Microsoft PowerPoint - 弾性波動デバイス2

弾性波動デバイス

Part 2: 高周波フィルタ

千葉大学大学院工学研究科

人工システム科学専攻電気電子系コース

橋本研也

平成22年4月3日版

•LCフィルタの設計

•

••

定

定

定

K

K

K

、

、

、

誘導

誘導

誘導

m

m

m

型フィルタの設計

型フィルタの設計

型フィルタの設計

•

••

ラダー型フィルタの設計

ラダー型フィルタの設計

ラダー型フィルタの設計

•

••

格子型フィルタの設計

格子型フィルタの設計

格子型フィルタの設計

•

••

結合共振子フィルタの設計

結合共振子フィルタの設計

結合共振子フィルタの設計

•

••

多重結合モードフィルタの設計

多重結合モードフィルタの設計

多重結合モードフィルタの設計

•

••

トランスバーサル型フィルタ

トランスバーサル型フィルタ

トランスバーサル型フィルタ

内容

•受動・リアクティブ素子による特性合成

•雑音・非線形性弱

•高Q共振子(弾性波､電磁波)の利用（インダクタは低Q）

•インピーダンス整合要

•どうやって素子毎に微妙なインピーダンスを調整？

高周波フィルタ≒受動フィルタ

同一もしくは整数倍のインピーダンスの利用

同時に作れば相対的な誤差少

C₂ R₀ R₀ L₁ L_{1 R} 0 R₀ C₁ C₁ L₂ E_S E_S 3エレメントT型LPF 3エレメントπ型LPF C₂ L₁ L₃ C₂ L₁ 5エレメントT型LPF C₂ L₁ L₃ C₃ L₃ C₂ L₁ 7エレメントT型LPF C₁ C₃ L₂ C₁ L₂ 5エレメントπ型LPF C₁ C₃ L₂ C₃ L₄ 7エレメントπ型LPF C₁ L₂

C₁ L₁ L₂ C₂ L₃=L₂ C₃=C₁ L₄=L₁ C₁C₃ L₂ C₅=C₃ L₄ C₇=C₁ L₆=L₁ I₁ I₂ V₁ V₂ I₁ I₂ V₁ V₂ 7 6 5 4 3 2 1 11 1 1 1 1 1 1 1 ) ( sL sC sL sC sL sC sL s Y + + + + + + = 7 6 5 4 3 2 1 11 1 1 1 1 1 1 1 ) ( sC sL sC sL sC sL sC s Z + + + + + + = Y₁₁もしくはZ₁₁から回路定数を決定 回路構成法は一意でない 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 0 11 2 2 2 ) ( s s s k s s s k s s s k sk s Z + + + + + + = と変形すれば､ L₀ L₁ L₂ L₃ C₁ C₂ C₃ s=jω ここで

無損失、対称から

S

₂₂

=S

₁₁

、S

₁₂

=S

₂₁

、|S

₁₁

|

2

+|S

₂₁

|

2

=1、S

₁₁

S

₂₁*

+S

₁₁*

S

₂₁

=0

所望のS

₂₁

を与えるS

₁₁

は一意でない

2 21 2 11 2 21 2 11 0 11 ) 1 ( 1 S S S S G Y − + + − = ₂ 21 2 11 21 0 12 ) 1 ( 2 S S S G Y − + − = 2 21 2 11 2 21 2 11 0 11 ) 1 ( 1 S S S S R Z − − + − = ₂ 21 2 11 21 0 12 ) 1 ( 2 S S S R Z − − = 21 2 21 11 j | S | 1S S = ± − −

所望のS

₂₁

からY

₁₁

も

しくはZ

₁₁

を決定

回路定数の決定

1 | | 2 ₂₁ 2 1 * 21 1 21 1 * 21 1 21 0 11 − ± − + = − − − − − S j S S S S G Y 1 | | 2 ₂₁ 2 1 * 21 1 21 1 * 21 1 21 0 11 − − + = − − − − − S j S S S S R Z m

N

H

₂ 0 2

)

/

(

1

1

)

(

ω

ω

ω

+

=

最大平坦特性　

ω=0でn階微分まで零

-3 -2 -1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 N=9 N=7 N=5 N=3 Relative frequency -100 -80 -60 -40 -20 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 N=9 N=7 N=5 N=3 Relative frequency H (dB) H (dB)

遮断特性に難、群遅延かなり平坦

N

次バターワースフィルタ

N

次バターワースフィルタ

)

/

1

(

)

/

(

1

( ) 2 1 2 0 ∞ =

−

=

+

Π

N _n n N

ω

ω

ω

ω

}

2

/

)

1

2

(

exp{

0 ) (

N

n

j

n

=

−

∞

_ω

_π

ω

N

H

2 0 2

)

/

(

1

1

)

(

ω

ω

ω

+

=

ここで

Re(

ω

)

Im(

ω

)

|

ω

|=

ω

₀

上反面の極

のみを選択

∏

= ∞

−

=

_N n n

H

1 ) (

)

/

1

(

1

)

(

ω

ω

ω

最少位相推移設計

極配置

N

n

L

C

_{n n}

2

)

1

2

(

sin

2

,

)

=

−

π

)

規格化インダクタンス

と規格化キャパシタンス

0 0

L

/ R

ω

0 0

CR

ω

2 21 2 21 21 2 21 2 21 2 21 0 11 | | 1 | | 2 1 | | 1 S S S S j S S G Y − − − − − ± + =

)

/

1

(

)

/

(

2

)

/

1

(

)

/

1

(

)

/

1

(

1 0 1 1 1 0 11 n N n N n N n n N n n N n

j

G

Y

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

+

−

±

−

+

+

−

=

Π

Π

Π

Π

= = = =

に代入すると

N:奇数(回路が対称から)

