大気大循環の 3 次元エネルギー スペクトルの解析

大気大循環の 3 _{次元エネルギー}

スペクトルの解析

2006

1

目次

Abstract ii

表図目次

iii

1

1

2

4

2.1

. . . . 4

2.2

. . . . 7

2.3

. . . . 11

2.4

. . . . 13

2.5

. . . . 14

3

16 4

17 4.1

. . . . 17

4.2

. . . . 18

4.2.1

. . . . 18

4.2.2

. . . . 19

4.2.3

. . . . 20

4.2.4

. . . . 21

4.3

. . . . 21

5

24

6

26

Analysis of the 3 Dimensional Energy Spectrum of the General Circulation of the Atmosphere

Koji TERASAKI

Abstract

In this study, the energy spectrum and the energy interactions of the atmospheric general circulation are analyzed, using the expansion in three dimensional normal mode functions. The analytical solutions of the vertical structure equations, which have non-aliasing, are used for the vertical direction. I could calculate the non-aliased atmospheric energy spectrum and the energy interactions.

According to the result of the analysis, most of kinetic energy is included in the barotropic mode. The secondary peak of kinetic energy is seen at one of the baroclinic modes which has an equivalent height about h

= 250 m. Most of available potential energy is included in the same vertical scale at the secondary peak of kinetic energy.

According to the result of the analysis of the energy interaction, following energy flows are found for the general circulation of the atmosphere. Energy of the atmo- spheric circulation is supplied by the solar radiation as the zonal baroclinic available potential energy. And this energy is converted into baroclinic available potential en- ergy at the synoptic scale. As soon as the conversion is completed, the baroclinic available potential energy is converted into baroclinic kinetic energy at the same syn- optic scale. Moreover, the baroclinic kinetic energy is converted into the barotropic kinetic energy at the same synoptic scale. The barotropic energy is then transferred to zonal barotropic energy by the up-scale energy cascade. Finally, the zonal barotropic kinetic energy is dissipated by the friction and the viscosity. It is found in this study that the energy spectrum and the conversions are consistent with that by Tanaka (1985), although the present study is based on the analytical vertical structure func- tions.

KEYWORDS : analytical solutions, vertical structure functions, three dimensional

normal mode functions, energy spectrum, energy interaction

表目次

1

(

2

)

(

2

)

. . . . 29

図目次

1

(m) 0

22

. . . . 30 2

ド

(m) 0

22

. . . . 34 3

細い実線は極域平均、点線は中緯度平均、そして破線は熱帯域の平均で ある。

. . . . 38 4

3

. 39 5

3

. . . . 40 6

モード、□は重力波モードである。

. . . . 41 7

6

. . . . 42 8

6

. . . . 43 9

をプロットしていて、それぞれ鉛直モードごとの図である。

. . . . 49 10

ビー重力波モードは東西波数

6

1

. . . . 50 11

トル。●は混合ロスビー重力波、○はケルビン波である。

. . . . 51 12

トル。記号は図

11

. . . . 52

13

. . . . 53 14

換量で、○は有効位置エネルギーの変換量である。上から順に全ての鉛 東西波数、帯状成分のみ、そして渦動成分のみの図である。

. . . . 54 15

m = 0

m = 7

上から順に運動エネルギー、有効位置エネルギー、そしてエネルギー生 成項、消散項の相互作用の図である。

. . . . 55 16

–

(Unit :

10

W/m

) . . . . 56 17

–

(Unit : 10

W/m

) . . . . 57 18

–

用。

(Unit : 10

W/m

) . . . . 58

1

地球規模の大気現象の理解には、大気波動論・大気エネルギー論的なアプローチが有効 である。

1939

(

)

(

, 1987)

波数展開による波の解析は

Saltzman (1957)

1

ビー波

(

, 1978)

彼はシノプティックスケールの波の運動エネルギーがプラネタリー波と短波の両方のエネ ルギーに変換されることを示した。

次に、球面座標系での

2

(

)

(Holton, 1992)

(

,

1960)

ロスビー・ハウルヴィツ波は球面座標系での運動方程式から発散を除去して得られる 波である。この発散をも考慮した波は規準振動

(

)

(

,

1987)

ドロスビー波の季節変化を衛星データなどを用いて詳細に調べた

(

(1987)

)

Kasahara (1976)

平方向と鉛直方向の基底関数を結合して

3

3

Saltzman

3

モード関数展開の特徴は南北方向と鉛直方向にも波数展開をすることであり、このことが 有益な情報を与えることも多い。例えば、田中

(1984)

Tanaka et al. (1986)

( )

(

)

3

Tanaka (1985)

第

1

GARP

(First GARP(Global Atmospheric Research Program) Global

Experiment

FGGE)

