線形制御系微分方程式の正規形への変換について
山 岸 亘
A M e t h o d o f T r a n s f o r m i n g a Linear Vector‑Matrix Differential Equation into the Canonical Form
Wataru Yamagishi
l.
ま え が き
最近,制御対象が完全可制御である線形制御系のベ ク トル数分方程式を正規形へ変換す る方汝
(2)(3)(4)(5)
が盛んに論議 されてい る。
Wonham
氏 と
Johnson氏が最適化の問題に関連 し,正規形への変換行列を求め得 ることを示
( 1 )
(2)したが,具体的に示 さなか ったので,後に固有値が異なる場合に求める方法を示 した。固有値に
( 8 ) ( 4 )
重役度のある場合は
Muft i氏が解決 し,さらに より簡単な方法を
Chidambara氏が発展 させ た 。
Tou
氏は変換行列を求める際の
Vandermondeのマ トリックスの逝行列を求め る 簡便方法を示
(
5)( 6 )
し
,Brule氏は
Vandem ondeマ トリックスの性質を論 じてい る。
Wonham,Johnson
,
Mufti,Chidambara諸氏の論文は対象の係数行列が 実数行列であるが その固有値が複素数になるときは過程の計算は複素数計算をす ることになる。本論文は常に実数 計算のみで変換行列を求める方法を示 した。その際,係数行列を実数からなる準対角線形行列に 変換す る方法を副次的に示 している
。 2節以下で使用する行列論お よび可制御に関す る定理は付 録にまとめておいた。
2.
問 題 の 設 定
単一入力の定常な線形制御系の動特性は次のベ ク トル微分方程式で記述され る。
主‑Ax+fu (1 )
t ここで
x‑[ : : :
':
.',)対象の状態ベク トル
;可 ;
:1.I.I.'aa:
"唇 の係数行列
f=
駆 動ベ ク トル
;u‑a(i ,‑ ラ‑ 関数 ;・‑慕
( T ) ( 8 ) 系( 1 ) で表わ され る制御対象
A′ は完全可制御
(CompletelyControllabl e) とす る。
定理
1と
Hamilton・
Cayleyの定理 より定理
2が得 られ るので,行列
Aの固有多項式 X( i ) と
数学科
106
長野工業高等専門学校紀要 ・第
2号
最小多項式 P( i )は等 しい。 したが って行列論の定理 3 よ り単 因 子
e,I(i)は el ( i )‑・ ・ ・ ‑‑
‑‑en̲
I
(i )‑
1,en(i )‑P(
i)‑I(i)となる。
X(i)‑P(i)‑bo+bit+
・ ・ ・ ・ ・ ‑‑
・+b〃̲ltn‑1+i"とす ると定理
4か ら
Pl1AP‑
bl ・.I‑
bn ̲ 2 ‑b
ullゆえに ,x=P u なる
1次変換により
(1)は
b=Boy+Iouただ し
fo‑Pllf‑〔00・・ ・
・・
・・・・・・・01〕Tなる正
則行 列Pが存在す る
。(4) (5)
本論文は正則行列
Pを求めることが 目的である。その際,複素数行列を求めることな く実数行 列 のみか ら変換行列
Pを求めるのに特徴がある.
3.
方 法 の 概 要
A
は実数行列であるか ら固有値は
Aが実対称行列でなければ必ず しも実数 とならぬ。 したがっ て
Aの固有値は複素数 とな り得 る
。Aを複素数体における行列 と考えると,普通の
Jordan標 準 形 定理
5がな りたつ。 しか し
Aを実数体の行列 とみるときは定理
5はな りたたぬ。(
2)を実数体に おいて因数分解する。
p(i)‑I(i)‑(
i ‑}l )
.・・(汁
),)(i ‑F L l
)♪1・・・(i ‑
〃S)♪sI(卜
α1)2+β 1 2 1‑ I
(i‑α
V)2+βV 2 1 ( ( i
‑ql)2+p1214.・・・((i‑qw)2+pw2IqpS W
( 各因数互に素
,βL>0
,PJ>0,r+∑♪,i‑1・+2V+2∑q戸 n)i巨1・ ・ ・ ・ ・ ‑・
・・・ (6)F L ‑ ( ; : .
