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弾性支持梁の振動に関する基礎的研究 : 質量を有する加振点が移動する場合

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(1)

Shonan Institute of Technology

NII-Electronic Library Service Shonan  工nstitute  of  Teohnology

  跏 o跖巳賜 o ∬ S▲  轟MI It(STrTUTS  OW  T 齧CロNOLOOY     VoL 22r No

1198B

弾 性 支

基 礎 的

研 究

加 振 点

動 す

場 合

藤 泰 郎

* ・

木 村 広 幸

* *

Basic

 

Research

 on 

the

 

Vibrations

 of a 

Elas

ically

 

Supported

 

Simple

 

Beam

Effect

 of

he

 

Movement

 of  a 

Exciting

 

Point

 with  

Mass

 on 

the

 

Vibrations

Yasuo

 

KoNDo

 and  

Hiroyuki

 

KIMuRA

  Many

 studles  on  the vibration  of a 

beam

 received  mQving  load have 

been

 reported  

En

 detail up  to

this point

, but by all means

 they are necessarey  to analys  complicated  

forced

 vibration

  In

 this report

 we  

discussed

 the dynamic  characteristics  of 

forced

 vibration  from  the natura 正 mode of  

free

 vibration

 and  

by

 the simple  method  tried to estimate  the effect of movement  of  a exciting point with  mass  on  the vibration

  The

 simple  beam  used  in this experiment  was  a elastically  s叩 ported and  large

sized  one

  Numer

ical computadon  were  made  using  the influence coe 伍 cients  method  and  the transfer  matrix  method

Some  of the numerical  results  were  experimentally  examined  

by

 moving  a exciting  machine  which  had

unbalance  weights

  As

 the results  of  the analyses

 

it

 was  confirmed  that the shlft  of  natural  frequencies caused  by the movement  of a exciting  point with  mass  was  surmised  by supposing  the low order  vibration  supported

in node  points which  were  obtained  from  natural  mode

 and  that of resonance  amplitude  would  

be

more  clear 

if

 the mode  shape  of practical amphtude  was  obtained

1.

 ま え が き  

般に機 械造 物 と総 称さ れる大 型

中 型 構 造 物 も, 最近は軽 薄短 小 化の 要 求に よ り

薄 肉 設 計や構 造 変 更 な ど可 能 な 限りの 改 良 が 進め られて い る

その

問題と なる の は , 従 来まで の 静 的 な 荷 重に よる設計に 比較し て

その 造物に 際に働 く繰 返 し荷 重 な どの動 的 な 力 に よる挙 動を十 分に考 慮し な け ればな ら ない こ と で あ る

 特に動 的 挙 動に対 する解 析が 重 要 と な るの は

周期 的 また は非 周 期 的 な 外 力 が, その構造 系固有の共 振 振 動 数 と合 致 する周 波 数で加わ る場 合である。 特殊な減 衰 器を 併 なわない

般の機 械 構 造 物減 衰は相当小さいか ら

こ の共 振 振 動 時に お いて, 構造 物は激 しく振 動し

各 締 * 機 械工 学 科 助 教授

* * 助手  昭和 62 年

12

1

日受 付 結部にゆる み やガ タを生じ た り, 繰返しの励 振 力}こより 最 終 的に は破壊に到るこ とになる。

 

本 研 究で対 象と し た弾 性 支持 梁は

各 種 構 造 物の要素 と して

随 所に見 受 け られる もの であ る か ら

設 計変 更 な どの

その運転周波 数近 傍の動 的 挙 動が, 質量を 有する加振 点の 移 動に よ り どの程 度 変 化 するのか を把 握 し てお くこ と は重要である。  移動荷重 を受 ける梁の振 動に関 する研 究は

これ ま で も相 当 詳し く報告1

2)されて い る , どうして も複 雑な 強 制振 動の解 析を必要とする。 本 報は こ の強制 振 動に お ける特性を, 自由振 動か らの 固有 振 動モ

