 推 定 (2PMLE)に つ い て は,有 効 な ア ル ゴ リ ズ ム が 見 つ か っ て い る(10)ので,適 当 な 平 行2平 面 上(γ:一 定) で2パ ラ メ ー タ 探 索 を行 い 各 平 面 上 で の2PMLEを 求 め,こ れ ら の2点 を通 る直 線 上 で 直 線 探 索 を行 う と よい と思 わ れ る。 さ て,直 線 探 索 アル ゴ リズ ム で も基 本 的 に は1変 数 のNRMを 用 い る。 し か し 直 線 は 一 般 にCartesian の 軸 に平 行 で はな い ので,NRMの と き に必 要 に な る 微 分 係 数 は偏 微 分 で は な く,全 微 分 を用 い る こ とに な る。 まず,パ ラ メ ー タ空 間上 の 直 線A1A2を 考 え る。 この と き,こ の直 線 上 で の 関 数 を f(θ1,θ2,θ3)=f(s)… …(4) と す る 。Sは 点A1か ら 点(θ1,θ2,θ3)ま で の 距 離 で あ る 。 こ の と き, が 成 立 す る 。 更 に,極 値 探 索 法 に お け るNRMで は 二 次 微 分 が 必 要 で あ る。(5)式 を再 度 用 い る と, が 成 立 す る 。fの 極 値 を 求 め る1変 数NRMは, df/dsを テ イ ラ ー 展 開 して, か ら,df/ds=0と お き,修 正 値 を繰 返 し求 め る こ とに よ って 得 られ る。 (3) 初 期 値 選 定 さ て,3パ ラ メ ー タ 推 定(3 PMLE)の た めの 初 期 値(η0,β0,γ0)は次 の よ う な手 続 で 求 め る と よい こ とが 経 験 的 に わ か った 。 基 本 的 に は γを 固 定 した2PMLEを 利 用 す る。 (i) まず,次 のdを 計 算 す る 。 た だ し,μ,σ,t1は そ れ ぞ れ サ ン プ ル の 平 均,標 準 偏 差,最 小 値 で あ る。 また で あ る 。 Γ()は ガ ン マ 関 数 。 こ の と き の β は(g3 -3g2g1+2g13)/(g2-g12)3が[{Σ(xi-μ)3}/n]/σ3に 近 く な る よ う に 設 定 す る 。 そ し て,dの 符 号 に よ り γ1と γ11と を 次 の い ず れ か か ら選 択 す る 。 γ1と γ11と の 間 を10等 分 す る 。 こ れ ら の 分 点 を,γ1, γ2,…, γ11と す る 。 各 γiに 対 し て2PMLEを 行 う 。 こ の と き 対 数 尤 度Liも 同 時 に 求 め る 。 次 に 各Liの な か か ら 最 も 大 き い も の を 二 つ 選 び,そ れ ら の γ の 値 を γ*1,γ*2 (L*1>L*2)と す る 。 (ii) 次 に, 電 学 論A,109巻12号,平 成 元 年 539

と し て 再 度 γ1と γ11と の 間 を10等 分 し,上 と 同 様 の こ と を 行 い 改 め て γ*1,γ*2を 求 め る 。 こ の と き,X1 =(η*1 _{,β*1,γ*1),X2=(η*2,β*2,γ*2),X3=(X1+X2)/2} と す る 。 (iii) 最 後 に,X3を 初 期 値 と し て,(X1-X2)の 方 向 で,上 述 の1パ ラ メ ー タ 直 線 探 索 法 に よ り,お お よ そ の(η0,β0,γ0)を 求 め る 。 <2・2> 修 正 モ ー メ ン ト法(MME)(15)文 献(28) を 参 照 。 <2・3> パ ー セ ン ト法(PE)

(1) Wyckoff, Bain, Engelhardtの 方 法(WBE)(18) (2) Zanakisの 方 法(ZNKS)(16) (3) Kappenmannめ 方 法(KPMN)(19) い ず れ も 文 献(28)を 参 照 。

