物理学演習 第９回 単振動
前回の問題と解答例は→http://www.ritsumei.ac.jp/˜kht23151/pd/
ウォーミングアップ
x(t) = 2 sin (
3t+ π 6
)とする．以下の問いに答えよ．
(1) x(t)の微分，および２階微分を求めよ． (2) x(0), ˙x(0)の値を求めよ．
(3) x(t) =√
3 sin(3t) + cos(3t)を示せ．（加法定理を用いよ）
原点を振動の中心とする，単振動の一般式は
x(t) =Asin(ωt+θ0)
のように表されるaここで Aは振幅，ω は角振動数，θ0は初期位相と呼ばれる．
このような運動は，変位に比例する復元力が作用するような質点に対する運動方程式の解として得られる．ここにω （およ び振動数，周期）は，運動方程式から決定されるが，振幅と初期位相は，初期条件によって定まる（《問A》参照）．
ax(t) =Acos(ωt+θ0)のように，cosを用いてもよい．この違いは初期位相θ0の π
2 の差に過ぎない．
《問A》L を正の定数とする．微分方程式
¨
x=−Lx ··· ⃝1
の解を求めたい．x= 0 は明らかに解のひとつであるが，以下ではx̸= 0のものを考える．
(1) A >0,α >0, 0≤β < π を未知の定数として，x(t) =Asin(αt+β)が⃝1 の解であるための，A,α, β を求めよ．
(注：決定できない定数もある）
(2) x(0) = 2, ˙x(0) = 0を満たすような⃝1 の解を求めよ．
《問B》２章【問３７】を解け．
《問C》２章【問３８】を解け．
《問D》２章【問４１】を解け．（おもりの位置が釣り合いの位置にあるときを原点にする座標系のほうが，(2)以降の問が解きや すくなる．）
《問E》（オイラーの公式）iを虚数単位とする．f(x) =e−ix(cosx+isinx)とおけば，f(x) = 1（恒等的に１に等しい）こと を，fの微分を利用することで示せ．また，こうして得られた関係f(x) = 1の両辺にeix を乗ずることで，オイラーの公式
eix= cosx+isinx ··· ⃝2 が成立することを確かめよ．
*《問F》《問A》の方程式⃝1の解を求める別の方法を考える．
(1) λを定数とする．x(t) =eλtが解であるならば，λはどのような値になるか．
(2) もしϕ(t),ψ(t)が⃝1の解であるならば，α,βを任意の定数とするとき，αϕ(t) +βψ(t)も⃝1の解になることを示せ．
(3) C,Dを定数とするとき，(1)と(2)の結果とオイラーの公式⃝2を組み合わせて，Csin(√
Lt) +Dcos(√
Lt)が⃝1の解になる ことを示せ．
(4) (1)で仮定した形を利用して，L >0のとき，方程式
d2x
dt2 =Lx ··· ⃝3
の解を求めよ．
(5) （発展的な問題）(1)で仮定した形を利用して，方程式
d2x dt2 +adx
dt +bx= 0 ··· ⃝4 の解を求めよ．