ドに着 目して 考察し

質量 を 有 する加 振 点が移 動 する場 合の影 響 を 簡 便 な 方 法で予 測 するこ と を試み た もの である。

 

数 値解 析お よ び実 験は, 弾 性 支 持し た大型両端 支 持梁 上 を質量を有 する加振点 が 移 動 する場 合につ い て行な っ た。 数値 計 算に は梁の振 動 解 析に有 効 と考え られる影 響

 

1

 

N工 工

Eleotronio  Library  

(2)

相 模工業 大 学 紀要 第 22 巻 第

1

号 係数法お よ び伝 達マ ト リクス法 を 用

マ ト リク ス を利 用し た数値計算を 行 なっ た。 また, 数 値 計算 結 果との整 合性を確認する た め に, 弾 性 支 持 梁 上で不 平 衡 重 錘 を取 付けた 機械式 加振機 を 移 動 させ て振 動実験 し た。  その結 果

強 制振動時の付加質量 (加振機 ) 移 動に よ る共 振 振動 数 変化は, 自由振 動 解析の固 有モ

ドか ら得 られる node と し た低 次振 動 を 仮るこ と に よ り定性 的に予 測でき, さらに実振 幅モ

ド線図 を利 用 す れぽ共 振 振 幅の変化予 測 も十分 行な え るこ とがわ か っ た。

2

. 供

材 (

梁 )と そ の モ デ ル  

2

ユ 供試材(梁 )

 

解 析の対象 と した 梁は, 図

1

に示 すように全 長

2600

mm 断 面

75x75

皿m

全 質 量 (ML )113

75 kg で ある。 こ の大 型梁をス パ ン距離

2400mm

の位 置に お い て 左 右 そ れぞれ 1703

5N !mm の圧縮コ ル ば ねで弾性 支 持し てい る。  梁 と圧 縮コ イル ぽ ね 上に固 定された支持 台とは, 共 振 Y 部 2600250U2400

75 〜 口 取付 具 支持rl 図

1

供 試 材 (梁) 時に おける各 種の 非 線 形 要 素を極 力取除 くため , 図中に 示 し た取付金具 を設 計し, 接 続 されて い る。 ま た, 両端 支 持梁の称 性 を 確 実にする ため に , 両 端の取 付 金 具→ 支持 台→ コ イル ば ね の 各 中心 線が

致 し, ス パ ソ距離 2400mm とな る よう細心の注 意 を は らっ た。  

2.

2

 モデル化

 

断 面形状が

な 弾性支持梁を 理論解 析 する上で 有効 な手 法 とし て は, 連続体 (無 限 自 由 度 〉 を適当 な 自 由 度 を有 する集 中質 量 系と し てモ デル 反 復 法 な どの繰 返 し的な数 値 計算を行な うこ とが 考 え られる。  本研 究に お い て 理 論解 析に供 しttモ デル は

,3,5,9

1 2 3 [

M、 Iv2 III, MF 皿

+M

+M

÷

lf

M:

m,+m、 (1)

3

自 由 度 系 1 2 3 4 5          

M1

M2 M3 訂4 Ms M

飢、+M,+M

÷

M、

M ・ Mz

m2 十Ms

M3

2

5

自 由 度系 123456789

M、

ml +Mv+M

M、

M、 M・

毋・+ m、

M、

M、

M。

M,

三M

、 (

3

9

自 由度 系 図

2

モ デル 化

 

2

 

(3)

Shonan Institute of Technology

NII-Electronic Library Service Shonan  工nstitute  of  Teohnology

弾性 支 持 梁の振 動に関 す る基 礎 的 研究 (近 藤 泰 郎 ・広 幸) 自 由 度 集 中質量系であり, モ デル 化の詳 細 を 図

2

に示 し た。 図 1 中に示し た よ うに ス パ ン距離は 2400mm であるが, ス パ ン内に 1

25 の集中質量 が 連 続 分 布 し てい る と考え, ス パ ン質 量 Ms = 乾 ×250012600 と し た。 し た がっ て 両端に張 出し た部 分の質 量は左右そ れ ぞれ My

(M 广

Ms

)!2 と なり

支 持 台 ・取付金 具質 量 怖 : 30

586kg お よび レ

に よ る支持 ぽねの 質量 (M .:

40.

