カラー相互作用
著者
手塚 洋一
雑誌名
東洋大学紀要. 自然科学篇
号
56
ページ
87-109
発行年
2012-03
URL
http://id.nii.ac.jp/1060/00005326/
Creative Commons : 表示 - 非営利 - 改変禁止 http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/deed.ja東 洋 大 学 紀 要 自 然 科 学 篇 第56 号:87 − 109(2012)
カ ラ ー相互作 用
手塚洋一
Color Interaction
Hirokazu Tezuka
Abstract 87Ａ quark has an unobservable color degree of freedom. There are three different color
states, and they are called ” Red" , "Green" and ” Blue". The antiquark has an anticolor.The observed states are colorless states that are made of three different colors （baryon ）or ａ color-anticolor pair （meson ）. These colorless states are called color singlet states 。
At low energy region, current-current type interactions are often used as effectiveinteractions between quarks. Here we focus on color degree of freedom, and discuss
quark-quark e 汀ective interaction. The color state of ａ quark is described by ａ three-dimensional vector.
Transformation matrices preside over the change of color states.The set consisting of three color transformation matrices and that of three anticolor
transformation matrices make commutative groups, respectively. The set with color transformation matrices and color reversal matrices makes commutative group, too. Gluons propagating between quarks are also described by three-dimensional vectors.
Color conservation is represented by combination of such three-dimensional vectors.The effective interaction between
ａ quark and an antiquark is given by products oftransformation matrices, and that among three quarks is given by three-fold products.
keywords:
quark, color, color singlet, transformation matrix, effective interaction
＊東 洋大 学自 然科 学研 究室 112-8606 東京 都文 京区 白山5 −28 −20
88 手 塚 洋 一
1 は じ め に
強 い 相 互 作 用 を す る クォ ー ク と グル ー オ ン か ら な る体 系 は Ｑ Ｃ Ｄ（ 量 子 色 力 学 ）で 基 本 的 に 記 述 さ れ る と考 え ら れ て い る（Dissertori, G. 2003, Hosaka, A. 2001, Yndurain, F. J.1993
）。 低 エ ネ ル ギ ー 領 域 で の 具体 的 な ク ォ ー ク問 の 相 互 作 用 とし て はNambu & Jona-Lasinio
