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平成24年度 名古屋大学 解答例

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Academic year: 2021

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(1)

平成24年度 名古屋大学 解答例 

1.

 

(1)

 

| A − λE | =

¯ ¯

¯ ¯

¯

1 − λ a 0 b − λ

¯ ¯

¯ ¯

¯ = (λ − 1)(λ − b) = 0

から,

λ = 1, b

 

λ = 1

のとき,固有ベクトルは,

( 0x + ay = 0

(b − 1)y = 0

より,

b 6 = 1

だから,

y = 0

よって,

à x y

!

= t 1 Ã 1

0

!

(t 1

は任意の実数).

 

λ = b

のとき,固有ベクトルは,

( (1 − b)x + ay = 0

0x + 0y = 0

より,

y = b − 1

a x, (a 6 = 0)

よって,

à x y

!

= t 2 Ã a

b − 1

!

(t 2

は任意の実数

)

(2)

 

P = Ã

1 a

0 b − 1

!

とおくと,

P 1 AP = Ã

1 0 0 b

!

P 1 A n P = Ã

1 0 0 b n

!

よって,

A n = P

à 1 0

0 b n

! P 1 =

à 1 a

0 b − 1

! Ã 1 0

0 b n

! 1 b − 1

à b − 1 − a

0 1

!

= 1 b − 1

à 1 ab n

0 (b − 1)b n

! Ã b − 1 − a

0 1

!

= 1 b − 1

à b − 1 a(b n − 1)

0 (b − 1)b n

!

=

à 1 b b

n

1

− 1 a 0 b n

!

(3)

 

| A n | = b n

だから,

| b | > 1 (

条件より

| b | 6 = 1)

ならば,

| A | 6 = 0

よって,逆行列をもつための条件は

| b | > 1.

A −n = 1 b n

à b nb b

n

1 1 a

0 1

!

= Ã

1 − 1 b

bn

1

1

a 0 b 1

n

!

A −∞ = lim

n →∞ A n =

⎝ 1 a 1 − b

0 0

⎠.

2.

 

(1)

  特性方程式

t 2 − t + 1 = 0

より,

t = 1 ± √ 3

2

よって,

y = e

x2

³ C 1 cos

√ 3

2 x + C 2 sin

√ 3 2 x

´

(2)

 特殊解は,山辺の方法を用いて,     

x 2 + x − 1

 

1 − D + D 2 )

 

x 2 − x

    

∴ 

y = e

x2

³ C 1 cos

√ 3

2 x + C 2 sin

√ 3 2 x

´

       

x 2 − 2x + 2

      

+ x 2 + x − 1.               x − 2

      

x − 1

            

− 1

1

(2)

3.

 

(1)

sin x = t

とおくと,

cos x dx = dt

cos 2 x = 1 − sin 2 x = 1 − t 2

Z

π2

0

cos 3 x

√ sin x dx = Z

π2

0

cos 2 x

√ sin x cos xdx = Z 1

0

1 − t 2

√ t dt = Z 1

0

¡ t

12

− t

32

¢

= h 2t

12

− 2

5 t

52

i 1 0 = 8

5

(2)

log x = t

とおくと,

x = e t

dx = e t dt

x 0 −→ 1 t −∞ −→ 0

Z 1

0

sin(log x) dx = Z 0

−∞

e t sin t dt = I

とおく.

I = h

e t sin t i 0

−∞ − Z 0

−∞

e t cos t dt = 0 − nh

e t cos t i 0

−∞ + Z 0

−∞

e t sin t dt o

= − 1 − I

よって,

2I = − 1

から,

I = − 1

2

(3)

y − x = ± p

a 2 − x 2 ( − a ≤ x ≤ a)

の図は 右のようになる(ただし,

a = 1

としてある).

面積は,

Z a

− a { x + p

a 2 − x 2 − (x − p

a 2 − x 2 ) } dx

= 2 Z a

− a

p a 2 − x 2 dx = 2 · πa 2

2 = πa 2

4.

 

(1)

 

三角形の面積は

1 2 | a × b |

=

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯

i j k 2 1 − 3 3 1 − 2

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯

= 1

2 | (1, − 5, − 1) | =

√ 1 + 25 + 1

2 = 3 √

3 2

(2)

 

三角形

ABC

の単位法線ベクトル

n

n = (cos α, cos β , cos γ) (

ただし,

α

n

x

軸のなす角,

β

n

y

軸のなす角,

γ

n

z

軸のなす角

)

とおくと,

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

です.

また,

S xy = S cos γ, S yz = S cos α, S zx = S cos β

ですから,

S xy 2 + S yz 2 + S 2 zx = S 2 (cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ) = S 2

となります.

(3)

 

下図で,

−−→ P Q = −→ P A + −−→ AB + −−→ BQ

この関係式を与えられたベクトルで書き直すと,

−−→ P Q = r 2 − r 1

.ある定数

t 1 , t 2

を用

2

(3)

いて,

−→ P A = t 1 v 1 , −−→ BQ = t 2 v 2

で,

また,

−−→ AB

v 1

v 2

に直交していますから,距離

d

を用いて

−−→ AB = d v 1 × v 2

| v 1 × v 2 |

表せますから,

r 2 − r 1 = t 1 v 1 + d v 1 × v 2

| v 1 × v 2 | + t 2 v 2

となります.

したがって,

r 2 − r 1 − d v 1 × v 2

| v 1 × v 2 | = t 1 v 1 + t 2 v 2

この両辺のベクトルと

−−→ AB

の内積をとると,

−−→ AB

が 

v 1

v 2

に直交していることに 注意して,

(r 2 − r 1 − d v 1 × v 2

| v 2 × v 1 | , −−→ AB) = 0

で,

左辺の内積は,

d (r 2 − r 1 , v 1 × v 2 )

| v 1 × v 2 | − d 2 = 0

となり,

d = (r 2 − r 1 , v 1 × v 2 )

| v 1 × v 2 |

となります.

d > 0

ですから,求める距離は,

d = | (r 2 − r 1 , v 1 × v 2 ) |

| v 1 × v 2 |

3

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連結会計 △ 6,345 △  2,963 △ 1,310 7,930 724 普 通会計 △ 6,700 △  2,131 △ 3,526 6,334 △ 970. 基礎的財政収支

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