6kg

)の

1

3

を 合せた

怖 十 ルθ十

44K!3 が 支 持 部の全 質 量と な る。

 

支持 部 以 外の 位 置に お け る質 量は

2

に示すよ う に , 各 位 置の 左 右 両 側の 質 量を合わ せ た も の と し て mi +Mt +1 と考えた。

 

移 動 荷 重である加振機 質 量は

Mv

17.

745

 

kg

で あり

各 自 由 度の解 析に おい て 各 質 量 位 置に 順 次 付 加し て数値 計 算し た。

3

  理 論  

3.

1

影響係 数 法3)  影 響係数 ai は系の 」点に作 用 する単 位 荷 重に よ る i 点のた わ みで あ り, 静 力 学 的 な 計算お よ び実測 するこ と に よ っ て も求ま る。 影響係数を用い るこ とに よ り

例 え ば, 図 2(1) に 示し た

3

自 由度 弾 性 支 持梁系の横振動 は, 次の ように 表 わ す こ とがで きる。        こ の

3

同 次 方 程 式 を 満有 意存 在 する ため に は, 次の行列式を満足 しな け ればな ら ない。

1−

aliMi ω2  

a、2M2tU2  

α13M3 ω 2

 

a21 ルfLω2   レ a22M2tU2  

a2sM3tU2

O

3−3

 

a31M 、ω2 

a32M2w2  

1−

a33M3w2

 (

3−3

) 式は振 動 数 行 列

また 展 開し た式は振 動数 方程 式で あ り

式 中の ω を 解 くこ とに よ り固有振動 数が, Aユ,A2,A3 の比 を 計 算 す るこ とに よ り, 固 有 振 動モ

ド が求 ま る。  本研究で取扱 う 両 端弾 性支持 梁 系の 各 自 由 度に お ける

i

i

ii

3−1

)  (3

1>式に お い て , Xi = Ai sin wt とおけ ば

驢謙 鞍

i

ii

闘  し た がっ て

aw は, 梁の弾 性 的な た わ み 量 に支 持ば ね の変位分 を 加 算 するこ とに よ り, 簡 単な力 学で算出し た。    ま た

数値 計算には反復法 を 用い た。 (

3−2

> 式をマ ト  リク ス で表 現 し

次の よ う に変換する。

 

 

 

 

 

 

li

li

 

(3

4) こ こ で M は , 系の定 数に よ り決ま るマ トリク ス であ り, 次の よ う に表わ さ れ る。

 

 

 

 

 

 

CM

1

i

i

(3

5)

 

そし て (3

−4

)式 左 辺の べ ク

F

ル {A}に適当 な ある値 を 仮 定 する と, 右 辺に よっ て近似値を得る こ とがで き, こ の近 似 値を用い て 同様の 計 算を繰 返せ ば

近 似 度 が 順次 収 束 し て行 く。   影 響 係 数 法の特長は, 多 自由 度 系の 振 動 解 析 に お い て

複 雑な運 動 方程式を解 析するこ となしに

ピュ

利 用 単 純 な 繰 返 算を行 う だけで, 固有 振 動 数お よび 固有振 動モ

ドが得られる こ とで ある

 

3.

2

伝達マ トリク ス法4)   影 響 係 数 を 用いた反 復 法は

振 動系の固 有振 動 数お よ びモ

ドを求め る手 法 と し て有効で あるが, 非 減 衰 系モ デル の 析に用い られるこ とがい よ う である。

, 振幅応 答 特性を求め るなど減 衰 系に モ し た場 合

影 響 係 数 法の 有ベ ク トル

A

わ りに 固有値を 計 算し てい 伝達マ リク スが優 れて い る。   伝 達マ ト リクス 法 は, 質量 磁 の存 在 する点に おける 左右両側の状態を表わすベ ク ト 格 点マ ト リ クス) と