（Nambu,Y. 1961 ）の 提 案 し た カ レ ン ト ーカ レ ン ト 型 有 効 相 互 作 用（Hatsuda, T.1994, Vogl, U. 1991, 手 塚 洋 一2010 ） ￡升 ＝・特 プ 岬 十G（特 ブ≒5や）' （L1 ） が よ く使 わ れ て い る。 ク ォ ー ク場 は や で 表 現 さ れ て お ‰ ブ はDirac の7 行 列 で あ り、 入 はSU （3）のGell-Mann 行 列 で あ る。 こ こ で は クォ ー クの カ ラ ー自 由 度 だ け に 注 目 し 、 クォ ー ク間 の 有効 相 互 作用 を検 討 す る。 クォ ー クは カ ラー 自 由 度 と 呼 ば れ る 、実 験 的 に は 観 測 さ れ た こ と の ない 内 部 自 由 度 を 持 つ と考 え ら れ て い る。 実 際 に 観 測 さ れ る状 態 は カ ラー 自 由 度 が 見 か け 上 な く な っ た 場 合 の み で あ る に の状 態 を カ ラ ー ジ ン ク レ ッ ド の 状 態 と呼 ぶ ）。 こ の 状 態 とし て は従 来 、 クォ ー ク と反 クォ ー クが 対 と な り、 カ ラ ー と反 カ ラ ー が 打 ち 消 し あ い カ ラ ー 自 由 度 が Ｏ とな っ た 状 態 で あ るメ ソ ン と、3 つ の ク ォ ー ク が 異 な る3 種 類 の カ ラ ー 自 由 度 を 持 ち 、 互 い に 打 ち 消 し あ っ た 状 態（ こ れ を表 現 す るた め に 、 カ ラ ー 自 由 度 とし て 、 光 の3 原 色 を ま ね、 赤 仏 緑 Ｇ、 青 召 と取 り、3 色 が混 合 す る と 白色 と な り、 こ れ が 見 か け 上 カ ラー の な い状 態 と な る と表 現 さ れ る ）の バ リ オ ン が考 え ら れ た 。 最 近 で は ク ォ ー タ ー反 ク ォ ー ク2 対 の 状 態 で カ ラー ジ ン クレ ッド と な る テト ラ クォ ー ク状 態 や4 つ の ク ォ ー ク と1 つ の 反 クォ ー クか ら な るペ ン タ ク ォ ー ク状 態 な ど も検 討 さ れ て い る（ 手 塚 洋一2011 お よび そ の 参 考 文 献 参 照 ）。 昨 年 度 の 紀 要 論 文 で は 、 ク ォ ー ク の カ ラ ー 状 態 を上 向 き と下 向 き の2 つ の 矢 印 の 組 み 合 わせ で 表 現 し 、 実 験 的 に観 測 さ れ る カ ラ ー ジ ン クレ ッ ド の 状 態 が明 確 に わ か る よ う な 記 述 法 を 考 え た。 こ の 論 文 で は、 ク ォ ー ク のカ ラ ー 状 態 を3 次 元 の ベ クト ルで 表 現 し、 そ の 状 態 を 変 換 す る変 換 行 列 を 導入 し、 カ ラ ー を 保 存 す る2 粒子 問 の 相 互 作用 、3 粒子 間 の 相 互 作用 を導 く。 2 変 換 行 列 表 現 ク ォ ー クの カ ラ ーSU(3) 状 態 を 昨 年 度 の 紀 要 論 文 で は ス キ マ テ ィッ ク に 表 現 し た が 、 こ の 論 文 で は ク ォー ク のカ ラ ー状 態 を 列 ベ クト ルで 表 現 し 、 そ の変 換 を 議 論 す る 。3 つ の カ ラ ー 状 態 、 赤 仏 緑 Ｇ 、 青 召 を 召 -- 心
-じ
ＯＩ ぺ ぐ ＝ 6 ＝ Ｇ Ｉ 一 〇1 ぐ ＝ 一ａ ＝ 召 と表 現 す る。 反 ク ォ ー ク のカ ラ ー 状 態 は 反 カ ラ ー と し て 表 現 さ れ る の で Ｉ 一 1 0 ぐ ＝ 6 一ａ ＝ 一 双 0 -1 1 Ｉ1 0 一 ぐ ＝ 一 匹 ＝ 万 (2.1) (2.2)Color Interaction 89 と な る 。 カ ラ ー 状 態 を 変 化 さ せ る 相 互 作用 を 表 現 す る変 換 を ぐ、 反 カ ラ ー 状 態 を 変 化 さ せ る 変換 を ぐ と 書 く。 ま ず カ ラ ー状 態 の 変 換(R →G) に 対 応 す る の 変 換 行 列 を と 書 く と ぐ 一 双 -と変 換 さ れ る。 故 に ail aoi a.2 022 032 ］ ａ!3 a23 -ail 0-21 a3i
0
ｊ 3 3 3 1 2 3 ａ ａ ａ 2 2 2 1 2 3 ａ ａ ａ -ai 」 ．021 an − a＼2 ＝0021 − a22 ＝1031 − a32 ＝ −1 1 01 一 ぐ ＝ ｊ 12 99 32 ａ ａ ａ -- Ｇ (2.3) (2.4) (2.5) を 満 た さ な く て は な ら な い 。 同 様 にG,B も 同 じ 変 換 行 列C ー に よ っ て 、B,R に 変 換 さ れ る と 考 え る と 、 結 局 両 」。― 叫2 ＝O 叫2 − 叫3 ＝ −1 叫3 一 則」。＝1021 − 0-22 ＝1 022 − a23 ＝O 023 − a2＼ ＝ −1 （2.6 ） 03!。一032 ＝ −1 032 − 033 ＝1 033 − 031 ＝0 と い う 条 件 を 満 た さ な く て は な ら な い 。 こ れ を 満 た す 解 は い く つ か 存 在 す る が 、 続 け て2 回 変 換 し た 場 合 に ぐス ー^ ＝B と な る こ と な ど か ら 、￨C-I ＝1 と な ら な け れ ば な ら な い 。 こ れ を 考 慮 す る と an ＝0 町o ＝0 町3 ＝1 021 ＝1 a22 ＝0 a23 ＝0 （2.7 ） asi ＝0 0-32 ＝1 033 ＝0 と な る 解 か 選 べ る 。 す な わ ち 、 変 換 行 列 ぐー＝ 100 001 01 0 ぐ (2.8) に よ っ て 、 カ ラ ー 状 態 は と変 化 す る。 同 様 に 、 カ ラ ー 状 態 を 召 → Ｇ Ｇ → 召 召 → 凡 君 Ｇ 召 → → → 召 召 Ｇ
