鉛直 壁 か らの強 非線 形 波 の反 射 につ いて
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(2) 12. 海. 定 でh=25cmと. し た.実. 岸. 工. 学. 験 に 用 い た 振 幅,周. 集. 第55巻(2008). 中 のW‑1,. そ れ ぞ れ 入 射 波,重 複 波 の測 定 値 を 示 し,Lは. 複 波 波 長 を 示 す.2成. 文. 期 の異 な. る6種 類 の 規 則 波 の 測 定 結 果 を 表‑1に 示 す.表 W‑3は. 論. 重. 分 合 成 波 につ い て は,周 期T1,T2. が異 な り,振 幅α1,α2が 等 しい正 弦 波 を重 ね 合 わ せ た も の を 用 い,表‑2に. 示 す よ うに 波 群 周 期 の異 な る2種 類 の. 合 成 波 を用 い た.規 則 波,2成. 分 合 成 波 と も に,波 高 は. Gainの 値 で 調 整 す る た め,造. 波 の 時点 で決定 す る こと. が で きず,Gainを. 設 定 し造 波 した 波 よ り入 射 波 高 を 決. 定 す る とい う方 法 を と った. 表‑2. 3.. 図‑2. 周 期T=0.75s,Gain=0.55の. 時 間 波 形(case2). 図‑3. 周 期T=0.75s,Gain=0.75の. 時 間 波 形(case3). 図‑4. 周 期T=1.05s,Gain=1.0の. 二成 分合 成波 の実 験条 件. 実験結果. (1) 規 則 波 入 射 波 の 波 形 勾 配 が 比 較 的 大 き なka=0.24の 波 形 勾 配 が さ らに 大 き なka=0.31の 形 勾 配 がka=0.23の. ケ ー ス6のW‑1とW‑3に. 波 形 を そ れ ぞ れ 図‑2〜 図‑4に 示 す.こ 勾 配kaが0.23よ. ケ ー ス2,. ケ ー ス3,お. よ び波. お け る時 間. れ ら入 射 波 の波 形. り も大 きい ケ ー ス で は,W‑1の. 入射波列. 時 間 波 形(case6). は反 射 波 の 影 響 を受 け る ま で一 様 で あ る の に か か わ らず, 鉛 直 壁 前 面 で は3波 に1波 程 度,波. 高 が 大 き くな り,ケ ー. ス3で は時 間 と と も に増 幅 して 砕 波 す る.入 射 波 の 波 形 勾 配 が 比 較 的 小 さいka=0.13の ス1,お. よ びka=0.18の. 形 に 対 し重 複 波 動 場W‑3の な わ ち,お. ケ ー ス4,ka=0.17の. ケ ー ス5で は,入. よ そka=0.2以. ケー. 射 波W‑1の. 波. 波 形 も ほ ぼ 一 様 に な る.す 下 の 波 形 勾 配 で は振 幅 変 調 が. 図‑5. 周 期T=0.75s,Gain=0.55に W‑1,W‑3の. 現 れ な い こ とが わ か る.ま た,波 形 勾 配 の 小 さ な ケ ー ス. お け る. 位 相 差(case2). で は重 複 波 動 場 で の 波 高 は 入 射 波 高 の2倍 弱 に な る の に 対 し,有 意 な 振 幅 変 調 が 生 じ る ケ ー ス2,3,6で. は平 均. 峰 高 で2倍 を上 回 る. 全 ケ ー ス に お い て,重 複 波 動 場 で は周 期Tは わ ず か な が ら増 加 し,表‑3に. 示 す よ う に波 長Lは 微 小 振 幅 波 理 論. お よ び有 限 振 幅 波 理 論(ス. トー ク ス第3次 解)の. 理 論値. 図‑6. 周 期T=1.05s,Gain=0.8に W‑2,W‑3の. お け る. 位 相 差(case5). よ り短 くな る.た だ し,図‑5に 示 す波 形 勾 配 が 大 きい ケ ー ス2で は,図‑6の 2とW‑3の. 波 形 勾 配 の小 さ い ケ ー ス5の よ う にW‑. 位 相 を 厳 密 に合 わ す こ と が で き ず,3周. 期の. 平 均 的 な 位 相 か らLを 求 め て い る.入 射 波 と比 べ 重 複 波 の 周 期Tは1〜3%で. はあ る が 増 加 した .増 加 率 は波 形 勾.
