ト ン ネ ル 工 学 論 文 集 第18巻/pp.45-52, 2008.11
大深 度 地 下水 道 管 の外 水圧 によ る
座 屈挙 動 に関す る 実験 的研 究
The experimental study of Buckling of Steel Pipe under External High Water Pressure for Water Supply Tunnel Constructed in Deep Underground
天 野 裕 基1・ 満 田 規 夫2・ 王 剣 宏3・ 小 泉 淳4
Yuki Amano, Norio Mitsuda, Jianhong Wang and Atsushi Koizumi
1学生 会 員 早稲 田大 学 大 学 院 修 士 一 年(〒169 -8555東 京 都 新 宿 区 大久 保3-4-1) 2学 生 会 員 早稲 田大 学 大 学 院 修 士 二 年(〒169 -8555東 京 都 新 宿 区 大久 保3-4-1)
3正会 員 早 稲 田 大 学 大学 院 助 手(〒169 -8555東 京 都 新 宿 区 大久 保3-4-1) 4正会 員 工 博 早 稲 田 大学 教 授 社 会 環 境 工 学 科(〒169 -8555東 京 都新 宿 区大 久 保3-4-1)
In large cities in Japan, as the shallow underground is extremely complex use nowadays, we need to construct new infra-structures in deeper underground. Water pipelines are not exceptional. In deep underground, the water pressure exceeds, the buckling of steel water pipes is a considerable problem. To prevent the buckling, it is necessary to study the mechanism of its buckling behavior for the design of such pipelines. In this paper, the buckling behavior is mentioned from model tests using aluminum seamless cylindrical pipe with water pressure. The result of the experiment is compared with the analytical results by FEM, then the behavior of buckling is discussed.
Key Words: water pipeline, buckling, ground water pressure, model test, FEM analysis
1.は じ め に 大 深 度地 下 の水 道 管 路 は,中 浅深 度 にお け る地 下 空 間 が 過 密 で あ る大 都 市 圏 に お いて,安 定 した 源 水 の 確 保 や水 供給 をめ ざす 水道 施 設 で あ る.こ の 施 設 は,地 下50∼100mに 設 置 す る 送水 管 路 と給 水 管 路 線 お よ び 浄水 場や 配 水 施 設 か らな る. 送 水 管や 給 水 管 には 内 水圧 が作 用 す る こ とか ら, 一般 に ,シ ー ル ド工 法 な どに よ って 構 築 され た トン ネ ル 内 に鋼 管 な ど を敷 設 す る 内挿 管 方 式 が 採 用 され る.こ の方 法 は広 く用 い られ お り,安 全 確 実 な 方 法 で あ るが,ト ンネ ル 内 に内 挿 管 を挿 入 す るた め に必 要 とな る トンネル 断 面 は 大 き くな らざ る を得 な い. また,ト ンネ ル貫 通 後 で な け れ ば鋼 管 を挿 入 す る こ とが で き な い た め,工 期 も長 くな る 欠点 が あ る. 一 方,大 深 度地 下 を利 用 しよ う とす る よ うな 大 都 市 部 で は,建 設 スペ ー ス や 工 期 が 限 られ て い る こと が 多 い.こ れ らの 問題 を解 決 す る た め に,財 団 法 人 「水 道 技 術研 究セ ン ター 」,「 神戸 市水道 局」お よび 「大 深 度 水 道 管 路 布 設 技 術 研 究 会 」1)では,平 成1 3年 度 か ら15年 度 まで,「大 深 度 水 道管 の コ ス ト縮 減 に 関す る研 究 」 を組織 し,水 道 管 の 敷設 に 関 す る 新 しい方 法 を検 討 して きた.そ の検 討対 象 と した構 造 は,そ れ まで に 「大深 度 水 道 管 路 布 設 技術 研 究 会 」 が 提 案 し,研 究 を進 めて きた2つ の タ イ プ の構 造 で あ る.