博 士 （ 理 学 ） 鈴 木 宏 昌
学 位 論 文 題 名
Asymptotic characterization of stationary interfacial patterns for reaction diffusion systems
（反応拡散方程式系における定常界面パ夕一ンの漸近的特徴づけ）
学位論文内容の要旨
バ ター ン形 成問 題 の数 理的 な見 地か ら の説 明を 最初 に 試み たの は、チューリン グである。
彼は 抑制 因子 が活 性化因子 よりも速く拡散するならぱ 、拡散誘弓【不安定性によっ て空間非一 様な バタ ーン が形 成 され るこ とを 発見 し た。 これ を説 明 する 典型 的なモデル方程 式系は、次 の活 性化 因子 ―抑 制 化因 子モ デル であ る
(1)
眦 = e2Au + f (u,v), th = DAv + g(u,v).
こ こ で 境 界 条 件 はNeumann境 界 条 件 と す る 。uは 活 性 化 因 子 、 り は 抑 制 化 因 子 、8>0、E は 十 分 小 さ い 正 の バ ラ メ ー 夕 、 △ は ラ ブ ラ シ ア ン 、Q（ くRN） は 有 界 領 域 でaQは 十 分 滑 らかとする。（/，9） の詳細な仮定は主論文に譲るが、例えぱ′（u，り）〓 u(l ‑u）（u‑0）‑り
（0くnく1） ヽg(u， り） ＝u−yv（7冫0）を 考え れぱ 十分 で ある 。(1)の解 ずにおいて内部遷 移層 、す な わち 異な る2つの 一様 な状 態 をっな ＜！部分、が現れたときバ夕 一ンが形成された と み な す 。 特 に ず の 等 高 面 （ 上 の 具 体 例 で は ず 〓 1/2)を 界 面 と 呼 ぴr と 表 す 。 (1)は 拡散 係数 や 反応 の比 の違 いに よ って 、動 的に も静 的 にも 様々 なバ タ ーン を示 すが 、 我々 は特 に 高次 元空 間に おけ る 定常 バタ ーン の 考察 に焦 点を あて る。この とき最も基本的な 問題は、
(I)十 分 小 さ い ピ に 対 し て(1)の 安 定 な 定 常 解 のE一 族 は 存 在 す る か ？ (II） も し 存 在 し た と す れ ばE↓0と し た と き の 漸 近 形 は ど の よ う な も の か9 とぃ うも の であ る。 数値 シミ ュ レー ショ ンの 結 果か ら、6角 形、 縞状 形、 蛇 行形 など 様々 な バタ ーン が 観察 され るこ とが 知 られ てい る。 そ れゆ え十 分小 さいEに 対し て(1） は非 常に 多 く の 定 常 解 を も ち 、 い っ た んE↓0の 漸 近形 がわ かれ ぱ定 常 解は 本質 的な 困 難な く構 成さ れ るよ うに 思 われ る。 実際 空間1次 元の 場 合、Fife、三 村・ 田 端・ 細野 、伊 藤 らは 特異 摂動 法 を 用 い て 、 そ の よ ミ な 漸 近 形 よ り 十 分 小 さ いe>0で の解 の 存在 を構 成的 に 示し た。 さら に そ れ ら の 特 異 摂 憩 鏐 の 安 定 性問 題は 、 西浦 ・藤 井に より 開 発さ れた 特異 極 限ス ペク トル 法 (SLEP法 ） に よ っ て 一 般 的 に 解 決 さ れ た 。 ま た 、 坂 元は 分 岐論 的手 法に よ り定 常解 の存 在 証明 とそ の 安定 性の 判定 を同 時 に行 って いる 。 これ に対 し、(1)の高 次元 空 間に おけ る定 常 解の 存在 や その 安定 性に つい て はほ とん ど知 ら れて いな い。 その 主たる理 由は、曲線や曲面 とい った 無 限の 自由 度を もつr0を自 由境 界と す る、 ある 種の 自由 境界値問 題を解くことが、