ギー相互作用についての解析を行った。その結果、周波数領域における鉛直方向に捕捉さ れるモードのエネルギースペクトルは周波数の

− 3

− 5/3

(

m = 4)

3

Tanaka and Kung (1988)

FGGE

その後も

Tanaka

3

てきた。ただし、最近ではブロッキングや

AO(

)

Tanaka and Terasaki (2005)

Rhines Scale

-(Rhines, 1975)

導き出した。また

Tanaka and Terasaki (2005)

AO

-

AO

-

2

AO

Rhines Scale

されるということを提唱した。

ここで、

3

Kasahara (1976)

(

1

)

従って本研究では、大気大循環のエネルギースペクトルを解析するにあたって

3

2

3

3

4

3

2

2.1

本研究で使われるモデルの基礎方程式系は、球座標系

(

θ,

λ,

p)

・水平方向の運動方程式

∂u

∂t − 2Ω sin θv + 1 a cos θ

∂φ

∂λ = − V · ∇ u − ω ∂u

∂p + tan θ

a uv + F

(1)

∂v

∂t + 2Ω sin θu + 1 a

∂φ

∂θ = − V · ∇ v − ω ∂v

∂p − tan θ

a uu + F

(2)

・熱力学第一法則の式

∂c

T

∂t + V · ∇ c

T + ω ∂c

T

∂p = ωα + Q (3)

・質量保存則

1 a cos θ

∂u

∂λ + 1 a cos θ

∂v cos θ

∂θ + ∂ω

∂p = 0 (4)

・状態方程式

pα = RT (5)

・静力学平衡の式

∂φ

∂p = − α (6)

これらの方程式で用いられている記号は次の通りである。

θ :

ω :

p

λ :

F

:

p :

F

:

t :

Q :

T :

Ω :

(7.29 × 10

[rad/s]) u :

a :

(6.371 × 10

[m])

v :

c

:

(1004[JK

kg

])

V :

R :

(287.04[JK

kg

])

α :

そして上記の方程式の中で熱力学第一法則の式に質量保存則、状態方程式、静力学平衡 の式を代入することによって、これらの基礎方程式系を

3

(u, v, φ)

(Tanaka 1991)

まず始めに気温

T

α

φ

T = T

+ T

(7)

α = α

+ α

(8)

φ = φ

+ φ

(9)

ここで

T

, α

, φ

T

, α

, φ

(7)

(9)

pα

= RT

(10)

pα

= RT

(11)

dφ

dp = − α

(12)

∂φ

∂p = − α

(13)

これら

(7)

(13)

∂T

∂t + V · ∇ T

+ ω (

∂T

∂p − RT

pc

) +ω

( dT

dp − RT

pc

)

= Q

c

(14)

T

À T

(14)

3

ω RT

pc

À ω RT

pc

(15)

である。また左辺の第

4

T

γ

(Tanaka 1985)

γ = RT

c

− p dT

dp (16)

よってこの関係式を用いて

(14)

∂

∂t (

− p

γR · ∂φ

∂p )

− p

Rγ V · ∇ ∂φ

∂p − ωp γ

∂

∂p (

p R

∂φ

∂p )

− ω = Qp

c

γ (17)

(17)

p

∂

∂t (

− ∂

∂p p

γR · ∂φ

∂p )

+ 1

a cos θ

∂u

∂λ + 1 a cos θ

∂v cos θ

∂θ

= ∂

∂p [

p

γR V · ∇ ∂φ

∂p + ωp γ

∂

∂p (

p

R · ∂φ

∂p )]

+ ∂

∂p (

Qp c

γ

)

(18)

(3)

T

α

φ

3

(u, v, φ

)

3

(1),(2),(18)

これらの

3

(Tanaka 1991)

M ∂U

∂t + LU = B + C + F (19)

ここで

τ

τ = 2Ωt

U :

U = (

u v φ

)

(20) M :

M =





1

0

0

0

1

0

−



 (21)

L :

L =



 0

− 2Ω sin θ

2Ω sin θ

0

1 acosθ

∂

∂λ   ^{∂( ) cos}_acosθ∂θ^θ 

0



 (22)

B :

B =



 − V · ∇ u − ω

+

uv

− V · ∇ v − ω

−

uu 0



 (23)

C :

C =



 



0 0

∂

∂p

[

p²

γR

V · ∇

+

(

p R

∂φ⁰

∂p

)]



 

 (24)

F :

F =



 

 F

F

∂

∂p

(

pQ c_pγ

)



 

 (25)

2.2

基本状態として断熱静止大気を考える。断熱・摩擦なしということは、プリミティブ方 程式において

F = 0

(¯ u = ¯ v = ¯ φ = 0)

U

= (u

, v

, φ

)

B =



 

