Algunas Notas sobre el M´ odulo de Convexidad
Some Notes about the Convexity Module Diomedes B´ arcenas
([email protected])L. S´ anchez
([email protected])Departamento de Matem´aticas. Facultad de Ciencias.
Universidad de los Andes. M´erida. Venezuela.
Resumen
En este trabajo se hace una revisi´on del concepto de m´odulo de convexidadδde un espacio de BanachEintroducido por Day [4]. Se prueba que: (i) E es uniformemente convexo si y s´olo si E es estrictamente convexo y δ es continua en 2; (ii) si E tiene dimensi´on finita entonces E es uniformemente no-cuadrado si y s´olo si δ(2)>0; (iii)E es super-reflexivo si y s´olo si admite una norma equivalente con la cual δ es continua y no id´enticamente nula.
Palabras y frases clave: m´odulo de convexidad, espacio de Ba- nach, convexidad uniforme, convexidad estricta, super-reflexividad, espacio no-cuadrado.
Abstract
In this paper we review the concept of convexity modulusδ of a Banach spaceEintroduced by Day [4]. It is proved that: (i) E is uniformly convex if and only ifE is strictly convex andδ is continuous at 2; (ii) ifEhas finite dimension thenEis uniformly non-square if and only ifδ(2)>0; (iii)Eis super-reflexive if and only if it admits an equivalent norm for which δ is continuous and not identically null.
Key words and phrases: convexity modulus, Banach space, uniform convexity, strict convexity, super-reflexivity, non-square space.
1 Introducci´ on
Ante el problema de hallar una clase concreta de espacios de Banach para los cuales toda funci´on absolutamente continuaf con dominio [0,1] fuese deriva- ble casi siempre Clarkson [2], en 1936, introdujo los espacios uniformemente convexos y demostr´o exitosamente que tales espacios eran parte de la cla- se buscada (hoy sabemos que la clase de espacios donde el problema tiene una soluci´on afirmativa coincide con los espacios que tienen la propiedad de Radon-Nykodim [13]).
Clarkson introdujo tambi´en los espacios estrictamente convexos, una cla- se de espacios un poco m´as amplia que la de los uniformemente convexos, y demostr´o que en esos espacios no siempre el problema tiene una soluci´on posi- tiva, es decir, Clarkson demostr´o que existen espacios estrictamente convexos, digamos E, y funciones continuasf : [0,1]→ E, con f no diferenciable casi siempre. Para ello demostr´o que C[0,1] es uniformemente convexo y luego invoc´o un resultado de Banach [1] que afirma que todo espacio separable es isomorfo a un subespacio de C[0,1], para concluir que todo espacio de Ba- nach separable admite una norma equivalente bajo la cual es estrictamente convexo.
Este resultado tambi´en puede ser demostrado usando, en lugar del men- cionado teorema de Banach, el teorema de Bourbaki-Alaoglu, una herramienta no disponible para la ´epoca en que fue concebido este resultado de Clarkson.
Para ello, imitando las ideas de la demostraci´on original, se demuestra que si K es un espacio m´etrico compacto entonces (C(K),k · k)∞ es estrictamente convexo y luego observamos que siE es un espacio de Banach separable yK denota la bola unitaria deE∗con la topolog´ıa d´ebil∗, entoncesKes compacto y metrizable yE es isomorfo a un subespacio cerrado de C(K).
Las ideas de Clarkson dieron origen a una l´ınea de investigaci´on en la Geometr´ıa de espacios de Banach, que a´un 60 a˜nos despu´es de la publicaci´on del art´ıculo original sigue siendo prol´ıfera. Una pieza clave para esta prolife- raci´on ha sido sin duda el concepto de m´odulo de convexidad introducido por Day [4] y del cual nos ocuparemos en la pr´oxima secci´on.
En este trabajoSEdenota la esfera unitaria,BE la bola unitaria cerrada yE∗ el dual de un espacio de BanachE.