90 と変 化 さ せ る 変 換 行 列 は 手 塚 洋 一 Ｏ1 0 1 00 00 ← ぐ ＝ 0 とな る。 ま た 、 カ ラ ー 状 態 を 変 化 させ な い 変 換 とし て は 単 位 行 列 Co ＝ 001 01 0 1 00 ぐ を 考 え れ ば 召 → 召 ｛ Ｇ → Ｇ 召 → 召 ｝ とな るこ と は 明 ら か で あ る。 同 じ よ う に反 カ ラ ー 状 態 に対 す る 変 換 行 列 を 考 え る と、 変 換 に 対 し て とな り、 変 換 に 対 し て
汗 ＝
0 0 1 0 0 1 ・ ） ︱ 一 召 万 一 Ｇ ↓ ↓ ↓ 万 一 Ｇ 一 召 -- Cー ぐ ＝ ｊ 010 100 001ぐ ＝ ぐ とな る。 カ ラ ー 変 化 の な い 相 互 作用 は 、 変 換 行 列 に 対 しレ
＝ ｊ 001 Ｏ 圭0 100 ぐ{ダ
→ → → 一 双 − Ｇ − 召 Co (2.9) (2.10) (2.11) (2.12) (2.13)Color Interaction とな る。 カ ラー を 反 カ ラ ー に 変 換 す る 行 列 は ○ -で あ り、 変 換 は { ぐ 0 -1 0 − → 召 − → Ｇ -→ 召 とな る。 逆 に、 反 カ ラ ーを カ ラ ー に 変 換 す る 変 換 行 列 は
辻
-cｄ Ｃ5 ｃ ｑ ↓ ↓ ↓ 一 双 一Ｇ 一 召 ｔ 1 00 0 -1 0 00 1 00 1 -- Cc 91 (2.14) (2.15) であ る。 R,G,B は変 換行列 ぐ で変換 され、R,G, 万万 は ぐ↑ で変換 され、カ ラーと反カ ラーの交 換は い で変換さ れるとしたが、実際 に独立な変換行列 は(Co,Cー,C+,Cッ)の4 つで ある。 3 変 換 行 列 群 カ ラ ー 空 間 で の 変 換 行 列 は ｊ 001 010 100ぐ ＝ ら 100 001 010 ぐ ＝ 一 ぐ の3 つ で あ る。Co は単 位 行 列 で あ り、 C-C-010 100 001 ぐ ＝ Ｇ 1 00 001 ぐ ＝ ｊ 1 00 001 01 0 ぐ う 1 00 001 01 0 ぐ ＝ C+C+ ＝ 仁c+ ＝ 001 010 ぐ ＝ ｊ 010 100 001 ぐ Ｉ 010 100 001 ぐ 0 0 01 1 0 1 00 00 ← ぐ う 1 00 ■ ） -Ｏ1 0 1 00 Ｄ 0 ） Ｄ -ぐ＋ Cー Co (3.1) (3.2) (3.3) (3.4)92 C+C-手 塚 洋 一 001 01 0 1 00 ぐ ＝ ｊ 1 00 001 01 0 ぐ う Ｏ1 0 1 00 001 ぐ ＝ -- Co (3.5) とな るか ら、Co, Cー, C士 は カ ラ ー 空 間 で 可 換 群 を 作 り、Cー の 逆 元 は ぐ＋ とな る。 同 様 に 、 反 カ ラー 空 間 で は ぐ ＝Co, 辻 ＝ 仁 ぐヰ ＝ ぐ＋ が可 換 群 を 作 る 。 カ ラー 十反 カ ラ ー 空 間 で は
ぐ
，バ レ
ぐ ー= 万＝
ｊ 001 010 100ぐ ｊ 100 001 010 ぐ の4 つ の 独 立 な 変 換 行 列 が 存在 す る が CcCc ＝ ぐベ ー＝ ぐべ ＋ ＝ べ00 ぐ ぺ00 ぐ べ00 ぐ 0 −1 0 0 -1 0 0 -1 0 とな るの で 、 群 を 作 るに は、 00い ＝ 辻 ＝
00 1 0 -1 0 010 100 か に レ 吋 い 汗 0 1 00 001 010 ぐ Ｉ 00 ︲ 〕 さ ら に ○ Cc 十 -1 00 001 ぐ 0 -1 0 Ｉ 00 一 ぐ ＝ の2 つ の 行 列 が必 要 で あ る。 実 際 に 、 0 −1 0 00 1 1 0 ） D 00 00 Ｏ1 0 1 00ぐ ＝ ｊ 00 討 -0 -1 0 -00 1 1 一 一 べ 0 -1 0 -- - Ｇ 0 0 0 0 1 1 こ れ らを 加 え た代 数 は CcCc ＝Co 聡 仁 ＝C-Cc ＝Cc-CcC+ ＝C+Cc ＝Cc+Cc ぐc- ＝C ー ＝ ぐc-ンc 00 1Ｄ
八
(3.6) -- Co 00 0 -1 0 ＝ ぐー○ ＝ ぐ＋φ (3.7) (3.8) (3.9) (3.10) (3.11) 3.12 ）3.13 ）3.14 ）3.15 ）Color Interaction CcCc十＝C+ ＝Cc べ Ｃ ぐべc−＝ ぐc+ ＝Cc-C ー ぐべ Ｃ十＝Cc ＝ ぐc+C ー Ｇ 釦 ＋ ＝ φ − ＝ い ＋ぐ＋ ぐ＋Cc- ＝Cc ＝Cc べ ＋ ○ −○ − ＝ ぐ十 妬十ぐc+ ＝C ー とな るこ とが 確 か め ら れ，Co,Cc,C ー,C+,Cc-,Cc 十の6 つ の 行列 で 可 換 群 を 作 る。 新 し い 変 換 行 列 をーは とい う 変 換 に 対 応 し 、 ○ ＋ に 対 応 す る 。 1 一 Ｇ 万 一 召 ↓ ↓ ↓ 召 Ｇ 召 は ピ → → → −召 一 凡 − Ｇ お よ び と
