空気抵抗があるときの自由落下 【抵抗が速度に比例する場合】 １．絵を描く，座標と情報，記号を記入する ２．運動方程式を書く 𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝐾𝐾𝑑𝑑 ３．極端な場合（で直観的に分かりやすい状況）を推察する 𝑚𝑚𝑚𝑚 ≪ 𝐾𝐾𝑑𝑑 → 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑚𝑚 → 𝑑𝑑 = 𝑚𝑚𝑑𝑑 等加速度 𝑚𝑚𝑚𝑚 ≃ 𝐾𝐾𝑑𝑑 → 𝑑𝑑 =𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 終速度（ 𝑚𝑚に比例） 単調増加 0 ≤ 𝑑𝑑 <mg K ４．解を求める 微分方程式 𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝐾𝐾𝑑𝑑 (1) の一般解は 𝑑𝑑(𝑑𝑑) =𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 + 𝐶𝐶 𝑒𝑒−𝐾𝐾𝑚𝑚𝑡𝑡 (2) であり，初期条件 𝑑𝑑(0) = 0 を満たす特解は 𝑑𝑑(𝑑𝑑) =𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 �1 − 𝑒𝑒−𝐾𝐾𝑚𝑚𝑡𝑡� (3) である．この解は項目3 の極端な場合の推察と合致する．実際， 𝐾𝐾 𝑚𝑚𝑑𝑑 ≪ 1 のとき𝑑𝑑(𝑑𝑑) ≃ 𝑚𝑚𝑑𝑑 (𝑑𝑑 ≪ 𝑚𝑚/𝐾𝐾 は𝑚𝑚𝑚𝑚 ≪ 𝐾𝐾𝑑𝑑と同等になる) (4) また t → ∞のとき𝑑𝑑(𝑑𝑑) →𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 (5) （参考）上向きに投げあげたときの解法 𝑑𝑑(𝑑𝑑) > 0 の場合 𝑑𝑑(0) = −|𝑑𝑑0|を満たす特解は 𝑑𝑑(𝑑𝑑) =𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 − �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 +|𝑑𝑑0|� 𝑒𝑒−𝐾𝐾𝑚𝑚𝑡𝑡 (6), 最高点に到達する時刻を𝑑𝑑0とする 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐾𝐾 = � 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐾𝐾 +|𝑑𝑑0|� 𝑒𝑒−𝐾𝐾𝑚𝑚𝑡𝑡0 となり，そこから測った時刻を𝜏𝜏とすると（𝑑𝑑 = 𝑑𝑑0+ 𝜏𝜏） 𝑑𝑑(𝜏𝜏) =𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 − �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 +|𝑑𝑑0|� 𝑒𝑒−𝐾𝐾𝑚𝑚(𝜏𝜏+𝑡𝑡0)=𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 −𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑒𝑒−𝐾𝐾𝑚𝑚𝜏𝜏 となり𝑑𝑑(0) = 0の解が再現する． ⁼＝＝＝＝＝＝＝＝＝【粘性抵抗と慣性抵抗】＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ （粘性抵抗）速度に比例 ・静止した流体の中を速度ｖで移動する物体 ・流体の粘性により物体表面の流体は物体とともに移動する ・物体表面にまとわりついた流体（速度v）はもともと静止していた ・この流体は物体から力を受けたので速度（従って運動量）をもつようになった ・流体が受けた力はｖに比例する（運動量が変化するまでの時間が一定） ・物体には反作用としてｖに比例する力（粘性抵抗）が作用する 注：速度v をもった流体は，いずれまたもとの静止状態にもどるが，このとき減 速は流体内部の摩擦による． 𝐹𝐹 = −𝐾𝐾𝑑𝑑 𝑑𝑑(0) = 0, 𝑑𝑑(𝑑𝑑) =? F<0 v>0 v<0 mg mg F>0 x aaa
