2013
年度上級マクロ経済学講義ノート
(2)
Solow
の経済成長理論
阿部修人
1
経済成長モデル
今から30 年ほど前、学部向けのマクロ経済学の基本モデルは 45 度線と IS-LM 曲 線であった。21 世紀に入り 10 年以上が過ぎた現在、マクロ経済学の基本モデル の位置は経済成長モデル、特にSolow(1956) により展開されたモデルとなってい る。マクロ経済全体のダイナミクスを描写する最も単純モデルとして、Solow の モデルの地位は揺るがないものとなっている。 1950 年代から 60 年代にかけて、Solow を中心とし、経済成長理論に関して、 Uzawa, Inada, Arrow, Cass, Koopmans 等により非常に多くの論文が発表された。経済学の黄金期と呼んでもよいこの時代の背後にはArrow や Debreu 達によ り定式化された一般均衡モデルを動学分析に拡張し、さらに政府はどのようにす れば経済成長・発展を促すことが可能か、というAcademic と Policy 双方の強い Motivation があったと思われる。しかしながら 70 年代に入り、先進国の間で景 気循環が大きな問題となると、経済成長理論に対する興味は急速に薄れた。また、 70 年代以降の経済成長理論では非常に高度な数学的手法が使われる、物理学者や 数学者が参入する分野となり、通常のコースワークを終える程度では到底参入で きるような分野ではなくなってしまった。1980 年代の代表的な上級レベルの教科
書であるSargent の Macroeconomic Theory では経済成長についてほとんど語ら
れていない。大きな転換が生じたのは、景気循環を描写する際、動学的な要素を
無視できないとする考えが広まったこと(IS-LM は静学分析である)、Romer 以降
の内生的成長理論の展開があったこと、そして、ケインジアン的な世界ではなく、
古典派的な世界にマクロモデルの基本を据えるReal Business Cycle モデルの影
響があったためと思われる。Keynesian 的なモデルを展開する際でも、その基本 はIS-LM ではなく、経済成長理論が用いられるようになったのである。70 年代 から80 年代にかけて激しく行われた新古典派とケインジアンによる論争は、現 在では、共通の一般均衡動学モデルにどのような新たな構造を入れるか否かの違 いとなっている。より政策インプリケーションを重視する経済学者は最適化行動 に制約を導入するような構造(価格硬直性のような) を入れ、政策議論からは距離 を置くものは最適化行動に対する制約を緩めるような構造を入れる傾向にある。 しかしながら、両者とも、Solow により展開された動学モデルに基づいてモデル 展開をしている点は共通である1。
1Hahn and Solow, (1995) A Critical Essay on Modern Macroeonomic Theory, MIT Press.
で、Solow と Hahn は近年のマクロ経済学、特に実物的景気循環理論に対して極めて批判的な評価 を与えている。同様に、のちのLucas による合理的期待革命のベースモデルを作った Phelps も現在 のマクロモデルに対して批判的な書(Phelps, 1994, Structural Slumps, Harvad University Press)
Solow のモデルは様々なマクロモデルのベースとなっているが、オリジナルの モデルは、必ずしもそうしたベースとなることを意図していたというよりも、具 体的な経済現象を説明するための最も単純化されたモデルは何か、という視点で 作られている2。Stylized Facts をまず確立し、それを説明するための最少のモデ ルから開始する、という分析パラダイムは現在のマクロ経済学、特に実証的側面 を重視するグループの間では標準的なものである。いたずらに複雑なモデルを作 り、特殊な仮定から特殊な結論を導いてモデルと戯れる(モデルの構造を理解す るには必要なことではあるが、それ自体が目的となっては本末転倒である) ので はなく、拡張可能性を維持しながら最低限の制約を考えることは健全であり、後 学にとり極めて有益である。 最適成長や市場均衡との関連は次の講義ノートで、内生的成長理論について はその次で触れることにし、本講義ノートでは基本的なSolow のモデルを概観す るにとどめる3。
2
カルドアの定型化された事実
(Stylized Facts)
