選択行動モデル 2016.05.24 1.

選択行動モデル

2016.05.24

1. 選択行動とは

• ○○を購入するかどうか

• 労働市場に参加するか

• 結婚をするかしないか

• 資金を貸すか否か

• 質的選択(複数の選択肢からのチョイス)

2. 線形確率モデル

y_i=α+βx_i+ε_i (i= 1,2,· · · , n) yi=

{ 0 (選択しない) Pr(y_i= 0) =ω 1 (選択する) Pr(yi= 1) = 1−ω

• データによっては、yi<0やy1>1の値をとる。

• 攪乱項の期待値をゼロと仮定(不偏推定量の条件)

E(ε_i) = (−α−βx_i)(1−ω) + (1−α−βx_i)ω= 0 =⇒ω= 1−α−βx_i Var(εi) = (−α−βxi)²ω+ (1−α−βxi)²(1−ω) = (α+βxi)(1−α−βxi) 不均一分散<非効率な分散>

– 加重最小二乗法 – wi = ˆyi(1−yˆi)

– _w^yi_i =α·_w¹_i +β_w^xi_i +_w^εi_i =⇒均一分散モデルに変換 (α+βx_i)(1−α−βx_i)>0となる条件が必要

• 攪乱項は正規分布には従わない

• 線形確率確率モデルを最小二乗法で推計するのは問題 3. 二値選択行動モデル(Logit modelとProbit model)

二値選択行動の確率モデル

y^∗_i =α+βxi+εi (i= 1,2,· · ·, n) 潜在変数(観測不能) { y_i^∗<0 =⇒yi= 0

y_i^∗=0 =⇒y_i= 1 (y_iは選択行動の結果観察されるデータ) ε_iの確率分布は？

• Pr(yi= 0) = Pr(α+βxi+εi<0) = Pr(εi<−α−βxi)

• Pr(y_i= 1) = Pr(α+βx_i+ε_i=0) = Pr(ε_i=−α−βx_i) = 1−Pr(ε_i<−α−βx_i)

• εiの確率分布(分布関数)の特定化 F(α+βx) =∫_α+βx

−∞ f(ε)dε=∫_α+βx

−∞ e^ε

(1+e^ε)²dε= _1+e^eα+βxα+βx ロジット（Logit)モデル F(α+βx) =∫_α+βx

−∞ f(ε)dε=∫_α+βx

−∞ √1

2πσe^−2σε22dε プロビット(Probit)モデル

• 対称な確率分布の場合、F(−x) = 1−F(x)が成り立つ。

• 推計された係数の意味

– ロジットモデルの場合：_1+e^eα+βx_α+βx =Pとおくと、log_1−P^P =a+βxなので β =_∂x^∂ ln_1−P^P = ^∂P∂x_P +_1−P^∂P∂x =_P(1−P)^{1 ∂P}_∂x =⇒ ^∂P_∂x =P(1−P)β

– プロビットモデルの場合：_∂x^∂P

i =β·f(α+βx_i) 但し、f(·)は標準正規分布の確率密度関数 1

4. 二値選択行動モデルの推計方法：最尤法

• 尤度関数(likelihood function)

Pr(Y₁=y₁, Y₂=y₂,· · ·, Y_n=y_n|x₁, x₂,· · ·, x_n)

= ∏

yi=0{1−F(α+βxi)} × ∏

yi=1F(α+βxi)

=L(α, β;x1,· · ·, xn, y1,· · ·, yn)

•

{ _∂L(α,β)

∂α = 0

∂L(α,β)

∂β = 0 となるα、βを求める。最尤推定量(ML estimator)

• 最尤推計量の性質 一致推定量 漸近正規性

効率的な分散(分散最小) 5. 計算方法

Excelでも推計は可能だが、メンドウ！ 例えば、gretlなど、汎用計量経済分析ソフトだと、カンタン。複

雑なモデルは、確率選択モデルの得意なソフト(NLOGITなど)を使うと良い。また、独創的なモデルを開 発したら、gaussなどプログラミング言語を使ってコーディングを行う。と言うと難しそうだが、gaussに は最尤法のサブルーチンがあるので、それほど難しい訳ではない。但し、尤度関数の定義、条件付き確率 に関する知識は必須。この分野のスタンダードな解説書は、Kenneth Train, Discrete Choice Models with Simulation, Cambridge UP。

6. 発展：Tobitモデル

• 銀行の融資額データ：融資対象(y_i = 1)となった場合の融資額はわかるが、融資されなかった場合 (yi= 0)の融資額はゼロである。

• 賃金調査のデータ：失業していると観測値はゼロだが、就業していると賃金水準が分かる。

• このようなデータを対象に分析すると、推計値にバイアスが生ずる。

• バイアスを回避するモデル：TobinのProbitモデル(Tobitモデル) y^∗_i =α+βx_i+ε_i ε_i˜N(0, σ²)

yi =

{ 0 if y_i^∗<0 α+βxi if y_i^∗≥0

• Tobitモデルの推計方法

y_i^∗≥0という条件の下で数値データが観察されているので、y_i^∗≥0という条件付き尤度関数を特定化 して最尤法を適用すれば良い。

• 正規分布の確率密度関数をf、分布関数をFとすると、尤度関数は L= ∑

yi>0

1

σf(y_i−α−βx_i

σ )× ∏

yi=0F(−α+βx_i

σ )

2

gretl

1.

obs LS age kids

1 1 39 2

2 1 27 0

3 0 34 2

4 0 35 2

5 0 45 2

6 0 39 1

7 0 35 3

8 1 35 1

9 0 23 2

10 0 31 2

11 1 28 0

12 0 32 2

13 1 39 2

14 0 45 3

15 1 43 1

16 0 43 2

17 1 27 1

18 0 29 2

19 1 33 0

20 0 46 3

出所：伴ほか『エコノメトリックス』有斐閣

2. gretl

「モデル」→「制限従属変数」→「ロジットモデル」「プロビットモデル」

モデル

y

= 𝛼 + 𝛽𝑎𝑔𝑒

+ 𝛾𝑘𝑖𝑑𝑠

+ 𝜖

𝑦

< 0

y

= 0

y

≥ 0

y

= 1

3.

・二項ロジットモデルを選択

4.

・二項プロビットモデルを選択

おまけ 系列相関がある場合の対処法

モデル→時系列→AR(1)(自己回帰モデル)とすると、以下のウインドウが現れるので被説明変数、説明変 数を入力し、CO 法、PW 法、HL 法のどれかを選び、

計算を行う。、