2 M´ odulo de convexidad.
El m´odulo de convexidad constituye la raz´on de ser de estas notas; se introdujo con el objeto de hacer m´as manejables las definiciones de uniforme y estricta
convexidad. Espec´ıficamente:
Definici´on 2.1. Diremos que un espacio de BanachEesuniformemente con- vexo si para cada >0existe δ >0 tal que
x, y∈BE, kx−yk≥ ⇒ kx+yk≤2(1−δ)
Definici´on 2.2. Un espacio normadoEse dice que esestrictamente convexo si verifica cualquiera de las dos condiciones equivalentes:
i) si x, y∈E y kx+y k=kxk+ky k con y6= 0, entonces existe t≥0 tal quex=ty.
ii) six, y ∈SE y x6=y, entonces kx+yk<2.
En cuanto al m´odulo de convexidad tenemos:
Definici´on 2.3. La funci´onδ: [0,2]→[0,1]definida mediante
δ() = inf
1−kx+yk
2 : x, y∈SE, kx−yk=
se llamam´odulo de convexidaddel espacio normado Ey con ello se tiene que E es estrictamente convexo si y s´olo siδ(2) = 1.
Las siguientes propiedades del m´odulo de convexidad fueron observadas por Day [4], encontr´andose en [3] otra demostraci´on de estos hechos:
δ() =δ2() =δ3() =δ4() =δ5() =δ6();
donde
δ2() = inf
1−kx+yk
2 : x, y ∈SE, kx−yk≥
δ3() = inf
1−kx+yk
2 : x∈SE, y∈BE, kx−yk=
δ4() = inf
1−kx+yk
2 : x∈SE, y∈BE, kx−yk≥
δ5() = inf
1−kx+yk
2 : x, y ∈BE, kx−yk=
δ6() = inf
1−kx+yk
2 : x, y ∈BE, kx−yk≥
.
Otra demostraci´on se expone de inmediato:
Del lema VIII.4 de [5], se tiene que δ = δ3 =δ5; mientras que la igualdad δ = δ5 junto con la monoton´ıa creciente de δ implican que δ5 = δ6. Para concluir la demostraci´on observamos queδ≥δ2≥δ4≥δ6.
La continuidad del m´odulo de convexidad en [0,2) no fue demostrada sino hasta 1977, cuando Gurarii [9] estableci´o la desigualdad
δ(2)−δ(1)≤ 2√ 5 + 1
2
2−1
2−1
siempre que 0≤1< 2≤2.
Otro intento de demostraci´on fue hecho por Goebel [8], quien prob´o que el m´odulo de convexidad se puede expresar como un ´ınfimo de funciones con- vexas. Espec´ıficamente procedi´o como sigue: parau, v∈BE defini´o:
δ(u, v, ) = inf
1−kx+yk
2 : (x, y)∈N(u, v), kx−yk≥
y demostr´o que cada funci´onδ(u, v,·) es convexa y que el m´odulo de convexi- dadδ satisface la ecuaci´on:
δ() = inf{δ(u, v, ) : u, v∈BE}
para de aqu´ı concluir la continuidad de δ basada en el supuesto de que el
´ınfimo de una colecci´on de funciones convexas es una funci´on convexa.
Estas ideas allanaron el camino para que Ull´an [12] diera una demostra- ci´on de la continuidad de δ en [0,2) plena de elegancia y sencillez mejoran- do sustancialmente la acotaci´on obtenida por Gurarii al demostrar que para 0≤1< 2≤2:
δ(2)−δ(1)≤
2−1 2−1
En el mismo trabajo que estamos comentando Goebel introduce el concep- to decaracter´ıstica de convexidadde un espacio de BanachEcomo el n´umero real
0= sup{:δ() = 0}.
Con esta definici´on se tiene que un espacio es uniformemente convexo si y s´olo si0= 0, y adem´as facilita la siguiente definici´on:
Definici´on 2.4. Un espacio de Banach es uniformemente no-cuadradosi y s´olo si0<2.
