• 検索結果がありません。

問 1. 複素数 z = x + yi ∈ C , (x, y ∈ R ) に対して, 行列 A(z) =

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

シェア "問 1. 複素数 z = x + yi ∈ C , (x, y ∈ R ) に対して, 行列 A(z) ="

Copied!
2
0
0

読み込み中.... (全文を見る)

全文

(1)

数学 II 演習 (2)

1. 複素数 z = x + yi C , (x, y R ) に対して, 行列 A(z) =

µ x y y x

を対応させる. このとき, 勝手な二つの複素数 z, z

0

C に対して, 次の式が成り立つ ことを示せ.

(1) A(z + z

0

) = A(z) + A(z

0

) (2) A(zz

0

) = A(z) · A(z

0

) (3) A(1) = I

(4) A(¯ z ) =

t

A(z)

(5) A(z) ·

t

A(z) = | z |

2

· I

ただし, 2 行 2 列の単位行列を I と表わし, 行列 A(z) の転置行列 ( すなわち, 行 と列をひっくり返した行列のこと. 英語で, 転置を transpose と言う. ) を

t

A(z) と 表わした. 今の場合,

t

A(z) =

µ x y

y x

である.

2. 実数 θ R に対して,

R(θ) =

µ cos θ sin θ sin θ cos θ

なる行列を考える.

(1) 勝手な実数 θ, ϕ R に対して,

R(θ + ϕ) = R(θ) · R(ϕ) となることを示せ.

(2) n = 1, 2, 3, · · · に対して,

R(nθ) = R(θ)

n

= R(θ) · R(θ) · · · R(θ)

| {z }

n

となることを示せ.

(3) (cos θ + i sin θ)

n

= cos(nθ) + i sin(nθ) となることを示せ.

裏に, 問 3, 問 4 があります.

Typeset by AMS-TEX

1

(2)

2

数学

II

演習

(

2

)

次の問では, あまり厳密なことは問わない.「Taylor 展開」については, いずれ微 積分学の講義で学んで下さい.

3.

(1) R 上の何度でも微分できる関数 f (x) が,

f (x) = X

k=0

a

k

x

k

= a

0

+ a

1

x + a

2

x

2

+ · · ·

というように「( 次数が無限大の ) 多項式の姿」で表わせるとする. このと き, 右辺が項別に微分できるとすると,

a

k

= f

(k)

(0) k!

でなければならないことを示せ. 但し, f

(k)

(x) は, f (x) の k 階導関数, すな わち, f

(0)

(x) = f(x), f

(1)

(x) =

dxdf

(x), f

(2)

(x) =

ddx2f2

(x), · · · である. また,

「項別に微分できる」とは,

d

dx (a

0

+ a

1

x + a

2

x

2

+ · · · ) = d

dx (a

0

) + d

dx (a

1

x) + d

dx (a

2

x

2

) + · · · という計算ができるということである.

(2) f (x) = e

x

, cos x, sin x とするとき, f (x) が上のように展開できることを認め て, 次を示せ.

 

 

 

e

x

= P

k=0 xk

k!

= 1 + x +

x2!2

+ · · · cos x = P

m=0

(1)mx2m

(2m)!

= 1

x2!2

+

x4!4

− · · · sin x = P

m=0

(1)mx2m+1

(2m+1)!

= x

x3!3

+

x5!5

− · · ·

そこで, 問 3 の結果を用いて, 複素数 z C に対しても,

e

z

= X

k=0

z

k

k!

= 1 + z + z

2

2! + z

3

3! + · · · と定めてみる.

4. θ, ϕ R , n = 1, 2, · · · に対して, 次を示せ.

(1) e

= cos θ + i sin θ (2) e

i(θ+ϕ)

= e

· e

(3) e

inθ

= (e

)

n

= e |

· e

{z · · · e

}

n

参照

関連したドキュメント

We provide an accurate upper bound of the maximum number of limit cycles that this class of systems can have bifurcating from the periodic orbits of the linear center ˙ x = y, y ˙ =

In the second section, we study the continuity of the functions f p (for the definition of this function see the abstract) when (X, f ) is a dynamical system in which X is a

We study a Neumann boundary-value problem on the half line for a second order equation, in which the nonlinearity depends on the (unknown) Dirichlet boundary data of the solution..

(The Elliott-Halberstam conjecture does allow one to take B = 2 in (1.39), and therefore leads to small improve- ments in Huxley’s results, which for r ≥ 2 are weaker than the result

Algebraic curvature tensor satisfying the condition of type (1.2) If ∇J ̸= 0, the anti-K¨ ahler condition (1.2) does not hold.. Yet, for any almost anti-Hermitian manifold there

In this paper, for each real number k greater than or equal to 3 we will construct a family of k-sum-free subsets (0, 1], each of which is the union of finitely many intervals

新製品「G-SCAN Z」、 「G-SCAN Z Tab」を追加して新たにスタート 新製品「G-SCAN Z」、 「G-SCAN Z

Some of the known oscillation criteria are established by making use of a technique introduced by Kartsatos [5] where it is assumed that there exists a second derivative function