(3) 13. 鉛 直壁 か らの強非 線形 波 の反射 につ いて. 表‑3. 振 幅)が. 波長Lの 実 験値 と各 理論 値 との比較. 比 較 的 小 さ い ケ ー ス7,お. よび波群周 期が比較. 的 短 い ケ ー ス10〜12で は,重 複 波 動 場 に お い て も波 群 の 上 下 非 対 称 性 の み が 若 干 強 ま り,前 後 非 対 称 性 や 時 間 発 w‑1. 表‑4. 波速cの実 験値 と各 理論 値 との比較 w‑2. 図‑7. 周期T1=0.75s,T2=0.825s,Gain=0.65の2成. 分合 成波. の角周 波数(case9) 表‑5. 重 複波 の周 期を用 いた各理 論値 との比較 展 に伴 う有 意 な 振 幅 変 調 は 現 れ て い な い(図‑8).こ. れ. らの ケ ー ス で は,重 複 波 の 最 大 波 高 お よ び最 大 峰 高 は入 射 波 の も の と比 べ て2倍 程 度 に な って い る.波 群 周 期 が 長 く,入 射 波 の 波 形 勾 配kaが 比 較 的 大 き い ケ ー ス8お よ び9で は,重 複 波 動 場 の 波 群 に も上 下 非 対 称 性 に加 え て 前 後 非 対 称 性 が 強 く現 れ,前 傾 に伴 って 最 大 波 高 も入 射 配 に 依 存 して い な い も の の,こ の 周 期 変 化 は 岩 垣 ・木 村. 波 高 に比 べ て2.7〜3.6倍 大 き くな って い る.波 形 勾 配 が. (1971)が. 最 も大 き くka=0.14の. 指 摘 した 見 か け上 の 波 速 の 減 少 と一 致 す る.. 重 複 波 の波 長Lに て4〜9%,有 果,表‑4に. つ い て は,微. ケ ー ス9で は,図‑9に. 示 す よ う に,. 小振 幅波 理論 値 に対 し. 限 振 幅 波 理 論 で は9〜13%も. 短 い.そ. の結. 示 す よ う に,重 複 波 の 位 相 速 度cは 入 射 波 周. 期 を 用 いて も微 小 振 幅 波 理 論 値 お よ び有 限 振 幅 波 理 論 値 (ス トー ク ス第3次 解)よ 度 遅 く な る.微. り,そ れ ぞ れ2〜8%,5〜9%程. 小 振 幅 波 お よ び 有 限 振 幅 波 理 論 にW‑3. で 測 定 され た重 複 波 周 期 を 用 いて 位 相 速 度cを 求 め る と, 表‑5に 示 す よ うに,実 験 値 との 差 は さ らに 大 き くな った. この 位 相 速 度 の 減 少 は,同 己 干 渉 項,す. じ方 向 に進 行 す る成 分 波 の 自. な わ ち有 限 振 幅 性 の 効 果 は重 複 波 で は互 い. に 打 ち消 しあ い,入 射 波 と反 射 波 成 分 の相 互 干 渉 が取 り. 図‑8. 周 期T1=0.75s,T2=0.9s,Gain=0,52の2成. 分 合 成 波 の. 時 間 波 形(case11). 出 さ れ た 結 果 と考 え,Longuet‑Higgins・Phillips に よ る 深 海 波 の4波 相 互 作 用(4波. (1962). の うち2波 ず っ の波 数. が 等 し い2対 の 波 の 相 互 作 用 の 問 題 に簡 略 化)の. 理論 式. を 有 限 水 深 下 に お け る 理 論 へ 拡 張 したKiokaら(2007) の3次 干 渉 の理 論 式 を 用 い波 速 の変 化 を算 定 した.表‑4 に示 す よ う に,波 形 勾 配 が 非 常 に 大 き い ケ ー ス3を 除 い て,実 験 結 果 と よ く一 致 して い る. (2) 2成 分 合 成 波 表‑2 に示 す 緒 元 で波 群 の 反 射 特 性 を 調 べ た.ヒ ル ベ ル ト包 絡 波 の 位 相 角 の 時 間 変 化 か ら波 群 個 々 波 の角 周 波 数 を 算 定 した と こ ろ,重 複 波 動 場 で は 波 群 の 最 大 波 付 近 で 図‑9. 入 射 波 の角 周 波 数 よ りわず か なが ら減 少 す る こ とが わ か っ た(図‑7).入. 射 波 の 波 形 勾 配ka(a:入. 射波 群 の最大. 周 期T=0.75s,T2=0.825s,Gain=0.65の2成 の 時 間 波 形(case9). 分 合 成 波.