（慣性抵抗）速度の2 乗に比例 流体中を進む物体は前面にある流体を押しのけて進む．物 体の後面には流体が付き従う（渦を巻いて）．前面にある速 度0 の流体が後面に移動して速度ｖとなったと考えてよい．この流体の質量は単 位時間内に物体が押しのける体積に比例するので，ｖに比例する．物体が流体に 与える運動量はv2に比例するので，物体は流体からv2に比例する抵抗（慣性抵 抗）を受ける． 物体には粘性抵抗と慣性抵抗の両方が作用している．物体が大きく，速度が大き くなると慣性抵抗が主要な部分になる．人間が歩くとき，すでに慣性抵抗が主要 な抵抗となる．粘性抵抗が主要な抵抗となるのは，霧の水滴のような小さい粒子 が非常にゆっくりと沈降するような場合である．人間ほどの大きさの物体で粘性 抵抗が主要になる状況は，宇宙から大気圏に突入するような極めて希薄な空気で しか起きない． =============================================== 【抵抗が速度の2 乗に比例する場合】 例題 5.5 詳解 １．絵を描く，座標と情報，記号を記入する 【𝑑𝑑(0) > 0 （落下のとき： 𝑑𝑑(0) = 0だから，こちらの場合になる）】 ２．運動方程式を書く 𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝐾𝐾𝑑𝑑2 (7) 𝑑𝑑(0) = 0 3. 極端な場合を観察する 𝑚𝑚𝑚𝑚 ≫ 𝐾𝐾𝑑𝑑2→ 𝑑𝑑 = 𝑚𝑚𝑑𝑑 𝑚𝑚𝑚𝑚 ≃ 𝐾𝐾𝑑𝑑2→ 𝑑𝑑 = �𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐾𝐾 𝑑𝑑(𝑑𝑑): 0 → �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 単調増加 4. 解を求める 微分方程式 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑚𝑚 − 𝐾𝐾 𝑚𝑚 𝑑𝑑2= − 𝐾𝐾 𝑚𝑚 �𝑑𝑑2− 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐾𝐾 � の一般解は ��𝑑𝑑 − �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑑𝑑 + �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 �� = 𝐶𝐶 𝑒𝑒 −2�𝑚𝑚𝐾𝐾𝑚𝑚 𝑡𝑡 (8) であり，初期条件𝑑𝑑(0) = 0を満たす特解は 𝑑𝑑(𝑑𝑑) = �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 ×1 − 𝑒𝑒 −2�𝑚𝑚𝐾𝐾𝑚𝑚 𝑡𝑡 1 + 𝑒𝑒 −2�𝑚𝑚𝐾𝐾𝑚𝑚 𝑡𝑡 (9) である．極端な場合は 𝑑𝑑(𝑑𝑑) = �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 ×1 − 𝑒𝑒 −2�𝑚𝑚𝐾𝐾𝑚𝑚 𝑡𝑡 1 + 𝑒𝑒 −2�𝑚𝑚𝐾𝐾𝑚𝑚 𝑡𝑡 ≃ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧𝑚𝑚𝑑𝑑 ⋯ �𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑚𝑚 𝑑𝑑 ≪ 1 (𝑖𝑖. 𝑒𝑒. 𝑑𝑑 ≪�𝑚𝑚𝐾𝐾𝑚𝑚 𝑑𝑑) �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 ⋯ 𝑑𝑑 → ∞ となり項目３の観察と一致する． 𝐹𝐹 = −𝐾𝐾𝑑𝑑2 𝑑𝑑 |𝑑𝑑|，𝑑𝑑(0) = 0, 𝑑𝑑(𝑑𝑑) =? F<0 v>0 v<0 mg mg F>0 x aaa
（参考）𝑑𝑑(𝑑𝑑) > 0 の場合 ２．運動方程式 𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐾𝐾𝑑𝑑2 , 𝑑𝑑(0) = −|𝑑𝑑 0| ３．概要 初期加速度：𝑚𝑚 +𝐾𝐾 𝑚𝑚𝑑𝑑02 𝑑𝑑(𝑑𝑑): − |𝑑𝑑0| → 0 単調減少 一番上で 𝑑𝑑(𝑑𝑑) = 0 4. 運動方程式を解く 微分方程式 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐾𝐾 𝑚𝑚 �𝑑𝑑2+ 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐾𝐾 � の解は 𝑑𝑑(𝑑𝑑) = �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 tan ��𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑚𝑚 𝑑𝑑 + 𝑐𝑐� , 𝑐𝑐 = − arctan |𝑑𝑑0| �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 であり，最上点に到達する時刻は 𝑑𝑑0= 1 �𝑚𝑚𝐾𝐾𝑚𝑚 arctan |𝑑𝑑0| �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 である． ＝＝＝＝＝＝＝＝ 数学 ＝＝＝＝＝＝＝＝ 数学 ＝＝＝＝＝＝＝＝ 【微分方程式(1)を解くために】 ・最高階の係数を１にして式を見やすくする 𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝐾𝐾𝑑𝑑 → 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑚𝑚 − 𝐾𝐾 𝑚𝑚 𝑑𝑑 = − 𝐾𝐾 𝑚𝑚 �𝑑𝑑 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐾𝐾 � ・独立変数ｔと従属変数𝑑𝑑を分離する（変数分離） 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 = − 𝐾𝐾 𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 ・積分した形にする � 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 = − 𝐾𝐾 𝑚𝑚 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 ・積分を計算する log �𝑑𝑑 −𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 � = −𝑚𝑚 𝑑𝑑 + 𝑐𝑐𝐾𝐾 ここで積分定数をc とした．１ページではecをC と書いている． 対数の引数は正となるべきだが，𝑑𝑑 <𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐾𝐾 なので絶対値をつけた． ・絶対値を外す（式(2)と同等の式になる） 𝑑𝑑 −𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 = −𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑒𝑒−𝐾𝐾𝑚𝑚𝑡𝑡 ・初期条件を満たすように𝑐𝑐あるいはecを決める 0 −𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 = −𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑒𝑒−0= −𝑒𝑒𝑐𝑐→ 𝑒𝑒𝑐𝑐=𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐾𝐾 ・特解が得られる（式(3)） 𝑑𝑑(𝑑𝑑) =𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 −𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑒𝑒−𝐾𝐾𝑚𝑚𝑡𝑡=𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐾𝐾 �1 − 𝑒𝑒−𝐾𝐾𝑚𝑚𝑡𝑡� ・(4)のチェックでは，|𝑥𝑥| ≪ 1 → 𝑒𝑒𝑥𝑥≃ 1 + 𝑥𝑥を用いた． ・(5)のチェックでは 𝑥𝑥 → ∞のとき𝑒𝑒𝑥𝑥→ ∞また1 𝑒𝑒𝑥𝑥= 𝑒𝑒−𝑥𝑥→ 0を用いた．
【特解(6)を求めるには】 一般解 �𝑑𝑑 −𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 � = −e𝑐𝑐𝑒𝑒−𝐾𝐾𝑚𝑚𝑡𝑡 に𝑑𝑑 = 0，𝑑𝑑(0) = −|𝑑𝑑0| < 0を代入し，符号を反転して 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐾𝐾 + |𝑑𝑑0| = 𝑒𝑒𝑐𝑐 よって 𝑑𝑑(𝑑𝑑) =𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 − �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 +|𝑑𝑑0|� 𝑒𝑒−𝐾𝐾𝑚𝑚𝑡𝑡 となる．最上点では速度が0 だから𝑑𝑑(𝑑𝑑0) = 0．上の特解に代入して 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐾𝐾 = � 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐾𝐾 +|𝑑𝑑0|� 𝑒𝑒−𝐾𝐾𝑚𝑚𝑡𝑡0 → 1 + |𝑑𝑑0| 𝑚𝑚𝑚𝑚/𝐾𝐾 = e 𝐾𝐾 𝑚𝑚𝑡𝑡0 あるいは 𝑑𝑑0=𝑚𝑚𝐾𝐾 log �1 +𝑚𝑚𝑚𝑚/𝐾𝐾�|𝑑𝑑0| となる．