M

, お よ び Mi

1 の間の状 態 を 表 わ すベ ク トル 呪(格 間マ ト リ クス ) をモ デル に対して順次適 用し

計算し て い く手法であるQ  例 え ば, 本研 究で対象 と し てい る梁の場 合

図2 の 5 自由度モ デル で は

,Z

、 お よび

Z5

を梁の両端に おける 状態量ベ ク トル とする と        z』

巳疏1「蚤」鴨P3」Pz」P2PiPiZ エ   ま たは      

z5 =uz

, の よ う に表 わ さ れる。 こ こで

行 列 u の要素Uij は 力 学 的 な 計 算に よっ て 求 まる ω の 関 数である。  伝達マ リク ス を 用い た数 値 計 算は , 減 衰 項を考 慮

 

3

 

N工 工

Eleotronio  Library  

(4)

相 模工 業 大 学 紀要  第

22

巻 第 1 号 し, 実 数形で表 現 し た

9

×

9

行 列の拡 張格 点マ ト リクス P お よび拡 張 格 間マ ト リク ス F を前 述の ようにつ なぎ 合 わせ

順次繰返し乗 算 し て U を 算 出 す る。   次に弾 性支 持 梁の両端部に おける境 界 条 件 (せ ん断 力 y= O , 曲 げモ

メ ン ト

M

= 0) を適用 し て, マ ト リク ス 型の連 立 非 同 次 方 程式を抽 出し, 振動 数 方程 式お よ び振 幅 応 答 式 を得た。  なお, 連立方程式の数値解法に は , ガ ウス の消 去 法 を 用い た。 で あ る ため支 持台直下の変 位を計測し た。

 

方, 加振機は,

定の 加 振 力 を 再 現 性よく系へ 伝達 できる 不平 衡 重錘 式加振機 を 用い , 梁 上に 直 接 取 付 け, 図 中に示 した

1〜5

の加振 点へ 順次 移 動させた

 ま た

加振周波 数は, 加 振 機の不 平 衡 重 錘の取 付 けて ある円板と同期し て 回 る円 板の ス リッ Fを 近 接ス イ ッ チ に よ り検 出し, デジ タ ル タ コ メ

タに 入れて直 読 し た。  振 動 デ

タは, 各測 定点に おいて 5 点同 時に, 電 磁オ シ ロ グ ラ フに記録し

振幅応 答お よび振 動モ

ドを 求め た。

4

・ 実験装

置お よ び実 験 方 法   実験 装 置の ブP クダ イヤ グラ ム を 図

3

に示 す

 

梁の振 動は , うず電 流 効 果 を 利 用 し た非接 触型変位 計 を用い, 梁との ギャ ッ プ 2mm

,5

測定点で計測し た。 なお, 測定点

1

お よび

5

梁と支 持ばね との 締 結 部 加 振 機 1

ピッ ク ァッ プ

   

4

加 振機 制 御 装 置 2

非 接 触 変 位計     5

電 磁オシログラ フ 3

デジタ ル タコ メ

タ 図 3 実 験装置

5

。 結果

考察

 

5・

1 固 有 振動 数と モ

F

 数 値 計算に は

前 述し た影 響 係 数法 (LC

) お よ び伝 達マ ト リク ス T

 

M .

) を , 解 析に先 立 ち 両 手 法の演算結果を比 較し た。 付加質量の位置は中 央 と し, 固有 振動 数の み を解析し た結 果, 表 1の よ うに両 手 法の 出 力は良好に

致して い るこ とを 確 認し た。  図4は影 響 係 数 を 用い た 反 復 計 算 法に よ り

9

自 由度モ デル で付 加 質 量 (加 振機 質量) を

1

9

に移動さ せ て コ ン ビ =

タ解 析し た結 果であ り, そ れ らの 内 代 表 的 な 傾向を 示 す もの と し て, 付加質量 位 置が中 央

中 間, 端部の 場 合 を 表 示して い る。

 

固有振 動モ

ドは, 端部に おける 振 幅を 基 準値

1

と し

他 点の 振 幅は それ との相 対 的 な 比と して示 し た。 固 有 振 動 数は各 図の左 上に表 示した。 表 1 固 有 振動 数の比 較 (付 加 質 量 位 置: 中 央 ) 自 由  度 3 自    由 度

   

1

      1 5 自 由 度

   

1

       

9 自 由 度 解 析 手 法

1

1。

C.