3. 各 推 定 法 の 比 較

<3・1> 各 推 定 法 に よ る 推 定 値 の 比 較 例 い ろ い ろ な 文 献 に ま ち ま ち に 紹 介 さ れ て い る も の を こ こ で は ま と め て 計 算 し,そ れ ぞ れ の 方 法 に よ る 推 定 値 を 比 較 す る 。 デ ー タ は,(i) Kappenmann(1985)(19),デ ー タ 数=25,(ii) Newby (1984)(20),デ ー タ 数=25.,(iii) Dumonceaux, Antle (1973)(32),デ ー タ 数=20,(iv) MacCool (1984)(15),デ ー タ 数=10,(v-vi) Harter, Moore(33)(34),デ ー タ 数=40,2ケ ー ス,を 用 い た 。 こ こ で,各 入 力 デ ー タ に 対 し て は サ ン プ ル 値 を そ の ま ま 用 い ず,あ る 係 数 を か け ス ケ ー ル フ ァ ク タ が ほ ぼ 一 け た の オ ー ダ に な る よ う に 調 整 し て い る 。 計 算 結 果 を 表2に 示 す 。 各 推 定 法 に よ り 推 定 値 に 若

表2

各推 定法 による推定値 の比 較

Table 2. Comparison of estimates by various estimating methods.

*1:発 散 *2:計 算 失 敗 *3:Zanakisの 誤 り と思 わ れ る *4

,*5:n=40で はkn=1.5009で あ り広 瀬 は この 値 を使 用.Zanakisは kn=1.55を 使 用 し て お り,こ の 値 を用 い れ ば 広 瀬 とZanakisと _{は同 じ推 定 値 を得 る .}

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3パ ラ メー タ ワイ ブ ル 分 布 の 推 定

表3 各 推 定 法 に よ る パ ラ メ ー タ の 推 定 値 のbias, rmse

Table 3. biases and rmses of estimates of parameters by various estimating methods _.

N:収 束 した 回 数 *1:η<0と な った ケー ス を除 い た 干 の 違 い が 見 ら れ る の で,次 に 各 推 定 法 に よ るbias, rmseを 比 較 す る 。 <3・2> 各 推 定 法 に よ るbias, rmseの 比 較 モ ン テ カ ル ロ シ ミ ュ レ ー シ ョ ン に よ り,上 述 の 五 つ の 方 法 に よ り 求 め ら れ た 推 定 値 のbias,rmseを 比 較 し て み た 。 こ こ に, h(θ)は パ ラ メ ー タ θi=η,β,γ か ら 作 ら れ る 関 数,N は シ ミ ュ レ ー シ ョ ン で 推 定 値 が 求 ま つ た と き の 回 数 で あ る 。 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 条 件 は,η=1,β=2,3,5,8,γ =0 ,試 行 回 数=1,000,サ ン プ ル デ ー タ 数=20で あ る 。 (1) パ ラ メ ー タ η,β,γ のbias, rmseワ イ ブ ル パ ラ メ ー タ の 推 定 値 のbias, rmseは 表3の と お り と な っ た 。 同 表 か ら次 の こ と が わ か る 。 繰 返 し 計 算 を 用 い る3PMLE, MMEで は,推 定 値 Rは 真 値 よ り も大 き め に 推 定 さ れ る 傾 向 が あ る よ う で あ る 。 し か し,β が 大 き い と こ ろ で はPE法 に 比 べ て 真 値 に 近 い 値 を と っ て い る と 思 わ れ る 。 こ の と き, bias(η)>η,bias(β)>β,bias(γ)<γ の 傾 向 が あ る 。