4 カ ラ ー 相 互 作 用
変換(召 →G) にともなうグルーオンを
gGR ＝凡一-(-:
■)
一 双 → Ｇ 召 召 ↓ ↓ 一Ｇ ｊ 一双 − Ｇ − 召 Ｏ Ｉ → → → 1 ） 召 召 Ｇ-〕
と記 述 す る。 こ の 相 互 作 用 を 図 示 す れ ばFig.l の よ う に 表 わさ れ る。 Fig. 1: グ ル ー オ ン 相 互 作 用 93 (3.16) (3.17) (3.18) (3.19) (3.20) (3.21) (3.22) (4.1)94 同 様 に 力 反 力フ− ー → − フ ー 反 力 → 力 手 塚 洋 ラ ー変 換 の 相 互 作 用 に伴 う ／ ハ gRR -gcR 9br gRG Ogg gBG 9rb gGB 9bb - -R ― 召 -R −G ＝ 凡 一 召 -Ｇ 一R ＝ G −G Ｇ 一 召 ＝B ＝B -一 双 Ｇ 召 一 召 ラ ー変 換 に 伴 う
--1
リ
〕
〕
ｊ 1 01 一 ぐ〕
9 牝凡 Ｏ Ｉ 01 9gr 1 1 ） ｊ べ Ｏ Ｉ ぐ グル ー オ ン /し1 は - -＝R 一R ＝ - -＝ 召 −G ＝ 10 -1 0 〕 一 グ ル ー オ ン を 列 挙 す れ ば〕
01 Ｏ Ｉ 〕 1 1 -1 0 Ｏ Ｉ −1 -） ---0
( う
―1 2 −1 000ぐ ＝ ｊ〕
-〕
1 ← 〕〕
ん し にに ？ ＝ ｊ べ Ｏ ｌ ぐ 工0 1 Ｉ Ｏ 一 Ｔ ぐ 000ぐ ＝-〕
(4.2) (4.3) (4.4) (4.5) (4.6) (4.7) (4.8) (4.9) (4.10) (4.11) (4.12)95 Interaction Color (4.13) (4.14 う Ｉ 心 Ｔ 1 1 Ｊ Ｉ ぐ ぐ ＝ ＝ ｊ ｊ 1 0 ぺ → 110 ぐ ぐ 一 一 ｊ ｊ べ 1 0 0 → 11 ぐ ぐ ＝ ＝ −召 -一双 -9br − − Ｇ 一 双 9 良心 (4.15) 000 ぐ
〕
(4.16) 1 1 (4.17) ） 2 2 Ｉ Ｉ ぐ ぐ ） ぐ ぐ Ｏ ↓ 1 0 → 1 Ｉ ぐ ぐ − −G −G 9gg − Ｇ − 一 召 9 お心 1 1 0 ） 1 0 − − 召 一 凡 9 良ゑ 1 (4.18) Ｉ Ｉ −2 0 −1 1 10 − −B −G 9 白白 −1 (4.19) 000 ぐ 1 0 1 （ 1 0 (4.20) 2 -2 0 1 ） 1 1 0-1ノ
ンは
〕
（ − − 召 一 召 9bb グル ー オ − の変 換 に 伴 う → 反 カ ラ -カ ラ (4.21 0 −1 0 −1 1 1 −1 0 双 一 双 9 瓦r 一R −G 9gr (4.22) (4.23) Ｏ ︲ Ｉ Ｉ Ｏ ≒ ぐ ぐ ＝ ＝ ｊ ｊ 1 0 ぺ ≒ 10 ぐ ぐ 1 -1 0 （ − 凡 一 召 9br 01 -− Ｇ 一 双 -9rg 1一 (4.24 4.25 Ｏ ｎ Ｚ 心 ︲10 ぐ ぐ ＝ ＝
〕
ぐ ぐ洋
一
一
︲1
丿
﹁
96 (4.26 (4.27 Ｏ べ 1 1 11 0 ぐ ぐ ） 1 (4.28 （ 1 0 0 -1 Ｉ 1 0 ぐ ぐ ぐ ぐ − Ｇ 一 召 9bg 召 一 双 9 瓦B 1 （ ■） Ｏ Ｉ 2 (4.29 9 1 Ｃ Ｄ 1 -1 1 (4.30 01 （ 〕 0 0 1 ぐ ぐ は -1 （ ン −B −G 9gb − 召 一 召 9自b グ ル ー オ ラ ー変 換 に 伴 う → 力 -− フ 反 力 1 0 〕 10 ぐ ぐ 双 一 双 9rr R −G 9gr (4.31 Ｏ Ｉ −1 −1 ） 1 Ｏ Ｉ ） 1 1 0 凡 一 召 9br 4.32 01 （ 1 −1 0 0 −1 1 − Ｇ 一 双 9rg (4.33 ） 4.34 Ｏ 心 ａ Ｚ 1 1 10 ぐ ぐ ＝ ＝ ） Ｏ Ｉ −1 ｊ ｊ Ｏ → 1 Ｉ Ｉ Ｏ → 1 1 ぐ ぐ ＝ ＝ − G −G 9gg − Ｇ 一 召 -9bgと な る 。 Color Interaction − 9rb ＝ 召 一R ＝ − gG にB −G ニ − 9bb ニ Ｂ 一B =
∩
∩
∩
5 2 粒 子 間 相 互 作 用 まず例 としてカ ラー変化 のない(R → 列 はCo で、作 り出され るグルーオンは で あ る 。 -101 一 ぐ -＝ う 一 〇 Ｉ ぐ Ｏ Ｉい1
じ
2 0 2 97 (4.35) (4.36) (4.37) R) 変換 を考え る。 この変 換に 付随する変換行 000 ぐ ＝ Ｒ 召 り こ の 変 換 と対 に な りカ ラ ー を保 存 す る2 粒 子 相 互 作 用 とし て とな る グ ル ー オ ン 候 補 を 考 え る と 000 ぐ ＝ リ ＋ 凡 召 リ ＝0 gRR = goG = gBB = gRR ニ9gg = 9bb= (0となる。すなわちカラーを保存する相互作用としては
