Shonan Institute of Technology
NII-Electronic Library Service Shonan 工nstitute of Teohnology
跏 o跖巳賜 o ∬ S▲ 轟MI It(STrTUTS OW T 齧CロNOLOOY VoL 22r No
.
1,198B弾 性 支
持
梁
の
振
動
に
関
す
る
基 礎 的
研 究
質
量
を有
す
る加 振 点
が移
動 す
る場 合
一
近
藤 泰 郎
* ・木 村 広 幸
* *Basic
Research
onthe
Vibrations
of aElas
七ically
Supported
Simple
Beam
Effect
of 七he
Movement
of aExciting
Point
withMass
onthe
Vibrations
一
Yasuo
KoNDo
andHiroyuki
KIMuRA
Many
studles on the vibration of abeam
received mQving load havebeen
reportedEn
detail up tothis point
, but by all means
,
they are necessarey to analys complicatedforced
vibration.
In
this report,
wediscussed
the dynamic characteristics offorced
vibration from the natura 正 mode offree
vibration,
andby
the simple method , tried to estimate the effect of movement of a exciting point with mass on the vibration.
The
simple beam used in this experiment was a elastically s叩 ported and large−
sized one.
Numer−
ical computadon were made using the influence coe 伍 cients method and the transfer matrix method
.
Some of the numerical results were experimentally examined
by
moving a exciting machine which hadunbalance weights
.
As
the results of the analyses,
it
was confirmed that the shlft of natural frequencies caused by the movement of a exciting point with mass was surmised by supposing the low order vibration supportedin node points which were obtained from natural mode
,
and that of resonance amplitude wouldbe
more clear
if
the mode shape of practical amphtude was obtained.
1.
ま え が き一
般に機 械構造 物 と総 称さ れる大 型・
中 型 構 造 物 も, 最近は軽 薄短 小 化の 要 求に よ り,
薄 肉 設 計や構 造 変 更 な ど可 能 な 限りの 改 良 が 進め られて い る。
その 際,
問題と なる の は , 従 来まで の 静 的 な 荷 重に よる設計に 比較し て,
その 構造物に 実際に働 く繰 返 し荷 重 な どの動 的 な 力 に よる挙 動を十 分に考 慮し な け ればな ら ない こ と で あ る。
特に動 的 挙 動に対 する解 析が 重 要 と な るの は,
周期 的 また は非 周 期 的 な 外 力 が, その構造 系固有の共 振 振 動 数 と合 致 する周 波 数で加わ る場 合である。 特殊な減 衰 器を 併 なわない一
般の機 械 構 造 物の減 衰は相当小さいか ら,
こ の共 振 振 動 時に お いて, 構造 物は激 しく振 動し,
各 締 * 機 械工 学 科 助 教授,
* * 助手 昭和 62 年12
月1
日受 付 結部にゆる み やガ タを生じ た り, 繰返しの励 振 力}こより 最 終 的に は破壊に到るこ とになる。本 研 究で対 象と し た弾 性 支持 梁は
,
各 種 構 造 物の要素 と して,
随 所に見 受 け られる もの であ る か ら,