一般には非常に困難で あることによる。
基 本 的 問 題(I)に 関 し て 西 浦 ・ 鈴 木 に よ り 得 ら れ た 結 果 は 否 定 的 で あ る 。 定 理A. re、r0と も に コ ン バ ク ト 、 滑 ら か でRNに 埋 め 込 ま れ たN−1次 元 多 様 体 と し 、
そ れら に囲 ま れる 領域 は単 連結 と する 。こ のと き 滑ら かな 極限 界面r0 (r のE↓0にお ける 極 限） をも つ(1）の 特異摂動定常解 （ず，ザ）は、どを十分小 さくすれぱ必ず不安定化する 。 定 理Aは 、 安 定 な 特 異 摂 動 定 常 解 の 界 面 はE↓0の と き 微 細 に か つ 複 雑 に な る こ と を 示 唆 して おり 、そ の極 限 形を とら える ため に は空 間の りス ケ ーリ ング が必要であると考えら れ る 。 実 際Qが 矩 形 領 域 と す る と 、 ￡ ↓0の と き 平 面 波 解 は 不 安 定 化 し そ の 最 大 成 長波 長は
〇(el/3)で あ るこ とが 、谷 □． 西 浦に よっ て示 さ れて いる 。こ のこ と からQが 一般 の高 次元 領 域 の 場 合 に も 〇 (el/3)が り ス ケ ー リ ン グ の 尺 度 の 候 補 で あ る と 考 え ら れ る 。 適 当 な 仮 定 の も と で 、 新 し い 空 間 変 数X=(エ ― ず ） ／El／3（ ずERN)を 導 入 し 変数 変換 を 行う と、 （1）を 次の 形に 書 き換 える こと がで き る：
（X，t）．Eげ×（0，oo），
境 界 条 件 は(1)と 同 じ くNeumann境 界 条 件 と す る 。 ここ でQ．は りス ケ ーリ ング され た 領域 と し 、 ぎ= e2/3で あ る 。 以 下 △ 、r0、 空 間 変 数 エ は(1)と 同 じ 記 号 を 用 い る 。 本論 文に お いて 鈴木 は、(2)に対 して 、 （i） リ スケ ーリ ング され た極限界面の決定方程式 の 導出 、お よ び（n）（2）の特異摂動定常 解の存在を仮定したとき、 その安定性を判定する線 形 化固 有値 問 題の 特異 極限 形（ 特 異極 限固 有値 問 題） の導 出、 を行 った。結果は次の通りで あ る。
定 理B．（i） 界面r の極 限形r0を決 定す る、 リス ケ ーリ ング され た 縮約 問題は次で与え られ る
等＝00n ″．
ただ し、Q゛ 十はr0で 囲 まれ た有 界領 域、 げ ―〓 ば＼ ￠十 、Hはr0の平 均 曲率 、レ ヽnはそれ それr0、Ofl*の外向き法ベクトルである。
(ii)極 限界 面roを もつ 定常 解 のま わり にお ける 、(2)の 線 形化 固有 値問 題を 考 える 。この ときその特異固有値幤と固有関数（り（n）（エ，E），Z(n）（エ，E））の主要部は次の形をもつ：
u
W（n）（ヱ，E）赳 0，
掣）驚茅e げほ瑚〜卿。），
ルk −…ち器ぬ(6ro 〇OO(n) ），
zEQ ＼びd（ro）I
Aだe2A2(n).
