大規模多目的非線形計画問題に対する対話型ファジィ意思決定手法と環境システムへの応用
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(2) これ らの手 法 で は、 意 思 決 定 者 の選 好 構 造 が フ ァジ ィ決 定 や和 オ ペ レー タに従 う とい う厳 しい 前 提 条 件 が必 要 で あ った。 しか し、現 実 に は、 意 思 決 定 者 の選 好 構 造 を陽 に表 現 す る こ とは きわ て 困 難 で あ るた め、 この よ うな前 提 条 件 が 満 た され て い るか ど うか 検 証 す る こ とは難 しい。 め そ こで 、本 論 文 で は、 角 型 構 造 の大 規 模 多 目的 非 線 形計 画 問題 に対 して、 意 思 決 定 者 の陰 に存 在 す る選 好 関数 を陽 に表 現 す る こ とな く、 意 思 決定 者 との対 話 を通 じて 、 彼 の判 断 の あ い ま い性 を考 慮 した満 足 解 を導 出す る た め の、 「対 話 型 」 フ ァジ ィ意 思 決定 手 法 を 提 案 す る。 ま た 、 提 案 した手 法 を大 阪市 の環 境 管 理 計 画 問題(11)に適 用 し、 そ の妥 当性 を検 討 す る。. 2.問. 題 の 定 式 化 と フ ァ ジ ィ双 対 分 解 ア ル ゴ リ ズ ム. 本 論 文 で は,次 Nonlinear . の よ う な 角 型 構 造 の 大 規 模 多 目 的 非 線 形 計 画 問 題(Large-Scale . Programming . こ こで, . Problem:LS-MONLP)を. は互 い に相競 合 す る 目的 関数, は,決. Multiobjective. 考 え る.. 定 変 数 ベ ク トル と す る.ま は,す. は結 合 制 約 式, た,. べ て、 部 分 決 定 変 数 ベ ク トル. に関 す る実 数 値 関 数 とす る.本 論 文 を 通 して,以 下 の仮 定 を 置 く. [仮定1] 制 約 関数 は、 上 で2回 連 続 的 微 分 可 能 かつ、 は,コ. ンパ ク トか っ 凸 で あ る.. 以 下 に お いて,集 合Sを. 次 の よ うに定 義 す る.. ,.
(3) こ こ で,記. 号Ⅱ. は,直. 積 を 表 わ す.こ. の と き,集. 合Sは,コ. ンパ ク トか つ 凸 と な る こ と に 注 意. し よ う. [仮 定2] 制 約 集 合S上. で,目. 的関数. ,. ,. ,. ,お. よ び結 合 制 約 関数. ,. ,. ,. は,. 2回 連 続 的 微 分 可 能 な 凸 関 数 で あ る. LS-MONLPで. は 、 最 適 化 す べ き 目 的 関 数 が ベ ク トル 値 関 数 で あ る た め 、 通 常 の 最 適 解 の 代 わ. り に 、 よ り消 極 的 な 解 の 概 念 と して 、 あ る 目 的 関 数 を 改 善 す る た め に は 少 な く と も他 の い ず れ か の 目 的 関 数 を 改 悪 せ ざ る を 得 な い 解 、 即 ち 、 パ レ ー ト最 適 解 が 定 義 さ れ て い る 。 [定 義1] LS-MONLPに. 対 して 、. (即 ち 、. に対 して、. ,. )と な る よ う な 、. ,. ,. 、 か つ 、 あ る. が 存 在 しな い 時 、. をパ. レ ー ト最 適解 と い う。 こ こ で 、Xは. 、 次 式 で 定 義 さ れ るLS-MONLPに. LS-MONLPに. 対 し て,意. 