}

2

/

)

1

2

(

exp{

0 ) (

N

n

j

n

=

−

∞

_ω

_π

ω

R

₀

:特性インピーダンス

7エレメントΤ型バターワースLPF

R

₀

=50Ω,

f

₀

=1MHz

数値が

ばらばら

)

/

1

(

/

)

/

1

(

)

(

1 0 1 0 ∞ = =

−

−

=

Π

Π

N∞ _n n n N n

s

H

ω

ω

ω

ω

ωL ⇔ 1/ωC の変換

•LPFからHPFへ jω/ω

₀

⇒

ω

₀

/jω

•LPFからBPFへ 　

j

ω/ω

₀

⇒jω/ω

₀

+ω

₀

/jω

ωL ⇔ ωL-1/ωC

、

ωC ⇔ ωC-1/ωLの変換

•LPFからBEFへ

j

ω/ω

₀

⇒1/(jω/ω

₀

+ω

₀

/jω)

ωL-1/ωC: LとCの直列

ωC-1/ωL: LとCの並列

ωL ⇔ ωL-1/ωC

、

ωC ⇔ ωC-1/ωLの変換

原理的にはLPFの設計

手法のみで全てOK

HPF, BPF, BEF

の実現

HPF, BPF, BEF

の実現

L'₂ C'_１ C'₁ C'₂ L'₁ L'₂ C'₁ L'₁ C'₁ C'₂ L'₁ L'₂ C'₁ L'₁ C'₁ C₂ L₁ L₁

•LPFからHPFへ

•LPFからBPFへ

•LPFからBEFへ

2 2 1 1 / 1 ' / 1 ' C L L C c c c c ω ω ω ω = = 1 ' ' , 1 ' '_{1 1 0}2 _{2 2} 2 0L C = ω L C = ω 2 2 0 2 0 1 1 0 1 0 ' ) /( 1 ' ) ( ' ) /( 1 ' ) ( C L C L C L c c c c c c ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω = + − + = + − + 2 2 0 2 0 1 1 0 1 0 / 1 ' ) /( 1 ' ) ( / 1 ' ) /( 1 ' ) ( C C L L L C c c c c c c ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω = + − + = + − + 1 ' ' , 1 ' '_{1 1 0}2 _{2 2} 2 0 L C = ω L C = ω

•基準となるLPF

(遮断周波数ω

_c

)

C₂ C4 L₃ L₅ C₆ L₂ C₃ C₅ L₆ L₄ L₁ C₁ L₇ C₇ 7エレメントΤ型BPF 1 2 ) 1 2 ( sin 2 ) 1 /( 1 ) 1 ( 2 ) 1 2 ( sin 2 ) 1 /( 1 ) 1 ( 2 0 0 0 0 = − = Δ + − Δ + − = Δ + − Δ + n n c n c n c n c n c C L N n R L R C N n R C R L ω π ω ω π ω ω

特性インピーダンスR

₀

中心周波数f

_c

通過帯域f

_c

/(1+Δ)↔f

_c

(1+Δ)

1 2 ) 1 2 ( sin ) 2 ( ) 1 ( 2 2 ) 1 2 ( sin ) 2 ( ) 1 ( 2 2 0 0 = − Δ + Δ Δ + = − Δ + Δ Δ + = n n c n c n c C L N n R C N n R L ω π ω π ω

直列腕

並列腕

並列腕

_L

の

_Q

が

₁₀₀

直列腕

_L

の

_Q

が

₁₀₀

L

の

Q

が無限

左肩下がり

右肩下がり

Q-1ω_cL₁

中心周波数では？

) ( ) ( 2 2 )} ( { ) ( 2 6 4 2 1 0 7 5 3 1 1 0 1 6 4 2 1 0 7 5 3 1 1 0 0 21 C C C Q R L L L L Q G C C C Q G L L L L Q R R S c c c c + + + + + + + ≅ + + + + + + + + ≅ − − − − − ω ω ω ω Q-1ω cL3 Q-1ωcL5 Q-1ωcL7 Q(ω_cC₆)-1 Q(ω_cC₄)-1 Q(ω_cC₂)-1 R₀ E_S R₀

直列共振

_Z=

ω

_r

_L/Q

_r

_=1/

ω

_r

_CQ

_r

並列共振

_Z=

ω

_a

_LQ

_a

_=Q

_a

_/

ω

_a

_C

M L₂ L₁ M L₂-M L₁-M

共通インダクタンスの影響

共通インダクタンスの影響

誘導性結合は共通インダクタンスと等価

) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 I I dt d M dt dI M L dt dI L dt dI M V I I dt d M dt dI M L dt dI M dt dI L V + + − = + = + + − = + =

零点の発生！

L

₁

, L

₃

間の

結合と等価

L

₄

, L

₆

間の

2 0 2 2 ) / ( 1 1 ) (

ω

ω

ε

ω

N T H + =

チェビシェフフィルタ

等リップル特性、遮断特性急峻　　（群遅延特性に難） ε: リップルを決定するパラメータ ] 2 / )} ( sinh ) 1 2 ( cos[{ / ₀ j n j 1 1 N s_n

ω

=

π

− ± −

ε

− ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≥ ≤ = − ₋ 1 | | ) cosh cosh( 1 | | ) cos cos( ) ( ₁ 1 x x N x x N x T_N ここでT_N(x):チェビシェフ多項式 2 0 2 1

)

/

(

1

)

