電気回路学
Ⅱ
通信工学コース 5 セメ
山田 博仁
RC
微分回RC 微分回路 路
図 (a) に示す RC 直列回路を電圧源 e(t) で励 振し、応答として抵抗 R の両端の電圧 vR を とるものとする。また励振 e(t) は図 (b) に示 すような方形パルスであり、時刻 t = 0 に生起 し、 t = a で消滅する大きさ E0 の電圧である ものとする。
0 a t
E0
0 t E0
0 a t
– E0
(a)
(b) C
R vR e(t)
この方形パルスを分解して、 t = 0 に生起する 大きさ E0 のステップ関数と t = a に生起する 大きさ − E0 のステップ関数を重ねたものとす れば、e(t) E0u1(t)E0u1(ta) と表される。
RC t
q e R t E
i
t
(0) , 0, )
( 0
1
)
1(
0u t
E を印加したとき R に流れる電流 i1(t) は、
である。 −∞ < t < 0 の範囲で印加電圧 e(t) = 0 であれば、 C に蓄えられている電荷は 0 、即 ち q(0) = 0 であるとしてよい。
RC
微分回RC 微分回路 路
0 ,
)
( 0
2
t R e
t E i
a t
一方、 を印加したときの電流 i2(t) は、時間を t → t − a に置き換えて、かつ E0 に負号を付けて、
よって、 R の両端の電圧 vR(t) = Ri(t) は、
)
1(
0u t a
E
と表される。
t a e
e E
t i t i R
a t e
E t
t Ri
v a t
t
R
1 )
( )
(
0 , )
) ( (
0 2
1
0
1 で与えられる。
これを図示すると以下のようになる。
RC
微分回 路図において、正の部分の面積と負の部分の面積が等しく、
a at
a t a
e E
dt e e E
dt e
E 0 1 0 1
0 0
従って、 vR(t) の平均値すなわち直流分は 0 である。つまり、 C は直流分を遮断する。
電圧 vR(t) の波形は、時定数 τ = RC と印加パルスの時間幅 a との関係により
、異なるものとなる。つまり、 τ >> a ならば、入力形波にほぼ等しい波形と なるが、逆に τ << a ならば、入力波形を微分したような波形となる。従って
、後者の場合を RC 微分回路と呼んでいる。
RC 直列回路の式 1 ( ) ( ) )
( i t dt e t
t C
Ri
の両辺を t について微分し、両辺に C を乗じて、 RC = τ が考えている時間スケール t に対して非常に小さいとすれば、
dt t C de t
i ( )
)
( と近似できるから、
dt t RC de t
Ri t
vR ( )
) ( )
(
即ち、入力電圧波形 e(t) の微分にほぼ比例した出力電圧波形 vR(t) が得られる。
微分回路は一般に、方形波から鋭いパルスを作るのに使われるので、ピーキン グ回路 (peaking circuit) とも呼ばれる。
RC
積分回RC 積分回路 路
C R
vC e(t)
RC 直列回路において、方形波の入力電圧 e(t) に対して、出力として C の両端の電圧 vC(t) をとることにする。このとき、 0 < t < a に対 しては、 q e RC
R t E
i
t
0) , ) (
( 0
1
で q(0) = 0 としたものより、
t
C i t dt
v C
0 1( ) 1
1
t a e
e E
a t e
E t
v a t
t
C
1
0 , 1
) (
0 0
と求められる。
として、
また一方 a < t に対しては、
a t
R e t E
i
0
2( ) より得られる C
ati t dt v C1 ( )2 2
を vC
1 に重ねることにより、
RC
積分回 路vC(t) を図示すると以下のようになる。 vC(t) が直流成分を含むことは明らかである。
RC 積分回路
vC(t) は、 τ << a のときは図 (c) のように入力波形 e(t) と殆ど同じ波形とな り、逆に τ >> a のときは図 (a) のような波形となる。後者のような場合を RC 積分回路と呼ぶ。
(a) (b) (c)
RC 直列回路の式 1 ( ) ( ) )
( i t dt e t
t C
Ri
の両辺を各々 R で割ってから積分し、RC が非常に大きいとすれば、
i(t)dt R1
e(t)dt vC(t) qC(t) C1
i(t)dt CR1
e(t)dt即ち、入力電圧波形 e(t) の積分にほぼ比例した出力電圧波形 vC(t) が得られる。