一 つ は セ グ メ ン トー 体 型 と呼 ぶ もの で あ り, い まひ とつ は セ グ メ ン ト分 離 型 と呼 ぶ もの で あ る. 前 者 は内 挿 管 を使 用 せず に,シ ー ル ド トンネル の覆 工 で あ るセ グ メ ン トに改 良 を加 え て,そ れ 自体 を水 道 管 と して 用 い よ う とす る もの で あ る.後 者 は シー ル ド トンネ ル の 中 に鋼 管 な ど を敷 設 す る 内 挿管 方 式 の も ので あ るが,シ ール ドトンネ ル の 断 面 をで き る だ け 小 さ くす る た め,ト ンネ ル と鋼 管 の 間 に 間詰 め を行 わ な い もの で あ る.両 者 の概 略検 討 の 結果,想 定 した 内水 圧 が1.6MPa程 度 の 大 き な 内水 圧 で あ っ た ことか ら,同 研 究 会 は この2つ の タ イ プ の うち の 後 者,す な わ ち,セ グ メ ン ト分 離 型 を基 本 と して詳 細 な検 討 を進 め た.こ の構 造 を採 用 す る こ とに よ っ
て,従 来 の も の と比 較 して トン ネル の掘 削 断 面 は 小 さ くて す み,ま た,シ ール ドの掘 進 と 内挿 す る鋼 管 の組 立 や 溶 接 接 合 が並 行 して 行 え るた め,工 期 の 短 縮 が 図れ る.さ らに,鋼 管 に補 鋼 リブ を設 置 して 肉 薄 化 を図 る こ とが で きれ ば コス トの縮 減 も可 能 とな る.ま た,ト ンネ ル と鋼 管 の間 に コ ン ク リー トや モ ル タル な ど によ る 間詰 め を行 わ な い ことか ら,土 水 圧 に よ る トンネ ル 覆 工 の変 形 を 内挿 され た 鋼 管 に伝 達 しな い と い うメ リ ッ トも あ り,鋼 管 の板 厚 を低 減 で き る可 能 性 が あ る. 一 方 ,シ ー ル ド トン ネル の止 水 性 は か な り改 善 さ れ て きて い るが,長 期 にわ た って の 漏 水 を完 全 に止 め る こ とは で き な い もの と考 え られ る.そ の 場 合 に は,内 挿 され た鋼 管 に は外 水 圧 が 作 用 す る.ま た, 水 道 管 内 の 清 掃や 補 修 が 必 要 にな った とき には,内 水 を除 去 す る 必 要 が あ り,大 きな 外 水 圧 が 作 用 す る こ とも考 え られ る. 本 研 究 は,こ の よ うな 状 況 を想 定 した もの で あ り, シ ーム レス の ア ル ミ管 を水 道 管 の 模 型 供 試体 と して 用 い,こ れ に 外 水圧 を作 用 させ て 座 屈 実 験 を行 い, 解 析 値 と比 較 す る こ とで,大 深 度 地 下 にお け る 水道 管 のよ り安 全 で 経済 的な 水 道 管 の 設 計 式 の 確 立 を 目 指 した もの で あ る. 2.模 型 実 験 (1)実 験 装置 図一1は本 実験 に 用 いた 実 験 装 置 の 断 面 図 を 示 した も ので あ る.実験 装 置 本 体 は,高 圧 配 管 用 炭 素 鋼鋼 管 STSを 用 い て お り,10気 圧 の 内 水 に耐 え られ る よ う に設 計 され て いる.ま た,本 体 両 側 の蓋 の 内 側 に は 2つ の 溝 を設 け,2種 類 の 径 に対 して 実 験 が 行 え る. こ の溝 に は ゴ ム パ ッキ ン と0リ ン グ を装 着 す る こ と で そ の止 水 性 を高 め て い る.実 験 装 置 の 内 部 に は厚 さ120mmの 木 製 板 を設 け る こ とで,様 々な 長 さの 供 試 体 に対 して 実 験 が行 え る よ うに した.供 試体 を実 験 装 置 内 の 溝 にセ ッ トした 後,蓋 を 閉め,外 側 の6 つ の ナ ッ トで 締 め る こと に よ り,供 試 体 内 に水 が浸 入 す る こ と を防 ぐ.偏圧 が か か る こ と を防 ぐた め に, ナ ッ トは 少 しず つ締 め て い る.装 置 内 を水 で 満 た し た あ と,手 動 ポ ンプ を 用 いて 装 置 内 に水 を送 り,徐 々 に水 圧 を上 げ る.こ の実 験 装 置 で は,供 試体 に外 水 圧 だ け で は な く,木 製 板 が 供 試 体 に押 し付 け られ る こ とで 発 生 す る 軸 力 がか か る こ と を考 慮 す る必 要が あ る.図-2は 実験 装置 の外 観 図 を示 した もの で あ る. (2)実 験 に用 いた 供 試 体 シ ェ ル に は薄 肉 シ ェル と厚 肉 シェ ル が あ る が,一 般 に使 用 され る水 道 管 は薄 肉 シ ェル と して 扱 う こと が で き る.厚 肉 シ ェル と薄 肉 シェ ル との 判別 に は次 の 式 が 用 い られ る2).