(1) 実質生産高は、およそ一定の率で成長する。 (2) 実質資本ストックは、労働力よりも高い率で成長する。 (3) 実質生産高と資本ストックの成長率はほぼ等しい。 (4) 資本収益率は成長しない。 (5) 一人当たり所得の成長率は国により差がある。 (6) 所得に占める利潤の率が高い経済では、投資・生産比率が高い。 これらはKaldor (1956) によって提唱された、いわゆる Stylized Facts と呼ば れるものである。これらは、無論厳密に成立するものではない。(1) から (4) まで の「事実」は定常状態、もしくは長期的な成長経路に関するものであり、(5) と (6) に関しては、定常状態に達していない状況に関するものであり、並列することには無理がある。しかしながら、Kaldor の stylized facts は今日においても成
長理論における基本となっており、特に、(5) の性質は近年特に重視され、1980 年代以降の内生的成長理論の展開の背景となっている。 次の図は、世界銀行が提供している一人当たりGDP のデータから作成したも のであり、世界平均といくつかの国の所得水準の推移を示している。この図から、 経済成長率が一定値になる(各国の成長経路が平行な直線となる) と解釈すること は無理があるが、1960 年代に比べれば 2010 年における一人当たり GDP の散ら ばりは低下しているように見える。日本の高度成長期とバブル以降の停滞、韓国 を書いており、現在のマクロ経済学のパラダイムを作り上げた学者たちがそろって、現在のマクロ経 済学に対し非常に批判的であることは興味深い。
2R.M.Solow (1970), Growth Theory, Oxford University Press. 日本語訳 福岡正夫「成長理
論」岩波書店 1971 年、は Solow 本人により書かれた極めて平易な成長理論の入門書である。エッ センスのみを抽出している教科書と異なり、資本のvintage や代替性等多くの議論を展開しており、 いま読んでもアイディアに満ちており面白い。
3Solow 以前にも、Harrod (1939) と Domer (1946) による、いわゆるハロッド・ドーマーモデ
ルと呼ばれる経済成長理論があり、経済成長経路が不安定であることを指摘していたが、新古典派生 産関数等をモデルの中に含まず、モデル体系として今日からみると不自然である。Solow の経済成長 モデルは、標準的なミクロの一般均衡理論をごく単純な形で動学にすることで、その後の多くの分析 の基礎としての地位を作り上げた。Solow の論文を 20 世紀における経済学の最大の功績の一つと考 える経済学者は少なくない。
やブラジルの急激な成長は、所得の低い国ほど急激に成長し、アメリカ合衆国等 の最も豊かな国の水準に近づくと、成長率が鈍っているようにも見える。 図からは、各国が大きく景気変動を体験していることも読み取ることが出来 る。アジア通貨危機直後の韓国やブラジルは特に顕著な例であろう。経済成長と 景気循環は果たして独立した現象なのか?それとも、独立した現象なのだろうか? これは現代のマクロ経済学における論争の一つであり、マクロ経済政策の在り方 に直結する大問題である。この点に関しては、景気循環理論を扱う回に詳しく論 じる。 経済成長は所得格差、教育水準、治安、平均余命等、多くの経済諸変数と関係 があり、特に貧困国を中心に経済成長とそれら変数間の関係の分析には多くの労 力が割かれている。詳しくは、Acemoglu (2009)、および毎年出版されていてる World Development Report が参考になる。経済成長率の異質性に関しては、次 の講義ノートで詳しく触れることにし、今回の講義ノートは、経済成長を分析す る際の基本ツールの紹介に留める。Solow の成長モデルは、最適成長理論や景気 循環理論など、現代の動学モデルの基礎となっており、このモデルを正しく、深 く理解することがその後のマクロ経済理論の理解につながる、とても重要なもの である。
3 Production Function
Yt= F (Kt, AtLt) 新古典派生産技術: 一次同次 ∀c ≥ 0, F (cK, cAL) = cF (K, AL) なお、A は技術水準を示すパラメター。ここでは労働生産性を上昇させると 仮定(ハロッド中立的)4。Intensive Form:divide by AL,
Y AL = F AL = F ( K AL, 1 ) Define y = ALY , k =ALK , f (k) = F ( K AL, 1 ) Then y = f (k) Assumption: ∂F ∂K > 0, ∂2F
∂K2 < 0, F (0, AL) = 0 for all finite AL.