I‑a?ll(2
q, ・ 次
)i‑1,・・・,Wただ し G 0 . I ‑
A‑B㊨Dl
◎・ ・ ‑
・⑳Ds◎Fl⑳・ ・ ・ ・
・・◎Fy◎Gl⑳・ ・ ・
‑◎Gw(2
次
)∫‑1, ' ' ' 1V
〔 q p ∴7 半
しを作 る。 固有行列
tE‑Aの単因子は主対角線上の細胞行列の最小多項式の最小公倍数がAの皮 小 多項式であることを用いて
e"(i)‑P(
i)‑I(i)となるので
el(i)‑・ ・ ・
・・・‑en‑1‑1 e" (
i)‑I(i)よ り
iE‑Aの単因子 と一致す る。定理
6によ り
^‑MAW‑1
な る実数の正則行列M が存在す る
。Z‑Mxなる1次変換を( 1 ) にはどこす。
●
Z‑AZ+du
完全可制御性 より
2ql‑2
′一・.・.・.・、 2V
r‑「 ′‑ J‑ ヽ
′
一・ ・ ・ ・ . ・ . ・ . ・ . ・ ヽ
/ 一 ヽ′一・・・・・・・.・、 a‑Mf‑l l
l・・1,0・・10I,. ・ ・ ,
0・ ・ ・
01 ,
1010・・・10.0・・・01r Pl‑1
Ps ‑1
〈・.・.・、 ′一一一 ヽ
′
一・ ・ ・ ・ . ・ . ・ . . . ヽ
2qJ一w‑2ヽ1
,‑・
,0・・・011〕T (lO( 3 ) ( 8 ) より
M ‑1^M ‑A‑PBoPl1 ∴ ^‑(M P)Bo(M P)lMP‑R
とお くと
p‑M lR,A‑RBoR‑1●
1
次変換
Z‑Ru に より ( 4 ) は
Z‑AZ+du,a‑Rfo(lD
Oう
( l う u
4) u5J( 8) 個 の
MA=^M ,RBo‑ARより
M ,Rを( 1 0 , 8 9を考慮 して求めu 2 ) に代入 P を求め る。
4. M
を求める方法
A‑〔a,.
た 〕
,M ‑〔m. ・ k 〕
,mi‑〔m.・1・・・・・・mEJTとし
,M A‑AMを要素であらわす.
ベ ク トル
m.・の成分
m,・1・・ ・
‑mEガを未知数 とす る4 種煩 の連立方程式に表わ され るo
(AT‑A,・E)m.・‑0
,(′mE)‑1 (i‑1‑r)I‑r+
♪1 +・ ・ ‑・ +♪
,A‑1とす るとき
( ATI
FL.IE)mt+1‑mL+2
(fmL+1)‑0(AT
‑
fL・・E)mL+
b・二1‑mL+PL (fml+b・‑1)‑0 (ATI
Iu,・E)Tnt+♪̀‑0 (fmt+P.)‑1 I‑r+♪1+・・ ・ ・
・・+♪S+2ト 2とす るとき
(A7'‑αig)mJ+1‑‑β∫れ′+2 (′mJ+1)‑1 (AT‑a,・E)TnL+2‑P.・mt+1 (fmL+2)‑0 I‑Y+∑♪Li‑1+2V+2(ql+‑+
q. ・ ̲ 1 ) とするとき
uG)
(i‑1・・・・・・S)
u 7
)(i‑1‑ ・・・V) nB)
(AT‑0.1E)ml+1‑‑P,・mL+2+ml+3 (fmL+1)‑0 (AT‑U.・E)Tnt+2‑P.・mL+1+mt+4 (fmL+2)‑0
(AT‑O.・E)m1.24.‑3‑‑P.・Tnl.2..‑2+mL.2ql‑1 (fmt.2..13)‑0 (i‑
1
‑W) ug) (AT‑U,・E)Tnt+2qL̲2‑PLmt+2Q.̲3+mL.24 .