( 召 →R) ×(R →R) (R
→R) ×(G →G)
( 召 →R) ×け? →B) (R
→R) ×(R → 万
万)
(R →R) ×(ご → ご) (R
→R) ×(B → 万B)
が存 在する。これ らに対応する変換行列 はすべてCo であ るか ら Co X Co ＝Co とな る。 こ れ ら の 相 互 作用 を 図 示 す る とFig.2 の よ うに な る。 (5.1) (5.2) (5.3) (5.4) (5.5)98 手 塚 洋 一 -Fig. 2: B. → 召 に 伴 うカ ラ ー を 保 存 す る2 粒子 間 相 互 作 用 次 にカ ラ ー変 化 を 伴 う（ 召 → グ ル ー オ ン は で あ る 。 G) 変換を考え る。変換行列は ⑤ となり、作 り出さ れる 9GR = ｊ Ｉ Ｃ Ｍ Ｉ こ の 変 換 と対 に な り カ ラ ーを 保 存 す る グ ル ー オン は で あ る か ら ① gRG ニ9gr ニ()1 の2 つ のみが候補 となる。カ ラーを保 存する相互作用 は (R →G) ×(G →R)(R →G) ×(R →G) と2 つあ るが、これら に対応する変換 行列 は ぐ十、Cーと異な る。 (R →G) ×(G →R) に対応 する変換は Cー×ぐ＋＝ぐO とな るが ( 召 →G) ×(刀 → ご) (5.6) (5.7) (5.8) (5.9) (MO) (5.11) (5.12)
に 対 応 す る変 換 は とな る。 Color Interaction C ー×C ー ＝C+
総 総
Fig. 3: R→ Ｇ に伴うカ ラーを保 存する2 粒子間 相互作用 99 (5.13) Fig. 4: R→R に伴うカラ ーを保 存する2 粒子間 相互作用 カラーから その反カ ラー状態への変換(R → 五) を考え ると、変換 行列 は ○ で、作り 出され るグルーオンは 9rr ニ∩
で あ る。 こ の 変換 と対 に な りカ ラ ー を 保 存 す る候 補 は①
だ か ら 、 相 互 作 用 に 寄 与 す る グ ル ー オ ン は 9rr = の み で あ る 。 カ ラ ー を 保 存 す る 相 互 作 用 は∩
(R →T 亙)×( 肴 →R) (5.14) (5.15) (5.16) (5.17)100 対 応 す る変 換 行 列 は とな る。（Fig.4 ） 手 塚 洋 一 C(フ×Cc ＝Co (R →G) の変 換を考える と、変換 行列はCc ー、 作り出され るグルーオンは 9gr = 1 0 v- ノ で あ り、 こ の 変 換 と対 に な り カ ラ ー を 保 存 す る グル ー オ ン は 9 = ｊ 討 Ｏ Ｉ とな るか ら 9gr ニffflG = ( ￣ヤ が 候 補 とな る。 カ ラ ー を 保 存 す る 相 互 作 用 は2 種類 あ り、1 つ は (i? → 召) ×(R →G) で 、 対 応 す る 変換 行 列 は 妬- ×Cc- ＝C+ とな る。 も う1 つ の 相 互 作 用 は (R → ご) ×(ご →R) で 、 対 応 す る 変換 行 列 は ぐＣ- ×ぐＣ＋ ＝ ぐ0 で あ る。
千 千
Fig. 5: R→ ご に伴うカ ラーを保 存する2 粒子間 相互作用 (5.18) (5.19) (5.20) (5.21) (5.22) (5.23) (5.24) (5.25)Color Interaction 101 召 が 関 係 す る2 粒 子 間相 互 作用 の 分類 と し て は 、Ｇ と 召 を 入 れ 替 え る こ とに よ っ て こ れ で す べ て の 場 合 を 尽 くし てい る が 、 こ の 中 で 相 互 作 用 す る2 粒 子 が カ ラ ー ジ ン ク レ ッ ド とな る も の は (R →R) ×(R →R) Co X Co ＝Co (R →T 瓦)×(R →R) ○ ×Cc ＝Co (R →G) ×(R → 程) C ー×C ー＝C+ (R → ご) ×(R →G) Cc- ×Cc- ＝C+ で あ るが 、 さ ら に Ｇ と 召 を 交 換 し て (R →B) ×( 置 →B) ぐ＋×ぐ＋ ＝ 仁 (R →B) ×(R →B) ○ ＋ × ○ ＋ ＝ し か 存 在 し 、 全 部 で6 種 あ る。 カ ラー 変 換 に か か わ る変 換 行 列全 体 を 行 列 を 成 分 とす る列 ベ クト ル う 乱 収0 ぐ ＝ ↓ぐ カ ラ ー 一反 カ ラ ー 交 換 も伴 う変 換 を ① ぐc十 と表 現 す れ ば、 こ れ ら6 種 類 の 相 互 作 用 は2 つ の 積 の 和 とて 十Cc ■ ふ=(Co Cべ ＋)( と) ＋(ぐべ Ｃバトト)( ダ:) ＝CoCo 十ぐベー十ぐべ十十CcCc 十Cc-Cc 一十 い ＋○ ＋ の形 に な る。 カ ラ ー 状 態 を ｊ 召 Ｇ 召 ぐ ＝ Ｃ ｊ 肴 一Ｇ 一 召 ぐ ＝ 一Ｃ とお け ば、 カ ラ ー ジ ン クレ ッド の2 粒 子 間 相 互 作用 は ー →‥ → − 〈cc に〈 十C ツ・Cc ＼CC 〉 − − ＝〈cc に嶮 十ぐ工 十 Ｇ ぐ＋ 十CcCc 十Cc-Cc- づ 洽＋φ ＋ＩＣ Ｃ〉 − − − − ＝〈cc 仏 ＼c〉CoCトC-￨C) Cヱ ト ぐ＋￨(フ〉C+c 〉 (5.26) (5.27) (5.28) (5.29) (5.30) (5.31) (5.32) (5.33) (5.34) (5.35) (5.36)