/

1

)(

/

1

(

s

s

_n

s

s

_n

ε

T

_N

js

ω

N n

−

+

=

+

−

Π

= (N:奇数) ここで |x|<1で最大値1、最小値-1

-100 -80 -60 -40 -20 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -3 -2 -1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0.2dB 0.2dB N=9 N=7 N=5 N=3 N=9 N=7 N=5 N=3 Relative frequency Relative frequency S 21 (dB) S 21 (dB) 18.378 4.136 11.790 0.3 17.237 4.256 10.659 0.2 15.717 4.365 9.126 0.1 L₂ (nH) C₁ (pF) L₁ (nH) リップ ル (dB) N=3, R=50Ω, 1GHz ) / 1 ( ) / ( 2 ) / 1 ( ) / 1 ( ) / 1 ( 1 0 1 1 1 0 11 n N n N n N n n N n n N n s s js T j s s s s s s G Y + − − ± − + + − =

Π

Π

Π

Π

= = = = ω ε に代入すると　⇒ この種の表はフィルタ設計データ として多くの書籍に掲載。係数決 定のフリーソフトも多数存在

Z_a + -Z_c Z_b e_out e_in Z_d

能動フィルタ

能動フィルタ

b a d c b a d a d c a b d c a d c d b a d c b a d b d c b a d c b d c d Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z K Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z H + + + = + + + + + + = + + + = + + + + + + = − − − − − − − − − − − − − − ) )( ( } ) ( { } ) ( { ) ( ) )( ( } ) ( { } ) ( { ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 K G eout e_in + + この場合G=1

GK

GH

e

e

in out

−

=

1

H d a b a d c b a d b in out

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

GK

GH

e

e

−

+

+

+

=

−

=

)

)(

(

1

帰還による誘導成分の実現

b d d b a a c

Z

Z

Q

s

Z

Z

Z

Z

Z

/

2

/

/

1 0 −

=

=

=

ω

1

)

/

(

)

/

(

1

0 1 2 0

+

+

=

₋

ω

ω

Q

s

s

e

e

in out とすれば、 LC回路と同様の特性(Q>0.5実現可能) e_out e_in H₁ H₂ H₃ 多段縦続による所望の周波数特性の実現 Q_n-1=2cos{(2n-1)π/16} (n=1,2,3,4) 8次バターワースフィルタ H₄ 注: RCだとQ=0.5が限界

GK

G

s

Q

s

s

H

+

=

+

+

=

₋

1

1

)

/

(

)

/

(

1

)

(

0 1 2 0

ω

ω

1

)}

/

(

){

/

(

₀ 1 ₀

=

+

=

−

G

s

Q

s

K

ω

ω

₊ -e_out R C e_in dt de CR e_out = − in q=Ce_in i=dq/dt 微分器 ここで、 -s/ω₀ 1/Q + --s/ω₀ + -e_out e_in 状態変数型フィルタの構成法一例

+ -C₂ C₁ eout e_in i_in(t) i₂(t)

スイッチトキャパシタフィルタ

スイッチトキャパシタフィルタ

スイッチの高速切り替え •スイッチ入力側の時C₁上の電荷＝e_inC₁ •スイッチ出力側の時C₂に流れ込む電荷＝e_inC₁

dt

e

C

f

C

e

_out

=

−

∫

_in 2 1 f:切り替え周波数 コンデンサが抵抗と 同様な役割R=1/C₁f + -e_in e_out C R e_in/R 状態変数s-1の実現 CRによる積分器

e

dt

CR

e

_out

=

−

1

∫

_in

全通過フィルタ(APF)

∏

+

₊

=

n _n n

j

j

H

α

ω

α

ω

ω

)

*

(

Re(ω)

Im(ω)

APFフィルタの極・

零点配置

1

)

(

ω

=

H

[

]

[

]

[

]

∑

∑

+

∠

+

∠

=

∠

n n n n

j

j

H

α

ω

α

ω

ω

)

(

*

極と複素共役な零点のペア

位相のみが変化　⇒　

遅延時間の増加

Re(ω)

Im(ω)

最少位相推移系

零点が全て上面に有り

例：Z=Y

-1

: Z、Yのどちらも

伝達関数だから

全ての時間不変な連続

フィルタは最少推移系＋

APFの積で表現可能！

•

••

LC

LC

LC

フィルタの設計

フィルタの設計

フィルタの設計

•定K、誘導m型フィルタの設計

•

••

ラダー型フィルタの設計

ラダー型フィルタの設計

ラダー型フィルタの設計

•

••

格子型フィルタの設計

格子型フィルタの設計

格子型フィルタの設計

•

••

結合共振子フィルタの設計

結合共振子フィルタの設計

結合共振子フィルタの設計

•

••

多重結合モードフィルタの設計

多重結合モードフィルタの設計

多重結合モードフィルタの設計

•

••

トランスバーサル型フィルタ

トランスバーサル型フィルタ

トランスバーサル型フィルタ

内容

2C L 2L 2C 2L 2C L V₁ V₂ I₁ I₂ C R₀ R₀ L E_S

_R

02

=L/Cに設定

定

_K

型フィルタ

定

_K

型フィルタ

C 2C 2L 2L 2L I₁ I₂ V₂

反転させながら縦続

(

伝送線路の等価回路

)

2C C

殆ど同一数値の

要素のみで実現

-100 -80 -60 -40 -20 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -3 -2 -1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 N=9 N=7 N=5 N=3 Relative frequency H (dB) N=9 N=7 N=5 N=3 Relative frequency H (dB)