− V

· ∇ u

− ω

+

u

v

− V

· ∇ v

− ω

−

u

u

0



  (26)

C =



 



0 0

∂

∂p

[

p²

γR

V

· ∇

+

(

p R

·

)]



 

 (27)

この式において、

2

B = 0

C = 0

M ∂U

∂τ + LU = 0 (28)

この方程式において、従属変数

U

(vertical struc- ture function)G

(p)

熱力学方程式

(U

3

)

m

U(λ, θ, p, τ ) = (u, v, φ)

=

∑

(u

, v

, φ

)

G

(p)

=

∑

U

(λ, θ, τ )G

(p) (29)

m

(vertical mode number)

これを

(26)

M ∂

∂τ

∑

U

(λ, θ, τ )G

(p) + L

∑

U

(λ, θ, τ )G

(p) = 0 (30)

m

・第１成分

∂u

∂t − 2Ω sin θv

+ 1 a cos θ

∂φ

∂λ = 0 (31)

・第２成分

∂v

∂t + 2Ω sin θu

+ 1 a

∂φ

∂θ = 0 (32)

・第３成分

∂

∂t {

− ∂

∂p p

Rγ

∂

∂p (φ

G

) }

+ G

a cos θ

∂u

∂λ + G

a cos θ

∂v

cos θ

∂θ = 0 (33)

φ

(λ, θ, t)

p

G

1 ∂ {

− φ ∂ p

∂G

}

+ 1 ∂u

+ 1 ∂v

cos θ

= 0 (34)

また

p

t

1 G

∂φ

∂t d dp

p

Rγ

dG

dp = 1 a cos θ

∂u

∂λ + 1 a cos θ

∂v

cos θ

∂θ (35)

よって

∂φ

∂t

( 1 a cos θ

∂u

∂λ + 1 a cos θ

∂v

cos θ

∂θ

)

= G

( d dp

p

Rγ

dG

dp )

(36)

λ, θ, t

p

− gh

∂φ_m

∂t

( 1 acosθ

∂u_m

∂λ + 1 acosθ

∂v_mcosθ

∂θ

)−1

=G_m ( d

dp p² Rγ

dG_m dp

)−1

=−gh_m

(37)

d dp

(

p

dG

dp )

+λ

G

= 0,

λ

= Rγ

gh

(38)

1 gh

∂φ

∂t + 1 a cos θ

∂u

∂λ + 1 a cos θ

∂v

cos θ

∂θ = 0 (39)

(31), (32), (39)

(horizontal structure equation)

(38)

(vertical structure equation)

ここでは

(38)

(16)

γ = γ(p)

γ

γ

h

m ≥ 1

(baloclinic)

たは内部

(internal)

m

m

つ。そして、

m = 0

(barotropic)

(external)

鉛直方向に節を持たず、鉛直方向にはほとんど値は変化しない。

また境界条件は、

dG

dp = 0

at

p → ² > 0 (40) dG

dp + αG

= 0

at

p = p

(41)

(1)

(m = 0) m = 0

0

λ

1

4

(38)

C

C

G

(σ) = C

σ

+ C

σ

r

= − 1

2 + µ, r

= − 1

2 − µ, µ

= 1

4 − λ

(42)

ここで、

σ =

s である。

(42)

(40),(41)

r

(r

+ α)²

− r

(r

+ α)²

= 0 (43)

λ

µ,r

r

を求めることができて、鉛直構造関数

G

(σ)

C

,C

C

+ C

= 1

(2)

(m ≥ 1) m ≥ 1

1

4

λ

∞

(38)

C

C

G

(σ) = σ

(C

cos(µ ln σ) + C

sin(µ ln σ)) µ

= λ

− 1

4 (44)

(44)

(40),(41)

„ α− 1

2

«»

µcos(µlnσ)− 1

2 sin(µlnσ) –

+µ

»

µsin(µlnσ) + 1

2 cos(µlnσ) –

= 0 (45)

が得ることができる。順圧モード

(m=0)

λ

µ, r

r

G

(σ)

C

, C

C

+ C

= 1

2.3

鉛直方向に変数分離した後の第

m

M

∂

∂τ U

+ LU

= 0 (46)

ここで

M

= diag(1, 1, 1 gh

) (47)

また、従属変数

U

X

Y

X

= diag( √

gh

, √

gh

, gh

) (48)

Y

= 2Ω diag( √

gh

, √

gh

, 1) (49)

これらを用いて式

(46)

(Y

M

X

) ∂

∂τ (X

U

) + (Y

LX

)(X

U

) = 0 (50)

Y

M

X

= 2Ω

diag(1, 1, 1) (51)

∂

∂τ (X

U

) + (Y

LX

)(X

U

) = 0 (52)

(52)

(horizontal structure function)