設 計変 更 な どの際に,
その運転周波 数近 傍の動 的 挙 動が, 質量を 有する加振 点の 移 動に よ り どの程 度 変 化 するのか を把 握 し てお くこ と は重要である。 移動荷重 を受 ける梁の振 動に関 する研 究は,
これ ま で も相 当 詳し く報告1’
2)されて い るが , どうして も複 雑な 強 制振 動の解 析を必要とする。 本 報は こ の強制 振 動に お ける特性を, 自由振 動か らの 固有 振 動モー
ドに着 目して 考察し,
質量 を 有 する加 振 点が移 動 する場 合の影 響 を 簡 便 な 方 法で予 測 するこ と を試み た もの である。数 値解 析お よ び実 験は, 弾 性 支 持し た大型両端 支 持梁 上 を質量を有 する加振点 が 移 動 する場 合につ い て行な っ た。 数値 計 算に は梁の振 動 解 析に有 効 と考え られる影 響
一
1
一
N工 工一
Eleotronio Library相 模工業 大 学 紀要 第 22 巻 第
1
号 係数法お よ び伝 達マ ト リクス法 を 用い,
マ ト リク ス を利 用し た数値計算を 行 なっ た。 また, 数 値 計算 結 果との整 合性を確認する た め に, 弾 性 支 持 梁 上で不 平 衡 重 錘 を取 付けた 機械式 加振機 を 移 動 させ て振 動実験 し た。 その結 果,
強 制振動時の付加質量 (加振機 ) 移 動に よ る共 振 振動 数 変化は, 自由振 動 解析の固 有モー
ドか ら得 られる node 点を支点 と し た低 次の 振 動 を 仮定するこ と に よ り定性 的に予 測でき, さらに実振 幅モー
ド線図 を利 用 す れぽ共 振 振 幅の変化予 測 も十分 行な え るこ とがわ か っ た。2
. 供
試材 (
梁 )と そ の モ デ ル2
ユ 供試材(梁 )解 析の対象 と した 梁は, 図
1
に示 すように全 長2600
mm 断 面75x75
皿m,
全 質 量 (ML )113.
75 kg で ある。 こ の大 型梁をス パ ン距離2400mm
の位 置に お い て 左 右 そ れぞれ 1703.
5N !mm の圧縮コ イル ば ねで弾性 支 持し てい る。 梁 と圧 縮コ イル ぽ ね 上に固 定された支持 台とは, 共 振 Y 部 2600250U2400幽
75 〜 口 取付 具 支持rl 図1
供 試 材 (梁) 時に おける各 種の 非 線 形 要 素を極 力取除 くため , 図中に 示 し た取付金具 を設 計し, 接 続 されて い る。 ま た, 両端 支 持梁の対称 性 を 確 実にする ため に , 両 端の取 付 金 具→ 支持 台→ コ イル ば ね の 各 中心 線が一
致 し, ス パ ソ距離 2400mm とな る よう細心の注 意 を は らっ た。2.
2
モデル化断 面形状が
一
様な 弾性支持梁を 理論解 析 する上で 有効 な手 法 とし て は, 連続体 (無 限 自 由 度 〉 を適当 な 自 由 度 を有 する集 中質 量 系と し てモ デル 化し, 反 復 法 な どの繰 返 し的な数 値 計算を行な うこ とが 考 え られる。 本研 究に お い て 理 論解 析に供 しttモ デル は,3,5,9
1 2 3 [〉
M、 Iv2 III, MF 皿・
+M,
+M。
+÷
’
lf、
謂、
M:=
m,+m、 (1)3
自 由 度 系 1 2 3 4 5・
M1⇒
M2 M3 訂4 Ms M、
=
飢、+M,+M。
+÷
M、=
M ・ Mz=
m2 十Ms−
M3君
砿 (2
)5
自 由 度系 123456789⇒
M、=
ml +Mv+M。
+豪
M、;
・
M、 M・=
毋・+ m、=
M、=
M、=
砿罷
M。=
M,三M
、 (3
)9
自 由度 系 図2
モ デル 化一
2
一
Shonan Institute of Technology
NII-Electronic Library Service Shonan 工nstitute of Teohnology
弾性 支 持 梁の振 動に関 す る基 礎 的 研究 (近 藤 泰 郎 ・木村広 幸) 自 由 度 集 中質量系であり, モ デル 化の詳 細 を 図
2
に示 し た。 図 1 中に示し た よ うに ス パ ン距離は 2400mm であるが, ス パ ン内に 1〜
25 の集中質量 が 連 続 分 布 し てい る と考え, ス パ ン質 量 Ms = 乾 ×250012600 と し た。 し た がっ て , 両端に張 出し た部 分の質 量は左右そ れ ぞれ My=
(M 广Ms
)!2 と なり,
支 持 台 ・取付金 具の質 量 怖 : 30.