バターワースフィルタと類似した特性

2C L 2L 2C 2L 2C L V₁ V₂ I₁ I₂

長さnλ/2の伝送線路と

_{等価の時|H|=1}

イメージパラメータ

_Z

_i

_{, Z}

_o

_&

ϕ

イメージパラメータ

_Z

_i

_{, Z}

_o

_&

ϕ

ϕ Z

_o

Z

_i

_Z

_ϕ

i

Z

_o

Z

_i

Z

_i

Z

o

Z

o

ϕ

ϕ

ϕ

3ϕ

Z

_i

Z

_i

Z

_i

Z

_i

Z

_o

Z

_o

Z

_o

Z

_o

入出力反転を伴う縦続

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

₋ − −

ϕ

ξ

ϕ

ξ

ϕ

ξ

ϕ

ξ

cosh

sinh

sinh

cosh

1 1 1 i i

Z

Z

F

ここで

ξ=(Z

_i

_/Z

_o

₎

0.5 Z_s Z_p

(

s p

)

s p p o o p s s i Z Z Y Y Y Z Y Z Z Z Z / sinh ) ( ) ( 1 1 − − = + = = + =

ϕ

例えば

解析

解析

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

− − −

)

even

:

(

cosh

sinh

sinh

cosh

)

odd

:

(

cosh

sinh

sinh

cosh

1 1 1

M

M

M

Z

M

Z

M

M

M

M

Z

M

Z

M

i i i i

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ξ

ϕ

ξ

ϕ

ξ

ϕ

ξ

F

R

₀

_[Fo]

_[Fe]

R

₀

_e

_out

.

e

₁

i

₁

e

₂

e

₃

i

₂

_i

₃

_i

M+1

[Fe]

[Fo]

or

[Fo]

#1

#2

#3

#M

e

_M+1

e

_in

反復を伴う縦続接続

M

jn /

π

ϕ

=

R

₀

E

_in

e

1

R

0

i

₁

i

₂

e

₂

F

₂₁

F

₁₂

F

₁₁

F

₂₂

の時|S

₂₁

|=1

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ + + + + + = + + + = − − ) even : ( sinh ) / / ( cosh 2 2 ) odd : ( sinh ) / / ( cosh ) ( 2 2 0 0 0 0 1 1 12 0 21 0 22 11 21 M M Z R R Z M M M Z R R Z M F G F R F F S i i i i

ϕ

ϕ

ϕ

ξ

ξ

ϕ

ξ

ξ

C

R

₀

R

₀

L

E

_S

(

)

LC

C

L

K

j

K

Z

K

Z

c c c o c i

/

1

,

/

/

sin

)

/

(

1

/

)

/

(

1

1 2 2

=

=

=

−

=

−

=

−

ω

ω

ω

ϕ

ω

ω

ω

ω

ω<ω

_c

の時：

ϕは純虚数、Z

_i

_、Z

_o

は実数⇒通過域

ϕ

=jnπ/

Μ

⇒

ω

_/

ω

_c

=sin(nπ/

Μ

)

ω>ω

_c

の時：

ϕは実数、Z

_i

_、Z

_o

は純虚数⇒阻止域

無損失周波数

C

R

₀

R

₀

L

E

_S

定K

フィルタの場合､

R

₀2

=L/Cに設定

誘導

_m

型フィルタ

誘導

_m

型フィルタ

mC

mL

mC

mL

(m

-1

-m)L

(m

-1

-m)C

直列共振によ

る零点発生

並列共振によ

る零点発生

R

₀2

=L/C、

0≤m≤1に設定

急峻な肩特性と帯域外抑圧の劣化

-3 -2 -1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 -100 -80 -60 -40 -20 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Relative frequency H (dB) m=0.9 m=0.8 m=0.7 m=0.6 Relative frequency H (dB) m=1

mC

mL

2L

2C

2L

mL

mC

(m

-1

-m)L

C

(m

-1

-m)L

C

誘導m型フィルタ

と定Kフィルタの

組み合わせ

•

••

LC

LC

LC

フィルタの設計

フィルタの設計

フィルタの設計

•

••

定

定

定

K

K

K

、

、

、

誘導

誘導

誘導

m

m

m

型フィルタの設計

型フィルタの設計

型フィルタの設計

•ラダー型フィルタの設計

•

••

格子型フィルタの設計

格子型フィルタの設計

格子型フィルタの設計

•

••

結合共振子フィルタの設計

結合共振子フィルタの設計

結合共振子フィルタの設計

•

••

多重結合モードフィルタの設計

多重結合モードフィルタの設計

多重結合モードフィルタの設計

•

••

トランスバーサル型フィルタ

トランスバーサル型フィルタ

トランスバーサル型フィルタ

内容

ラダー型フィルタ

ラダー型フィルタ

• 同一基板に多くの共振子作成

• 超低損失

• 高耐電力性

• 中庸な帯域外抑圧

回路構成

(定K型フィルタの共振子版)

R. Ruby, et al., IEEE Microwave Symp. (2004) pp.931-934

ラダー型FBARフィルタ

ラダー型

ラダー型

_FBAR

_FBAR

フィルタ

フィルタ

ω_r ω_a

ω

Insertion Loss (dB)

Frequency Insertion Loss (dB) Frequency ω ω_r ω_a 並列接続 直列接続 Y_s Y_p Y_s Y_p Y_p ω Insertion Loss (dB) Frequency s p p _s ω_r ω_a=ω_r ω_a π型構成

両側に零

点発生！

r r r r a a

Q

j

j

Q

j

j

C

j

Y

/

)

/

(

1

)

/

(

/

)

/

(

1

)

/

(

2 2 0

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

+

+

+

+

=

共振器

_Y

_p

_{, Y}

_s

のモデル

共振器

_Y

_p

_{, Y}

_s

のモデル

1. Z

_s

とZ

_p

の

γとQ

_r

は同一

2.