(J'mL.2..̲2)‑0(AT‑O.・E)mL.2qr1‑‑P.・mL.2
Q .
(j'mt.2..̲1)‑1 (AT‑O,・E)mt.2.I‑P.ltnL.24「1 (fm1.2q.)‑1 u6)(
17 1 ( 1 8 ) ( 1 g ) を解 くために次の補題を証明す る.
補 遍 1
系(1)の行列j lを複素数体における行列 とし,固有多項式
x(i)は(
6)で 表わ され ると す る。すなわち
x(i)‑(i‑ll)
・ ‑‑( i ‑A
,)
tt‑(α1+βlj)II t
‑(α1‑βlJ'))・ ・ ・ ・ ・ ・
tt‑(αU+βu J ' ) It t ‑( αV ‑
βuJ')I(i ‑i
ll)Pl ・ ・ ・
‑(i‑FLs)b ・ t t
‑(ql+PlJ')I
qL t t
‑(01‑Plj)I41‑・‑t t
‑(qw+PwJ .
)†qwf l ‑
(0.p‑pwJ')IqwS
W( 各国数互に素
・β・'>0・P・・>0・r+∑♪E1 ‑ =1
+2V+2,.Eiq・・‑n・)I‑ / a )
このとき
rank(AT‑ll
E)‑n‑1 (i‑1
‑r) rank(ATI
FL.・E)♪已 n‑PE
(i‑1
‑S)rank(jlT‑(αi+
β, .
)I)E)‑n‑1 rank(AT‑( a, I ‑β. l
j)E)‑a‑1 (i‑1‑‑V) rank(AT‑(0.・+P. l
j)E)qL‑n‑q.I rank(AT‑(0.・‑P. ・
)')E)Q.A‑n‑q E
(i‑1‑ ・.・W)
がな りたつ。
108
長野工業高等専門学校紀要 ・第
2号
補題
2行列
(AT‑α.・E)2+P.・2E, ((AT‑O.・E)2+p.12El
q̀ を実数体における行 列 とす る とき,実数体における階数について
rankI(AT‑aLE)2+β.・2EI‑n‑2 (i‑
1‑ ‑・ V)
rankt(AT‑U.・E)2+p.・2E)q̀‑n‑2qL (i‑1
‑・・・W)がな りたつ。
1 の証明 複素数体上のn 次元ベ ク トル空間を V とし,行列
ATの表わす1次変換を f と す る
. Z(i)‑ltE‑AL‑LtE‑ATlよ り
X(i)は
ATの固有多項式である. よって定理 7と 一般に1次変換
gの
ran k と退化次数
defの関係
rankg+defg‑dimVと
defg‑dim(Kerg)とより明らかであ る。
2
の証明
fの多項式
g( i)‑( ( I‑U.
・)2+p,1214 暮 は
1次変換であ る。補題
1よ り
dimKer
t f
‑(U.・±P. ・
)')14'‑q. ・であるか ら
KertF
‑(U.・+P. I
)I)14 ̀の 基 底 ・ を
txl‑・X. J とし,
Kertf‑(U.1‑β. ・ j
)J
q.の基底を
tyl・・・yqJ とすれば合わせた
txl・・・X..yl・・・yq . )紘
g
( i)
‑IF
‑(U.・+P. A
)')I
q̀ t F
‑(qr P. ・
j))
qf
‑tF
‑(O.・‑P. l J '
)I4 ‑ t f
‑(U.・+P. l
j)i
q̀ と因数が交換できるから
txl‑Xq.yl・・・yqJEKerg(f)しか も固有値が異なるから
2q. ・個は
1次独立で
Kerg( I)の基底 となる.