Then F (K, AL) = ALf ( K AL ) ∂F ∂K = f′(k) > 0 ∂2F ∂K2 = f” (k) AL < 0 F (0, AL) = f (0) = 0 ∂F ∂L = Af − ALK AL2 f′= Af − A K ALf′ = A (f − kf′)
4There are several different ways to introduce “neutral” technology. (1) AF (K, L): Solow
Neutral, (2) F (AK, L): capital-augmenting progress, and (3) F (K, AL): labor-augmenting progress (Harrod neutral). The balanced growth path discussed later exists only when the technology is labor-augmenting (Harrod neutral).
3.1 Cobb-Douglas Case
F = Kα(AL)1−α Therefore y = f (k) = kα As long as 0 < α < 1 f′ > 0, f′′< 0, f (0) = 0 lim k→0f ′(k) = ∞, lim k→∞f ′(k) = 04 Growth
Assume Constant Growth Rates for both L and A,
· Lt= nLt · At= gAt 復習(1) d ln x dx = 1 x Log Differentiation d ln xt dt = 1 xt dxt dt : Growth Rate 復習(2) d(xy zw ) dt = ( xy zw ) ( 1 x dx dt + 1 y dy dt − 1 z dz dt − 1 w dw dt ) 復習(3) d(xayb) dt = ( xayb) ( a x dx dt + b y dy dt )
5 Economy
One-sector growth model財市場の均衡条件(総供給=総需要).
Y = C + I
Constant Rate of Depreciation
· Kt= It− δKt Therefore Yt= Ct+ · Kt+ δKt
Assume Constant Average Saving Rate, s, i.e. (Notice that we do not assume any particular form or utility or social welfare function ! The constant saving function can be the solution of the maximization behavior under very strong assumption. But let’s forget about the maximization for a while. We will discuss the optimal level of saving later.)
S = sY = sF (Kt, AtLt) Therefore (所得=消費+貯蓄) Yt= Ct+ St= Ct+ sYt Yt− Ct= St= sYt Combining them · Kt= sF (Kt, AtLt) − δKt Recall kt= AKt tLt
Taking time derivatives
· kt= AKt tLt · Kt Kt− · At At − · Lt Lt · kt=AKt tLt · Kt Kt− g − n · kt= · Kt AtLt − kt(g + n)
·
kt=sF (Kt, AAtLt) − δKt
tLt − kt(g + n) ·
kt= sf (kt) − kt(g + n + δ)
The phase diagram of this economy can be drawn as the figure above. Be-cause we have only one endogenous variable in the system, the phase diagram becomes much simpler than the previous one we have encountered in the last lecture note on investment. The steady state is at the intersection of the two lines, k·t = 0 and sf (kt) /kt− (g + n + δ) = 0,which is depicted as k∗. The
steady state is stable, that is, if the economy starts from the capital level be-yond the steady state level, we have sf (kt) /kt− (g + n + δ) < 0,
·
kt< 0 , which
decreases the capital level until it reaches the steady state level. The other case is easy to show.
6 Growth Rate
· Yt Yt = 1 F (Kt, AtLt) F1Kt · Kt Kt+ F2AtLt · Lt Lt+ · At At · Yt Yt = 1 F (Kt, AtLt) F1Kt · Kt Kt + F2AtLt(g + n) Due to the linear homogeneity (Euler’s Law)F (Kt, AtLt) = F1Kt+ F2AtLt Therefore · Yt Yt = αt · Kt Kt + (1 − αt) (g + n) , or where F1Kt F (Kt, AtLt) = αt.