積分回路は検波や整流などに使われる。
伝達関数の周波数特性
伝達関数の周波数特性
RC 微分および積分回路の励振 e(t) と応答 vR(t) あるいは vC(t) の間の 関係は、それらのラプラス変換 E(s), VR(s) あるいは VC(s) の間の関係で 表現すれば、初期条件 q(0) = 0 として、
R sC sC s
E s s V
H R sC
R s
E s s V
HR R C C
1 1 )
( ) ) (
( 1 ,
) (
) ) (
(
これら伝達関数において、 s → jω として振幅の周波数特性を調べてみると、
1 2
1 1 1 1
1 1 1
1 ) 1
(
j CR
j C
R j j R
HR
21 1 1
1 1
1 1
1 )
(
j CR j
C R j
C j j
HC となる。
高域通過回路と低域通過回 路
これらの特性を ω に対して描くと、下図のようになる。
図 (a) では、 ω = 0 で |HR| = 0 、 ω = 1/τ で |HR| = 1/√2 、 ω = ∞ で |HR| = 1 と なっている。
従って、 0 < ω < 1/τ の周波数領域は減衰域 (stop band) 、 1/τ < ω < ∞ の周波 数領域は通過域 (pass band) と呼ぶ。このように、低い周波数域が減衰域、高 い周波数域が通過域となる回路を、高域通過形回路と呼ぶ。一方図 (b) では逆 に、 ω = 0 で |HC| = 1 、 ω = ∞ で |HC| = 0 となっているから、低域通過形回 路である。
高域通過回路と低域通過回 路
このような周波数特性をもつ回路に、広いスペクトル成分をもつ電気信号、
例えば方形波パルスのような信号波形を入力すれば、出力信号のスペクトル は入力信号とは異なったものとなる。例えば高域通過形回路では、ゆっくり 変化する振動成分は除去され、出力波形は鋭い形となり、また逆に低域通過 形回路では、速い変化をする振動成分が除去されて、出力波形は鈍い形とな る。
R sC R s
E s s V
HR R
) 1 (
) ) (
(
において、時定数 τ = RC が 1( 秒 ) よりも非常に小さければ、
) ( )
(s s E s
VR となり、入力 E(s) に s を乗じた形となる。
dt t de dt
t RC de t
vR ( ) ( )
)
( と比較すると分かるように、時間領域では ( 初期条 件を無視しての ) 時間微分に他ならない。
積分回路については、
R sC sC s
E s s V
HC C
1 1 )
( ) ) (
(
の τ = RC が 1( 秒 ) よりも非
常に大きいとして、
s s E s
VC( ) ( )/ となって、入力 E(s) を s で割る形となり、時間領域で の積分に他ならない。
RL
微分回路と積分回RL 微分回路 路
電圧 e(t) が、時間幅 a, 高さ E0 の方形パ ルスであるときの、 RL 直列回路の応答を考え る。電圧は、
(a)
) (
) ( )
(t E0u 1 t E0u 1 t a
e と表されるから、
L R
vL e(t)
vR
e as
s t E
e( ) 0 1
￡
ラプラス変換は、表 5.2(2) に変位定理を適用して、
である。
このような入力に対して、出力としてコイル L の両端の電圧 vL(t) をとることにする。
dt t L di t
Ri t
e ( )
) ( )
( をラプラス変換すると、
1
( )
( ) (0)
0 e RI s L sI s i
s
E as
初期条件 i(0) = 0 と置いて、
1 1 1
) 1
( 0 0 0
s sL
e E
L s R sL
e E
sL R s
e s E
I
as as
as
回路方程式
ただし、 R
L
RL
微分回路と積分回 路従って、ラプラス逆変換を求めると、
) (
1 ) ( 1
) (
) (
) ( )
(
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 ) 1
( )
(
1 1
0
1 1
1 1
0
1 1
1 0 1
0 1 1 0
1 0 1
a t u e
t u R e
E
a t u e
a t u t u e t R u
E
e s
se s s
L E
e s s
L E s
s e L
E s
sL e s E
I t
i
a t t
a t t
as as
as as
as
￡
￡
￡
￡
￡
￡
￡
￡
となる。