586kg お よび レー
リー
法に よ る支持 ぽねの 質量 (M .:40.
6kg
)の1
!3
を 合せた.
怖 十 ルθ十.
44K!3 が 支 持 部の全 質 量と な る。支持 部 以 外の 位 置に お け る質 量は
,
図2
に示すよ う に , 各 位 置の 左 右 両 側の 質 量を合わ せ た も の と し て mi +Mt +1 と考えた。移 動 荷 重である加振機 質 量は
Mv
:17.
745
kg
で あり,
各 自 由 度の解 析に おい て , 梁の各 質 量 位 置に 順 次 付 加し て数値 計 算し た。3
.
理 論3.
1
影響係 数 法3) 影 響係数 aiゴ は系の 」点に作 用 する単 位 荷 重に よ る i 点のた わ みで あ り, 静 力 学 的 な 計算お よ び実測 するこ と に よ っ て も求ま る。 影響係数を用い るこ とに よ り,
例 え ば, 図 2(1) に 示し た3
自 由度 弾 性 支 持梁系の横振動 は, 次の ように 表 わ す こ とがで きる。 こ の3
つ の 同 次 方 程 式 を 満たす有 意な解 が存 在 する ため に は, 次の行列式を満足 しな け ればな ら ない。1−
aliMi ω2−
a、2M2tU2一
α13M3 ω 2
−
a21 ルfLω2 レ a22M2tU2−
a2sM3tU2=
=
O
(3−3
)
−
a31M 、ω2−
a32M2w21−
a33M3w2(
3−3
) 式は振 動 数 行 列,
また 展 開し た式は振 動数 方程 式で あ り,
式 中の ω を 解 くこ とに よ り固有振動 数が, Aユ,A2,A3 の比 を 計 算 す るこ とに よ り, 固 有 振 動モー
ド が求 ま る。 本研究で取扱 う 両 端弾 性支持 梁 系の 各 自 由 度に お ける三
i
燃
≡
雛
{
i
三
ii
叢
{
ヨ
(3−1
) (3−
1>式に お い て , Xi = Ai sin wt とおけ ば:
驢謙 鞍
i
雛
ii
}
闘 し た がっ て,
aw は, 梁の弾 性 的な た わ み 量 に支 持ば ね の変位分 を 加 算 するこ とに よ り, 簡 単な力 学で算出し た。 ま た,
数値 計算には反復法 を 用い た。 (3−2
> 式をマ ト リク ス で表 現 し,
次の よ う に変換する。酬
li
ト
詞
li
}
(3
−
4) こ こ で 〔M ⊃は , 系の定 数に よ り決ま るマ トリク ス であ り, 次の よ う に表わ さ れ る。CM
)一
黶
1
軈
i
撫
i
叢
]
(3−
5)そし て (3
−4
)式 左 辺の べ クF
ル {A}に適当 な ある値 を 仮 定 する と, 右 辺に よっ て近似値を得る こ とがで き, こ の近 似 値を用い て 同様の 計 算を繰 返せ ば,
近 似 度 が 順次 収 束 し て行 く。 影 響 係 数 法の特長は, 多 自由 度 系の 振 動 解 析 に お い て,
複 雑な運 動 方程式を解 析するこ となしに,
コ ン ピュー
タを利 用 して単 純 な 繰 返し演 算を行 う だけで, 固有 振 動 数お よび 固有振 動モー
ドが得られる こ とで ある。
3.