各 目 的 関 数 . , . れ る.こ. 思 決 定 者 の 主 観 的 判 断 の あ い ま い 性 を 考 慮 す れ ば,意. , , に 対 して あ い ま い な 目 標(フ. の よ う な フ ァ ジ ィ 目標 は,メ. と が で き る.以. 対 す る実行 可 能 集合 で あ る。. 下 に お い て,メ. ン バ シ ッ プ 関 数 . ンバ シ ッ プ 関 数 . ァ ジ ィ 目標)を , . に 関 し て,次. 思 決 定 者 は,. 持 つ も の と考 え ら. , , に よ り規 定 す る こ の 仮 定 を お く.. [仮 定3] 意 思 決 定 者 は,各. 目 的 関 数 に 対 す る フ ァ ジ ィ 目標 を メ ン バ シ ッ プ 関 数 で 規 定 す る こ と が で き る.. メ ンバ シ ッ プ 関 数 . , , , は,実. 行 可 能 集 合 . 上 で,強. 意 単 調 減 少 か つ2回. 連 続 的 微 分 可 能 な 凹 関 数 で あ る. 意 思 決 定 者 に よ り、 各 目 的 関 数 に 対 す る メ ン バ シ ッ プ 関 数 . , . , , が 規 定 さ れ. た 後 、 意 思 決 定 者 の 満 足 解 を 導 出 す る た め の 一 般 化 フ ァ ジ ィ意 思 決 定 問 題 を 次 式 の よ う に 定 式 化 す る こ と が で き る。. こ こで、 は、 メ ンバ シ ッ プ関 数 空 間 上 にお け る、 意思 決 定者 の選 好 構 造 を反 映 した統 合 関 数 で あ る。 も し、 この よ うな 関 数 を 陽 に 同定 す る ことが で き る の で あ れ ば、LS-MONLPは. 、統合. 関 数 を最 大 化 す る とい う単 一 目的大 規 模 非 線 形 計 画 問 題 に 置 き換 え る こ と が で き る。 し か し、 一 般 に、 統 合 関 数 を 同定 す る こ とは き わ め て困 難 で あ る の で 、 そ の 代 わ りに 、 対 話 的 に 解 を更 新 す る こ と に よ り、 最 終 的 に意 思 決 定 者 の 満 足解 を 導 出 す る とい う、 対 話 型 手 法 が 種 々提 案 され て い る(10)。 こ こで は、 坂 和 等 に よ り提 案 され た対 話 型 手法(9,10)を 導 入 しよ う。.
(4) 意思 決定 者 が 、 主 観 的 に、 彼 の選 好 構造 を 反 映 させ た各 メ ンバ シ ップ 関 数 に 対 す る希 望 水 準 (基準 メ ンバ シ ップ値 と い う) :. を 設定 す れ ば、 彼 の 要 求 に あ る意 味 にお い て 近 い解 は、 次 の ミニ マ ック ス問 題 を 解 くこ と に よ り 得 られ る。. この 問題 は,補 助 変 数 . 一 方 、 仮 定3よ. を導 入 す れ ば,次 の よ うな 通 常 の非 線 形 計 画 問 題 に変換 で きる.. り、 実 行 可 能集 合 上 で 、 メ ンバ シ ッ プ関数 の逆 関 数 が 常 に存 在. して い る こ とか ら、 上 の 問題(7)は,等 価 的 に次 の よ うな 非線 形 計 画 問題(以 下 で は,原 問 題 と呼 ぶ)に 変換 で き る.. こ こ で 、 仮 定1,2,3よ. り、 こ の 非 線 形 計 画 問 題 は 、 凸 計 画 問 題 と な る こ と に 注 意 し よ う。 原. 問 題 の 最 適 解 と パ レー ト最 適 解 の 間 に は 次 の 関 係 が 成 立 す る(10)。.
