A NOTE ON p-BASIS OF A POLYNOMIAL RING IN TWO VARIABLES

SUT J皿㎜10fぬth創阻tics

〔Fonnerly TR∫Mathematics） Vblume 25， NUUil）eT 1 （1989〕， 33−38

ANOTE ON p−BASIS OF A POLYNOMlAL RING

      IN TWO VARIABLES

Tetsuzo I（IMURA and Hiroshi NIITSUMA

〔Received April 7， 1989；・Revised June 30，1989〕 ABSTRACT． Let k be a perfect field of characteristic p． Let Aニ k［x1，x21 and B＝k【Y1，Y2】be the polynomial ri皿gs over k in two variables such that A⊇B2／lp＝k【v？i，弓】・The皿we prove that A has a p−basis over B a皿d B ha3 a p−basis over／IP．

1980Mathematics Subject Classi五cations． Pri血ary 13F20，13B10；

Secondary 14E35．

Key words and phrases． p．basi『， polynomial ring，】Frobe皿ius sand− wich．    §o．Introduction    Let P b e always a prime皿umber， S a commutative ri皿9 with identi．ty of charaCteristic p a皿d SP＝｛xP l． x∈5｝． Let 5’be a su1）ring of 5． A subset r of S is said to 1）eρ一independent over 5’if， fbr a皿y subset｛ろ1，．．．．，bn｝of F， the set of monomials b；1＿b；n（0≦e‘＜p）is linearly・independent over 51’【SPI． r is ca皿ed a p−1）asis of S over S’， if it is p＿i皿depe皿dent over 3’and S＝SP［5’， r】． In this note， we prove the f（）lowi皿g theorem．    THEOREM．五εは6eαρeげect field．o∫ characteristi￠p一五ε‘、4＝k【エ1梁21

and B＝砲、，Y2】5e抗り・∼卿m輌α1 r拘3・uerねn‘ω・varia‘rε8 SU￠ゐ毒ゐα‡

A．_{ｽB⊃AP＝綱，姥】， A5sum・tゐ・‘1Φ（A）・Φ（B）1＝P，ωゐ・r・Φ（ノ1）・ndΦ（B）} αrθ‡ゐ￠guotiept∬ε∼ds〔リノ1 and B respectively一τゐeπ‡ゐe∫01わt〃ing statements ゐold．    （1）ノ1ゐα5αρ一ba5i・・㊨εrB．    （2）Bゐ・5・P−basis・y・・AP．    R．Ganong［3］has prOved this theorem and obta1皿ed mo士e pfecise result（s㏄ Theorem［3D under the assumption tha洗is algebraica皿y closed． But， his proof 4

33

depe皿ds deePly on his ow五the6ry df ph皿e ci’ rVes and on』acohcePt， Hamburger− Noether expansion． The authors Wahtどo have a mOre aJgebralc proof of above theorem as an application of local eXiste皿ce of p−basis（i．e． Kll丑z’s conjecture）．    §1．Pre五min泣ies    O丑eof the importa皿t part（）f our proof dep ends o皿Y皿an，si皿separable Galois Theory［6】． So， We rewrite its defi皿itio皿a皿d a theorem．    DEFINITION（［6D． Let 1）be a ri皿g of prime char㏄teristicρ． A D−algebra Ois called a Gaユo呈s exte皿sio玖of刀provided 、      ， ，．    （i）Ois finitely generated projective as 1）−module，    （ii）tP∈Df・・all t t C，    （iii）give皿any prime idea1 P i皿0， the皿Cp adm玉ts aρ一basis over 1）Q，．whele

QニP∩1）．    ・    ・．・

   Theorem ll of S．Y旺a皿［61． Letσ⊇1）⊇E5eαteωer o∫ rings sucゐthat O is a Gα1。is exten3i・n・ver・E and ever 1）， Then the fo∼1・wing statement5 ho∼d．    （1）1）is a Gα∼・i5 extensi・n・ver E’    （2）．Let H＝｛d∈1）erE（0）ld1）⊆D｝’Tゐen there ・isα1）−m．oぬ∼εゐom・omor一 輌mD・rE（ヱ））一・H．whi・h f・ll・ω・輌・‡ゐ・∬・・加輌鋤η卿丑一→D・・E（D）

givenあy d→41が・the identity map・n刀erE（1））’  ・

   （3）五・‡砺（D）b・オゐ・imag・・∫D・・E（1））in・H・Th・n ．   ・

C・碗（1））㊥D・・D（C）＝D・rE（C）・    The fblowing theorem dne to Matsulm皿ra is aユso iMportamt for our pro6f of