La definici´on de uniforme no-cuadratura es expresada en estos t´erminos por pura conveniencia, ya que el concepto ha sido objeto de estudio detallado entre otros por James [10] y Enflo [6], produci´endose el siguiente teorema cuyo enunciado adaptamos a nuestra conveniencia, al igual que lo hacemos con la siguiente definici´on:
Definici´on 2.5. Un espacio de Banach essuper-reflexivosi y s´olo si admite una norma equivalente con la cual es uniformemente no-cuadrado.
Teorema 2.6 (James-Enflo). Un espacio de Banach es super-reflexivo si y s´olo si admite una norma equivalente uniformemente convexa.
El teorema de James-Enflo permite refinar un poco la conclusi´on de Ull´an:
Teorema 2.7. Todo espacio de Banach admite una norma equivalente bajo la cual para 0≤1< 2≤2:
δ(2)−δ(1)≤δ(2)
2−1
2−1
,
siendo δ(2) la mejor constante posible.
Demostraci´on: Sea E nuestro espacio de Banach. Si E es estrictamente convexo, entoncesδ(2) = 1 y la conclusi´on degenera en el resultado de Ull´an.
Si E admite una norma equivalente uniformemente no-cuadrada, entonces E admite una norma bajo la cual es uniformemente convexo y por lo tanto estrictamente convexo.
Si E no admite norma equivalente con la cual sea uniformemente no- cuadrado, entonces para cualquier norma equivalente a la norma original de E se tiene que0= 2 y por lo tanto si 0≤1< 2<2,
δ(2)−δ(1) = 0≤δ(2)
2−1
2−1
.
Queδ(2) es la mejor constante posible se sigue del hecho de que independien- temente del espacio de Banach en consideraci´on,
δ(2)−δ(0) =δ(2) 2−0
2−0
.
Las ideas de Goebel nos permiten tambi´en una demostraci´on simplificada de un teorema de Figiel [7]. Otra simplificaci´on puede verse en Lindenstrauss- Tzafriri [11]. La importancia de este resultado se pone de relieve en [12] y lo que resta de este trabajo.
Teorema 2.8 (Figiel). δ()/es mon´otona creciente para0< ≤2.
Demostraci´on: Sean u, v ∈ E; k uk,k v k<1 y 0 < 1 < 2 ≤2. Como δ(u, v,·) es convexa,δ(u, v,0) = 0 y
1= 2−1
2
0 + 1
2
2
se tiene que:
δ(u, v, 1)≤ 1
2δ(u, v, 2).
y de aqu´ı se sigue el resultado.
Como consecuencia inmediata del teorema de Figiel se obtiene que para ∈ [0,2] se cumpleδ()≤/2. M´as a´un,
Proposici´on 2.9. i) si0≤ <2 entoncesδ()≤(2−0)/4.
ii) δ(2)≥(2−0)/2, alcanz´andose la igualdad si y s´olo siδes continua en = 2.
La demostraci´on usa el siguiente resultado de Ull´an ([12, p´agina 26]).
Teorema 2.10.
lim
→2−
δ() = 1−0
2
Demostraci´on de 2.9: i) si = 0 la conclusi´on es inmediata. Si 0 y 0 ∈(,2] por el teorema de Figiel se tiene que
δ()
≤ δ(0) 0 y por el teorema anterior se concluye que
δ()
≤ 1−20
2 = 2−0
4 .
ii) Es consecuencia del teorema anterior, la continuidad deδen [0,2) y el crecimiento de δen [0,2).
Proposici´on 2.11 ([12]). La igualdad enδ()≤/2 es posible s´olo si = 0 o= 2. Esto ´ultimo ocurre s´olo si el espacio es uniformemente convexo.
Demostraci´on: Supongamos 0 > 0. Si 0< < 0 entonces δ()/= 0 y por lo tanto la igualdad es imposible. Si0≤ <2, entonces
δ() ≤ lim
η→2−
δ(η)
η ≤ 2−0
4 < 1 2. Por su parte si 0= 0 entoncesE es estrictamente convexo.