(1)
こ こにHは シェ ル モ デル の厚 さ,Rは そ の 半 径で あ る. 本研 究 で は式(1)か ら薄 肉 シ ェル とな るよ う に供図-2供 試体外観 図 試 体 の厚 さHと 半 径Rを 決 定 した. また,本 研 究 は 大深 度 地 下 水 道 管 を対 象 と した 一 連 の研 究 の 一 つ で あ り,従 来 の 研 究 によ れ ば 供試 体 の 長 さの 違 い によ り座 屈 荷 重 や 座 屈 形 状 が 異 な る こ とが 指 摘 さ れ て い る3M).そ のた め 本 実 験 で は 表-1 に示 す よ うな 長 さの 異 な る3種 類 の供 試 体 を 用 い た. この うちModel2,Model3は 弾 性 座 屈 が 生 じる長 さ と して 選 び,Model1は それ らと の比 較 で 弾 塑 性 座 屈 を 想 定 して 選 ん だ もの で あ る.ま た,材 料 の 特性 は 試 験 に よ り求 め られ た 値 を 用 いて い る. (3)計測 本 実 験 で は,供 試体 の外 側 が 水 に接 す るた め,ア ル ミ管 の外 側 のひ ず み は測 定 で きな い.こ の た め, 管 の 内側 のひ ず み 計 測 の み を行 っ た.1つ の 供 試 体 に対 して,16個 の ひ ず み ゲ ー ジ を 用 いて い る.測 定 位 置 は 図-3に 示 す とお りで あ る.変 形 は同 図 に示 した 断面IIの 周 辺 にお い て 一番 大 き くな る もの と予 測 され る ことか ら,断 面IIに は他 の断 面 に比 べ て 計 測 位 置 を多 く設 定 して い る.断 面Iと 断 面IIIでは ア ル ミ管 の端 部 の 固定 条 件 が 異 な る た め,そ れ ぞ れ の, 断 面 で計 測 を行 った. 3.解 析 手 法 と 理 論 値 の 算 出 法 (1)解 析 の 概 要 座 屈 解 析 に は3次 元FEMプ ロ グ ラム,MARKを 用 い た.模 型 供 試 体 は シ ェル 要 素 で モ デル 化 し,四 辺 形 の4節 点 薄 肉 四 辺 形 シ ェル 要 素 を 用 いた5).こ の 要 素 は,全 体 座 標 系 で の 変 形 と回転 の 自由度 を もつ. 本 研 究 で は この薄 肉 シ ェル に対 して線 形解 析 と非 線 形解 析 を行 った. 表-1供 試 体 の 諸 元 図 一3ひ ず み の 計 測 位 置 (2)解 析 モ デ ル の 諸 元 と 境 界 条 件 本 研 究 で 用 い た 解 析 モ デ ル の 半 径 はR=(内 径+ 厚 さ)/2=(158.4.2+3.4)/2=80.9(mm)と し た.ま た,解 析 モ デ ル に お い て,x軸 を 半 径 方 向,y軸 を 円 周 方 向, z軸 を 軸 方 向 に 設 定 し た.図-4は 解 析 モ デ ル の 概 要 を 表 わ し た も の で あ る.本 研 究 で は,実 験 装 置 の 状 況 か ら 判 断 し て,表-2に 示 す よ う な 境 界 条 件 を 用 い て 解 析 を行 っ た.こ こ でx,y,zは そ れ ぞ れx,y,z方 向 の 変 位 を,Rx,Ry,Rzはx,y,z軸 回 り の 回 転 変 位 を 表 わ す.表-2に お け る 中 央 面 と い う の は,供 試 体 の 中 央 の 面 を 意 味 し,ま た,Mid4は 図-5に 示 す よ う に 管 を90° ご と に4点 で 固 定 す る こ と を 意 味 す る. ま た,本 研 究 の 解 析 に 用 い た 応 力 と ひ ず み の 関 係 は 図-6に 示 す と お り で あ る.