T ・

M

 

1.

C .

T .

M ,

I

 

Lc ・

T .

M .

1

109.80

109.801

107,

403 107

403

106.

806 106

806

2 152

01

152.

007 159

201

159

201 161

069 161

069

3

223

28

223.

279 251

37

251

369

259.469

259

469 4 785

56

785

561

815.

229

815

229 5 1431

68

1431.

633

1557.

793

1557.

923 6789

t

1

3017.632

4195.326

6323

225 7280

079

3017.

632

4195.

326 6323

225

7280.079

1, C .

: 影 響 係 数 法

T .M .

:伝 達マ ト リ クス法

 

4

 

(5)

Shonan Institute of Technology

NII-Electronic Library Service ShonanInstituteofTechnology

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(6)

相 模工 業 大 学 紀 要 第 22 巻 第 1 号  図の中央の

点 鎖線は

梁の 静 止位置 (

0

レ ベ ル で ある か ら, 各モ

ド線図 とこ の基 準 線 との交 点は, 振動 の 生 じない node を表わす。 な お

,9

次モ

ドに おけ る振 幅比

30

以上 の値につ い て は , 低次モ

ドと同

率で は表示 しきれ なかっ た。  モ

線 図 全体の向は, 中 央に付加 質 量が存在 する 場 合に比較して 端部に移 動 する と各 点の振 幅比 が変動 し

高次モ

ドで よ り顕著に なっ て くる。 し か し な が ら, node 点は若干移動 する程 度で あ り

の ものは, 付加質量の影響を さほ ど受 け ない よ うで あ る。 ま た

奇 数 次モ

ドの中央 部は loop 点であ り

偶 数 次モ

ドに おい て は node になる

 固有 振 動 数につ い て は , 第 1次 固 有 振 動 数が梁 上の付 加 質 量の 移 動に よ り

端 部ほど上 昇 する の に対 し

第 2 次固有 振動 数の 場 合は

まっ た く逆の現象と な る。 そ し て

, 3

次 以 上の高 次 固有 振 動 数の 場合

これ らの よう な

定の 傾 向を持たない。

 

こ こ で 付 加質量 (加振機) の移 動に よ る系の 固有 振 動 数の変化に着目し, 自 由振 動 解 析か ら求め た固有振 動 数 の計 算値と実 際に加振 実 験して求め た強 制 振 動 時験 値を 比 較して 図 5に示 す。 計算は 9 自由度モ デル で行 な い

そのの 1

5 次固有振 動 数の 場 合につ い て図 示し た。 並 記し た実 験 値は

機 械 式 加 振 機 を 使 用 して い る た め

3次 固有振 動 数まで の測 定で ある。

 

ま た, 図中に

点 鎖 線で示 した レベ , 梁上に加振 機が存在し ない場 合 を 想 定して

加 振 機質量

Mv =

O と 考 えて出 した 固 有 振 動 数の である。 し たがっ て , こ の レ ベ ルを 基 準 として, 移 動 する付 加質量 (加振機)の 影響を考 察するこ と がで きる