と こ ろ が,3PMLE, MMEで はrmseは 非 常 に 大 き く,推 定 精 度 が 極 端 に 悪 い こ と が う か が わ れ る 。 ま た,収 束 す る 場 合 と そ う で な い 場 合 が あ り,3PMLE の 場 合 約10∼21%,MMEの 場 合0∼27%が 収 束 に 失 敗 し て い る(た だ し,2≦ β ≦8)。 こ の こ と は,両 方 法 の 最 大 の 欠 点 で あ る 。 一 方,PE法 で あ るWBE, ZNKS, KPMNで は,β =2の と き は ほ ぼ 良 い 推 定 値 を 与 え て い る が_,β=3, 5,8と 大 き く な る に つ れ て 推 定 値 β は 真 値 に 比 べ て 小 さ く な っ て い る こ と が わ か る 。 し か し,rmseは 3PMLE, MMEよ り も 小 さ い 値 を と っ て い る の で, 推 定 値 の ば ら つ き は 小 さ い 。 こ の と き,bias(η)<η, bias(β)<β,bias(γ)>γ の 傾 向 が あ る 。 ま た, ZNKSの 場 合,η<0と な る と き が ま れ に あ り,す べ て の 推 定 値 が 意 味 を 持 つ わ け で は な い 。WBE, KPMNの 場 合 に は そ の よ う な こ と は な い 。 以 上,bias, rmseか ら い え る こ と は,β が 小 さ い と き はPE法 が 優 れ て お り,β が8以 上 の 大 き さ に な る とbiasに つ い て は3PMLE, MMEが 優 れ て い る と 思 わ れ る がrmseに つ い て はPEが 優 れ て い る と 思 わ れ る 。3PMLEとMMEと で 比 較 す る と,収 束 し て い る 限 り で は ど ち ら か と い え ば3PMLEの ほ う が 優 れ て い る よ う で あ る 。 た だ し,rmseは 非 常 に 大 き い 。

3PMLE, MME, WBE, ZNKS, KPMNに つ い て モ ン テ カ ル ロ シ ミ ュ レ ー シ ョ ン に よ り 推 定 値 の 精 度 を 調 べ て み た が,ど れ が 最 も良 い 方 法 で あ る か と の 結 論 は

表4 各 推 定 法 に よ るxpの 推 定 値 のbias, rmse

Table 4. biases and rmses of estimates of xp by various estimating methods.

N:収 束 回 数 出 し に くい 。3PMLE, MMEで は,発 散 ケ ー ス が あ る こ と(β≦2の 場 合 に 限 ら ず,β>2で も起 こ る), rmseが 大 き い こ と,そ して 推 定 値 を求 め る 手 続 き が NRMの よ うな 繰 返 し手 続 き的 な 方 法 に よ ら ざ る を得 な い こ とな どが あ り,あ ま り有 利 な方 法 と は い え な い と思 わ れ る。 上 述 の よ う に,3PMLE, MMEがWBE, ZNKS, KPMNな ど のPEの 方 法 に 比 べ て 劣 っ て い る と考 え れ ば,特 に 無 理 し て3PMLEに よ り3パ ラ メー タ を 推 定 す る必 要 性 は な い と思 わ れ る。 しか し,も しパ ラ メ ー タ 推 定 だ け が 目 的 で な く,例 え ば パ ー セ ン ト点 xpを 求 め た い と い う 目的 を 第 一 義 に 考 え た ら ど う で あ ろ う。 例 え ば,γ を 仮 に(15)式 で 与 え て2PMLE に よ り2パ ラ メ ー タ 推 定 を 行 い,xpの 推 定 値 の 信 頼 区 間 を求 め る こ と もで き る(26)。

γ=μ-kσ(k=3∼4)…

…(15)

xpは(1)式 か ら,

3パ ラメ ー タ ワ イ ブ ル 分布 の 推 定

表5 MLEで の 発 散 ケ ー ス の 例

Table 5. An example of the case of MLE diverging.