Supongamos que exista >0 tal que δ() =/2. Entonces por la defini- ci´on deδ() se tiene que
1
2 kx−yk≤1−kx+yk 2
cualesquiera que sean x, y∈SE con kx−yk=. O equivalentemente, kx+yk+kx−yk=k(x−y) + (x+y)k.
Como Ees estrictamente convexo y x−y6= 0, existeλ≥0 tal que x+y=λ(x−y) ⇒ y=λ−1
1 +λx
⇒ |λ−1|=|1 +λ| ⇒ λ= 0 ⇒ x=−y y por lo tanto= 2.
La demostraci´on de la proposici´on 2.13 usa el siguiente resultado de Ull´an [12]:
Proposici´on 2.12. Si E es uniformemente convexo o de dimensi´on finita entonces δ()es continua en= 2.
Proposici´on 2.13. i) E es uniformemente convexo si y s´olo siE es es- trictamente convexo y δes continua en 2.
ii) SeaE de dimensi´on finita. EntoncesE es uniformemente no-cuadrado si y s´olo si δ(2)>0.
iii) E es super-reflexivo si y s´olo si admite una norma equivalente con la cual δ es continua y no id´enticamente nula.
Demostraci´on: i) En virtud de la proposici´on anterior basta probar la suficiencia. Por el Teorema 2.10 tenemos que si δes continua entonces δ(2) = 1−0/2. ComoEes estrictamente convexo se tiene queδ(2) = 1 y en consecuencia0= 0. Es decir que Ees uniformemente convexo.
ii) Si E es uniformemente no-cuadrado, 0 < 2 y as´ıδ(2) > 0. Para la suficiencia, siE es de dimensi´on finita por la proposici´on anterior δes continua en 2. Y como 0< δ(2) = 1−0/2 se concluye que0<2.
iii) Si E es super-reflexivo, el teorema de James-Enflo implica la necesi- dad. Siδes continua en 2 y no id´enticamente nula entonces, por el no decrecimiento de δse tiene que
0< δ(2) = 1−0 2,
lo cual implica que con esta normaE es uniformemente no-cuadrado y por tanto super-reflexivo.
Nota 2.14. Como consecuencia de la proposici´on anterior se puede obtener una prueba diferente de un hecho bien conocido: en espacios de dimensi´on finita la convexidad estricta y la uniforme coinciden.
Referencias
[1] Banach, S.Th´eorie des Op´erations Lin´eaires, Varsovia, 1932.
[2] Clarkson, J. A.Uniformly Convex Spaces, Trans. Amer. Math. Soc.,40 (1936), 396–414.
[3] Daneˇs, J.On Local and Global Moduli of Convexity, Comm. Math. Univ.
Carolinæ,17No. 3 (1976), 413–420.
[4] Day, M. M.Uniformly Convexity in Factor and Conjugate Spaces, Annals of Math.,45 (1944), 375–385.
[5] Dielstel, J.Sequences and Series in Banach Spaces, Springer Verlag, Ber- lin - Heidelberg - New York - Tokio, 1984.
[6] Enflo, P. Banach Spaces which Can Be Given an Equivalent Uniformly Convex Norm, Israel J. Math.13(1972), 281–288.
[7] Figiel, T. On Moduli of Convexity and Smoothness, Studia Math. 56 (1976), 121–155.
[8] Goebel, K. Convexity of Balls and Fixed-Point Theorems for Mappings with non-Expansive Square, Compositio Math. 22 Fasc. 3 (1970), 269–
274.
[9] Gurarii, V. I.On Differential Properties of the Convexity Moduli of Ba- nach Spaces, Math. Issled.2(1967), 141–148.
[10] James, R. C. Uniformly non-Square Banach Spaces, Ann. of Math.80 (1964), 542–550.
[11] Lindenstrauss, J., Tzafriri, L. Classical Banach Spaces II, Springer- Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1979.
[12] Ull´an, A.M´odulos de Convexidad y Lisura en Espacios Normados, Tesis Doctoral, Universidad de Extremadura, Badajoz, 1991.
[13] Van Dulst, D.Reflexive and Superreflexive Banach Spaces, Math. Centre Trac.,102, 1978.