2
伝達マ トリク ス法4) 影 響 係 数 を 用いた反 復 法は,
振 動系の固 有振 動 数お よ びモー
ドを求め る手 法 と し て有効で あるが, 非 減 衰 系モ デル の 解析に用い られるこ とが多い よ う である。一
方 , 振幅応 答 特性を求め るなど減 衰 系に モ デ ル 化し た場 合 は,
影 響 係 数 法の 固有ベ ク トル {A
}の 代わ りに 固有値を 計 算し てい く伝達マ トリク ス法が優 れて い る。 伝 達マ ト リクス 法 は, 質量 磁 の存 在 する点に おける 左右両側の状態を表わすベ ク トル 君 (格 点マ ト リ クス) とM
, お よ び Mi−
1 の間の状 態 を 表 わ すベ ク トル 呪(格 間マ ト リ クス ) をモ デル に対して順次適 用し,
計算し て い く手法であるQ 例 え ば, 本研 究で対象 と し てい る梁の場 合,
図2 の 5 自由度モ デル で は,Z
、 お よびZ5
を梁の両端に おける 状態量ベ ク トル とする と z』冨
」巳疏1「蚤」鴨P3」Pz」P2PiPiZ エ ま たはz5 =uz
, の よ う に表 わ さ れる。 こ こで,
行 列 u の要素Uij は 力 学 的 な 計 算に よっ て 求 まる ω の 関 数である。 伝達マ トリク ス 法を 用い た数 値 計 算は , 減 衰 項を考 慮一
3
一
N工 工一
Eleotronio Library相 模工 業 大 学 紀要 第
22
巻 第 1 号 し, 実 数形で表 現 し た9
×9
行 列の拡 張格 点マ ト リクス P お よび拡 張 格 間マ ト リク ス F を前 述の ようにつ なぎ 合 わせ,
順次繰返し乗 算 し て U を 算 出 す る。 次に弾 性支 持 梁の両端部に おける境 界 条 件 (せ ん断 力 y= O , 曲 げモー
メ ン トM
= 0) を適用 し て, マ ト リク ス 型の連 立 非 同 次 方 程式を抽 出し, 振動 数 方程 式お よ び振 幅 応 答 式 を得た。 なお, 連立方程式の数値解法に は , ガ ウス の消 去 法 を 用い た。 で あ る ため支 持台直下の変 位を計測し た。一
方, 加振機は,一
定の 加 振 力 を 再 現 性よく系へ 伝達 できる 不平 衡 重錘 式加振機 を 用い , 梁 上に 直 接 取 付 け, 図 中に示 した1〜5
の加振 点へ 順次 移 動させた。
ま た,
加振周波 数は, 加 振 機の不 平 衡 重 錘の取 付 けて ある円板と同期し て 回 る円 板の ス リッ Fを 近 接ス イ ッ チ に よ り検 出し, デジ タ ル タ コ メー
タに 入れて直 読 し た。 振 動 デー
タは, 各測 定点に おいて 5 点同 時に, 電 磁オ シ ロ グ ラ フに記録し,
振幅応 答お よび振 動モー
ドを 求め た。4
・ 実験装
置お よ び実 験 方 法 実験 装 置の ブP ッ クダ イヤ グラ ム を 図3
に示 す。
梁の振 動は , うず電 流 効 果 を 利 用 し た非接 触型変位 計 を用い, 梁との ギャ ッ プ 2mm
,5
測定点で計測し た。 なお, 測定点1
お よび5
は,
梁と支 持ばね との 締 結 部 加 振 機 1.
ピッ ク ァッ プ4
.
加 振機 制 御 装 置 2.
非 接 触 変 位計 5.
電 磁オシログラ フ 3.
デジタ ル タコ メー
タ 図 3 実 験装置5
。 結果
と考察
5・
1 固 有 振動 数と モー
F
数 値 計算に は,
前 述し た影 響 係 数法 (LC・
) お よ び伝 達マ ト リク ス 法 (T.
M .