∴ dimKerg(i)‑defg(i)‑2q.・ ∴ rankf(AT
‑U.
・E)2+p,・2EiqI‑n‑2q,・実数行列 P
,Qを適当にとれば
pKAT‑q・.E)2.p・・2E)9・Q‑lgr
o
Or (Er
r掴 位行列)
p
,Qを複素数体における正則行列 とみな し,複素数体における行列の階数の一意 性か ら
r‑n‑2q.1 ∴ rankt(AT‑U,・E)2+p.・2Elq''‑n‑2q.A (実数体における階数) 終
u6)の解法
m,・は
ATの固有値スバこ対す る固有ベ ク トルである。eOより
rank(AT‑lEE)‑1
l
‑1であるか ら
m.・についてとけ,T
nEの
1つの任 意 定 数 を
(fm,I)‑1よりきめれば一意に求 まる。
( 1 7 ) の解法
rank(AT‑
fL,.E)♪'‑1 ‡ ‑P. ・と か・個の式をまとめた
(AT‑fL.・E)♪LmL.1‑0 より1
nt.1が求 まる。独 立 な
か1個の任意定数を含む。T
nt.1を第
1式に代入
L mL.2を求め逐次代入 して ♪. 1個の解を求める
。(fmL'1)‑0 ,. ・ ・ ・
・・(fmL'
少,ll)‑0
,(J.1nt' P
.)‑1に代入 L PE個 の 任意定数をきめて解を得 る。
8 8の解法 第
1式 より
(Ar
‑α.lE)2m7.1‑‑β,A(AT⊥a,・E)m1.2第
2式を代入 して
一一・I(AT二a.・E)2+β.・2Elm,.i‑0e
カよ り
rankI(AT‑α.・E)2+β,・2Ei‑n‑2であるからmt..が 求 ま り
2個の任意定数を含む。mJ
.1を第
1式に以入
L mJ.2を求め
(′mJ+1)‑1
,(′mJ.2)‑0より定数をきめればよい。
8 9の解法 複雑になるため
J‑0,q.I‑3の場合についてと く。(JIT‑qE)m1‑‑Pm2+m3 (AT‑PE)m2‑Pml十m4 (・AT‑qE)m3‑I PH!4+叩5 (AT‑qE)m4‑Pm3+m6
L 紬
(fml)‑0陶
(fm2)‑0 餌 (fm3)‑0e7 )
(fln4)‑0帥
糾 船 脚
(AT‑qE)m5‑‑Pm6
幽
(fm5)‑1 (AT‑qE)m6‑PmS掛
(fm6)‑1餌 鋤か ら
t(AT‑qE)2+p2EIm5‑0,I(AT‑qE)2+p2EIm6‑0細 田 鯛 0 7 ) 鍋 鮒から
((AT‑oE)2+p2Elm3‑12Pm6,((AT‑qE)2+p2Elm4‑2PmS的 鋤
((AT‑qE)2+p2E
l 2
m3‑0
, ((AT‑qE)2+p2EI2m 4‑0鯛 的 朗 餌 鯛か ら
Ⅰ(AT‑q
E)2+p2Elml=‑2Pm4十m5 的的 榊 鋤から
Ⅰ(AT‑qE)2+p2El2Tn1‑‑4P2m5的
/. ((AT‑qE)2+p2E13m1‑0よって
,rank†(AT‑qE)2+p2E13‑n‑6だからmlが求め得 る
0 6つの独立な不定常数を含む。
これを的に代入 し
,m5を求め m5を鯛に代入 し
,m6を求め,¢か
こmlm5を代入 し
,m4を求 める。
さらに,QZ I に
m4m6を代入
L m3を求めe i ) に
mlと
m3を 代 入
Lm2を求め,ml ‑
・・・m6が全部求まる
。ml
‑・・・m6に含 まれ る6つの不定常数は榊‑脚に代入 し決定す る。
5.R
を求める方法
R‑〔rLl
〕 とし , 的の
RB。‑J W を要素で表わ しM の求め方 と全 く同様に して四種規の 方 程 式を作 り
r,・上について とくことができる.なぜならば(
3)よ り
B。‑p‑1AP (P正則行列)であ るか ら固有値,単因子,最小多項式が等 しい。 したが って
4の
Aを β。に変えれば全 く同 じ方汰 で
Rを求めることができる
.B.は同伴行列で形が極めて簡単のため
Y.・kを求め る方程式 も簡単 になる.た とえば8 6( 1 かこ相当す る方程式は
‑boy,・n‑i,.Y.・l
r.・1‑blr.・n=lJ・rJ・2
r,.〜̲1‑b"̲1rE"‑i.・rl・"
l‑r+ZPl+♪2
十・ ・
‑・+♪E‑1の とき
‑borL+七n‑FL,.rL+た1+rt+A+1 1 rL+A1‑blrl+と〃‑FLErL+上2+rL+I+1 2
rt+in̲1‑b〝̲1rL+I"‑FL.・rL+i〟+rL+A+1"
‑boll
.