102 手 塚 洋 一
− − 十 副C 〉CcC 〉十 を-￨C 〉ぐ(フーＣ 〉十 を 十口 〉ぐ(フ十口 〉 ＝〈Ｃ 口{ Co ＼R) Co ＼R〉十ColG 〉Co￨G 〉十 ぐoB) 副 司
− − − 十 ぐ一問 ⑤ 四 十 い コ〉り Ｇト いB) り 川 一 − − 十 ぐ＋四 ぐ＋四 十 ぐ＋IG 〉C+￨G) 十 帽 川 ぐ＋固 − − − づc ＼B.〉い 四 十 帽G 〉Cc ＼Gト 帽 目 副 目 十Cc-IR 〉Cc- ＼R〉十Cc- ＼G〉Cc- ＼G〉十Cc- ＼B〉Cc ノ 万〉 十 を 十囲 い 十匠 〉十 φ 十＼G〉φ 十口 〉十 を 十固 〉い 十四 〉} ＝〈 凡にo ＼R)〈肴 にO ⑥ 十〈Ｇ にo￨G) 〈ご にo￨ご 〉十 伊 にo＼B}〈五 にo＼万 〉
十〈G（ 四{G ＼/R 〉十〈伺 い0 〈B ＼ぐり ご 〉十〈 伺 い 川 〈R ＼C-＼B〉 十 伊 に＋四 〈万 に 十匪 十〈 伺 ぐ＋IG 〉〈五 に＋￨ご 〉十〈Ｇ に＋田 口 ご￨ぐ＋￨五 〉 十〈五 加 四 〈R ＼Cc匪 十〈瞑 彭 Ｇ 〉〈G ＼Cc＼G〉十〈万 臨￨B) 〈 川 副 万 〉 十〈百 な ー￨川 〈Ｇ か 一匠 〉十〈B か- ＼G〉〈B ＼Ccー￨G〉十〈R ＼Cc丿 目 〈R ＼Cc-四 〉 十〈万 ＼Cc十開 伊 にc+ ＼R〉十〈肴 ＼Cc+＼G〉〈R ＼Cc十￨G 〉十〈召￨Cc 十田 口GlCc 十四 〉(5.37) と 表 現 さ れ る 。 6 3 粒 子 間 相 互 作 用 3 粒 子 間 の 相 互 作 用 と し て 、 出 さ れ る グ ル ー オ ン は まず カ ラ ー 変 化 の な い(R →R) 変 換 を 考 え る と、 作 り 000 ぐ ＝ 尺 凡 リ (6.1) で あ り、 こ の 変換 は カ ラ ー を 保 存 し てい る。 こ の 変換 と組 に な る2 つ の変 換 は そ の2 つ の 変 換 で カ ラー を 保 存 し て い れ ば よい の で 、 前 章 の カ ラ ー を 保 存 す る2 粒 子 間 相 互 作用 が す べ て 可 能 とな る。 こ の うち3 粒 子 が カ ラ ー ジ ン クレ ッ ド とな っ て い る 変 換 は
（R → 副 ×（G →G ）×（B →B ） ぐOX ぐOX ぐO＝ ぐO （6.2）
（R → 副 バ Ｇ →B ）×（B →G ） ぐOX ⑤ ×ぐ＋ ＝ ぐO （6.3）
で あ る。（Fig.6 ）
カ ラー の変 化 す る（R →G ）変 換 を 考 え る と、 作 り 出 さ れ る グ ル ー オ ン は
Color Interaction Fig. 6: 召 → 召 に伴 うカラージン クレ ッド の3 粒子間 相互作用 103 とな ら な くて は な らな い 。 カ ラ ージ ン クレ ッド に な る よ う 残 り の2 つ の 変 換 を（G →? ）、 （B →? ）と考 え る と、 候 補 と な る の は Qbg ＋9rb ニ QRG ＋gBB = ＋ ＋ (6.4) (6.5) で あ る。（6.5 ）に 対 応 す る変 換 は、 召 と ￡ が 入 れ 替 わっ た だ け で（6.3 ）と 同じ 種 類 の 変 換 で あ る。（6.4 ）の す べて の カ ラー が 変 化 す る 変 換 は （ 召 →G ）バ Ｇ → 川 ×（B → 柏 （6.6） で 、 変 換 行 列 は ぐー×C ー×C- ＝ぐo （6.7） とな る。 Fig. 7: Ｒ → Ｇ に伴 う カ ラ ー ジ ン クレ ッ ド の3 粒 子 間 相 互 作 用
104 手 塚 洋 一 カ ラーが反カ ラーに変換 する(R → 肴) を考え ると、 作り出され るグルーオン は 9RR ＝( プ2 だから、（G →? ）お よび 臼B →? ）とな るカ ラーを保存す る変換 は とな ら な くて は な ら な い 。 候 補 と な る の は 9gg ＋9自b ― ＋ 9bg ＋9gb = で あ る。 対 応 す る 変 換 行 列 は (R →R) ×(G ( 召 → 肴) ×(G と な る 。 → → ご ）B ） ＋ × ×
(B
(B