Theote皿．       』

   Theo士em 2730f H．Matsu’mura【5】．五e‡C5εαア畑《）f characteristi￠p， and SUPP…tゐ・t x∈0， D∈1）・・（0）・ati・fy Dx＝1・nd・1）Pニ0；・・‡σ・＝｛・∈

OID・ニ0｝，τλ・・0ぷカ・・m・d・1・・…（る嚇↓・・ξ・1，x，＿，x，−1’

   L醐MA．1， P9老A・n品6・ω・老・オr」硫・．Th・一・丁九・n・

   （1）D・τB（A）i・ψee 4一励d・1・．0加斑・    （2）1）eアAρ（B）輌sα∫アεε1ヲーmodule o∫rank 1◆

T．KIMURA AND H． NI ITSUMA

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  PROOF． Let P be any prime ideal of．A． Set（？＝P．∩B． Then，、4p a皿d BQ ．are reg皿lar local rings． Since Ap is a finitely generate（1」BQ−modUle，ノlp ha3 a『o’basi・・ver BQ by ，Th…em。f【21： ΩB④⑧A・Ap， w・hwr th・姐・wi・9・． On th・・the・h・pd・・i亘ceΩβ。（4・）＝        D・rB④⑧・A・r∬g頑Ωβ（4）， A）⑧・A・        ＝ H・mAi（ΩB（A）⑧A・Ap，ノ1P）        ＝1）eアBQ（ノ1P）・

  Th・敵e， D…④⑧μ・i・a f・e・ Ap−m・a・1・・f・rank…th・t D・・日（A）

is a pr（）jective A−module of rank 1， by Theorem 20f§5， Chap．H，【1エ． Thus， ・i・ce・A i・ap・1y・・㎡al・ri・g， D…（A）i・a・f・ee・A−m・d・1・・f…k1 by Si・rel・

conjecture（T．Y．Lam［4D．

  LEMMA 2．五e‘F6εαpo lynomiα1 in A＝克【σ1，司sucゐ‡ゐαf F￠．4p＝

嘱，弓】・・ば∼・オG‘・…∼・m・・‘み．lf bF／∂・、ニ・、σ・・nd∂F／∂x、’＝ α2G，（α・，α2∈A），tゐ・nω・ゐ・・eF＝αGP＋午ρ（α，7EA）．   PROOF． Since F〆．4P， we may assume∂F／∂σ1＝α1（ P≠0． Hence， we

have

       F＝α3Gp＋β， （α3∈ノ1，β∈AP【x2］・）， by i・t・9r・ti・・with ・e・bect t・x、，beca・・e・th・・c・・伍・i・・t・・f・㌘・一’i・∂F／∂。、ニ α1（Pmust be equal to O． Th釘eforel we have       ∂F／∂X2＝G？（∂α3／∂X2）＋∂β！∂X2．

Combining this with∂F／∂x2＝α2Gp， we obtain

       βニ『θ’δザ・（7，δ∈A）： Puttihgα∫＝α3十δ，尋ve get the ’reqnited identity        FニαGρ’十午P， （α，午・∈A）．

   §2．Proof of Theo；em    First， w6・h・ll・P・・∀・th・t・B h・s砕b品i・・ve・Ap・L・t．g b6・p・il・・’ id・al

・fB㎝d g＝Q∩Ap・Th・・βg ha・ap−basi・・ver（A’）， by Th…em・f l21・

Obviously， B is a finitely generated．4P．mod皿le． By virtue of Serre，s conl㏄ture （c￡Lam［4D， B is a free AP−module． That is， B is a Gaユois extensio皿of、AP in the sense of S．Yua皿［6】． Similairly，ノ1 is a GaJois extensio皿of B and A is a Galois extension of／IP． So we have        ’ D・rA。（A）＝A・Gf．A・（B）㊥D・・B（A） by Theore皿110f［61． Further，もy Lemma 1， D eアB（A）is a free A−module of rank 1 and DerA・（B）i・als・a・free・B−m・dule・frank 1・    Hence we have