) を利用するが , 解 析に先 立 ち 両 手 法の演算結果を比 較し た。 付加質量の位置は中 央 と し, 固有 振動 数の み を解析し た結 果, 表 1の よ うに両 手 法の 出 力は良好に一
致して い るこ とを 確 認し た。 図4は影 響 係 数 を 用い た 反 復 計 算 法に よ り9
自 由度モ デル で付 加 質 量 (加 振機 質量) を1
〜9
の 位置に移動さ せ て コ ン ビ =一
タ解 析し た結 果であ り, そ れ らの 内 代 表 的 な 傾向を 示 す もの と し て, 付加質量 位 置が中 央,
中 間, 端部の 場 合 を 表 示して い る。固有振 動モ
ー
ドは, 端部に おける 振 幅を 基 準値1
と し,
他 点の 振 幅は それ との相 対 的 な 比と して示 し た。 固 有 振 動 数は各 図の左 上に表 示した。 表 1 固 有 振動 数の比 較 (付 加 質 量 位 置: 中 央 ) 自 由 度 3 自 由 度1
1 5 自 由 度1
.
9 自 由 度 解 析 手 法1
1。
C.
T ・
M・
「
1.
C .
T .
M ,
I
Lc ・
T .
M .
1 次109.80
109.801
107,
403 107.
403106.
806 106.
806
2 152.
01
152.
007 159,
201
159,
201 161.
069 161,
069
3
223.
28223.
279 251.
37
251、
369259.469
259.
469 4 785.
56
785.
561
815.
229
815.
229 5 1431.
68
1431.
6331557.
793
1557.
923 6789t
1
3017.632
4195.326
6323.
225 7280.
0793017.
632
4195.
326 6323.
2257280.079
1, C .
: 影 響 係 数 法T .M .
:伝 達マ ト リ クス法一
4
一
Shonan Institute of Technology
NII-Electronic Library Service ShonanInstituteofTechnology
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1/相 模工 業 大 学 紀 要 第 22 巻 第 1 号 図の中央の
一
点 鎖線は,
梁の 静 止位置 (0
レ ベ ル )で ある か ら, 各モー
ド線図 とこ の基 準 線 との交 点は, 振動 の 生 じない node 点を表わす。 な お,9
次モー
ドに おけ る振 幅比30
以上 の値につ い て は , 低次モー
ドと同一
比 率で は表示 しきれ なかっ た。 モー
ド線 図 全体の傾向は, 中 央に付加 質 量が存在 する 場 合に比較して , 端部に移 動 する と各 点の振 幅比 が変動 し,
高次モー
ドで よ り顕著に なっ て くる。 し か し な が ら, node 点は若干移動 する程 度で あ り,
モー
ドの形そ の ものは, 付加質量の影響を さほ ど受 け ない よ うで あ る。 ま た,
奇 数 次モー
ドの中央 部は loop 点であ り,
偶 数 次モー
ドに おい て は node 点になる。
固有 振 動 数につ い て は , 第 1次 固 有 振 動 数が梁 上の付 加 質 量の 移 動に よ り,
端 部ほど上 昇 する の に対 し,
第 2 次固有 振動 数の 場 合は,
まっ た く逆の現象と な る。 そ し て, 3
次 以 上の高 次 固有 振 動 数の 場合は,
これ らの よう な一
定の 傾 向を持たない。こ こ で 付 加質量 (加振機) の移 動に よ る系の 固有 振 動 数の変化に着目し, 自 由振 動 解 析か ら求め た固有振 動 数 の計 算値と実 際に加振 実 験して求め た強 制 振 動 時の実験 値を 比 較して 図 5に示 す。 計算は 9 自由度モ デル で行 な い
,
その内の 1〜
5 次固有振 動 数の 場 合につ い て図 示し た。 並 記し た実 験 値は,
機 械 式 加 振 機 を 使 用 して い る た め,
3次 固有振 動 数まで の測 定で ある。ま た, 図中に
一
点 鎖 線で示 した レベ ル は , 梁上に加振 機が存在し ない場 合 を 想 定して,
加 振 機質量Mv =
O と 考 えて算出 した 固 有 振 動 数の 値である。 し たがっ て , こ の レ ベ ルを 基 準 として, 移 動 する付 加質量 (加振機)の 影響を考 察するこ と がで きる。
ま た,
当 然で ある が,
各 位 置におい ては, 付 加質量 分の増 加 が ある の み であり, 支持 ばね の剛性は一
定で ある か ら,
計 算 上の 固有 振 動 数 がこ の レベ ル以 上に なるこ とはあ りえ ない 。 第1
次固有振 動 数の 場 合,
各 位 置 と も 基 準レ ベ ル よ り 全て低い値 と な り, モー
ド的に最も振 動 する梁 中 央部を 加 振する と固 有 振 動 数 が 大 き く低 振 動 数 側へ 移 動 するこ とが わか る。一
方, 第 2次 固有 振動数に おい て は,
梁 中 央 部が node 点であ り, この点で加振し て も振動を発 生 し ない。
図の よ うに こ の node 点に お い て, 固有 振 動 数 は加 振 機 が 設置さ れ ない 場合の振動 数 (基 準 レ ベ ル ) と一
致 し,
第2
次 固有 振 動数に おい て は,
振 幅 が増大 して い く両 端 部ほど低 振 動 数と なる。 node 点に おい て は, その分 布 質量が振 動しないの で 1750(
1739.