♪..,‑ILirI.
∫. IrL+♪一1‑blrL+A.n=FL.・rL+♪̀ 2
rL+
J
'.〜‑1‑b〝‑1rt+♪̀〜‑FLl・rL+3
'̀ガ( i ‑1 ,・ . ・
・・・,r)
(16′)(k‑1・・・・・・P
. ・ ‑1)
(17′)(A
‑♪. ・の とき)
(17′)である.なお( 1 0 8 与より
d‑lrl〝r2.‑・・・r""〕Tを注意せ よ。lュo
系
( 1 ) で
長野工業高等専門学校紀要 ・第2号
\」227一一418
126一一/し
こ A
6.
計 算 例
・
弓… )とす るo x( i )‑J t E‑AL ‑
i3 17 t 2 +1 9t ‑1 3‑( i ‑1)(
i2 ‑6 i +1 3)
A
の固有値は t ‑1,3+2
)I ,3‑2 1 ‑である. i E‑A の行列式因子は dl ( i )‑1,d2 ( i )‑1,d3 ( i )
‑x( i ) となるか ら単因子 el ( i )‑e 2 ( i )‑1,e 3 ( i )
‑I(i )ゆ えに
x( i )‑p( i )が確かめられ るO よって BO ‑
的
鯛 で r ‑1 ,I ‑1,V‑1 とおき
〔≡ … 二 …… 〕 広口…〕
0 1 0 0 13 ‑19
,mll+m12+13‑1
\」023
032
100/̲̲̲̲̲̲し
こ < 二
十iiiiiiiiiiiii iiiiiiii iii Hl
12 3
11 1 m ≡ S ′̲.
̲..̲̲̲ ー̲.︻l l\
(AT‑3 E) m2 ‑‑2 m3 ,(j l T‑3E) m3 ‑2m2 ,(fm2 ) ‑1,(
FIRS )‑0
より t (AT‑3 E) 2 +4 EI m2 ‑0 すなわち
以上 よ り ∬
‑1143jS1)rS
l了」102.10
2143畑1.1
a‑lij
‑ 騨 r1 3 ‑1
/.p‑M‑IR‑
43 ‑14
‑ 7 10
‑27 ‑ 6
135一一
315
404
/̲̲̲.̲し
こ〃
r23‑0
r3 3 ‑1 よって
守
2一41
7 1 t4
l・01624一一一
3231/しこ
R
7.