(4) 14. 海. 岸. 工. 学. 論. 文. 集. 第55巻(2008). 入 射 波 群 と反 射 波 の相 互 干 渉 に よ り鉛 直 壁 面 前 面 で の 最. ωj‑ωk),(ωj‑ωk),お. 大 峰 高 は入 射 波 群 の4.7倍 に 達 して い る.な. 分 は,3次. W‑3の. 時 間 波 形 の う ちt=35s以. 射 の 影 響 を受 けて い る.ケ. お,図‑9の. 降 は造 波 水 槽 の 多 重 反. ー ス8お よ び9の 波 群 変 形 は,. 弱 非 線 形 の 波 群 の反 射 を扱 っ た喜 岡 ら(1996),筧 水 口(1997)の. よ び(ωj+ωk)の. 各拘束 波成. オ ー ダ ー の 拘 束 波 成 分 に 比 べ る と無 視 で き な. い 振 幅 値 を もっ.こ. こで は,2次. の 拘 束 波 を含 め た次 式. に よ り水 位 変 動 を 計 算 す る.. 田 ・. 理 論 で は説 明 で き な い.. 4. Zakharov方. (6). 程式 モデル こ こで,3次. 解 析 に は4波 相 互 干 渉 に 基 づ くZakharov方. 程 式を用 い. た。有 限水 深 下 で の 波 列 の ゆ っ く り と し た時 間 変 動 を記 述 す る3次 オ ー ダー のZakharov積 られ る(Stiassnie・Shemer,. Bnの. の 自 由波 お よ び2次 の拘 束 波 に対 す るkn,Xn,. 各 表 示 式 はStiassnie・Shemer. (1987)のAppendix. に与 え られ て い る.. 分 方 程 式 は次 式 で 与 え 5. 計 算 結 果. 1984).. (1) 規 則 波 (1). 入 射 波 の非 線 形 性 を3次 の オ ー ダ ー ま で 考 慮 した4波 相 互 干 渉 モ デ ル(5)を 用 い,入 射 波 の 周 期 か ら決 ま る波 数k, お よ び入 射 波 の振 幅Bを 与 え,規 則 波 の 実 験 結 果 の再 現. こ こで,*は. 複 素 共 役 を示 し,δは デ ィ ラ ック の デ ル タ 関. 数 で あ る.式(1)中. の核 関 数Tは,次. 式 の よ うに 表 さ れ る. (2). な お,上. 式 の 関 数T(2)の. 計 算 に は,関. さ れ て い るMase・Iwagaki 式(1)の 複 素 振 幅Bは. (1986)の. を試 み た.反 射 率R=1と. し,複 素 振 幅Bは 反 射 に伴 い反. 射 境 界 で 変 化 しな い もの と した.図‑10に. 顕著 な振幅変. 調 が 現 れ た ケ ー ス3の 計 算 結 果 を示 す.3次. の弱非線形理. 論 で あ るの にか か わ らず,計 算 結 果 は非 砕 波 時 の 実 験 結 数 形 が 正 し く表 示. 果 を よ く再 現 す る も の に な っ て い る.こ. 収録式 を用 いた.. 波 毎 の振 幅 増 大 を捉 え て お り,こ の結 果 か ら角 周 波 数 ω. 水 位 変 動 η(x,t)と 次 の 関 係 に あ る.. の ケ ー ス で は3. で 波 数 が3kの 自 由 波 成 分 が 相 互 干 渉 に よ り励 起 さ れ た こ と が わ か る.計 算 に は基 本 波kと そ の 倍 成 分(整. (3). 数倍. の 波 数)の 計12成 分 を用 い て お り,い わ ゆ る側 帯 波 に よ る振 幅 変 調 の不 安 定 化 は考 慮 して い な い .ケ ー ス3に お. 4波 相 互 作 用 に よ る振 幅 変 化 を計 算 す る式(1)は,離. 散化. して 次 式 で 与 え られ る.. け る砕 波 限 界 付 近 の 波 変 形 を 再 現 す る に は,少 な く と も 4次 オ ー ダ ー以 上 の非 線 干 渉 理 論 を 用 い な け れ ば な らな い.. (4). N個. の 波 成 分 の4波 相 互 作 用 に お い て は 一 般 に,T(kj. kp,kq)=T(kj,kn,kq,kp)が 条 件 で は 最 初 の2つ つ こ と か ら,式(4)は. 