ω

_rs

=ω

_ap

仮定

R C L C₀ Z_s Z_p

(

p s

)

s p p o o p s s i Y Y Y Y Y Z Y Z Z Z Z / sinh ) ( ) ( 1 1 − − = + = = + =

ϕ

-1<Y

_p

/Y

_s

<0 (Y

_s、

Y

_p

のどちらか一方が誘導性)の時通過域

Relative admittance

ω

Y

_p

Y

_s

ω

_rp

ω

_ap

=ω

rs

ω

_as

-1<Y

_p

/Y

_s

<0 (Y

_s、

Y

_p

のどちらか一方が誘導性)の時通過域

零点

零点

Y

_s

を大きめに選ぶと広帯域

共振周波数付近(ϕ≈0)で

) ( 2 2 ) / / ( 2 2 1 1 0 0 21

η

η

ω ω + + ≅ + + ≅ − − = NrM Z R R Z N S p s s r

ここで

p s

C

C

R

₀

ω

_{0 0}

η

=

損失最少条件

η=1

γ

/

r

Q

M

=

(FOM)

s p

C

C

r

=

₀

/

₀ 1 1 21 1 1 − == ≅ + _NrM S s r ηω ω

NrM

-1

_«1

であれば、低損失

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ + + + + + = − − ) even : ( sinh ) / / ( cosh 2 2 ) odd : ( sinh ) / / ( cosh ) ( 2 0 0 0 0 1 1 21 N N Z R R Z N N N Z R R Z N S i i i i

ϕ

ϕ

ϕ

ξ

ξ

ϕ

ξ

ξ

2 2 2 2 1 1 ) 1 )( 1 ( 1 ) 1 )( 1 ( 1 1 ) 1 )( 1 ( 1 1 2 r r r r s r + ≅ + + ≅ + + − − + + + ≅ γ γ γ γ γ γ γ ω δω

通過帯域幅

帯域外抑圧

(

1

)

1 ) cosh( 1 2 21 + = ≅ r T N S N

ϕ

η=1の時、帯域外では

T

_N

(x)=cosh(Ncosh

-1

x):

チェビシェフ多項式

s p C C r = ₀ / ₀

ここで

ここで

Nは挿入損失と帯域外抑圧に影響

rは挿入損失、帯域外抑圧、通過帯域幅に影響

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0.96 0.98 1 1.02 1.04 Insertion loss in dB Relative frequency r=0.4 r=0.6 r=0.8 r=1.0 0

r=(C

₀p

/C

₀s

)

0.5

による

周波数特性の変化

r=(C

₀p

/C

₀s

)

0.5

による

周波数特性の変化

50 40 30 20 10 0 0.80.850.90.95 1 1.051.11.151.2 Insertion loss in dB Relative frequency r=0.4 r=0.6 r=0.8 r=1.0

rの増加　⇒

•帯域外抑圧の向上

•帯域幅の減少

"ひげ"＝多段縦続の影響

2 1.5 1 0.5 0 0.96 0.98 1 1.02 1.04 Insertion loss in dB Relative frequency

ω

_rs

と

ω

ap

の差の影響

ω

_rs

と

ω

ap

の差の影響

適当なずれによ

る帯域幅の拡大

急峻な遮断特性

ラダー型フィルタの設計

• 通過帯域幅はγによって制限

• 損失最小条件よりω

_r2

_C

0p

C

0s

R

02

≈1と設定

• 周波数差ω

_rs

-ω

ap

より広帯域化

• NrM

-1

で損失が決定

• 小さなr= C

₀p

/C

₀s

により挿入損失と帯域幅は

改善されるが帯域外抑圧は悪化

• 大きなNにより帯域外抑圧は改善されるが､

挿入損失は増加

• ILはY

_s

の動抵抗に敏感

• 肩特性はQに敏感

•

••

LC

LC

LC

フィルタの設計

フィルタの設計

フィルタの設計

•

••

定

定

定

K

K

K

、

、

、

誘導

誘導

誘導

m

m

m

型フィルタの設計

型フィルタの設計

型フィルタの設計

•

••

ラダー型フィルタの設計

ラダー型フィルタの設計

ラダー型フィルタの設計

•格子型フィルタの設計

•

••

結合共振子フィルタの設計

結合共振子フィルタの設計

結合共振子フィルタの設計

•

••

多重結合モードフィルタの設計

多重結合モードフィルタの設計

多重結合モードフィルタの設計

•

••

トランスバーサル型フィルタ

トランスバーサル型フィルタ

トランスバーサル型フィルタ

内容

R

₀

e

_in

R

0

e

out

Y

_e

Y

_o

Y

_o

格子

_(Lattice)

フィルタ

格子

_(Lattice)

フィルタ

_共振子

平衡入出力

1:-1

Y

_e

/2

Y

_o

/2

等価な回路

但し不平衡入出力

1:-1

Y

_e

Y

_e

Y

o

Y

o

Y

_o

-Y

_e

Y

_o

-Y

_e

Y

_e

-Y

_o

Y

_e

-Y

_o

変形された等価回路

2段縦続のラダー型フィルタと等価

直列腕の共振周波数

並列腕の反共振周波数

Y

_e

=

∞, Y

_o

=0

もしくは

Y

_o

=

∞, Y

_e

=0

Y

_o

の共振周波数

Y

_e

の反共振周波数

Y

_e

の共振周波数

Y

_o

の反共振周波数

もしくは

共振条件

)

1

)(

1

(

)

(

0 0 0 21

R

Y

R

Y

Y

Y

R

S

o e e o

+

+

−

=

1 ) ( ) ( 1 2 1 21 + + + − ≅ −₋ = M M M M S o r

η

η

η

ω ω

共振周波数で

ここでM=Q

_r

/γ, η=ωC

₀

R

₀

損失最少条件　

η=1

M M S o r + − ≅ = ₁ 1 21 ω ω

この時

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

0.9

0.95

1

1.05

1.1

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

Relative frequency

S

21

(dB)

