平成24年度 名古屋大学 解答例
1.
(1)
| A − λE | =
¯ ¯
¯ ¯
¯
1 − λ a 0 b − λ
¯ ¯
¯ ¯
¯ = (λ − 1)(λ − b) = 0
から,λ = 1, b
.λ = 1
のとき,固有ベクトルは,( 0x + ay = 0
(b − 1)y = 0
より,b 6 = 1
だから,y = 0
. よって,Ã x y
!
= t 1 Ã 1
0
!
(t 1は任意の実数).
λ = b
のとき,固有ベクトルは,( (1 − b)x + ay = 0
0x + 0y = 0
より,y = b − 1
a x, (a 6 = 0)
. よって,Ã x y
!
= t 2 Ã a
b − 1
!
(t 2 は任意の実数)
.
(2)
P = Ã
1 a
0 b − 1
!
とおくと,
P − 1 AP = Ã
1 0 0 b
!
.
P − 1 A n P = Ã
1 0 0 b n
!
.
よって,
A n = P
à 1 0
0 b n
! P − 1 =
à 1 a
0 b − 1
! Ã 1 0
0 b n
! 1 b − 1
à b − 1 − a
0 1
!
= 1 b − 1
à 1 ab n
0 (b − 1)b n
! Ã b − 1 − a
0 1
!
= 1 b − 1
à b − 1 a(b n − 1)
0 (b − 1)b n
!
=
à 1 b bn− 1
− 1 a 0 b n
!
.
(3)
| A n | = b n だから,| b | > 1 (
条件より| b | 6 = 1)
ならば,| A ∞ | 6 = 0
.
よって,逆行列をもつための条件は| b | > 1.
A −n = 1 b n
à b n − b bn− − 1 1 a
0 1
!
= Ã
1 − 1 b − −bn1
1 a 0 b 1n
!
.
A −∞ = lim
n →∞ A − n =
⎛
⎝ 1 a 1 − b
0 0
⎞
⎠.
2.
(1)
特性方程式t 2 − t + 1 = 0
より,t = 1 ± √ 3
2
.よって,
y = e
x2³ C 1 cos
√ 3
2 x + C 2 sin
√ 3 2 x
´
.(2)
特殊解は,山辺の方法を用いて,x 2 + x − 1
1 − D + D 2 )
x 2 − x
∴
y = e
x2³ C 1 cos
√ 3
2 x + C 2 sin
√ 3 2 x
´
x 2 − 2x + 2
+ x 2 + x − 1. x − 2
x − 1
− 1
1
3.
(1)
sin x = t
とおくと,cos x dx = dt
,cos 2 x = 1 − sin 2 x = 1 − t 2.
Z
π2
0
cos 3 x
√ sin x dx = Z
π20
cos 2 x
√ sin x cos xdx = Z 1
0
1 − t 2
√ t dt = Z 1
0
¡ t −12 − t
32¢
= h 2t
12− 2
5 t
52i 1 0 = 8
5
.(2)
log x = t
とおくと,x = e t,dx = e t dt
. x 0 −→ 1 t −∞ −→ 0
.
Z 1
0
sin(log x) dx = Z 0
−∞
e t sin t dt = I
とおく.I = h
e t sin t i 0
−∞ − Z 0
−∞
e t cos t dt = 0 − nh
e t cos t i 0
−∞ + Z 0
−∞
e t sin t dt o
= − 1 − I
. よって,2I = − 1
から,I = − 1
2
.(3)
y − x = ± p
a 2 − x 2 ( − a ≤ x ≤ a)
の図は 右のようになる(ただし,a = 1
としてある).面積は,
Z a
− a { x + p
a 2 − x 2 − (x − p
a 2 − x 2 ) } dx
= 2 Z a
− a
p a 2 − x 2 dx = 2 · πa 2
2 = πa 2.
4.
(1)
三角形の面積は
1 2 | a × b |
=
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯
i j k 2 1 − 3 3 1 − 2
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯
= 1
2 | (1, − 5, − 1) | =
√ 1 + 25 + 1
2 = 3 √
3 2
.(2)
三角形
ABC
の単位法線ベクトルn
をn = (cos α, cos β , cos γ) (
ただし,α
はn
とx
軸のなす角,β
はn
とy
軸のなす角,γ
はn
とz
軸のなす角)
とおくと,cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
です.また,
S xy = S cos γ, S yz = S cos α, S zx = S cos β
ですから,S xy 2 + S yz 2 + S 2 zx = S 2 (cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ) = S 2 となります.
(3)
下図で,
−−→ P Q = −→ P A + −−→ AB + −−→ BQ
.この関係式を与えられたベクトルで書き直すと,
−−→ P Q = r 2 − r 1.ある定数t 1 , t 2 を用
2
いて,
−→ P A = t 1 v 1 , −−→ BQ = t 2 v 2 で,
また,
−−→ AB
はv 1 とv 2 に直交していますから,距離d
を用いて−−→ AB = d v 1 × v 2
d
を用いて−−→ AB = d v 1 × v 2
| v 1 × v 2 |
と 表せますから,.r 2 − r 1 = t 1 v 1 + d v 1 × v 2
| v 1 × v 2 | + t 2 v 2
となります.
したがって,
r 2 − r 1 − d v 1 × v 2
| v 1 × v 2 | = t 1 v 1 + t 2 v 2.
この両辺のベクトルと
−−→ AB
の内積をとると,−−→ AB
がv 1 とv 2に直交していることに
注意して,
(r 2 − r 1 − d v 1 × v 2
| v 2 × v 1 | , −−→ AB) = 0
で,左辺の内積は,