で 与 え ら れ る 。 こ の よ う に 考 え る と,3PMLE, MME, PEな ど の 方 法 に よ り 求 め ら れ たxpの 推 定 値 に つ い て 再 度 比 較 検 討 す る こ と も 意 味 が あ る と思 わ れ る 。 そ こ で,次 に0.1%破 壊 点x0.001,1%破 壊 点x0.01,10% 破 壊 点x0.1な ど を,推 定 さ れ た η,β,γか ら(16)式 に よ り求 め,そ れ ら のbiasとrmseを 調 べ て み よ う と 思 う 。 (2) パ ー セ ン ト 点xpのbias,rmse 各 方 法 に つ い て,破 壊 率p=0.001,0.01,0.1の 三 つ の 場 合 に 分 け,xpのbiasとrmseを 求 め て み た 。 そ の 結 果 が 表4で あ る 。 参 考 の た め,表4の 下 部 に はxpの 真 値 を 出 し て お い た 。 biasに つ い て はp=0.1の 場 合,各 方 法 優 劣 の 差 は な い よ う に 思 わ れ る 。 し か し,p=0.01,0.001に な る とZNKSが 最 も 悪 く,続 い てKPMN, WBE,最 も 良 い の が3PMLE, MMEで あ る 。3PMLE, MMEに つ い て はpが 小 さ い と き,ど ち ら か と い え ば 3PMLEが 良 い と い う 感 じ で あ る 。2PMLEで は, xpのbiasは3PMLEよ り 悪 い 。 rmseに つ い て は, p=0.1,0.01の 場 合,各 方 法 に つ い て 優 劣 の 差 は な い 。 強 い て い え ば,ZNKSが 最 も 悪 い 。p=0.001の 場 合 も 大 差 は な い が,優 劣 を つ け る と す れ ばZNKSが 最 も 悪 く,次 い でWBE, KPMN, MME,3PMLEの 順 に 良 く な る と い っ た 感 じ で あ る 。 2PMLEで は,rmseはbiasと 同 じ く悪 い 。 xpの 推 定 に 関 す る か ぎ り,3PMLEが 最 も 良 い 結 果 を 出 し て い る 。 そ し て,何 と い っ て も3PMLEで は推 定 値 の 信 頼 度 が得 られ る の が 魅 力 的 で あ る。 問 題 点 は 発 散 の ケ ー ス が あ る こ とで あ る。 そ こで,こ れ を 回 避 す る方 法 を提 案 す る。

4. 拡 張 最 尤推 定 値(EMLE)

さ て,NRMの 繰 返 し 過 程 で,η, β, γが 発 散 す る 場 合 を 調 べ て み る と,表5に 示 す よ う に 対 数 尤 度log Lが 一 定 値 に 収 束 し て い る 場 合(26)が あ る(モ ン テ カ ル ロ シ ミ ュ レ ー シ ョ ン の 結 果,パ ラ メ ー タ 発 散 の 場 合 す べ て こ の 性 質 を も っ て い た)。 つ ま り, が 成 立 し て い る 。iは 繰 返 し 回 数 。 赤 池(35)に よ れ ば, 異 な る 確 率 分 布 モ デ ル 間 で もAIC (Akaike Informa-tion Criterion)を 用 い る こ と に よ り 分 布 の 比 較 が 可 能 で あ り 最 適 モ デ ル を 選 ぶ こ と が で き る 。AICは (18)式 で 与 え ら れ る 。 AIC=-2×(logL)+2×(自 由 パ ラ メ ー タ 数) ……(18) こ こで のAICは 自由 パ ラ メー タ 数 が3個 と固 定 さ れ て い る の で 対 数 尤 度 と直 接 結 び 付 け られ,NRMの 収 束 過 程 で のi番 目 と(i+1)番 目 との 確 率 分 布 モ デ ル は(17)式 が 満 た され て い れ ば ほぼ 同 じ と考 え る こ とが で き る。 つ ま り,こ こで は確 率 分 布 と して は3パ ラ メ ー タ ワ イ ブ ル 分布 の 一 種 類 で あ る が,パ ラ メー タ の値 が大 き く異 な る 二 つ の 分 布 は見 掛 け上 異 な った 分 布 関 電 学 論A,109巻12号,平 成 元 年 543