ま た

当 然で ある が

各 位 置におい ては, 付 加質量 分の増 加 が ある の み であり, 支持 ばね の剛性は

定で ある か ら

計 算 上の 固有 振 動 数 がこ の レベ 以 上 あ りえ な 。   第

1

次固有振 動 数の 場 合

各 位 置 と も 基 準レ ベ ル よ り 全て低い値 と な り, モ

ド的に最も振 動 する梁 中 央部を 加 振する と固 有 振 動 数 が 大 き く低 振 動 数 側へ 移 動 するこ とが わか る。

方, 第 2次 固有 振動数に おい て は

梁 中 央 部が node 点であ り, この点で加振し て も振動を発 生 し ない

図の よ うに こ の node に お い て, 固有 振 動 数 は加 振 機 が 設置さ れ ない 場合の動 数 (基 準 レ ベ ル

2

次 固有 振 動数に お て は

振 幅 が て い く両 端 部ほど低 振 動 数と なる。  node 点に おい て は, その分 布 質量が振 動しないの で   1750

1739

2

E

1650   1550     900

815

2

   800     700 280277

7 072

四 \ 唱 田

260 250 第

5

次 固 宥 振 動 数 123456789 12345

6789     170

R

 161

1 麟    16e

ω 毛

150 123456789 120115

5 110

100

123456789 123456789

      梁 上 の 位 置 図

5

付 加 質 量の影 響 ○実 験 値●計算値

 6 

(7)

Shonan Institute of Technology

NII-Electronic Library Service Shonan  工nstitute  of  Teohnology

弾 性 支 持 梁の 振 動に関 する基 礎 的 研究 (近 藤 泰郎

木 村広幸)

E5 NX

X

OX 国 ロ コ ト H 」 氏 Z 口 〔1)端 部 応 答     中 央 部加 振

一一

中間 部 加

一一

部 加 振 2 !

5 1

    

1

    

I

    

i

l

 

l

l

    [

5 員

1

l

M

 

1

 

  \

5

− .

   \

 

   

1

一r一層

_.

0100 12D      工40      160      工80      20 FREOUE トlCY   e    〔t亀d!8 跏

2 1

    ユ 個 X

X

OX

5 国 自 ⊇ ト H 」 恥 竃 ¢ 0100 (2) 中 間 部 応 答       中

一一一

央部加 振 中 間 部加 振

一一

端 部 加振

l

ll

 

n

ノ ノ

 

120   140             160   ドRヒa  ロNじT   ロ    [r ロdノt コ 図 6 振 幅 応 答曲線 teo 200

 7 

N工 工

Eleotronio  Library  

(8)

相 模工業 大 学 紀 要 第

22

巻 第 正

匿 匳 2 1

NX

X

OX 田 口 「

」 」 Σ 匡 OlOO (3)中 央部応 答      中央 部

一・

加 振

中 間部加 振

_一

端 部 加 順                                 5

1

ノ 丶

12口 且40           且60 FREOUENCT    凶   匸r 皀己 !●, 18e 200 図

6

 っ づ き あるか ら質 量 効 果は皆 無で あ り

支持ばねの剛 性

定 で あるか ら, こ の振 動 数で は固有 振 動 数が変 化しない 。  反 対VC 

3

次 以 上の 場 合で 明ら かなよ うに, 最 も振 動 す るモ

ド の 100P 点におい て は, その質 量の影響 が大と な り

そのに おける固 有 振 動 数 も大 ぎ く低下し て くる こ とが わか る。  ま た

図中に並記 し て 示 し た 1

3 次の実 験 値 も

ま っ た く同 様の 傾向で あ り

数値計算結果と良 く

し た。  図

4

の モ

ド線 図から

各モ

ドは, その次数naこ対 して node 点は n

1 個

工oop は n

2 個 発 生て い るこ とがわ か り, こ の点に つ いても 図

5

の各線 図は

致 し てい る

4

次および第

5

次の場合,

見 点 n〔}

de

を 示 す 基 準レ ベ ル と

致 する

point

が少 ない ように見受 け ら れるが, モ

ド線図 中の node 点の い くつ かは

1〜

9

まで の規 定 位 置 以外に在 し てお り, 例 えば

第 4 次 固有 振 動 数の node 点 は図中に破線で示し た よ うに位置 すると考え ら れ る

 

以上の ように node の固有振 動 変 化は

0

と考え ら れ るか ら, Ioop 点での 変化 率さ え求め れぽ, 定性 的に 強 制 振 動 時の挙 動 を 予 測で きるこ とに なる。 こ の変 化 率 は