Relative admittance (dB)

Y

_e

Y

_o

S

₂₁

良好な帯域外抑圧

周波数特性

周波数特性

-25 -20 -15 -10 -5 0 0.96 0.98 1 1.02 1.04 -4 -3 -2 -1 0 Relative frequency S 21 (dB) S 21 (dB) Δ=0 Δ=0.2% Δ=0.4% Δ=0.6%

ω

_ro

_>

ω

ae

と設定により広帯域化

r=1

r=0.95

r=0.9

r=0.8

r=0.85

-50

-40

-30

-20

-10

0

0.9

0.95

1

1.05

1.1

Relative frequency

S

21

(dB)

C

₀o

>C

₀e

と設計により良好な遮断特性

通過域周辺に零点発生

Relative admittance

ω

Y

_e

Y

_o

ω

_ro

ω

_ao

=ω

re

ω

_ae

ω

₀−

ω

₀+

Y

_e

=Y

_o

となる周波数で

零点発生

)

1

)(

1

(

)

(

0 0 0 21

R

Y

R

Y

Y

Y

R

S

o e e o

+

+

−

=

•

••

LC

LC

LC

フィルタの設計

フィルタの設計

フィルタの設計

•

••

定

定

定

K

K

K

、

、

、

誘導

誘導

誘導

m

m

m

型フィルタの設計

型フィルタの設計

型フィルタの設計

•

••

ラダー型フィルタの設計

ラダー型フィルタの設計

ラダー型フィルタの設計

•

••

格子型フィルタの設計

格子型フィルタの設計

格子型フィルタの設計

•結合共振子フィルタの設計

•

••

多重結合モードフィルタの設計

多重結合モードフィルタの設計

多重結合モードフィルタの設計

•

••

トランスバーサル型フィルタ

トランスバーサル型フィルタ

トランスバーサル型フィルタ

内容

回路の変形

(Δ-Y変換)

回路の変形

(Δ-Y変換)

Y

₁

Y

_t

Y

₂

Z

_t

Z

₁

_Z

₂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − − + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 1 2 1 2 1 V V Y Y Y Y Y Y I I t t t t ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 1 2 1 2 1 I I Z Z Z Z Z Z V V t t t t V₂ I₁ I₂ V₁ V₂ I₁ I₂ V₁ 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 ) )( ( ) )( ( ) )( ( t t t t t t t t t t t Y Y Y Y Y Y Z Y Y Y Y Y Y Z Y Y Y Y Y Y Z − + + = − + + = − + + =

一方が他方の逆行列

L

L

C

C

結合共振子によるフィルタの実現

結合共振子によるフィルタの実現

容量結合を持つ共振回路

L

L

C'

_C'

C

C

L

L

M

誘導結合を持つ共振回路

C

C

L-M

L-M

M

K

C"

_C'=C+2K

C"=2(C

-1

-C'

-1

)

-1

Si Electrodes

スタック型共振子フィルタ

スタック型共振子フィルタ

基本共振に対す

る等価回路

•優れた帯域外抑圧

•中庸な挿入損失

R

₀

C

₀

C

_m

L

_m

R

m

C

₀

R

₀

E

₀

両端の電極を並列接続すると容量

位相反転して並列接続すると1-port共振子

Z

縦続されたスタック型共振子フィルタ

第1段 第2段 R₀ C₀ C_m L_m Rm C₀ E₀ C₀ C_m L_m Rm C₀ R₀

下部電極加

工いらず

From TFR Technologies

スタック型共振子

フィルタの周波数

C

₀

C

_m

L

_m

R

_m

C

₀

i

₁

e

₁

e

₂

i

₂ m m m R j C L j Z Z Y Z C j Y ω ω ω / 1 1 12 1 0 11 + + = − = + = − −

ここで

伝達関数

} 2 ) 1 ( ){ 1 ( 2 0 0 1 0 0 0 21 + + + = ₋ R C j ZR R C j S

ω

ω

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

2 1 11 12 12 11 2 1

e

e

Y

Y

Y

Y

i

i

理想的なR

_m

=0の場合,

となる周波数

ω

₀

で

0 0 0 0 0 0 21 1 1 R C j R C j S

ω

ω

+ − =

_|

_|

₁

21

=

S

_{（無損失）}

Z

) 1 /( 2 ) 1 ( 2+ZR₀−1 + j

ω

C₀R₀ = − j

ω

C₀R₀ 2 0 0 0 2 0 0 0 ) ( 1 2 R C R C j Z

ω

ω

+ =

}] ) ( /{ 2 / ) ( [ ) ( _{0 0} 2 _{0 0 0}2 ₀ 2 0 21 C G G R L j C j G G S m ω ω ω ω − + + + + ≈ 2 0 0 0 2 0 0 0 0

)

(

1

2

)

(

2

R

C

R

C

j

R

L

j

Z

_m

ω

ω

ω

ω

+

+

+

−

≈

_と置くと

1

2

/

}

)

(

1

{

1

0 2 0 0 0 21 0

+

+

≈

=

R

R

C

R

S

m

ω

ω ω 1 0 0 21

1

1

1

1

0 − =

≈

₊

_C

_R

=

₊

_M

S

m

ω

ω ω 1 0 0 0C R =

ω

損失最少条件

γ ω ω γ / 1 / 0 0 0 Q M R L R C Q C C m m m m m = = = =

最少損失は

_M

が支配

] 1 / ) ( 2 [ 1 1 0 0 21 ≈ − + − + M j j S

ω

ω

ω

γ

0 0 0

C

=

G

ω

_の時

] 1 [ 1 2 1 1 21 − + ≈ M S

の時

] 2 / ) 1 ( 1 [ 1 1 0 − − ± = ± + =

ω

ω

γ

M

ω

-3dB 比帯域幅

)