(5) [定理1] . が、LS-MONLPの. パ レー ト最 適 解 で あ る た め の必 要 十 分 条 件 は、 . 基 準 メ ンバ シ ップ値 . に対 す る原 問題P(μ)の. が、 あ る. 一 意 な最 適 解 とな る こ とで あ る。. と ころ で、 本 論 文 で は、 決 定 変 数 や 結 合制 約 式 の 数 が 非 常 に多 く、 そ の ま まで は直 接解 く こ と が 困難 で あ る よ うな 「大 規 模 」 非 線 形 計 画 問題 を 対 象 と して い る。 この よ うな 大 規 模 計 画 問 題 に 対 して は、 問題 の特 殊 構 造 に着 目 して 、 問 題 を 複 数 個 の 小 さな 部 分 問題 に 分 解 す る こ とに よ り最 終 的 に解 を導 出 す る とい う、 分 解 手 法 が 種 々 提 案 され て きて い る。 本論 文 で は、 ブ ロ ック構 造 を 有 す るLS-MONLPに. 対 して 有 効 な 、 Lasdon(7)に よ り提 案 され た 双 対 分 解 手 法 を導 入 す る こ と. に よ り、 原 問題P(μ)の. 最 適 解 を求 め よ う。. ま ず、 原 問題P(μ)に. 対 す る ラ グ ラ ン ジ ュ関数 を次 の よ う に構 成 す る こ とが で き る。. こ こで,. ,. 結 合 制 約 関数. は,そ れ ぞ れ,原. 目的関数. と. に関 す る制 約 式 に対 応 す る ラ グ ラ ン ジュ乗 数 ベ ク トル を 表 わ す.. この 時 、 原 問 題P(μ)に 対 応 す る双対 問題D(μ)は,次. と ころ で,原 問 題P(μ)に は,コ. 問 題P(μ)の. お い て,仮 定1か. ら,決. ンパ ク トな凸 集 合 で あ る.ま た,仮 定2か. 数 さ らに,仮 定3よ. り,. の よ うに構 成 す る こ とがで き る.. 定変 数 の制約 領域. ら,結 合 制 約 関 数. は. 凸関. が2回 連 続 微 分 可 能 な 凸関 数 で あ る こ と か ら,メ. ンバ シ ッ. プ関 数 に関 わ る制 約 関 数. も,2回. 連 続 的 微 分 可 能 か つ 凸 関数 とな る.. 従 って,も. し原 問題P(μ)の. 目的 関 数. の強 凸性 が保 証 さ れ る な らば,対. 応 す る双 対 問 題.
(6) に対 して、Lasdonの. 双 対 分解 手 法(7)を直 接 適 用 す る こ とが で き る。 そ こで,目. を 保 証 す る た め に,原 問題P(μ)の. こ こで,ρ>0は,十. 的 関数 の強 凸性. 目的関 数 に拡 張 項 を加 え た 次 の よ うな問 題 に つ いて考 えよ う.. 分 に小 さ な正 数 で, . の 項 が 存 在 す る た め に,修. 正 され た原 問題. の強 凸 性 が保 証 され て い る.し か も,ρ は十 分 小 さな 正 数 で あ る の で,修 正 され た原 問 題 の最 適 解 は,も との問 題P(μ)の. 近 似 解 とみ な せ る こ と に注 意 しよ う.. 修 正 さ れ た原 問 題 に対 応 す る ラ グ ラ ンジ ュ関数 は,(11)式と 同様 に しで. 次式 で与 え ら. れ る.. 原 問 題P(μ)に 対 す る双 対 問題D(μ)の 双 対 問 題 . 仮 定1,2,3の. 場 合 と同様 に して,修. 正 さ れ た 原 問 題 . に対 す る. は,次 式 で定 義 され る.. も とで,修. 正 さ れ た 原 問 題 . と 双 対 問 題 . に 関 して,以. 下 の定 理 が. 成 立 す る(7)。 [定 理2] 仮 定1,2,3が 義 域 . 成 立 す る と き,修 は,次. 式 で 与 え ら れ,双. 正 さ れ た 双 対 問 題 対 関 数 . の 双 対 関 数 . は, . 上 で 凹 関 数 と な る.. の定.