図-4解 析 モデ ル 概 要 表-2境 界 条 件(Case1) 図-5Mid4の 固定 位 置 (3)座 屈 理 論 式 に つ い て 本 研 究 で は,Timoshenko等 に よ る 等 外 圧 を 受 け る 円 形 円 筒 シ ェ ル に 対 す る 座 屈 応 力 式 を 用 い て 座 屈 理 論 値 を 算 出 し た6).算 出 式 は つ ぎ の と お りで あ る. (2) こ こ に,qcr:座 屈 荷 重 値 a:モ デ ル 半 径 h:モ デ ル 厚 さ l:モ デ ル 長 さ n:座 屈 波 数 v:ボ ア ソ ン 比 で あ る. 図-6解 析 に用 いた 応 力 ひ ず み 関係 次 に座 屈 波 数nに つ いて 考 え る.水 道 管 の特 徴 お よび 座 屈 特 性 か ら式(3)が得 られ る3).
(3)
こ こ で,式(3)を 式(2)に 代 入 す る と次 の よ う に な る. (4) 式(4)に よ っ て 求 め た 座 屈 の 理 論 値 と 実 験 値,FEM に よ る 解 析 値 と を 比 べ る こ と で,Timoshenkoの 座 屈 理 論 式 の 適 合 性 を検 討 す る.こ こ で,座 屈 荷 重 を 求 め る 際 に,座 屈 波 数 が 必 要 とな る.式(4)か ら座 屈 荷 重 が 最 小 の と き の 座 屈 波 数 を 求 め る7)と 式(5)が 得 ら れ る. (5) Kお よ び α は次 式 で 表 わ さ れ,tは 板 厚 で あ る.(6)
4.実 験結果 とFEMに よる解析結果 との比較お よ
び理論値の適合性 に関する考察
(1)実 験 結 果 お よ びそ の 考 察 表-3は 本 実験 に よ り得 られ た 座 屈荷 重 を示 した も ので あ る.こ の表 か ら,供試体 の 長 さ が長 い ほ ど, 座 屈 荷 重 の 値 が 小 さ くな る こ とが確 認 で き る. 供 試 体 の 降伏 ひず み は 次 の 式 で 求 め る こ とが で き る.(7)
こ こ に,σy:降 伏 応 力 度(N/mm2) εy:降 伏 ひ ず み で あ る. 表-1か ら本 実 験 で 用 い た 供 試 体 の 降 伏 応 力 度 σy=91(N/mm2)で あ るの で,実 験 に 用 し、た供 試 体 の 降 伏 ひ ず み は,εy=1300・10-6で あ る. 図-7∼ 図-9は 各 モ デ ル の 断面IIに お け る 円周 方 向 ひ ず み(ひ ず みゲ ー ジ位 置 は 図-3を 参 照)と 水 圧 の 関 係 を示 した もので あ る.こ の 図 か ら座 屈 直 前 の ひ ず み を見 る と,Model1で は 降伏 ひ ず み が生 じる前 に 座 屈 して い る ことが 確 認 で き,弾 性 座 屈 が起 きた と 判 断 で き るが,Model2,3に 関 して は,座 屈 直 前 の ひ ず み が 降 伏 ひず み を大 き く越 え て い る も のが 確 認 で き るた め,弾 性 座 屈 を起 こ して い る とは言 え な い. 図-10は 座 屈 後 の 供 試 体 の 内 部 と外 観 を示 した も の で あ る.各 供 試 体 の 変 形 状況 を見 る と,座 屈 荷 重 が 大 き い ほ ど,座 屈 後 の 変 形量 が大 き い よ う に見 え る.こ れ は,耐 荷 力が 大 き い ほ ど,蓄 え られ るひ ず み エ ネ ル ギ ー が大 き いた め で あ る と考 え られ る.こ の こ とか ら,供 試 体 の 長 さが長 い ほ ど座 屈 によ る変 形 量 が 小 さ い も の と推 測 され る. 図-10か らModel1とModel2お よ びModel3と で は座 屈 波 数 が 異 な る ことが わ か る.こ の ことか ら,供 試 体 の 長 さ は座 屈 荷 重 値 だ け で な く,座 屈 形状 に も大 き な影 響 を与 え る こ とが わ か る.ま た,い ず れ の供 試 体 も対 称 的な 座 屈 を起 こ して お らず,理 想 的 な 座 屈 波 数 に偏 りが あ る こ とが 確 認 で き,こ の ことか ら, 供 試体 に は偏 圧 が 作 用 し,供 試 体 に 曲 げ が発 生 して い る もの と考 え られ る. 