𝑑𝑑 = 𝑑𝑑0+ 𝜏𝜏とおいて 𝑑𝑑(𝜏𝜏) =𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 − �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 +|𝑑𝑑0|� 𝑒𝑒−𝐾𝐾𝑚𝑚(𝜏𝜏+𝑡𝑡0)=𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 − �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 +|𝑑𝑑0|� 𝑒𝑒−𝐾𝐾𝑚𝑚𝑡𝑡0𝑒𝑒−𝐾𝐾𝑚𝑚𝜏𝜏 =𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 −𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑒𝑒−𝐾𝐾𝑚𝑚𝜏𝜏 【(7)の一般解】 𝑑𝑑(𝑑𝑑) > 0 （𝑑𝑑(0) = 0から落下を始める場合） 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑚𝑚 − 𝐾𝐾 𝑚𝑚 𝑑𝑑2= − 𝐾𝐾 𝑚𝑚 �𝑑𝑑2− 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐾𝐾 � ∶ 最高階数の係数を１にする 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑2− 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐾𝐾 = −𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐾𝐾 ：変数分離 1 𝑑𝑑2− 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐾𝐾 = ⎝ ⎛ 1 𝑑𝑑 − �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 + −1 𝑑𝑑 + �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 ⎠ ⎞ × 1 2�𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 ：部分分数展開 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 − �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 − 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 + �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 = −2�𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −2𝐾𝐾 �𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑：整理 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 − �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 − � 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 + �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 = −2�𝑚𝑚𝐾𝐾𝑚𝑚 � 𝑑𝑑𝑑𝑑：積分の形 log �𝑑𝑑 − �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 � − log �𝑑𝑑 +�𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 � = − 2�𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑚𝑚 𝑑𝑑 + c：積分の実行 log ��𝑑𝑑 − �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑑𝑑 + �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 �� = −2� 𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑚𝑚 𝑑𝑑 + c → �� 𝑑𝑑 − �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑑𝑑 + �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 �� = 𝐶𝐶 𝑒𝑒 −2�𝑚𝑚𝐾𝐾𝑚𝑚 𝑡𝑡：整理 𝑑𝑑(0) = 0: ��0 − �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 0 + �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 �� = 1 = C × 1: 初期条件から積分定数を決める → C = 1 ��𝑑𝑑 − �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑑𝑑 + �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 �� = 𝑒𝑒 −2�𝑚𝑚𝐾𝐾𝑚𝑚 𝑡𝑡：特解 − �𝑑𝑑 − �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 � = −𝑑𝑑 +�𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 = �𝑑𝑑 +�𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 � 𝑒𝑒 −2�𝑚𝑚𝐾𝐾𝑚𝑚 𝑡𝑡：絶対値記号を外す
�𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 �1 − 𝑒𝑒 −2�𝑚𝑚𝐾𝐾𝑚𝑚 𝑡𝑡� = 𝑑𝑑(𝑑𝑑) �𝑒𝑒 −2�𝑚𝑚𝐾𝐾𝑚𝑚 𝑡𝑡+ 1� ：整理 𝑑𝑑(𝑑𝑑) = �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 ×1 − 𝑒𝑒 −2�𝑚𝑚𝐾𝐾𝑚𝑚 𝑡𝑡 1 + 𝑒𝑒 −2�𝑚𝑚𝐾𝐾𝑚𝑚 𝑡𝑡 ：特解 極端な条件のチェック ≃ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 ×2�𝑚𝑚𝐾𝐾2𝑚𝑚 𝑑𝑑= 𝑚𝑚𝑑𝑑 ⋯ �𝑚𝑚𝐾𝐾𝑚𝑚 𝑑𝑑 ≪ 1 (𝑖𝑖. 𝑒𝑒. 𝑑𝑑 ≪�𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑚𝑚 𝑑𝑑) �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 ⋯ 𝑑𝑑 → ∞ （参考）投げあげたとき𝑑𝑑(0) = −|𝑑𝑑0| 運動方程式 𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐾𝐾𝑑𝑑2 , 𝑑𝑑(0) = −|𝑑𝑑 0| 概要 初期加速度：𝑚𝑚 +𝐾𝐾 𝑚𝑚𝑑𝑑02 𝑑𝑑(𝑑𝑑): − |𝑑𝑑0| → 0 単調減少 一番上で 𝑑𝑑(𝑑𝑑) = 0 4. 運動方程式を解く 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐾𝐾 𝑚𝑚 �𝑑𝑑2+ 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐾𝐾 � → 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑2+ ��𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐾𝐾 � 2=𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑𝐾𝐾 1 �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 arctan 𝑑𝑑 �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 = 𝐾𝐾 𝑚𝑚 𝑑𝑑 + 𝑐𝑐′ → arctan 𝑑𝑑 �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 = � 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐾𝐾 𝐾𝐾 𝑚𝑚 𝑑𝑑 + 𝑐𝑐 → 𝑑𝑑(𝑑𝑑) = �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 tan ��𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑚𝑚 𝑑𝑑 + 𝑐𝑐� , 𝑐𝑐 = − arctan |𝑑𝑑0| �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑑𝑑(𝑑𝑑0) = 0 → �𝑚𝑚𝐾𝐾𝑚𝑚 𝑑𝑑0+ 𝑐𝑐 = 0 → 𝑑𝑑0= 1 �𝑚𝑚𝐾𝐾𝑚𝑚 arctan |𝑑𝑑0| �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾
【微分方程式の常識】 ● 用語 斉次 定係数 １階 線形 常微分方程式：𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡+ 𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑑𝑑) = 0 線形：𝑓𝑓1, 𝑓𝑓2が解のとき𝛼𝛼𝑓𝑓1+ 𝛽𝛽𝑓𝑓2も解 非斉次 ：𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡+ 𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑑𝑑) = ℎ(𝑑𝑑) ●斉次解とは， 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡= −𝑎𝑎𝑓𝑓(𝑑𝑑) を満たす𝑓𝑓(𝑑𝑑)のこと 𝑓𝑓(𝑑𝑑) = 𝑒𝑒−𝑎𝑎𝑡𝑡 が解であることは代入すれば分かる，𝑓𝑓(0) = 1 特解 𝑓𝑓(𝑑𝑑) = 𝐴𝐴𝑒𝑒−𝑎𝑎𝑡𝑡 も解である．一般解．初期条件により特解を得る：𝑓𝑓(0) = 𝐴𝐴 ● 斉次解から非斉次解を求める手法 ＜＜定数変化法＞＞ 𝑓𝑓(𝑑𝑑) = 𝐴𝐴(𝑑𝑑)𝑒𝑒−𝑎𝑎𝑡𝑡とおき非斉次方程式の解となるための𝐴𝐴(𝑑𝑑)の条件を探る． 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡+ 𝑎𝑎𝑓𝑓 =𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑒𝑒−𝑎𝑎𝑡𝑡+ (−𝑎𝑎)𝐴𝐴𝑒𝑒−𝑎𝑎𝑡𝑡+ 𝑎𝑎𝐴𝐴𝑒𝑒−𝑎𝑎𝑡𝑡=𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑒𝑒−𝑎𝑎𝑡𝑡= ℎ(𝑑𝑑) → 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡 = ℎ(𝑑𝑑)𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡 𝐴𝐴(𝑑𝑑) = ∫0t𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡′)𝑑𝑑𝑡𝑡′ 𝑑𝑑𝑑𝑑′= ∫ ℎ(𝑑𝑑′)𝑒𝑒t +𝑎𝑎𝑡𝑡′𝑑𝑑𝑑𝑑′ 0 (初期条件により A(0)が定まる) 一般解は𝐴𝐴(𝑑𝑑) = ∫ ℎ(𝑑𝑑)𝑒𝑒t +𝑎𝑎𝑡𝑡𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑓𝑓(𝑑𝑑) = � ℎ(𝑑𝑑′)𝑒𝑒+𝑎𝑎𝑡𝑡′ 𝑑𝑑𝑑𝑑′ t × 𝑒𝑒−𝑎𝑎𝑡𝑡 ● 例 速度に比例する抵抗のもとでの自由落下（上で解いた） 𝑓𝑓(𝑑𝑑) → 𝑑𝑑(𝑑𝑑), 𝑎𝑎 =𝑚𝑚𝐾𝐾, ℎ(𝑑𝑑) = 𝑚𝑚, 𝐴𝐴(𝑑𝑑) = ∫ 𝑚𝑚𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑚𝑚𝐾𝐾𝑡𝑡′𝑑𝑑𝑑𝑑′=𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐾𝐾 e 𝐾𝐾 𝑚𝑚𝑡𝑡 − 𝐴𝐴(0) 𝑑𝑑(𝑑𝑑) = �𝑚𝑚𝑚𝑚𝐾𝐾 e𝑚𝑚𝑡𝑡 𝐾𝐾 − 𝐴𝐴(0)� 𝑒𝑒−𝐾𝐾𝑚𝑚𝑡𝑡=𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐾𝐾 − 𝐴𝐴(0)𝑒𝑒−𝐾𝐾𝑚𝑚𝑡𝑡, 𝐴𝐴(0) = 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐾𝐾 . (𝑑𝑑(0) = 0) ● 2 階定係数線形定微分方程式 𝑑𝑑2𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑2+ 𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 𝑓𝑓 = ℎ(𝑑𝑑) ● 微分方程式の一般解の自由度（特解を決める初期条件の数） 1 階微分方程式では𝑓𝑓(0)を与えると特解が決まり，2 階微分方程式は，𝑓𝑓(0)と𝑓𝑓′(0) を与えると特解が定まることを知りたい． 解を𝑓𝑓(𝑑𝑑) = 𝑐𝑐0+ 𝑐𝑐1𝑑𝑑 + 𝑐𝑐2𝑑𝑑2+ ⋯と表す． 斉次2 階線形定係数の場合 𝑓𝑓′= 𝑐𝑐 1+ 2 𝑐𝑐2𝑑𝑑 + 3 𝑐𝑐3𝑑𝑑2+ 4𝑐𝑐4𝑑𝑑3+ 𝑓𝑓′′= 2𝑐𝑐 2+ 3 × 2 𝑐𝑐3𝑑𝑑 + 4 × 3 𝑐𝑐4𝑑𝑑2+ 各次数の係数が0（でないと = 0 が成り立たない） 𝑑𝑑0: 2𝑐𝑐 2+ 𝑎𝑎 𝑐𝑐1+ 𝑏𝑏 𝑐𝑐0= 0 𝑑𝑑1: 3 ⋅ 2 𝑐𝑐 3+ 2𝑎𝑎 𝑐𝑐2+ 𝑏𝑏 𝑐𝑐1= 0 𝑑𝑑2: 4 ⋅ 3 c 4+ 3𝑎𝑎 𝑐𝑐3+ 𝑏𝑏 c2= 0 c0と𝑐𝑐1を決めると，これら漸化式により全ての係数が決まり，𝑓𝑓が決まる c0= 𝑓𝑓(0), 𝑐𝑐1= 𝑓𝑓′(0) 2 階微分方程式は，𝑓𝑓(0)と𝑓𝑓′(0)を与えると特解が定まる． ● 例： 𝑑𝑑2𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑡𝑡2= 𝐹𝐹 �𝑥𝑥, 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑡𝑡, 𝑑𝑑�の特解は𝑥𝑥(0)と𝑑𝑑(0) = 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑡𝑡(0)により決まる．力が位 置，速度，時間の関数として決まっているとき，初期位置と初速度さえ決 まれば，その後の運動が完全に決まる．