数 を与 え て も,AICで 比 較 す る と きAICが 同 じ な ら ば 二 つ の 分 布 も等 価 で あ る と み な す こ とが で きる 。 こ の こ とは,表5のxpの 値 の 収 束 に よ っ て も示 さ れ る。 こ こ で,xpはNRMの 発 散 過 程 で の(η,β,γ)を (16)式 に代 入 し て求 め た もの で あ る。 そ こで,通 常 の NRMで の η,β,γが そ れ ぞ れ 収 束 す る と い う(19)式 の よ うな収 束 判 定 で は な く(17)式 を収 束 判 定 に用 い て xpを 推 定 す る。 この よ うな 方 法 で 求 め られ た 意 味 の あ る推 定 値(例 え ばxp)は,MLEの 収 束 判 定 に尤 度Lを 用 い,通 常 の MLEの 拡 張 とな るの で,拡 張最 尤 推 定 値(Extended MLE, EMLE)と 呼 ぶ こ とに す る。 モ ン テ カ ル ロ シ ミ ュ レ ー シ ョ ン に よ り得 ら れ た EMLEのxpのbias, rmseを 表4に 表 す 。 同 表 で3 PMLEとEMLEと の 違 い は,(i) 収 束 回 数Nが 大 幅 に改 善 さ れ て い る こ と(特 に,β が 大 きい と こ ろ で こ の 傾 向 は 著 し い),(ii) biasに つ い て は,β ≧3の と き改 善 さ れ て い る こ と,(iii) rmseに つ い て は,β <3の と き悪 くな っ て い る よ う に 見 受 け られ る が,β ≧3の とき は両 者 の 間 にそ れ ほ どの 差 が 見 られ な い こ と,で あ る。 従 っ て,EMLEを 用 い て,パ ラ メ ー タ 推 定 を行 いxpを 推 定 す る に は,β が あ る程 度 大 き い 場 合 この 方 法 を用 い る と効 果 が あ る と思 わ れ る。 し か し,3PMLEに は 次 の 問 題 も残 さ れ て い る。 Rocketteら(25)に よ る と,β>1の 場 合,3PMLEで は鞍 点 が 存 在 した り,尤 度 関 数 の 最 大 値 が 局 所 最 大 で は な く β→1の と こ ろ で 存 在 す る 場 合 が あ る。 そ こ で,3PMLEで 求 め られ た 推 定 値(β>1)が 局 所 最 大 点 で あ るか鞍 点 か を判 定 す る必 要 が あ る 。 つ ま り,分 散 ・共 分散 行 列 の部 分 行 列[Vk=(vij),i,j=1,…,k,k =1 ,…,3]の 行 列 式 をDk(k=1,…,3)と す る と き,D1 <0,D2>0,D3<0の とき局 所 最 大 点,そ の他 の とき鞍 点 で あ る と判 定 す る こ とで あ る。 本 論 文 で 述 べ た3 PMLEの アル ゴ リズ ム の 中 に は これ を取 入 れ て お り, モ ン テ カ ル ロ シ ミュ レー シ ョ ンの 結 果,<2・1>節(1) 項 で 述 べ た ア ル ゴ リ ズム で は鞍 点 にた ど り着 くこ とは 一 度 も な か っ た_。 5. ま と め 3パ ラ メ ー タ ワ イ ブル 分 布 の パ ラ メー タ推 定 の 効 果 的 な ア ル ゴ リズ ム を 紹 介 し た。 また,3パ ラ メ ー タ ワ イ ブ ル 分 布 の パ ー セ ン ト点xpを 推 定 す る こ とに 限 定 す れ ば,こ こ で 提 案 す る拡 張 推 定 値(EMLE)は 従 来 の 推 定 法(修 正 モ ー メ ン ト法,修 正 最 尤 推 定 法,パ ー セ ン ト法)に 比 べ て 有効 で あ る こ とを 確 認 した。 最 後 に,本 論 文 を書 く動 機 づ け を与 え て い た だ い た 茨 城 大 学 の 加 子 教 授,3パ ラ メ ー タ ワ イ ブ ル 分 布 で正 則 条 件 が 成 立 しな い 場 合 が あ る と い う こ と(36)を紹 介 して い た だ い た 大 阪 大 学 基 礎 工 学 部 白旗 助 教 授 に 深 く感 謝 い た し ま す 。 (昭 和63年10月24日 受 付,平 成 元 年8月25日 再 受 付)