表-3座 屈荷 重(実 験 値) 図-7水 圧 と 円 周 方 向 の ひ ず み(Model1-断 面II) 図-8水 圧 と 円 周 方 向 の ひ ず み(Model2-断 面II) 図-9水 圧 と 円 周 方 向 の ひ ず み(Model3-断 面II)(a)Model1(内 部) (b)Model1(外 観) (c)Model2(内 部) (d)Model2(外 観) (e)Model3(内 部) (f)Model3(外 観) 図-10座 屈 状 況 表-4座 屈 荷 重 の 比 較(Case1) (2)実 験 結 果 とFEMに よ る 解析 結 果 の 比 較 表-4は,実 験 で 得 られ た 座屈 荷 重 と表-2の 境 界 条 件 の も と で行 った 線 形 解 析 結果 とを比 較 した もの で あ る.供 試 体 の長 さが 長 い ほ ど両 者 の誤 差 が 小 さ く な って い る ことが 確 認 で き る.ま た,図-11∼ 図-13 は 円周 方 向ひ ず み と水 圧 との 関係 を比 較 した 図 で あ る.図-10に 示 す 断 面 形状 か ら,変 形が と く に大 き い 位 置(Model1は2SC3,Model2,Model3は2DC6)に 着 目 して 比 較 した. 座 屈 荷 重 の 実 験 と解 析 結 果 とで は,差 が 著 しか っ た た め,実 際 の 境 界 条 件 とは大 き く異 な って い た と 考 え られ る.実 験 後 の 供 試体 内側 を確 認 した と こ ろ, 各 供 試 体 の断 面 右 側 に傷 が確 認 され た.こ れ は 実 験 中 に発 生 した もの で あ り,供 試 体 端 部 にお け る支 持 板 の外 径 が 供 試体 の 内 径 よ り小 さか った た め,荷 重 の作 用 時 に供 試体 が 片寄 り,両 者 が 接触 して で き た 傷 と考 え られ た.そ こで,表-5に 示 す よ うな境 界 条 件 を 用 い て 再 度 解 析 を行 った.表 中 にhalfとあ る の は,図-14に 示 す よ うに,管 の両 端 部 にお い てそ の 断 面 の半 分 の み を固 定 と した もの で あ る. この 境 界 条 件 を用 い て,解 析 を行 った 結 果 は表-6 に示 す とお りで あ った.境 界 条 件 を変 更 した 場合 の 解 析 結 果 は 実 験 結 果 に 比較 的 近 づ く こ とが確 認 で き た. 図-11水 圧 と 円 周 方 向 ひ ず み(Model1-2SC3) 図-12水 圧 と 円 周 方 向 ひ ず み(Model2-2DC6)
表-5新 し い 境 界 条 件(Case2) 図-14両 端 部 の 境 界 条 件 次 に,円 周 方 向ひ ず み と水圧 との関 係(図-11∼ 図 -13に 併 記)を 比 較 す る .境 界条件の変更前 と同 じよ うに,変 形 の も っ と も大 き い位 置 で 比 べ て い る. 境 界 条 件 の 変 更 前 に 比べ,座 屈 荷 重 だ け で な く, 水 圧 とひ ず み との 関 係 も,近 い傾 向 を示 して い る こ とが わ か る.以 上 の こ とか ら,外水 圧 によ る 水道 管 の 座 屈 現 象 を表 現 す る の に,FEMを 用 いた 座 屈解 析 手 法 は有 効 で あ る こ とが確 認 で きた.ま た,こ の実 験 装 置 を用 い た 座 屈 実 験 で は供 試 体 に偏 圧 が か か っ て い た と推 測 で き,今 後,実 験 装 置 の 改 良 を考 え る 必 要 が あ る もの と思 わ れ る. (3)座 屈 理論 式 の適 合 性 に 関す る 検 討 座 屈 理 論 式(式(4))を 用 い て,そ の 適 合性 を検 討 した.表-7は,得 られ た座 屈 荷 重 の 理 論 値 と実 験 値 と を比 較 した もの で あ る.ま た,図-15は 座 屈 時 の 水 圧 と供 試体 長 さ との 関係 を示 した 図 で あ る. 