成 り立 ち,さ のkj,knに. ,kn,. らに厳 密 な 共 鳴. 対 して も対 称 性 が 成 り立. 次 の よ うに 表 す こ とが で き る.. (5). 図‑10. 周期T=0.75s,a=4.21cmの. 反 射境 界 での水位 変 動. (case3) (2) 2成 分 合 成 波 規 則 波 計 算 と同 様 に反 射 率R=1と 上 式 をRunge‑Kutta法. を 用 い た 数 値 計 算 に よ り解 く こ と. に よ り,弱 非 線 形 の波 列 の 時 間 発 展,す. な わ ち 自由 波 成. 分 の 複 素 振 幅 の 時 間 変 化 を 求 め る こ とが で き る. 式(5)で求 ま る 自由 波 成 分 に加 え て,2次. オ ー ダ ー の(‑. の 波 数k1,k2と. して,2成. 分入 射波. そ の 差 の成 分 の 整 数 倍 の 計24成 分 を 用 い. 行 っ た ケ ー ス11の 計 算 結 果 を 図‑11に 示 す.波. 群 の前 後. 非 対 称 性 は,実 験 に比 べ て長 時 間 に わ た る計 算 波 形 に お い て も現 れ ず,図‑8の. 実 験 結 果 を よ く再 現 して い る.図.
(5) 15. 鉛直 壁か らの強非線 形波 の反 射 につ いて. す よ うな 波 群 の前 傾 化 と波 群 中 の エ ネ ル ギ ー焦 点 化 の現 象 は相 対 水 深 肋 に も大 き く依 存 す る.水 深 をh=12(cm) と し,相 対 水 深 肋=1.0で. 図‑12と 同様 な 計 算 条 件 を 用 い. て 求 め た波 群 変 形 を 図‑13に 示 す.波. 群 の前 傾 化 や 波 群. 中 の 波 高 極 大 化 は 生 じず,波 群 中 の 最 大 波 付 近 に個 々波 の波 高 が 揃 うよ うに な り,振 幅 変 調 が 抑 え られ る波 群 変 形 に な って い る. 6.. おわ りに. 相 対 水 深 肋=1.9〜1.1の 図‑11. 周 期T1=0.75s,T2=0.9s,a=1.48cmの. 反 射 境 界 で の. 水 位 変 動(case11). 波 動 場 で,波 形 勾 配 の 大 き い. 強 非 線 形 の 規 則 波 お よ び2成 分 合 成 波 に よ る波 群 が 鉛 直 壁 で 反 射 す る と き,鉛 直 壁 前 面 に形 成 さ れ る重 複 波 の 特 性 を 実 験 お よ び 数 値 計 算 の両 面 か ら調 べ た.そ. の結 果,. 規 則 波 につ い て は,入 射 波 と反 射 波 の非 線 形 干 渉 に よ り 重 複 波 動 場 で は波 長 は短 くな り,周 期 は わ ず か な が ら増 大 し,位 相 速 度 は減 少 す る こ とが 明 らか とな っ た.入 射 波 の 波 形 勾 配kaが. お よそ0.2以 上 に な る と,鉛 直 壁 前 面. で は3波 毎 に振 幅 が 増 大 し,こ の 振 幅 変 調 に よ り有 限 振 幅 重 複 波 理 論 か ら予 測 され る波 高 よ り大 きな 波 が 出 現 す る こ と が わ か っ た.波 群 に つ いて は,波 群 周 期 が比 較 的 長 く,波 形 勾 配 が 大 き い波 群 が 入 射 す る と き,波 群 の 前 傾 化 に伴 って 波 群 中 の最 大 波 高 の極 大 化 が 生 じ,実 験 に 図‑12. 周 期T1=0.75s,T2=0.825s,a=1.81cmの. 反 射 境 界 で. お い て は入 射 波 高 の3〜4倍 に達 す る こ とが わ か った.. の 水 位 変 動(case9). 参 岩 垣 雄 一 ・木 村 喜岡. 晃. 考. (1971):. 文. 献. 