and

PerAp（B）＝Bdl，

DeアB（A）ニノld2， dl∈1）eア．4ρ（B） d2∈1）erB（A）．    Identifyi皿g dl with the derivation d；i皿1）erAp（A）such that the restrictio皿 ・fdl is di， we・have        DerA・（A）ニノld・㊥Ad2・    On the other ha皿d， si皿ce∂／∂x1，∂／∂x2∈1）erAp（A）， we have the following ide皿titieS：       ’       ∂！∂Xl＝αidi＋fi，d，， （α1，β1∈A），       ∂／∂エ2ニcr 2dl＋β2 d2， （α2，β2∈A）．    Let F be an element of B−AP such that the degree of the polymmi泣Fi皿 工1，ω2is the smaillest o皿e in B一ノ4P．     −    ApPlyi・g th・d・・ivati…∂／∂x・・エd∂／∂x・t・th・p・1y・・㎡a F， w・g・t ∂F／∂Xlニαi．d1F， ∂Fソ∂X2＝α2diF，

whereα輌∈A（i＝1，2）and dlF∈B．

T．KIMURA AND H． NIITSUMA

37

   Then， by the choice of F， we conclllde that the element diF of B must l）e an element of 4P， b㏄a皿se the degree of 41F is sma皿er thah that of F， and

diF∈B．

  ．Si皿ce dl F∈．4P， by Lemma 2， there eXist elements a’．a皿d 7 of．A such that

F＝α41F＋7P．

   O皿the other ha皿d， since the poly皿olnial ring」B is integrally closed i皿its

q・・ti・・t五・ldΦ（B）and・∈Φ（B），・i・・n・1・me・t・f B・W…laim・th・t．

ば1F∈た＊， where k＊ニk−0・It is clear that《ll F≠0． SupPose that di F￠ん．

Put

       ・＝．Σ・e、。、x：’・・s2．       0≦ε1，ε2≦P−1 Th・・， th・d・g・ee・f・一・∼。。）i・・sm・ll・・th・n・th・d・g・ee・f F・H・・ceαb・1・ng・ to／IP and so F also belongS to AP． This is a， contradiction．  ．    S・，・i・ce・d・F≠0， F 4Φ（Ap）， h・・ceΦ（B）＝Φ㈹（F）＝Φ（A・）【珂． Therefore， we get d？1＝0． Thus， by Theorem 27．3 of ［5】，・褒ソdiF is a p−basis of Bover Ker dl：ニ｛x l x∈B，dlx＝0｝． Fllrther， since B is a Galois extension over 4P， by Theorem 90f【6】， Ker dl＝AP． It fbllows thatアソdi F is a p−basis of B over／IP． Obviously， F is a p−1）asis of B over A，．    Next， we prove that．4 has a p−basis over B． Applying the same argument to the situatio皿B⊇AP⊇」BP， there exists a p−basis GP of AP over BP． Then，

G is a p−basis of A over B．      ・

   REMARK Let F be an dement of B−AP such that the degr㏄of the

polynomi al F i皿xl，σ2 is the sma皿est one in B−A，． The proof of Theorem shows us that a p−basis of B over／4P is given by such a polynomial F．・Furtherrhore， sinceΩAρ（B）＝BdF is a free B−module of rank 1， a皿y other p．basis of B over AP is of the・f（）rm cF十7P（C∈先＊，7∈A）．

REFERENCES

lii N．Bgurbaki， A． lgさbre commutative， Chap．1，2， Hermann， Paris，1961． ｛21T．Kimura and H．Niitsuma， On Kunz，s conjecture， J．Math． Soc． Japan，   34（1982），371−378． ［3］R．Ga皿o皿g， Plane Frobe皿ius sandwiches， Proc． Amer． Math． Soc．，

  84（1982），474−478． ｛41T．Y．La皿，’Serre，s COnjecture，i Lectnre −Notes ’in Mathemat｝cs VoL635   Spri丑ger−Verlag，1978． 【51H．Mats血mura， Co㎜ntative ring theory， Cambridge’U皿iversity Press，1986． 161S．Yua皿， hseparable Galois仙eory of expo丑ent one，． Trans． AmeL Math．   Soc．，149（1970），163−170．

Tetsuzo KIMURA

F・皿culty of Engineering Science University of Tbkyo 1−3，Kagurazaka， Shinjuku−ku’ T・ky・，162

Japan

Hiro8hi NHTSUMA

Nippon Kogyo D aigaku

Miyashir（テm㏄hi

Saita皿1a，−345

Japa皿

ξ