(Hough function)

H

H

m

n

(zonal wave num- ber)

l

(meridional wave number)

(52)

H

nlm

σ

kasahara and Puri (1981)

(51)

U

H

U

(λ, θ, τ ) = X

H

(λ, θ)exp( − iσ

τ ) (53)

この式

(53)

(52)

− iσ

H

+ (Y

LX

)H

= 0 (54)

H

(λ, θ)

Θ

(Hough vector function)

exp(inλ)

H

(λ, θ) = Θ

(θ) exp(inλ) (55)

Θ

(θ) =



 U

(θ)

− iV

(θ) Z

(θ)



 (56)

南北波数

l

3

(Rossby mode) l

2

(gravity mode) l

, l

ハフ調和関数は次の直交条件を満たす。

1 2π

∫

−^π₂

∫

H

· H

cos θdλdθ = δ

δ

(57)

アスタリスクは複素共役を示す。また、

nlm

n

l

m

(Fourier-Hough transform)

第

m

W

(λ, θ, τ )

W

(λ, θ, τ ) =

∑

∑

w

(τ )H

(λ, θ) (58)

w

(τ ) = 1 2π

∫

−^π₂

∫

W

(λ, θ, τ ) · H

(λ, θ) cos θdλdθ (59)

w

(τ )

式

(46)

∂

∂τ w

+ iσ

w

= 0 (60)

σ

2

2.4

ここでは今までに扱った鉛直構造関数と水平構造関数を結合させ、静止大気を基本状態 とした

3

Π

(λ, θ, p)(three-dimensional normal mode func-

tion)

3

(19)

ティブ方程式を

3

3

Π

(λ, θ, p)

G

(p)

H

(λ, θ)

Π

(λ, θ, p) = G

(p)H

(λ, θ)

= G

(p)Θ

(θ)exp(inλ) (61)

3

(Tanaka and Sun 1990)

< Π

, Π

>= 1 2πp

∫

∫

−^π₂

∫

Π

· Π

cos θdλdθdp

= δ

δ

δ

(62)

この

3

(19)

U

F

(Tanaka and Kung 1989)

U(λ, θ, p, τ ) =

∑

∑

∑

w

X

Π

(λ, θ, p) (63)

F(λ, θ, p, τ ) =

∑

∑

∑

f

Y

Π

(λ, θ, p) (64)

w

(τ )

f

(τ )

U

F

τ

N, L, M

(19)

Π

(λ, θ, p)

¿

M ∂U

∂τ + LU − B − C − F , Y

Π

À

= 0 (65)

となり、この式に式

(63)

(64)

∂w

∂τ + iσ

w

= − i

∑

r

w

w

+ f

(i = 1, 2, 3, · · · , K ) (66)

添え字

i, j, k

nlm, n

l

m

, n

l

m

σ

r

(wave- wave interaction)

(zonal-wave interaction)

(interaction coefficients)

以上により、順圧成分と傾圧成分からなる鉛直構造関数、ロスビーモードと重力波モード からなる水平構造関数、この両方を用いることでプリミティブ方程式をスペクトル表示で 表すことができる。

2.5

3

w

u, v, φ

(66)

w

E

= 1

2 p

h

| w

|

E

= 1

4 p

h

| w

|

(67)

と表すことができる。ここで

E

0

0

0

1

n

0

t

dE

dt = Ωp

h

( dw

dτ w

+ dw

dτ w

) (68)

この式

(68)

(66)

dE

dt = Ωp

h

[ ( − iσ

w

− i ∑

j,k

r

w

w

+ f

)w

+ (iσ

w

+ i ∑

j,k

r

w

w

+ f

)w

] (69)

dE

dt = Ωp

h

[ ( − iw

∑

j,k

r

w

w

+ iw

∑

j,k

r

w

w

) + w

f

+ w

f

] (70)

となり、線形項が消去される形となる。そしてこの式

(70)

N

= Ωp

h

( − iw

∑

j,k

r

w

w

+ iw

∑

j,k

r

w

w

) (71)

F

= Ωp

h

(w

f

+ w

f

) (72)

dE

dt = N

+ F

(73)

ここで

N

F

3

本研究で使用したデータは

JRA-25 (Japanese Re-Analysis 25 years)

・水平グリッド間隔：

2.5

× 2.5

・鉛直グリッド間隔：

23

(1000 , 925 , 850 , 700 , 600 , 500 , 400 ,

300 , 250 , 200 , 150 , 100 , 70 , 50 , 30 , 20 , 10 , 7 , 5 , 3 , 2 , 1 , 0.4 hPa)

・気象要素：水平風

(u, v)

φ

・期間：

1978

1

1

1978

1

31

・時間間隔：

00Z , 06Z , 12Z , 18Z