7 Steady State
k∗:k· t= sf (kt) − kt(g + n + δ) = 0 Therefore sf (k∗) = k∗(g + n + δ)Steady State exists: Define
h (k) = sf (k) − k (g + n + δ) h′ = sf′− (g + n + δ)
Under Inada Condition, lim k→∞f ′= 0, lim k→0f ′= ∞ Therefore lim k→0h ′(k) = ∞ > 0, lim k→∞h ′(k) = − (g + n + δ) < 0 Also h′′< 0, ∀k > 0
h (0) = 0
Therefore, there exist two steady states, trivial one and non-trivial one. Note that without the Inada condition, we cannot prove the existence of the balanced growth path.
8 Balanced Growth Path
At the non-trivial stead state,· Kt Kt = d (AtLtkt) dt 1 AtLtkt = g + n · Yt Yt = αt(g + n) + (1 − αt) (g + n) = g + n · Ct Ct = g + n
Therefore, the growth rates of Capital, Output, and Consumption are the same at the steady state. We call this path as a balanced growth path.
In these equations, we can observe several important characteristics of Solow’s growth model. First, the balanced growth rate is just the sum of g and n that are independent from the saving rate or many other parameters. An increase in saving rate or technological level etc., do not affect the balanced growth rate. Second, the balanced growth rate depends only on the exogenous variables, g and n. This implies inability of the Solow’s growth model to account for vari-ations of the growth rates among countries in the long-run. The theory can only say that two countries have different long-term growth paths just because they have different technological and population growth. There have been many attempts to extend Solow’s model to ”endogenize” the balanced growth rate.
9 Convergence
The steady state level is determined by
sf (k∗) = k∗(g + n + δ)
Therefore, if two countries have the same technology, regardless of the initial development level, the two countries will reach the same steady state and the same growth rate. Moreover, since the growth rate is
·
kt
kt =
sf (kt)
and dsf(k)k sk = s k [ f′(k) −f (k) k ] < 0,
and f is a concave function, the growth rate is a decreasing function of k. This implies that the poorer the country is, the faster it grows. This phenomena is called as the absolute convergence.
The assumption behind the above condition is very strong since we have to assume that the two countries have the same technology. Remember that the balanced growth rate does not depend on the functional forms of production function. The only assumption is that the production function is neoclassical. The smaller the economy relative to its own steady state, the faster it grows. This is called as conditional convergence.
10 Comparative Statics
On the balanced growth path, the output level is
y∗= f (k∗)
If the saving rate, s, increases, on the new balanced growth path
dy∗ ds = f′(k∗) dk∗ ds k∗ is determined by sf (k∗) − k∗(g + n + δ) = 0
By implicit function theorem, we can get
dk∗ ds = f (k∗) (g + n + δ) − sf′(k∗) Therefore, dy∗ ds = f′(k∗) f (k∗) (g + n + δ) − sf′(k∗) By some calculations, s y∗ dy∗ ds = ( s f (k∗) ) f′(k∗) f (k∗) (g + n + δ) − sf′(k∗) = ( s f (k∗) ) f′(k∗) sf(k∗) k∗ − sf′(k∗) = k∗f′(k∗) f(k∗) 1 −k∗f(kf′(k∗)∗)
Define αk(k∗) = k ∗f′(k∗) f (k∗) Then, s y∗ dy∗ ds = αk(k∗) 1 − αk(k∗)
αk(k∗) is the capital share of the economy, usually around 1/3. In this case
s y∗ dy∗ ds = 1/3 2/3 = 1 2
This implies 10% increase in saving rate increases the steady state level of the output by 5%. Very Modest in the long run.