2・
E
麗
纛
1650 1550 900マ
麗
815.
2)
800 700 280277.
7 072(
四 \ 唱 田)
260 250 第5
次 固 宥 振 動 数 123456789 12345・
6789 170霎
R
む 161.
1 麟 16e(
ω 毛旦
150 123456789 120115.
5 110100
123456789 123456789,
梁 上 の 位 置 図5
付 加 質 量の影 響 ○実 験 値●計算値一
6一
Shonan Institute of Technology
NII-Electronic Library Service Shonan 工nstitute of Teohnology
弾 性 支 持 梁の 振 動に関 する基 礎 的 研究 (近 藤 泰郎
・
木 村広幸)〔
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X.
OX 国 ロ コ ト H 」 氏 Z 口 〔1)端 部 応 答 中 央 部加 振一一
一
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中間 部 加振一一
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央部加 振 中 間 部加 振一一
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120 140 160 ドRヒa ロNじT ロ [r ロdノt コ 図 6 振 幅 応 答曲線 teo 200一
7一
N工 工一
Eleotronio Library相 模工業 大 学 紀 要 第
22
巻 第 正号【
匿 匳 2 1.
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・
加 振一
中 間部加 振_一
一
端 部 加振 順 51
「
ほ
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ノ 丶
,
ノ・
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12口 且40 且60 FREOUENCT 凶 匸r 皀己 !●, 18e 200 図6
っ づ き あるか ら質 量 効 果は皆 無で あ り,
支持ばねの剛 性は一
定 で あるか ら, こ の振 動 数で は固有 振 動 数が変 化しない 。 反 対VC3
次 以 上の 場 合で 明ら かなよ うに, 最 も振 動 す るモー
ド の 100P 点におい て は, その質 量の影響 が大と な り,
その点に おける固 有 振 動 数 も大 ぎ く低下し て くる こ とが わか る。 ま た,
図中に並記 し て 示 し た 1〜
3 次の実 験 値 も,
ま っ た く同 様の 傾向で あ り、
数値計算結果と良 く一
致 し た。 図4
の モー
ド線 図から,
各モー
ドは, その次数naこ対 して node 点は n−
1 個,
工oop 点は n−
2 個 発 生して い るこ とがわ か り, こ の点に つ いても 図5
の各線 図は一
致 し てい る。
第4
次および第5
次の場合,一
見 点 n〔}de
を 示 す 基 準レ ベ ル と一
致 するpoint
が少 ない ように見受 け ら れるが, モー
ド線図 中の node 点の い くつ かは,
1〜
9
まで の規 定 位 置 以外に存在 し てお り, 例 えば,
第 4 次 固有 振 動 数の node 点 は図中に破線で示し た よ うに位置 すると考え ら れ る。
以上の ように , node 点の固有振 動 変 化は
0
と考え ら れ るか ら, Ioop 点での 変化 率さ え求め れぽ, 定性 的に 強 制 振 動 時の挙 動 を 予 測で きるこ とに なる。 こ の変 化 率 は,
モー
ドの各 node 点を支点として低次の 振 動を仮定 し,Dunkerley
の式な どに より, 解 析す れ ば 求 ま る と 考え ら れ る。 非 減 衰 自 由 振 動解の固有モー
ド線図は, 本研 究で用い た影 響係数法の よ うに,
コ ソ ピュー
タに よ る数値計 算だ けで求 まる か ら, これに よ り動的挙動を簡易 的に予 測で きるこ とは十 分 意 味のあるこ と と考え る。
5.