1

(

1 1 0 − − − +

−

₌

γ

₊

_M

ω

ω

ω

1 0 21 0 − − + = ≈ − •

γ

ω

ω

ω

ω ω S

比帯域幅は

_M

と

γが支配

γ ω ω γ / 1 / 0 0 0 Q M R L R C Q C C m m m m m = = = =

結合共振子(スタック型)フィルタの応答

結合共振子(スタック型)フィルタの応答

-100

-80

-60

-40

-20

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

R

₀

=50 Ω

R

₀

=0.5 Ω

Frequency [GHz]

|S

21

| [dB]

ZnO (L=1.6 μm, S=160×160 μm

2

₎

2GHz付近でZ整合となるようSを調整

スタック型フィルタの縦続

R

₀

C

₀

C

_m

L

_m

R

_m

C

₀

E

_in

C

0

R

0

C

_m

L

_m

R

_m

C

₀

C

₀

C

_m

L

_m

R

_m

C

₀

· · ·

·

R

₀

E

_in

R

₀

· · · ·

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − − θ θ θ θ θ θ θ θ N N jR N jR N jR jR e e N e e N cos sin sin cos cos sin sin cos 1 1 F m m m e e C j R L j Z Z C j C j jR Z jR Z C j ω ω ω ω θ θ ω θ / 1 ) 2 ( sin sin 1 cos 0 0 1 0 + + = + = = + = −

ここで

帯域幅拡大

急峻な遷移帯域特性

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

1.9

1.92 1.94 1.96 1.98

2

2.02

Frequency [GHz]

|S

21

| [dB]

N=1

N=2

N=3

N=4

ZnO (L=1.6 μm, S=160×160 μm

2

₎

0

•

••

LC

LC

LC

フィルタの設計

フィルタの設計

フィルタの設計

•

••

定

定

定

K

K

K

、

、

、

誘導

誘導

誘導

m

m

m

型フィルタの設計

型フィルタの設計

型フィルタの設計

•

••

ラダー型フィルタの設計

ラダー型フィルタの設計

ラダー型フィルタの設計

•

••

格子型フィルタの設計

格子型フィルタの設計

格子型フィルタの設計

•

••

結合共振子フィルタの設計

結合共振子フィルタの設計

結合共振子フィルタの設計

•多重結合モードフィルタの設計

•

••

トランスバーサル型フィルタ

トランスバーサル型フィルタ

トランスバーサル型フィルタ

内容

横結合型ダブルモードFBARフィルタ

Si Electrodes

1:-1

R

_in

C

₀

a C

_m

L

_m

a a

R

m

s C

_m

L

_m

s

R

m

s

C

₀

R

_out

E

_in

等価回路

両端の電極を並列

接続すると1-port共

振子

位相反転して並列接

続すると別の1-port

共振子

単結晶水晶基板を利用した共振子

(TOYOCOM TF2-D0AD6)

•水晶基板のエッチ

ング

→ 高Q

•優れた温度安定

性

•FBAR

では困難？

対称

と

斜対称

共振

2Y

_e

=2(Y

_me

+jωC

₀

)

2Y

_o

=2(Y

_mo

+jωC

₀

)

ダブルモードフィルタの等価回路

Y

_me

, Y

_mo

:動アドミタンス

j

ωC

₀

:静電容量

1:-1 C0 C₀ Y_me/2 Y_mo/2

変形された等価回路

Y

_o

の共振周波数

Y

_e

の反共振周波数

2段のラダー型フィルタと等価

1:-1 Y_e Y_e Y_o Y_o Y_o-Y_e Y_o-Y_e Y_e-Y_o Y_e-Y_o

Y

_e

の共振周波数

Y

_o

の反共振周波数

もしくは 複数個一致させることにより広帯域化

Y

_e

(もしくはY

_o

)における共振周波数とY

_o

(もしくはY

_e

)における共振周波数を一致

ω

_ro

ω

ao

ω

_re

ω

ae

ω

ω

ω

_ro

ω

ao

ω

DMSフィルタ設計原理

多くの共振を利用するほど広帯域

ZnO (L=1.6 μm,

S=220

×220 μm

2

)

多重共振フィルタの特性

多重共振フィルタの特性

Si 入力 出力

結合層

_R=2GRayls

(非常にhard), 0.18λ

どの様にして実現？

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 Under-coupling Over-coupling Critical-coupling Frequency [GHz] |S 21 | [dB]

結合フィルタの

縦続接続

結合フィルタの

縦続接続

ZnO (L=1.6 μm,

S=220

×220 μm

2

)

結合材料

2 GRayls, 0.18 λ

-100 -80 -60 -40 -20 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 N=1 N=2 N=3 Frequency [GHz] |S 21 | [dB] -100 -80 -60 -40 -20 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 N=1 N=2 N=3 Frequency [GHz] |S 21 | [dB]

ZnO (L=1.6 μm,

S=160

×160 μm

2

)

