トポロジー入門演習補足スライド

(1)

Introduction

トポロジー入門演習

補足スライドno. 1

丹下基生

2016/10/29

(2)

Introduction

d (x, A) = 0

_{であることと}

x ∈ A ¯

_{であることの同値性}

以下の問題を考えましょう．

問題

Xを距離空間とし、Aを部分集合とする．ある点x ∈X が d(x,A) = 0であることと、x ∈A¯であることは同値である．

証明の前に、定義のおさらいです．d(x,A)は、 d(x,A) = inf{d(x,a)|a∈A}

と定義されます．infは、最小値とは違います．一般に、inf(Z)は Zの下界の最大値です．つまり、inf(Z)は、下界の条件

任意のz ∈Zにおいて、y ≤zとなるようなyのうちで最大のものです．

inf(Z) = max{y ∈R|y ≤z, ∀z ∈Z}

(3)

Introduction

d (x, A) = 0

x ∈ A ¯

問題

証明の前に、定義のおさらいです．d(x,A)は、

d(x,A) = inf{d(x,a)|a∈A}

と定義されます．

infは、最小値とは違います．一般に、inf(Z)は Zの下界の最大値です．つまり、inf(Z)は、下界の条件

inf(Z) = max{y ∈R|y ≤z, ∀z ∈Z}

(4)

Introduction

d (x, A) = 0

x ∈ A ¯

問題

d(x,A) = inf{d(x,a)|a∈A}

と定義されます．infは、最小値とは違います．

一般に、inf(Z)は Zの下界の最大値です．つまり、inf(Z)は、下界の条件

inf(Z) = max{y ∈R|y ≤z, ∀z ∈Z}

(5)

Introduction

d (x, A) = 0

x ∈ A ¯

問題

d(x,A) = inf{d(x,a)|a∈A}

inf(Z) = max{y ∈R|y ≤z, ∀z ∈Z}

(6)

Introduction

d (x, A) = 0

x ∈ A ¯

問題

d(x,A) = inf{d(x,a)|a∈A}

任意のz ∈Zにおいて、y ≤zとなる

ようなyのうちで最大のものです．

inf(Z) = max{y ∈R|y ≤z, ∀z ∈Z}

(7)

Introduction

d (x, A) = 0

x ∈ A ¯

問題

d(x,A) = inf{d(x,a)|a∈A}

inf(Z) = max{y ∈R|y ≤z, ∀z ∈Z}

(8)

Introduction

よって、maxより少しでも大きい値wを任意にinf(Z)<wを取ったとすると、wは下界ではないので、上の下線が否定されて、

あるz ∈Z が存在して、z <wとなる．

d(x,A)の値は、d(x,A)より少しでも大きい値より小さくd(x,A) 以上の値d(x,a) (a∈A)が取れる、つまり、

d(x,A)

任意のϵ >0に対して、あるa∈Aが存在して、

d(x,A)≤d(x,a)<d(x,A) +ϵとなる．

(9)

Introduction

d(x,A)

d(x,A)≤d(x,a)<d(x,A) +ϵとなる．

(10)

Introduction

d(x,A)

d(x,A)≤d(x,a)<d(x,A) +ϵとなる．

(11)

Introduction

d(x,A)

d(x,A)≤d(x,a)<d(x,A) +ϵとなる．

(12)

Introduction

A¯は触点(もしくは閉包Cl(A))です．触点は、AとAの集積点の和集合のことをいいます．Aの集積点全体のことを導点と言います．導点は、A^dと書いたりすることがあります．

dはderived(引き出された)、Clはclosure(閉包)から来ています．

xがAの触点であることは以下のようになります． x∈XがAの触点である

任意のϵ >0に対して、B_ϵ(x)∩A̸=∅を満たす．

また、触点のうち、xが集積点であることはxの周りに、xにいくらでも近いx以外のAの点が存在するもので、定義すると以下のようになります．

x∈XがAの集積点である

任意のϵ >0に対して、(B_ϵ(x)− {x})∩A̸=∅を満たす．

ここで、いよいよ証明開始です．

(13)

Introduction

xがAの触点であることは以下のようになります．

x∈XがAの触点である

(14)

Introduction

(15)

Introduction

(16)

Introduction

任意のϵ >0に対して、(B(x)− {x})∩A̸=∅を満たす．

(17)

Introduction

(18)

Introduction

(証明)

x∈Xを、d(x,A) = 0となる点とします．

d(x,A)の定義から、任意のϵ >0に対して、

0 =d(x,A)≤d(x,a)< ϵとなるa∈Aが存在する．

よって、a∈B_ϵ(x)∩Aより、B_ϵ(x)∩A̸=∅となる．よって、 x∈A¯となる．

(19)

Introduction

(証明)

よって、a∈B_ϵ(x)∩Aより、B_ϵ(x)∩A̸=∅となる．よって、 x∈A¯となる．

(20)

Introduction

(証明)

よって、a∈Bϵ(x)∩Aより、Bϵ(x)∩A̸=∅となる．よって、

x∈A¯となる．

(21)

Introduction

逆に、x∈A¯とする．

触点の定義から、任意のϵ >0に対して、Bϵ(x)∩A̸=∅^となる．

そのような元をa_ϵとすると、任意のϵ >0に対して、

0≤d(x,aϵ)< ϵとなるaϵが存在する．

d(x,A)の定義から、d(x,A) = 0となる． 2

(22)

Introduction

(23)

Introduction

(24)

Introduction

トポロジー入門演習 補足スライド

d (x, A) = 0

x ∈ A ¯

d (x, A) = 0

x ∈ A ¯

d (x, A) = 0

x ∈ A ¯

d (x, A) = 0

x ∈ A ¯

d (x, A) = 0

x ∈ A ¯

d (x, A) = 0

x ∈ A ¯

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