反 射 実 験 に お け る波 の 相 互 干 渉,. 第18回 海 岸 工 学 講 演 会 論 文 集, pp.105‑109. 渉 ・山根 聡 ・青 木 伸 一 (1996): 波 群 と そ れ に伴 う長. 周 期 波 の 反 射, 海 岸 工 学 論 文 集, 第43巻, pp.166‑170. 筧 田博 章 ・水 口 優 (1997): 波 群 の 反 射 と長 周 期 波, 海 岸 工 横山. 図‑13. h=12cmと した ときの周 期T1=0.75s,T2=0.825s,a =1 .81cmの 反射 境界 での水 位変 動. ‑12に 強 い前 後 非 対 称 性 が現 れ た ケ ー ス9の 計 算 結 果 を 示 す.時. 間 と と も に波 群 の前 傾 度 が 増 して い き,そ れ に 伴. い最 大 波 高 も増 加 して い る.実 験 波 形 の 方 が 最 大 波 高 は 大 き く,計 算 波 形 で は ピー ク値 を再 現 す る こ と は で き な い.数 値 計 算 に は,規 則 波 の ケ ー ス3と 同 様 に,4次. 以上. の 非 線 干 渉 理 論 を用 い る必 要 が あ る. 浅 海 に お い て も,角 周 波 数 ω,波. 数3kの 自 由 波 成 分. が 非 線 形干 渉 に よ り励 起 す る こ とに よ って 生 じ る3波 にI 波 の 振 幅 増 大 は起 こ り得 る.し か しな が ら,図‑12に. 示. 学 論 文 集, 第44巻, pp.201‑205. 健 ・水 口 優 (1993): 鉛 直 壁 に お け る越 波 量 と反 射 率 に つ い て, 海 岸 工 学 論 文 集, 第40巻, pp.676‑680.. Hogan, S. J., I. Gruman and M. Stiassnie (1988): On the changes in phase speed of one train of water waves in the presence of another, J. Fluid Mech., Vol.192, pp.97-114. Kioka, W., H. Takimoto and T. Kitano (2007): Phase velocity changes due to the tertiary wave interaction in finite waterdepth. Proc. 17th Int. Offshore and Polar Engineering Conf., pp.2282-2287. Longuet-Higgins,M.S., and O.M. Phillips (1962): Phase velocity effectsin tertiarywave interactions,J. Fluid Mech., Vol 12,pp. 333-336. Mase, H. and Y. Iwagaki (1986): Wave group analysis of nature wind waves based on modulationalinstabilitytheory, Coastal Engineering, Vol.10, pp.341-354. Stiassnie, M. and L. Shemer (1984): On modifications of the Zakharov equation for surface waves, J. Fluid Mech., Vol.14 3, pp.47-67. Stiassnie,M., and L. Shemer (1987): Energy computationsfor evo-. lution of class I and II instabilities of Stokes waves, J. Fluid Mech., Vol 174, pp 299-312..
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