結合材料

1 MRayls, 0.1 λ

非常にsoft

非常にhard

多重モードフィルタの設計

• Y

_e

とY

_o

の

γにより帯域幅限定

• 損失最小条件よりω

_r

C

₀

R

₀

≈1

• 多くの極と零点を一致させるとその分広帯域、

肩特性急峻

• 若干ずらすとより広帯域

• ずらし過ぎるとディップ発生

• 縦続接続により特性改善

• M

-1

で損失が決定

• ILはY

_e

とY

_o

の動抵抗に敏感

•

••

LC

LC

LC

フィルタの設計

フィルタの設計

フィルタの設計

•

••

定

定

定

K

K

K

、

、

、

誘導

誘導

誘導

m

m

m

型フィルタの設計

型フィルタの設計

型フィルタの設計

•

••

ラダー型フィルタの設計

ラダー型フィルタの設計

ラダー型フィルタの設計

•

••

格子型フィルタの設計

格子型フィルタの設計

格子型フィルタの設計

•

••

結合共振子フィルタの設計

結合共振子フィルタの設計

結合共振子フィルタの設計

•

••

多重結合モードフィルタの設計

多重結合モードフィルタの設計

多重結合モードフィルタの設計

•トランスバーサル型フィルタ

内容

V_out V_in

圧電基板

Interdigital Transducers (IDT)

SAW • ホトリソグラフィによる大 量生産 • 低損失、小形、低価格 • VHF-UHF帯での動作

弾性表面波(SAW)フィルタ

弾性表面波(SAW)フィルタ

電極パターンの重み付け がインパルス応答波形

周波数特性とインパルス応答の関係

∫

∞ ∞ − − = ＋ dt jft t h f H ( ) ( ) exp( 2π )

∫

∞ ∞ − + = ＋ df jft f H t h( ) ( ) exp( 2π )

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90100 Relative amplitude Electrode number -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90100 Relative amplitude Electrode number (a) 線形位相設計 (b) 最小位相推移設計

振幅特性と位相特性を独立制御

∫

∫

∫

∞ + +∞ ∞ − − − = − + − = 0 ) 2 cos( ) ( ) 2 exp( 2 ) 2 exp( ) ( ) 2 exp( ) ( ) ( dt ft T t h jfT dt jft t h dt jft t h f H T T π π π π 左右対称なインパルス応答は線形位相

∫

+∞ ∞ − − = H ξ W ξ f dξ f H _w ( ) _d ( ) ( ) たたみこみ積分(Convolution)

∫

− = + = c c f f c c f t f df jft t h ＋ ) 2 ( sinc 2 ) 2 exp( ) (

π

π

t w(t) t t h_d(t)w(t) h_d(t) _{打ち切りの影響は？} 周波数領域では？ •負の時間に応答有り　⇒　全体的に遅延 •インパルス応答長が無限　⇒　打ち切り？

フーリエ変換による設計結果

フーリエ変換による設計結果

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 0 2 4 6 8 10 rectangular Hamming Blackmann Blackmann-Harris Relative frequency Amplitude in dB 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.20.40.60.8 1 Weight Relative position Hamming Blackmann Blackmann-Harris ハミング関数: w(t)=0.54+0.46cos(2πt/T) ブラックマン関数:w(t)=0.42+0.5cos(2πt/T) +0.08cos(4πt/T) ブラックマン・ハリス関数:w(t)=0.35875+0.48829cos(2πt/T) +0.14128cos(4πt/T)+0.01168cos(6πt/T)

窓関数

窓関数

h_d(t)を有限時間で打ち切るための関数:w(t) 帯域外抑圧と帯域幅はトレードオフ

-45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10-5 0 5 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.20 0.2 0.4 0.6 0.81 Transfer function in dB Relative Frequency Transfer function in dB -70 -65 -60 -55 -50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10-5 0 5 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 -0.8 -0.6 -0.4 -0.20 0.2 0.4 0.6 0.81 -1 Transfer function in dB Relative frequency Transfer function in dB 矩形窓関数 大きなリップル発生 ハミング窓関数 リップル抑圧しかし 遷移域幅拡大 ギブスの現象

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 0 0.5 1 1.5 2 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Relative frequency

Transfer function in dB _{Transfer function in dB}

-0.05

レメッツ交換法による設計結果

レメッツ交換法による設計結果

ミニマックス最適化 ⇒ 等リップル特性 手法提案の論文に設 計プログラムが添付　 ⇒　世界中に普及 許容リップルと最も狭 い遷移帯域幅で必要 なタップ数を推定可能

デジタル(Finite-Impulse-Response; FIR)フィルタ

a

₀

τ

τ

τ

τ

e

_in

+

+

+

+

e

out

a

₁

a

₂

a

₃

a

₄

∑

− =

−

=

1 0

)

(

)

(

N n in n out

t

a

e

t

n

e

τ

デジタルシグナルプロセッサ(DSP)による処理 τ: 1clk遅延

∑

− = −

=

1 0

)

(

N n n n

z

a

z

H

τ ADC DSP DAC

e

_in

e

_out

(Infinite-Impulse-Response; IIR)フィルタ

+

+

+

+

e

out

a

₀

τ

τ

τ

τ

e

_in

b

₁

b

₂

b

₃

b

₄

∑

=

−

+

=

N n out n in out

t

a

e

t

b

e

t

n

e

1 0

(

)

(

)

)

(

τ

τ: 1clk遅延

∑

= −

−

=

_N n n n

z

b

a

z

H

1 0

1

)

(

τ ・少ないタップで良好な遮断特性可能（ただし最少位相推移系） ・係数によっては発振(安定条件:全ての極|がZ|<1) ・FIRと組み合わせて、少ないタップで、位相特性、周波数特性 共に良好なフィルタ実現

低域通過フィルタ

_(LPF)

ω

|H

(ω

)|

高域通過フィルタ

_(HPF)

ω

|H

(ω

)|

帯域通過フィルタ

_(BPF)

ω

|H

(ω

)|

帯域除去フィルタ

_(BLF)

ω

|H

(ω

)|