こ こで、（入ケ），e舮））は 次で与えられるr0上の固有 値問題の第n固有値と固有関数である：
工 60(n)十rLj 02Mア げ ） （ ぬ （h〇eO(n)） ，8ro） ＝ ス ジeO(n)， んeoGOむ ＝0． ただし、ぬ（r0）はr0のある局所近傍、（S（エ），y（エ））はroの近傍における局所座標変換、c (y) はcuto丘 関数 、姉 はある正 値作用素の逆作用素、工 三 △r。十事h（s）−Cl P3 (S)十A(s)，
△roはr0上 定 義 さ れ た ラ プラ ス ・ベ ルト ラミ 作 用素 、Hl(s)はr0の主 曲率 の2乗和 、な ど で ある（詳しくは主論文の§3を参照されたい）。
(3)は(2)に 関 す る 極 限 界面r0を決 定す る方 程 式で あり 、特 異摂 動 法を 用い て定 常解 を 構 成 す る上 で基 本的 か つ重 要な 問題 であ る 。ま た、(ii)から 固 有関 数の￠成分の主 要部は変数 分 離 形で ある こと 、 すな わち 界面 に関 し て法 線方 向成 分と 接 線方 向成分の積に分 解されるこ とがわかる。
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学位論文審査の要旨 主 査 教 授 西 浦 廉 政 副査 教授 上見練太郎 副 査 教 授 儀 我 美 一 副査 助教授 神保秀一
学 位 論 文 題 名
Asymptotic characterization of stationary interfacial
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patterns for reaction diffusion systems
（反応拡散方程式系における定常界面パ夕一ンの漸近的特徴づけ）
パ夕一ン形成問題の数理的な見地からの説明を最初に試みたのは、チューリングである。彼は 抑制因子が活性化因子よりも速く拡散するならば、拡散誘引不安定性によって空間非一様なパ夕 一ンが形成されることを発見した。これを説明する典型的なモデルは、活性化因子・抑制化因子 モデルとよばれる半線形放物型の反応拡散方程式系で与えられる。この方程式系は拡散係数や反 応の比の違いによって、動的にも静的にも様々なバ夕一ンを示すが、申請者は高次元の定常解の 漸近形及びその安定性についての基本的結果を与えた。ここでいう漸近形とは活性化因子の拡散 係数（これを￡とする）が0となる極限におけるものをいう。
高次元空間における定常パ夕一ンに関する最も基本的な問題は、どのような形状の解が許され るのか、またそれらから安定解を取り出す判定法を確立することである。空間1次元の場合、
Fife、三村・田端・細野、伊藤らは特異摂動法を用いて、十分小さいE＞0での解の存在を構成 的に示した。さらにそれらの特異摂動解の安定性問題は、西浦・藤井により開発された特異極限 スベクトル法(SLEP法）によって一般的に解決された。これに対し、高次元空間における定常 解の存在やその安定性についてはこれまでほとんど知られていない。その主たる理由は、曲線や 曲面といった無限の自由度をもっを自由境界とする、ある穂の自由境界問題を解くことが、一般 的に非常に困難であること、及びそれに伴う安定性に関わる固有値の数が無限個になり、それら を統御された形で解析することが困難であることによる。
申請者はこれらの問題を考察するにあたり、まず定常解が存在するとすればどのようなスケー ルで現れるかを考察し、西浦との共同研究により安定な定常解はE↓0のとき有限の特徴的サイ ズをもち得ないことを証明レた。これは安定な定常解はもし存在するとしても、￡とともに無限 に細かい界面パ夕一ンになることを示唆している。従って漸近形を特徴付けるためには適当な空 間のりスケーリングを行う必要がある。
申請者は、空間のりスケーリングにふさわしいものとして〇（sm）を導入することにより、安定 な定常解の漸近形を特徴付ける縮約された定常自由境界問題を導出することに成功した（定理 ー67―
B(i)，Proposition 2.5)。それは結晶成 長等の他の自由境界問題で 得られるものと密接に関連し ており、特 異極限においてはモデルの出 自によらない普遍的な形に なることが示唆され、新しい 知見を与え ている。この導出の際に用い られた手法は接合漸近展開 法と呼ばれるものであり、1 次元におい ては既に開発されていたが、 高次元空間における反応拡 散方程式系に対し組織的にこ の展開を実 施できたことの貢献は大きい 。この縮約問題を解くこと により原理的には安定な定常 界 面 の 完 全 分 類 を お こ な う た め の 数 学 的 基 盤 が 与 え ら れ た こ と に な る 。 さ らに 申請 者は 上 で導出された 定常自由境界問題の解で与 えられる形を漸近形とする反 応拡散 方程式系の解の安定性の判定法を与えた（定一理B（ij））。それは対応する線形化固有値問題の極 限界面上で の固有値問題を主要部とする ものであり、その漸近形は 変数分離形となる。これは具 体 的 に 形 状 が 与 え ら れ た 時 の 固 有 値 計 算 の ア ル ゴ リ ズ ム 同 時 に 与 え る も の で あ る 。 以上の結 果は、高次元空間における反 応拡散方程式系の定常解の 漸近形とその安定性理論に新 知見を得た ものであり、特異摂動理論及 びバターン形成の数学的基 盤に対して貢献するところ大 なるものが ある。よって著者は、北海道 大学博士（理学）の学位を 授与される資格あるものと認 める。
ー 68―