文

献

(1) E. J. Gumbel: Statistics of Extremes (1958) Columbia University Press, New York

(2) 松 葉 ・川 井:,電 学 誌,97,282(昭52-4) (3) 広 瀬 ・中山 ・華 井:昭59電 気 関 係 学 会 東 海 支 部 連 大,No. 193 (4) 木 村 ・平 林:電 学 論A,97,230(昭52-5) (5) 檜 垣 ・本 多:昭49電 気 学 会 大,No. 662 (6) 中 川・小 柳:最 小2乗 法 に よ る 実 験 デ ー タ の 解 析(昭56)東 京 大 学 出 版 会 (7) 真 壁:ワ イ プ ル 確 率 紙 の 使 い 方(昭41)日 本 規 格 協 会 (8) 広 瀬:名 古 屋 大 学 工 学 部 学 位 論 文(昭63) (9) 竹 内 ・大 橋:「 統 計 的 推 測-2標 本 問 題 」,入 門 現 代 の 数 学, (昭56)日 本 評 論 社 (10) A. C. Cohen: Technometrics, 7, 579 (1965)

(11) S. D. Duby: Naval Research Logistics Quarterly, 13, 253 (1966)

(12) J. V. J. Ravenis: Electrotechnology, p. 46 (1964) (13) S. D. Duby: Naval Research Logistics Quarterly, 13, 227

(1966)

(14) A. C. Cohen & B. Witten: Commun. Statist. -Theor. Meth., 11 (23), 2631 (1982)

(15) A. C. Cohen, B. J. Witten & Y. Ding: J. Quality Tech., 16, 159 (1984)

(16) S. H. Zanakis: J. Statist. Comput. Simul., 9, 101 (1979) (17) S. H. Zanakis & N. R. Mann: Naval Research Logistic

Quarterly, 29, 419 (1982)

(18) J. Wyckoff, L. J. Bain & M. Engelhardt: J. Statist. Compt. Simul., 11, 139 (1980)

(19) R. F. Kappenmann: Computational Statistics & Data Anal-ysis, 3, 11 (1985)

(20) M. Newby: IEEE Reliability, 33, 192 (1984) (21) D. R. Wingo: ibid., R-22, 96 (1973) (22) A. C. Cohen: Technometrics, 15, 867 (1973) (23) Y. Kato: CIGRE WG 15-01 TF-02 (1986) (24) 広 瀬:昭63電 気 関 係 学 会 東 海 支 部 連 大,No. 63

(25) H. Rockette, C. Antle & L. A. klimko: J. American tical Association 69, 246 (1974) (Theory and Methods

Section) (26) 広 瀬:電 気 学 会 第20回 絶 縁 材 料シ ン ポ ジ ウ ム,VIII-1(昭62) (27) 広 瀬:電 気 学 会 絶 縁 材 料 研 資,EIM-87-97,47(昭62) (28) 広 瀬:電 気 学 会 絶 縁 材 料 研 資,EIM-88-77,47(昭63) (29) 広 瀬:昭63電 気 関 係 学 会 東 海 支 部 連 大,No. 62 (30) 広 瀬:昭59電 気 関 係 学 会 東 海 支 部 連 大,No. 192 (31) 広 瀬:昭62電 気 関 係 学 会 東 海 支 部 連 大,No. 199 (32) H. L. Harter & A. H. Moore: Teclmometrirs., 7, 639

(1965); ibid., Errata, 9 (1967)

(33) R. Dumonceaux & C. E. Antle: ibid., 15, 923 (1973) (34) J. I. MacCool: Aerospace Researck Laboratories Report _,

APL TR 74-0180, Wright-Pattern Air Farce Base, OH (1974)

(35) H. Akaike: "Information theory and an extension of the maximum likelihood principle", 2'nd Int. Symp. on Infor-mation theory (Petrov, B. N. and Csaki, F. eds), Akademiai Kiado, Budapest (1973)

(36) N. L. Johnson & S. Kotz: Continuous univariate distribution-1 (1970) Wiley

T. IEE Japan, Vol. 109-A, No. 12 544