ドの各 node を支点として振 動を仮定 し,

Dunkerley

の式な どに より, 解 析す れ ば 求 ま る と 考え ら れ る。  非 減 衰 自 由 振 動解の固有モ

ド線図は, 本研 究で用い た影 響係数法の よ うに

コ ソ ピ

ュー

タに よ る数値計 算だ けで求 まる か ら, これに よ り動的挙動を簡易 的に予 測で きるこ とは十 分 意 味のあるこ と と考え る

  5

2 振 幅 応 答 お よ び実振 幅モ

 

固有 振 動モ

ドは, 各 固 有 振 動 数に対 応 する系の振動 パ

準 点対 す析 点で の相 対 比 率 を表わ し た もの で る。 し た が っ て, 図4中の基 準 点 (端部) の振 幅は, 各モ

ドと も

1

で あり

強 制振 動時 に おい ての実振 動が どの程 度なの か判定できない。 こ の ような 場 合の解 析に は伝達V ト リクス 法 がで あ る。

 

6

1

3

)は , 伝 達マ F リ クス法を用い て, 100

200radfs に在 する

1

次お よ び 2 次の振 幅応 答 曲線 を, 応 答 位置別に示 し てい る。 各 図中の実 線は中 央 部

 

8

 

(9)

Shonan Institute of Technology

NII-Electronic Library Service Shonan  工nstitute  of  Teohnology

弾 性 支持梁の 振 動 にする基 礎 的研 究 (近 藤 泰 郎 ・幸 ) 2

0

0

1

曾 日

翠 (1)応 答 位 置 く端 部〉 0  8002

0 宕 邑 野 1

0 」

ooO82

0 01

ε ε 罐 1000

1200

1400

         

1600

   

2400

中央

中 間加 振 o

−一

部 加 振 2600 (rpm ) 」

ooO8

1000

1200

1400

1600

   

2400

2600 (rpm ) 1000 IP ,

9

1200         1400 図 7 振 幅 応 答 (実 験 値)      

9

1600   2400 2600 (rpm ) N工 工

Eleotronio  Library  

(10)

相 模工 業 大 学 紀 要 第

22

巻 第

1

2

点 鎖線は中 間 部, 1 点鎖線は端部を加振し た場 合の応 答を 示 し てい る。 加 振 力

DATA

は, 実 験に使用し た機 械 式加振 機に て Pt

ドセル を用いた予備 実験を行ない

加振 振 動数に 対する 加 振 力の 較 正 線 図 を 作成し,

F

= 0

89×

10 

3X ω2N の 値を得た。  

1

次 共振 点に関し て は

各応 答 と も 中 央 部 加 振の場 合 に 振 幅が最 大に な り

端 部へ 加 振 機移 動 するに併 ない 低 下 して くる。 共振 振 動 数は

中央 部加 振で最低値 を と る。 ま た,

2

次 共振点に関し て は, 加振機が端 部に移動 するこ と に よ り振 幅が増 大し

共 振 振 動 数 も低 振 動 数側 に な る。 した がっ て, 両共振とも, そ の挙動は

4

に 示 し た固 有 振 動モ

ド の傾 向と

致 する。  し か し な が ら, 2 次共振点で 顕 著 なよ うに

4

の モ

線 図で は

中 央 部に付 加質量があっ ても, ピ ッ チ ン グ振 動が発生 して い る が

実 振 幅 応 答を解析 する と

中 央 部は node である か ら

こ の答は存在 しない こ と が わか る。 また, 加振機を端 部へ 移動させ る こ とに よ り, 両端部での 振 動は,

1

次 共振に 比較し て 十分 大 き く, 危 険な値と な るこ と が わか る。  以上 の こ とは, 経 験 的に も 当然 な振動 現 象で ある が

