複素関数 (2019 年 6 月 3 日 )

2S ^{複素関数論 標準} H004-1

担当教員 : ^{浜中 真志 研究室} : ^理学部 A ^館 327 E-mail:[email protected]

複素関数 (2019 ^年 6 ^月 3 ^日 )

作成日: June 2, 2019 Updated : June 2, 2019 Version : 1.0 実施日: June 3, 2019

初等複素関数

問題 1. ( 指数関数 , 三角関数 ) 複素数 z に対する指数関数 , 三角関数を次のように定義 する：

e ^z :=

∑ ∞ n=0

1

n! z ⁿ , cos z :=

∑ ∞ n=0

( − 1) ⁿ 1

(2n)! z ²ⁿ , sin z :=

∑ ∞ n=0

( − 1) ⁿ 1

(2n + 1)! z ²ⁿ⁺¹ .

(1), (2) は先週の講義で解説済みですので理解している人は (3) 以降を解いてください .

(1) e ^iz = cos z + i sin z を示せ . ( 特に z = θ ∈ R としたものがオイラーの公式 .) (2) cos z, sin z を指数関数 e ^iz , e ^{− iz} を用いて表せ .

(3) sin z = 0 となる複素数 z をすべて求めよ . (4) 指数法則 e ^z e ^w = e ^z+w を証明せよ.

問題 2. (対数関数, 累乗関数) z ̸ = 0 とする. 対数関数 w = log z は z = e ^w で定義される.

z = re ^iθ と極形式で表したとき， log z = ln r + i(θ + 2nπ), n ∈ Z となる . α が複素数の とき , 累乗関数 ( べき関数 ) は z ^α = e ^{α log z} で定義される .

次の複素数の取りうる値をすべて求め, u + iv (u, v ∈ R ) の形に表せ.

(1) log i (2) i ⁱ

正則関数とコーシー・リーマンの関係式

問題 3. z = x + iy (x, y ∈ R ) とする . 複素平面全体で正則な関数 f(z) の虚部 v が , v(x, y) = 6xy + 3y のように与えられている.

(1) f(z) の実部 u を x, y の関数として求めよ. (2) f(z) を z の関数として決定せよ.

等角写像

問題 4. ( 複素べき関数による図形の像 ) 複素関数 w = f(z) = z ² によって , z 平面上の次 の式で表される図形や領域が w 平面にどのように写されるか . 変換前の図形と変換後の図 形を図示せよ . (2), (3) については , 2 直線のなす角はどうなるか . (α ∈ R , z = x + iy.)

(1) 3 点 A : z = 1

2 , B : z = 1 + i, C: z = 2i. (2) 直線 l ₁ : y = 0 と直線 l ₂ : y = tan α · x (3) 直線 m ₁ : y = x と直線 m ₂ : x = 1 (4) 上半円板 D ⁺ := { z ∈ C | | z | < 1, y > 0 } 問題 5. ( 反転・一次分数変換による図形の像 )

(1) 反転 w = 1/z によって , 円 | z − i | = 2 はどのような図形に写されるか？

(2) 複素関数 w = f (z) = 1 + z

1 − z によって , z 平面上の単位円の内部 D = { z ∈ C | | z | < 1 } は w 平面にどのようにうつされるか. 変換前の領域 D と変換後の領域 D ^′ = f(D) を 図示せよ .

標準 H0-2S19-04 難易度 : C 名古屋大学・工学部

2S ^{複素関数論 標準} H004-2

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【解答】

問題 1 (4) e ^z e ^w =

∑ ∞ m=0

1 m! z ^m ·

∑ ∞ n=0

1 n! w ⁿ =

∑ ∞ m,n=0

1

m!n! z ^m w ⁿ

=

∑ ∞ k=0

∑ k

m=0

1

m!(k − m)! z ^m w ^{k − m}

( まず固定された自然数 k に対して

m + n = k を満たす m について和をとって, それから k の和をとった )

=

∑ ∞ k=0

1 k!

∑ k

m=0

k!

m!(k − m)! z ^m w ^{k − m} =

∑ ∞ k=0

1

k! (z + w) ^k = e ^z+w .

問題 2 (1) log i = (1/2 + 2n)πi (n ∈ Z ) (2) i ⁱ = e ^{i log i} = e ^{− (}

^+2n)π (n ∈ Z )

問題 3 (1) u(x, y) = 3x ² − 3y ² + C (C は実定数 ) (2) f (z) = 3z ² + 3z + C (C は実定数 ) 問題 4 w = u + iv (u, v ∈ R ) とする . ( 図示は黒板にて )

(1) f(A) : w = 1

4 , f(B) : w = 2i, f (C): w = − 4. ( 極座標表示して w = z ² = r ² e ^2iθ と して見れば納得できる .)

(2) 直線 l ₁ の像は実軸の 0 または正の部分 . 直線 l ₂ の像は半直線 w = re ^i2α (r ≥ 0). ま た 2 直線のなす角度は α から 2α と 2 倍に変わった . ( 原点は w = f(z) の導関数がゼ ロになる点なので, そこは (正則関数であっても) 等角性が一般に成り立たない.) (3) 直線 m ₁ の像は虚軸の 0 または正の部分 . 直線 m ₂ の像は放物線 u = 1 − 1

4 v ² . 交点 における 2 直線のなす角はともに π

4 . (等角性) (4) f(D ⁺ ) = {

w = re ^iθ ∈ C 0 < r < 1, 0 < θ < 2π } 問題 5 (1) | w − i/3 | = 2/3 ( 中心 i/3, 半径 2/3 の円 ) (2) w = 1 + z

1 − z を z について解くと z = w − 1

w + 1 . (w = − 1 は与式を満たさない .) z = x + iy, w = u + iv とおくと, z = w − 1

w + 1 = (u ² + v ² − 1) + 2iv

(u + 1) ² + v ² . これが単位円の内 部 | z | < 1 にあるので , (u ² + v ² − 1) ² + 4v ²

{ (u + 1) ² + v ² } ² < 1. これより u > 0 が得られる . したがって 求める領域は, { w ∈ C | Re w > 0 } . (図示は黒板にて)

標準 H0-2S19-04 難易度 : C 名古屋大学・工学部