表-7か ら実 験 値 に 比べ,理 論 値 は 大 き い 値 を示 す ことが わ か る.こ れ は境 界 条 件 の あ い ま い さ と供試 体 自体 の もつ 初 期不 整 に よ る もの で あ る と考 え られ る.ま た,図-15か ら,実 験 値 と 同様 に,理 論値 も供 試 体 の 長 さ を長 くす る と座 屈 荷 重 の 値 は 小 さ くな り, 供 試 体 の 長 さ が 長 くな る ほ ど実 験 値 との 差 が 小 さ く な る こ とが わ か る.そ のた め,実 際 の 長 い水 道 管 の 設 計 にはTimoshenkoの 座 屈 理 論 式 が 適 用 で き る もの あ る と考 え られ る. 表-6座 屈 荷 重 の 比 較(Case2) 表-7理 論値 と実 験 値 との 比 較 図-15座 屈 時 の水 圧 と供 試 体 長 さ 5.お わ り に シ ーム レス の ア ル ミ管 が等 外 水 圧 を受 ける 場 合 の 座 屈実 験 の結 果 か ら,以 下 の 知見 が得 られ た. (1)管に等 外 水 圧 が 作 用 した 場合,供 試 体 長 さが長 く な る と座 屈 耐 荷 力 は減 少 す る. (2)供試 体 の長 さ が 長 い ほ ど両 端 部 の 境 界 条 件 の影 響 が 少な くな り,実験 値 がTimoshenkoの 座 屈 理論 値 に 近づ く. (3)円筒 管 に偏 圧 に よ る軸 力 と曲 げ が か か った と き に は,供 試 体 の 座 屈 形 状 は対 称 的な 形 状 とは な ら ず,理 想 的 な 座 屈 波 形 に偏 りを生 じ る. (4)境 界 条 件 が 再 現 で きれ ば,外 水 圧 によ る水 道 管 の座 屈 現 象 を表 現 す る の に,FEMを 用 い た座 屈 解 析 は有 効 で あ る.
今 後,本 実験 で 得 られ た 知見 を も と に実 験 装 置 の 改 良 を行 い,ま た,本 研 究 の本 来 の 目的 で あ る 円周 方 向 に 補 剛 リブ を設 けた 円 筒管 や ス パ イ ラル に補 剛 リブ を 設 け た管 を用 いて,同 様 な 実 験 を行 って,補 鋼効 果 を考 慮 した 座 屈 理論 式 につ い て の検 討や 初 期 不 整 の影 響 の検 討 を進 め て い く予 定 で あ る. 謝 辞:本 研 究 を進 め る端 緒 とな った 財 団 法 人 「水 道 技 術 セ ン ター 」 と 「大 深 度 水 道研 究会 」 の 関係 者 各 位,ま た,本 実験 に 関係 され た 各位 に感 謝 の意 を表 す る次 第 で あ る. 参 考 文 献 1) 財 団 法 人 水 道 技 術 研 究 セ ン タ ー: 平 成15年 度 大 深 度 水 道 管 の コ ス ト縮 減 に 関 す る 研 究 報 告 書, pp1-37, 2003. 2) 社 団 法 人 日 本 機 会 学 会: シ ェ ル の 振 動 と座 屈 ハ ン ド ブ ッ ク, pp3-5, 技 報 堂 出 版, 2003. 3) 王 剣 宏, 渡 辺 淳, 小 泉 淳: 大 深 度 水 道 管 の 浸 透 水 圧 に よ る 座 屈 挙 動 に 関 す る 基 礎 研 究, ト ン ネ ル 工 学 論 文 集, VOL.15, pp.151-160, 2005 4) 王 剣 宏, 渡 辺 淳, 小 泉 淳: 大 深 度 地 下 補 鋼 リ ブ が あ る 水 道 管 の 外 圧 に よ る 座 屈 挙 動 と そ の 座 屈 設 計 法 に 関 す る 一 考 察, ト ン ネ ル 工 学 会 論 文 集, VOL16, pp133-143, 2006
5) Marc Analysis Research Corp.: Msc. Marc2003, Volume B, pp3-573-3-578
6) テ ィ モ シ ェ ン コ, ギ ア ー, 長 谷 川 節 訳: 弾 性 安 定 の 理 論 下, pp435-474, ブ レイ ン 図 書, 1974.
7) 社 団 法 人 日本 機 会 学 会: シ ェ ル の 振 動 と 座 屈 ハ ン ド ブ ッ ク, pp395-409, 技 報 堂 出 版, 2003.
