バーゼル問題の簡単な解法

バーゼル問題の簡単な解法

大浦拓哉

バーゼル問題（平方数の逆数和を問う問題）の解 π²

6 =

∑∞ k=1

1

k² = 1 + 1 2² + 1

3² + 1 4² + 1

5² +· · · (1)

の簡単で初等的な証明を示す．

［証明］三角関数の基本的性質より，

2 3 = 1

4 (2

3 + 1 sin^2π₄

)

, 1

sin²θ = sin^{2 θ}₂ + cos^{2 θ}₂ 4 sin^{2 θ}₂cos^2θ₂ = 1

4 ( 1

sin^{2 θ}₂ + 1 sin²(^π₂ −₂^θ)

)

が成り立ち，この2式を繰り返し用いると，

2

3 = 1

4 (2

3 + 1 sin^{2 π}₄

)

= 1 4

(1 4

(2 3 + 1

sin^2π₄ )

+1 4

( 1

sin^2π₈ + 1 sin^{2 3π}₈

))

= 1

16 (2

3 + 1

sin^{2 π}₈ + 1

sin^{2 2π}₈ + 1 sin^{2 3π}₈

)

= · · ·

= 1

4ⁿ (2

3+

2∑ⁿ−1

k=1

1 sin² ₂n+1^πk

)

が得られる．ここでθ_k=πk/2ⁿ⁺¹ (k= 1,2,· · ·,2ⁿ−1)と置くとsinθ_k< θ_k<tanθ_kから，

1

sin²θ_k > 1

θ²_k > 1

tan²θ_k = 1 sin²θ_k −1

が成り立ち，この不等式をk= 1から2ⁿ−1まで足し合わせ1/4ⁿ倍すると，

2 3− 2

3·4ⁿ > 4 π²

2∑ⁿ−1

k=1

1 k² > 2

3 − 2

3·4ⁿ −2ⁿ−1 4ⁿ

が得られる．そしてn→ ∞^とすると _3·²₄n →0, ²ⁿ₄⁻n¹ →0だから(1)式が成り立つ．

この証明は，[1]^と[2]^{の改良版に相当する．}

参考文献

[1] A. M. Yaglom, I. M. Yaglom, An elementary derivation of the formulas of Wallis, Leib- nitz and Euler for the numberπ, Uspekhi Mat. Nauk 57(1953) 181-187.

[2] J. Hofbauer, A simple proof of 1 +₂¹2+₃¹2+· · ·= ^π₆² and related identities, Amer. Math.

Monthly 109 (2002) 196-200.