→ → 2 0 2 万 ）G ） 02 2 -う Ｊ20 ｊ Ｊ20 ぐ Ｉ ぺ10 Cc Cc × 妬 ×Cc ＝ ぐ(フ × ○ −× ○ 十＝Cc Fig. 8: 召 → 肴 に伴 うカラージン クレ ッド の3 粒子間 相互作用 (R → ご) 変換 を考える と、作 り出 され るグルーオンは ｊ ｌ Ｏ ぺ ぐ ＝ 君 ・ Ｇ リ (6.8) (6.9) (6.10) (G1) 6 。12）6.13 ） (6.14)だ か ら、 カ ラ ーを 保 存 す る 変 換 は Color Interaction ｊ 1一 〇1 ぐ ＝ の ＋ 皿 105 (6.15) とな らなくてはならない。カラージンクレッドにな るよう残 りの2 つの変換を(G →?) 、(B →?) とす ると、候補 とな るの は 9bg ＋9rb ＝ 9rg ＋9自b ― ＋ ＋ -〔6.16 〕 (6.17) であ る。(6.17)に対応する変換は、Ｒ と Ｂ が入れ替わっただけで(6.13) と同じ変換であ る。(6.16)の変換 は図示 すればFig.9 のようにな り、変換行 列は ( 瓦 → 百)×(G → 刀)×(B →R) Cc-X Cc- ×Cc ー＝Cc (6.18) とな る。 Fig. 9: 君 → 召 に伴 うカ ラージン クレ ッド の3 粒子問相互 作用 以 上、 まと めるとカ ラージンクレ ッド 状態の変換 とし ては （R →R ）×（G →G ）×くB → 召 ） Co X Co X Co ＝Co （R →R ）×（G →B ）yAB →G ） Co X Cー×ぐ＋＝ぐＯ （R →G ）×（G → 召）×（B →B ） C ー×ぐ＋×Co ＝Co （ 召 →G ）×（G →B ）×（B →R ） ぐー×C- ×C ー＝Co （ 召 →B ）×（G →G ）×（B →R ） ぐ+×Co Xぐー＝ぐＯ （R →B ）×（G →7? ）×（B →G ） ぐ+ X C+ X C+ ＝Co （R → 沢）×（G →G ）x（B → 万 ） φ ×φ ×ぐc ＝Cc (6.19) (6.20) (6.21) (6.22) (6.23) (6.24) (6.25)
106 (R → (R → (R → (R → (R → とな る。 こ こで 三 重 積 T瓦) ×G) ×G) ×B) ×B) ×
(G
(G
(G
(G
(G
→ → → → → T亙 ） 副 でB ） 召 ）R ） う ! -. t ｏ 1 -3 ぐ Ｉ ひ む 彷 ぐ Ｉ ぷ ｙ ｚ ぐ Ｉ 手 塚 洋 一 ×{B →G ） ○ ×ぐc-×い 十＝Cc ×（B → 万 ） Cc- ×φ 十×Cc ＝Cc ×（B →R ） Cc- ×Cc- ×Cc ー＝Cc バ 召 →R ） 釦＋×を ×Cc- ＝φ ×（B → 召 ） 釦＋×φ ＋×φ ＋＝ ○ を 定 義 す る と、 変 換 行 列 ベ クト ル を -う 妬 ごしｙ Ｇ ぐ ＝ ↓ぐxur ＋xvt ＋yvs ＋ywr ＋zwt ＋zus
Cc ＝
お
とし て、カ ラージ ンクレッド の3 粒子間相互作用 は [ぐべ・ぐト[ を ・φ ・○] と書け る。 すなわち 一一一 → → → ‥ → 一一一 〈(フcc 十ccフc[ ぐ・ぐ〈 ト[ を ・φ 〈c] (フcc 十(フC(フ〉 一一一言ccc 十CC （フにoぐoぐo十CoCべ 十十CーCべO 十C-Cベ ー十ぐべoC一十証 べ 十CcCcCc 十φぐＣべ(フ十十Cc 一如 十φ 十Cc-Cc べＣ一十Cc べcCc − −−− づ Ｃ十Cc+Cc+ ＼C(フＣ 十丿cc 〉 (6.26) (6.27) (6.28) (6.29) (6.30) (6.31) (6.32) (6.33) − − −
＝〈丿cc 十Ｃ Ｃ Ｃ Ｉ言O 四ColG 〉Co四 十Co 四CJG 〉ぐ＋￨司 十 仁 四 ぐ＋IG〉ぐO固
十 ⑤ 囲 い Ｇ〉⑤B 〉十ぐ＋四ColG 〉ぐり 目 十ぐ＋四 ぐ＋IG〉ぐ＋￨司
十 を 四 帽G 〉Cc￨B) 十φ 囲Cc/G 〉○ 十田 〉十 い り 召〉い ＋IG〉Cg＼B〉
十Cc ー￨召〉Cc-￨G 〉い 一因 〉十 φ ＋四Cc ＼G〉φ 一四 〉十Cc ＋￨召〉い ＋IG〉い 十田 〉
− − − − − − − − −
づo ＼R) ColG 〉Co￨司 十 即 牡/G 〉ぐ十固 十ぐ一四 ぐ十￨G) Co田 〉
− − − − − − − − − づ 一四-G に 固 十ぐ十四ColG に 固 十ぐ十四C+￨G 〉ぐ十固 一 − 一 一 − 一 一 − − づ( 個 〉Cc＼G〉州 目 十G 詐 〉Cc- ＼G〉剱 開 十 紅 四Cc+ ＼G〉州 目 − − − − − − − − − づ Ｃ一問Cc-￨G 〉紅 固 十 い ＋四Cc ＼G〉紅 固 十 を 十匪 い ＋IG〉φ 十間}
斗R ＼ぐo四 〈Ｇにo￨G〉〈B ＼Co＼B〉十 涛 にO四 〈B ＼C-＼G〉〈Ｇ 臨 刀 〉
十〈G￨C- 四 〈R ＼ぐ十＼G回B ＼ぐo＼B〉十〈G￨C- 四 〈B ＼C-＼G)〈R ＼C-＼B〉
十〈B ＼C+四 〈Ｇにo＼G)〈召に一因 〉十 伊 に
十四 〈作 州 剛 〈Ｇ 臨 四 〉
− − − − − −