2 振 幅 応 答 お よ び実振 幅モー
ド固有 振 動モ
ー
ドは, 各 固 有 振 動 数に対 応 する系の振動 パ ター
ンで あ り,
基準 点に対 する各解析 点で の相 対 比 率 を表わ し た もの で ある。 し た が っ て, 図4中の基 準 点 (端部) の振 幅は, 各モー
ドと も1
で あり,
強 制振 動時 に おい ての実振 動が どの程 度なの か判定できない。 こ の ような 場 合の解 析に は伝達V ト リクス 法 が有効で あ る。図
6
(1
)〜
(3
)は , 伝 達マ F リ クス法を用い て, 100〜
200radfs に存在 する1
次お よ び 2 次の振 幅応 答 曲線 を, 応 答 位置別に示 し てい る。 各 図中の実 線は中 央 部,
一
8
一
Shonan Institute of Technology
NII-Electronic Library Service Shonan 工nstitute of Teohnology
弾 性 支持梁の 振 動 に関する基 礎 的研 究 (近 藤 泰 郎 ・木村広幸 ) 2
.
0
0
.
1
曾 日)
翠 (1)応 答 位 置 く端 部〉 0 8002.
0 宕 邑 野 1.
0 」ooO82
.
0 01(
ε ε 罐 1000秣
燃
12001400
屋
1600
2400
〇一
中央加振 “一
一
中 間加 振 o−一
端部 加 振 2600 (rpm ) 」ooO8
10001200
1400
1600
2400
2600 (rpm ) 1000 IP ,9
1200 1400 図 7 振 幅 応 答 (実 験 値)−
9一
器
義
猷
1600 2400 2600 (rpm ) N工 工一
Eleotronio Library相 模工 業 大 学 紀 要 第
22
巻 第1
号2
点 鎖線は中 間 部, 1 点鎖線は端部を加振し た場 合の応 答を 示 し てい る。 加 振 力DATA
は, 実 験に使用し た機 械 式加振 機に て Pt・
一
ドセル を用いた予備 実験を行ない,
加振 振 動数に 対する 加 振 力の 較 正 線 図 を 作成し,F
= 0・
89×10
3X ω2N の 値を得た。1
次 共振 点に関し て は,
各応 答 と も 中 央 部 加 振の場 合 に 振 幅が最 大に な り,
端 部へ 加 振 機が移 動 するに併 ない 低 下 して くる。 共振 振 動 数は,
中央 部加 振で最低値 を と る。 ま た,2
次 共振点に関し て は, 加振機が端 部に移動 するこ と に よ り振 幅が増 大し,
共 振 振 動 数 も低 振 動 数側 に な る。 した がっ て, 両共振とも, そ の挙動は,
図4
に 示 し た固 有 振 動モー
ド の傾 向と一
致 する。 し か し な が ら, 2 次共振点で 顕 著 なよ うに,
図4
の モー
ド線 図で は,
中 央 部に付 加質量があっ ても, ピ ッ チ ン グ振 動が発生 して い る が,
実 振 幅 応 答を解析 する と,
中 央 部は node 点である か ら,
こ の応答は存在 しない こ と が わか る。 また, 加振機を端 部へ 移動させ る こ とに よ り, 両端部での 振 動は,1
次 共振に 比較し て 十分 大 き く, 危 険な値と な るこ と が わか る。 以上 の こ とは, 経 験 的に も 当然 な振動 現 象で ある が,
図7
に示 すように実 験に よ り確認し た。 実 験は機 械 式 加 振 機を 用い て行 ない, 結 果は各 応 答 位 置別に示 し た。
横 軸は加振機の不平衡 重 錘付円板に よ る加 振 振 動 数 (rpm ) であ り,
実 験は1〜3
次 共振の範囲で行なっ た。 図6