ま と め
計算過程に実数行列 のみを扱 うようにす ることは計算を簡単にす ることにはな らぬ が,変換 行 列を複素数行列 を求め ることな く実数範 囲の計算 のみで求 め うる可能 性は示す ことが で きた。
係数行列 の次数が低い ときは有用 であろ う。副次的ではあ るが
(1)式が
(9)式に変換 させ るには
(8)が変換方法を示 してい ることに注意 され たい。行列論 では適当な正則行列〝 を とれば可能 であ る
とい ってい るが,完全可制御性 よ り具体的に求め ることがで きる。
この問題は解法を よ りか んたんに しよ うとい う意図に よるものであ るが,全 く別 の 観点か ら簡
(9)B
q
単化 しよ うとす る試 みがな されてい ることを付記 して お く。
参 考 文 献
(1) W.M.Wonham andC.D.Johnson,̀̀Optimum bang‑bangcontrolwithquadraticperformance index;'ASMETrams.,J.ofBasicEngrg.,vol.86,pp,1071115;March,1964
(2)C.D.JohnsonandW.M.Wonha
m
,̀̀Anoteonthetrasformationtocanonical(Phasevariable) form,IEEE.Trams.onAutomaticControl,γol.AC‑9,pp.312‑313,July1964(3) I.H.Mu
f t i
,''Onthereductionofasystem tocanonical (phase・variable)form, "
lEEETrams. OnAutomaticControl(Correspondence),vol.AC‑10,pp.206‑207,April1965(4)M.R.Chidambara
,"
Thetransformationto(phase・variable)canonicalform, "I
EEETrams.On AutomaticControl(Correspondence),γol.AC‑10,pp.492‑494,October1965(5) ∫.T.Tou,̀̀DeterminationofinverseVandermondematrix,''IEEETrams.OnAutomaticControl (Correspondence),γol.AC‑9,pp.314,July1964
(6) J.D.Brule,̀̀A noteontheVandermondedeterminant
,
''IEEETrams.OnAutomaticControl (Correspondence)Vol.AC‑9,pp314‑315,July1964(7) R・E・Kalman,"Whenisalinearcontrollsystem optimal'',ASME.Trans・,∫.ofBasicEngrg.,γol. 86,pp.51‑60;March,1964 一▲暮 (8) J.T.Tou,ModernControlTheory,New York,McGraw・H
i
ll,1964,pp.51‑53,pp.149‑154 (9) E・J・Davison,̀̀A Methodforsimplifyinglineardynamicsystems,
''IEEETraltSl0nAutomaticControl,vol.AC‑ll,pp.9311
0
1,January1966的 M.R.Chidambra,"Onamethodforsimplifyinglineardynamicsystems
,
''IEEETrams.On Auto・maticControl,γol.AC‑12,pp.119‑120,January1967
付 録
定理
1 乃×〝行列 〔
r,rA,‑・.rA"1〕の
rankが 〝のとき,そのときのみ(1)式は完全可制御である。
定理
2微分方程式
(I
)が完全可制御であれば行列A の最小多額式 P( i )と固有多項式
x(i )とは一致する。
It
定理
3固有行列
IE‑Aの単因子を
el(i)‑・・.・en( i )とすれば
x(i)‑He,・(i
).en(i)‑P(i) I‑tjl定理 4 体Kにおける行列Aの固有行列
tE‑Aの単田子の中で 1でな い ものを
eh+1(i)・・・‑e"(i)とし,
C.・(I)
の同伴行列を
B, ・とすると
B‑Bh+1◎‑・.・◎B.=P‑1APなるKにおける正則行列Pが存在 する。
定理 5 複素数体における行列Aは固有値がすべて体の中にあるので複素数体における適当な正則行 列 に よって
Jordan標準形行列に変換できる。定理
6体Kにおける
n次の正方形行列
A,Aに対して
^‑M^M ‑1となるKの正則行列M が存在するた
112
長野工業高等専門学校紀要 ・第
2号めの必要十分条件は
iE‑A,iE‑Aの単因子が一致することである。
定理
7 fは
n次元ベク トル空間Vの 1次変換でその固有値 u l ・ ・
‑・Ukはすべて基礎体Kに含まれ る とす る。そのときFの固有多項式
X(i)はX(i)‑(i‑ul
)Tl ‑・ ・ ・ ・
(卜 ut)Ttの形に因数分解 され
ker(∫‑uE)T・‑W,・(i‑