Color Interaction − − − − − − 十 くG￨Cc 一匹 くR ＼Cc+￨G) く親 昌 目 づ Ｇ にし 利 くB ＼紅 ＼G)くR ＼Cc-固 − − − − − − + {B ＼Ccフ十匹 ㈲CclG) く眺c- ＼目 づB ＼Cc+剛 く眺 ぺ0 くG ＼剱 固 一 一 一 − − 一 一 一 一 − − − づ 眺o 匹 く部olG) くB ＼Co＼Bト く部o 匹 く部- ＼G)くＧ に＋固 − − − − − − 一 一 一 一 一 − づ 眺 一匹 く眺 ＋￨剛 く眺o 固 十 く研 丿 利 くB ＼/G) く眺/ 目 一 一 一 − − − 一 一 一 − − − づ 眺 ＋匹 ㈲ColG) 〈眺 一固 十〈 眺 ＋匹 〈部 ＋10 〈 部 ＋ 岬 〉 − − − − − − づ 刷Cc 匹 〈G ＼Cc＼G口B ＼Cc＼B) バR ＼Cc匹 〈B ＼Cc-＼G) ㈲ い 十田 〉 − − − − − − づG￨Cc 一匹 くR ＼Cc+＼G)く親 昌 利 づG￨Cc 一匹 くB ＼紅 ＼G)くR ＼Cc-固 − − − − − − づB ＼Ccフ十匹 ㈲ 昌G) く眺c- ＼目 づB ＼Cc+剛 く眺c ＋￨G> くG ＼剱 固 と な る 。 7 ま と め ク ォー ク の カ ラ ー 状 態 を3 次 元 の ベ クト ル 召 -一 R ＝ Ｇ -− G ＝ と表 現 し 、 カ ラ ー 状 態 を 変 換 させ る 変 換 行 列 Co -C- ＝ ぐ十 ＝ ○ ＝
Ｇ
00 → ⊥010 ｊ 100 001 Ｏ1 0 ぐ 0 1 00 01 −1 00 ｊ Ｏ ← 0 う 1 00 一 1 Ｏ 一 〇 { と { ぐ { ぐ → → → → → → → → → 01 -1 0 -1 1 召 Ｇ 召 Ｇ 召 召 召 召 Ｇ 召 Ｇ 召 召 -− B ＝p
-{ と
→ → → → → → 01 10 白 ｝ −Ｇ − 召 一 凡 -→ 召 − → 召 − → Ｇ → → → 一双 − Ｇ − 召p
1 1 → → → 召 Ｇ 召 107 (7.34) (7.35) (7.36) (7.37) (7.38)108 釦 -妬 十 ＝
じ
じ
00 00 1 1 00 手 1 0 -1 0 塚 洋 { ぐ { ぐ 一 → → → → → → − Ｇ −召 一 双 召 一 双 − Ｇ{ミ
{U
→ → → → → → Ｇ 召 召 召 召 Ｇ (7.39) (7.40) を 導 人 し た 。 変 換 行 列 はそ れ ぞ れ（Co 、Cー、ぐ＋ ）、（Co 、 ⑤ 、ぐ＋、φ 、Cc- 、φ ＋ ）が 可 換 群 を 作 る。 変 換 行 列 ベ クト ル を カ ラ ー 状 態 を う 陥 収 ぐ ぐ ＝ ↓ぐ 凡 Ｇ 召 ぐ ＝ Ｃ ｊ 0 ］ ］ ぐ ↓0 う 肴 一Ｇ 一 召 ぐ ＝ ご とおけば、カ ラージン クレ ッド の2 粒子問相互 作川 は積の和 − → → → → − 〈(フＣ にく づ 巾 帽( フＣ〉 カラージン クレ ッド の3 粒子間 相互作用は三重 積の和 −−− → → → → → → −−− 〈Ｏ フ(フ十C( フＣ に(べ 可 十[Cc-Cc- Cc]CC （フ十(フフc 〉 で書け る。参 考 文 献
(7.41) (7.42) (7ぷ) (7.44)Dissertori, G., I. G. Knowles and M. Schmelling (2003)Quantum Chromodynamics.
Clarendon Press. (Oxford).
Hatsuda, T. and T. Kunihiro (1994)QCD Phenomenology Based on ａ Chiral Effective Lagrangian.
Phys. Rep., C247 : 221-367.
Hosaka, A. and H. Toki (2001)Quarks, Baryons and Chiral Symmetry- World Scientific Pub. Co. Pte. Ltd. (Singapore).
Nambu, Y. and G. Jona-Lasinio (1961)Dynamical Model of Elementary Particle Based on an Analogy with Superconductivity. I. Phys. Rev., 122 ； 345-358.
Nambu, Y. and G. Jona-Lasinio (1961)Dynamical Model of Elementary Particle Based on an Analogy with Superconductivity. II. Phys. Rev. に24 ； 246-254.
Color Interaction
for Hadrons and Nuclei. Part. Nucl. Phys., 27 : 195-272.
109
Yndurain, F. J. (1993) The Theory of Quark and Gluon Interactions. Springer-Verlag.
(New Ｙｏrk)・
手 塚 洋一(2010) カ レ ン ト ー カ レ ン ト 型 有 効 相 互 作 用 ．東 洋 大 学 紀 要 自 然 科 学 篇 第54 号
:31-54.