RL
微分回路と積分回 路従って、コイル L の両端の電圧 vL(t) は、
) (
) (
) 1 (
) 1 (
) ) (
(
1 1
0
1 1
0
a t u e
t u e E
a t u e
t u e R E
L dt
t L di t
v
a t t
a t t
L
となり、これを図示すると以下の波形となる。
この波形は、前回出てきた RC 微分回路の vR(t) と同 じ形をしているため、 τ << a の場合、微分回路になる この回路の伝達関数 。 HL(s) は、
1 1 1
1 )
( ) ( )
( ) ) (
( 0 0
s e s
s E s
e E
s E
s sLI s
E s s V
H as
as L
L
従って、 s → jω と置いて、
1 2
2
2 , tan
1 1 )
( ) ) (
(
L j
L e
j j j
E j j V
H
RL
微分回路と積分回 路従って、高域通過形回路であることが分かり、振幅特性 |VL/E| および位相角
(π/2 ‒ θ) の周波数特性の概略を下図に示す。
一方、出力として抵抗 R の両端の電圧 vR(t) をとると、
( ) 1 ( )
1 )
( )
(t Ri t E0 e u 1 t e u 1 t a
v
a t t
R
となり、これを図示すると右のような波形となる。
上式は、 RC 積分回路の vC(t) と一致するから、 τ >> a の場合、積分回路になる。
RL 積分回路
RL
微分回路と積分回 路伝達関数 HR(s) は、
1 1 1 1 1 1
1 1 )
( ) ( )
( ) ) (
( 0 0
s L s
e R s
E s
sL e R E
s E
s RI s
E s s V
H as
as R R
従って、 s → jω と置いて、
) tan
(
, 1
1
1 1 1
) (
) ) (
(
1 2 2
j L
R
e j j
E j j V
H
となる。振幅特性 |VR/E| お よび位相特性 θ を右図に示 す。低域通過形回路であるこ とが分かる。
一次系回路のまと め
RC微分回路 RL微分回路
C
vi R vo
R
vi L vo
R
vi C vo
RL 積分回路
L
vi R vo
RC積分回路
RC R
L
τ << パルスの時間幅の時、微分回路 τ >> パルスの時間幅の時、積分回路
R
L
RC
高域通過回路 (High-Pass Filter) 低域通過回路 (Low-Pass Filter)
一次系回路のまと め
RC微分回路
RL微分回路 RL 積分回路 RC積分回路
τ << パルスの時間幅の時、微分回路 τ >> パルスの時間幅の時、積分回路
高域通過回路 (High-Pass Filter) 低域通過回路 (Low-Pass Filter) L
ii io
R
L
R RC
ii io
R C RL
ii io
R L RC
ii io
C R
二次系の伝達関数
二次系の伝達関数
RLC 直列回路などでは、その伝達関数 H(s) が、
2 0 0
2
2 0
) 2
(
s s s
H
のような形をとることがある。即ち、伝達関数の分母が s に関する 2 次の多項 式となり、
ζ, ω0 は共に実定数である。そのような系を総称して二次系と呼んでいる。 ω0 は共振角周波数 (natural frequency) 、 ζ は減衰率 (damping factor) と呼ばれて いる。また、分子の係数 ω02 は、 H(0) = 1 となるよう規格化したものである
。二次系を単位ステップで励振したときの応答 v0(t) ( ステップ応答 ) は、全ての 初期条件を 0 と仮定して、 t > 0 について、
t t
e t
v
t e
t v
t t
e t
v
t t
t
0 2
0 2 2
0
0 0
0 2
0 2 2
0
1 1sin
1 cos
1 ) ( ,
1
1 1
) ( ,
1
1 1sinh
1 cosh
1 ) ( ,
1
0 0
0
と得られる。
ζ : ギリシャ文字のゼータ
二次系の伝達関数
v0(t) の時間変化
|H(jω)| の振幅特性
‒40dB/dec
制御系における基本的要 素
( ) H s K 比例要素
( ) 1 H s s 積分要素
( ) H s s 微分要素
( ) 1 H s 1
Ts 一次遅れ要素
( ) 1 H s Ts 一次進み要素
( ) Ts
H s e むだ時間要素
入力 K 出力
K > 1 なら増幅、 K < 1 なら減衰 入力 積分回路 出力
入力 微分回路 出力