7

に示 すように実 験に よ り確認し た。 実 験は機 械 式 加 振 機を 用い て行 ない, 結 果は各 応 答 位 置別に示 し た

横 軸は加振機の不平衡 重 錘付円板に よ る加 振 振 動 数 (rpm であ り

実 験は

1〜3

次 共振の範囲で行なっ た。  図

6

の計 算結 果 と比 較 す る と, 実 験 値の方が相 対 的に やや高く, 減 衰 系モ デル ヘ モ デル化し た際に等 価し た粘 性 減 衰のが 低 くかっ た よ うで ある が, 両 者の傾 向は定 性的に

致 してい る

 前 述し た ように , 固有モ

ドか ら強 制振 動 時に質量 を 有する加 振 点が弾 性 支 持 梁上 を移 動 する場合の影響, 特 に 固 有 振 動 数の 変 化につ い て は

ある程 度 予測で きるこ とが わかっ た。  こ こ で 基 準 点 との比 率で はな く

実験 よ り求めた実 振 幅 値 を 用い て, 強 制 振 動に対するモ

ド線図を描 くと図

8

の ようになる

  こ の表示に よ り

強 制 振 動 時に おける系の 実 際の振 動 形 態を把握 するこ とがで ぎ,100p 点 を 加 振し た場 合の影 響 度 な ど が 明 確になる。   した がっ て , 系の 自由振 動部分を解 析し て得ら れ る固 有モ

ド線 図と強 制 振 動 時の実 振 動 振 幅を重ね合せ た実 振 幅モ

ドを利用すれば, よ り実 際 的な 振 動特 性を 表現 で きるこ とに なる。 2

κ

−     0  

 

1        

 

∈ ε 彗

2 21  

 

0

E δ 聾 鞳

1

2 21   0

日 日

理 犖

_

1

2 21     0

E 霞

va

 

_

1

2 21   0

E ε

鑒 鞘

1

2 1 3 5 SSrr

一、r

       

嘲一

● 7 9 1

 

3 5 7 9 1

   

7

     

3 5 7 9 1

   

7

一      

Y

      ℃ 3 5 7 9

1 3       5       7     梁 上 の 位 置       図

8

実 振 幅モ

1次 固 有 振 動 数

一・

3振 動

  2 次 固動 数 9

一 10 一

(11)

Shonan Institute of Technology

NII-Electronic Library Service Shonan  工nstitute  of  Teohnology

弾 性 支 持 梁の振 動 に関 す る基 礎 的 研 究 (近藤 泰 郎

木 村 広 幸 )   本研 究の対象 と し た質量を有する加振 点が弾 性支 持 梁 上を移 動 する場 合の 固有 振 動 数お よ び共 振 振 幅の 変 化 な どの

動的挙

動も, こ の

振 幅モ

ド線 図に よ り十分 予測 で きる。      

6.

ま   と   め  弾性 支持した両 端 支 持 梁上 を質 量を有 する加 振 点が移 動 する場 合の制 振 動 時の振 動 特 性 を, 非 減 衰 自 由 振 動 の解 析 より得ら れ る固有振動 モ

ド に着 目 して検 討し た。  その結果

加 振 点 移 動に よ る固 有 振 動 数の変 化は

固 有振 動モ

ドか ら得られる node 支 点し た低 次の 振動を仮 定 する こ とに よ り推 察で きる。 さ らに実 振 幅モ

図 をれ ば

共振 振変 化な ど

層 動 的 挙動 を予 測 で きる こ と が わか っ た 。  な お, 今後, 梁の分 布 質量に対 する付 加 質量の比 率な ども詳 細に解 析 し

よ り定 量 的な検 討 を 課 題 としたい。 )   )   )   )

1

2 3 4

      文      献 谷口 修

振 動工学ハ ン ド ブッ ク, (昭 51)

161

養 賢堂

S

TIMosHEN.

 Ko

 

Vibration

  Problems   in

Engineering

1968

,358,

 

D ,

 

Van

 

Nostrand .

入 江 敏 博, 機 械 振動 学 通 論, (昭 60 )

90, 朝 倉書

E

C .

 

PEsTEL,

 F

 

A .

 

LEcKIE ,

 

Matrix

 

Methods

in 

Elastomechanics

,(1963)

52

 McGraw

Hil1

11

参照

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