11 The Speed of Convergence
The dynamic equation·
kt= sf (kt) − kt(g + n + δ)
is non-linear. But if f (kt) is differentiable, we can approximate the above
equation by a linear equation. Taking the linear approximation at the steady state, we can get
· kt= (sf′(k∗) − (g + n + δ)) (kt− k∗) sf′(k∗) − (g + n + δ) = (g + n + δ)(f′k f − 1 ) Therefore · kt= − (1 − ak) (g + n + δ) (kt− k∗) kt= k∗+ exp [− (1 − ak) (g + n + δ) t] (k0− k∗)
The speed of convergence is − (1 − ak) (g + n + δ) . if g + n + δ is 0.06 and
the capital share is 1/3, the speed becomes 0.04. This speed, 4% per year, is very slow. Suppose the economy is at the half of its steady state level, i.e.,
k0= k
∗
2
Then, how long does it take to reach 3/4 of the steady state level? Find t such that kt= k∗+ exp [− (1 − ak) (g + n + δ) t] ( k∗ 2 − k∗ ) = 3k4∗
Eliminating k∗ and rearranging the equation a bit gives us 3 4 = 1 − 1 2e−0.04t, 1 4 = 1 2e−0.04t, 2 = e−0.04t, log (2) = −0.04t t = log (2)0.04
Since log(2) is about 0.69315,
t = 25 × 0.69315
= 17.329 (1)
Therefore, approximately, it takes 17-18 years to reach the halfway to their balanced growth path!!! So, you should remember that the transition process in the Solow Growth Model is quite slow considering how fast Japanese econ-omy recovered from the catastrophic destruction in the WWII. If you are not convinced with the result, the model should be modified.
12 Growth Accounting
The output level isYt= F (Kt, Lt, At)
Taking the time derivative,
· Yt= ∂K∂F · Kt+∂F∂L · Lt+∂F∂A · At Divide by Y, · Yt Yt = Kt F ∂F ∂K · Kt Kt + Lt F ∂F ∂L · Lt Lt+ At F ∂F ∂A · At At
Assume that the technology is linear homogenous in terms of K and L, and define Rt=AFt∂F∂A · At At Then, · Yt Yt = αk · Kt Kt+ (1 − αk) · Lt Lt+ Rt
Remember that the above equation depends only on the linear homogeneity of the technology (and differentiability) in derivations. The growth rate of output is decomposed into (1) contribution by capital, (2) contribution by labor, and (3) else. The term Rt is called “Solow Residual”, this implies the factor
that cannot be explained by the Solow’s Growth model.
13 Kaldor’s Stylized Facts Revisited
Now, let’s consider the relationship between Kaldors’s stylized facts introduced in the first section and the Solow’s growth model.
(1) The real output grows at constant rate.
As long as the technology is Harrod neutral, there exists the balanced growth path in which the output grows at the constant rate.
(2) Real capital stock grows at faster speed than labor.
The balanced growth rate of labor is n, while the growth rate of K is n+g>n. (3) The output growth rate is equal approximately equal to that of capital stock.
Again, at the balanced growth path, both grow at the same speed, n+g. (4) The capital return does not grow.
At the balanced growth path,
r = ∂K∂F = f′(k∗) = cons tan t (2)
Therefore, the capital return does not grow.
(5) Growth rate of per capita gdp varies across countries.
The balanced growth rate depends on the population growth rate and tech-nological progress, which do not have to be the same across countries.
(6) A country with greater share of capital income has greater investment/output ratio.
To make things simple, let’s consider Cobb-Douglas case.
F (Kt, Lt, At) = AKαL1−α. (3)
At the balanced growth path, ,
skα= k (g + n + δ) , (4) kα−1=[(g + n + δ) s ] , (5) y/k = kα−1 (6)
Because kα−1 does not depend on the capital share, α, the output/capital
ratio does not depend on α, either. That is, the Kaldor’s 6th stylized fact does not fit the Solow’s growth model.
![For copies of the original instructions see [7]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)