の計 算結 果 と比 較 す る と, 実 験 値の方が相 対 的に やや高く, 減 衰 系モ デル ヘ モ デル化し た際に等 価し た粘 性 減 衰の値が 低 くかっ た よ うで ある が, 両 者の傾 向は定 性的に 良く一
致 してい る。
前 述し た ように , 固有モー
ドか ら強 制振 動 時に質量 を 有する加 振 点が弾 性 支 持 梁上 を移 動 する場合の影響, 特 に 固 有 振 動 数の 変 化につ い て は,
ある程 度 予測で きるこ とが わかっ た。 こ こ で 基 準 点 との比 率で はな く,
実験 よ り求めた実 振 幅 値 を 用い て, 強 制 振 動に対するモー
ド線図を描 くと図8
の ようになる。
こ の表示に よ り,
強 制 振 動 時に おける系の 実 際の振 動 形 態を把握 するこ とがで ぎ,100p 点 を 加 振し た場 合の影 響 度 な ど が 明 確になる。 した がっ て , 系の 自由振 動部分を解 析し て得ら れ る固 有モー
ド線 図と強 制 振 動 時の実 振 動 振 幅を重ね合せ た実 振 幅モー
ドを利用すれば, よ り実 際 的な 振 動特 性を 表現 で きるこ とに なる。 2κ
、
・
一
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一『
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℃ 3 5 7 9奪
1 3 5 7 梁 上 の 位 置 図8
実 振 幅モー
ドー
第 1次 固 有 振 動 数一・
一
第 3次固有振 動数…
第 2 次 固有振動 数 9一 10 一
Shonan Institute of Technology
NII-Electronic Library Service Shonan 工nstitute of Teohnology
弾 性 支 持 梁の振 動 に関 す る基 礎 的 研 究 (近藤 泰 郎
・
木 村 広 幸 ) 本研 究の対象 と し た質量を有する加振 点が弾 性支 持 梁 上を移 動 する場 合の 固有 振 動 数お よ び共 振 振 幅の 変 化 な どの動的挙
動も, こ の実
振 幅モー
ド線 図に よ り十分 予測 で きる。6.
ま と め 弾性 支持した両 端 支 持 梁上 を質 量を有 する加 振 点が移 動 する場 合の強制 振 動 時の振 動 特 性 を, 非 減 衰 自 由 振 動 の解 析 より得ら れ る固有振動 モー
ド に着 目 して検 討し た。 その結果,
加 振 点 移 動に よ る固 有 振 動 数の変 化は,
固 有振 動モー
ドか ら得られる node 点を支 点とし た低 次の 振動を仮 定 する こ とに よ り推 察で きる。 さ らに実 振 幅モ一
ド線図 を求めれ ば,
共振 振幅の変 化な ど一
層 動 的 挙動 を予 測 で きる こ と が わか っ た 。 な お, 今後, 梁の分 布 質量に対 する付 加 質量の比 率な ども詳 細に解 析 し,
よ り定 量 的な検 討 を 課 題 としたい。 ) ) ) )1
2 3 4凸
文 献 谷口 修,
振 動工学ハ ン ド ブッ ク, (昭 51),
161.
養 賢堂.
S
,
TIMosHEN.
Ko,
Vibration
Problems inEngineering
,
(1968
),358,
D ,
Van
Nostrand .
入 江 敏 博, 機 械 振動 学 通 論, (昭 60 )
,
90, 朝 倉書店
.
E
.
C .
PEsTEL,
F.
A .
LEcKIE ,
Matrix
Methods
in
Elastomechanics
,(1963)
,
52,
McGraw−
Hil1.
11