(7) [定理3] 仮 定1,2,3の. も とで,修. 正 さ れ た 双 対 問 題 . の 双 対 関 数 . は,任. 意の. 上 で 微 分 可 能 で,偏 微 分 係 数 は次 式 で与 え られ る.. . [定 理4] 仮 定1,2,3の と き,(λ,π)に 問 題 . 正 さ れ た 双 対 問 題 . 双 対 関 数 . 対 す る 式(19)の最 小 化 問 題 の 最 適 解 . ら 明 ら か な よ う に,ラ. と す る.こ は,修. グ ラ ン ジ ュ 乗 数 ベ ク トル(λ,π)を. の 最 適 解 は 、 そ の 定 義 域(式(21))上 で. 在 値 か ら偏 微 分 係 数 ベ ク トル の 方 向(式(22),(23))へ. に よ り,改. の 最 適 解 を . の. 正 され た原. の 最 適 解 で あ る.. 定 理2,3,4か. を,現. も とで,修. パ ラメー タとす る. ラ グ ラ ン ジ ュ 乗 数 ベ ク ト ル(λ,π). 適 当 な ス テ ップ幅 で 逐 次 更 新 す る こ と. 善 し て ゆ く こ と が で き る。 し か も、 得 られ た 最 適 解 は 、 修 正 さ れ た 原 問 題. の. 最 適 解 と一 致 し て い る。 と こ ろで、 修 正 され た双 対 問題 た と き、 双 対 関 数 な り、 以 下 の よ う な ρ+1個. に お い て 、 ラ グ ラ ン ジ ュ 乗 数 ベ ク トル(λ,π)を. は決 定 変 数. 固定 し. に 関 して加 法 的 に 分 離 可 能 と. の 部 分 問 題 に 分 解 で き る.. 即 ち、 固 定 され た ラ グ ラ ン ジュ乗 数 ベ ク トル(λ,π)に 対 す る 双 対 関 数. の値 は、. ρ+1個 の部 分 問題 を解 くこ とに よ り得 られ る 目的 関 数 の総 和 と して 求 め られ る. 以 上 よ り、 修 正 さ れ た 原 問題. の最適解. リズ ム を次 の よ うに構 成 す る ことが で き る。 [ア ル ゴ リズ ム1] [ステ ップ1]. を求 め る た め の2レ. ベ ル最 適 化 ア ル ゴ.
(8) と し,ラ. グ ラ ン ジ ュ 乗 数 ベ ク トル の 初 期 値 . を 適 当 に 設 定 す る.. [ス テ ッ プ2]. 十 分 小 さ な ρ>0に き,得. 対 して,ρ+1個. の部 分 問 題 . ら れ た 解 を, . と す る.以. を解. 下 で は 簡 単 の た め, とお く.. . [ス テ ッ プ3] 双 対. 関 数 . の 値. を 部. 分. 問 題. の各 目的 関数 値 の 総 和 と して求 め,双 対 関数 の 探 索 方 向 を次 式 に よ り決 定 す る.. [ス テ ッ プ4] ス. テ. ッ. プ3で. 決. 定. , ,. こ の 一 次 元 探 索 問 題. さ. れ. た. に,対 して,次. も, . 対. 応. す. 探. 索. 方. 向 . , , . ,. の 一 次元探索問題を解き最適解を とする. る 部. 分. 問 題. 、. ,. ,. を 繰 り 返 し解 く こ と に よ り 求 め る. [ス テ ッ プ5] な ら ば 終 了.そ と し て,ス. テ ッ プ2へ. う で な け れ ば,. ,. ,. も ど る.. 以 上 よ り、 ア ル ゴ リ ズ ム1を に あ る意 味 で近 い解. 用 い れ ば 、 意 思 決 定 者 が 主 観 的 に 設 定 した 基 準 メ ン バ シ ッ プ 値 (正 確 に は、 原 問 題P(μ)の. か っ た 。 し か し、 残 念 な が ら、 定 理1か. パ レ ー ト最 適 性 の テ ス ト問 題:. 得 られ る こ とが わ. ら明 らか な よ う に 、 最 適 解 が 一 意 で な け れ ば 、. の パ レ ー ト最 適 性 は 保 証 で き な い 。 そ こ で 、 最 適 解 ス ト問 題 を 解 く必 要 が あ る 。. 最 適 解 の 近 似 値)が. に 対 し て 、 次 の パ レ ー ト最 適 性 の テ.
(9) こ の 問 題 . に対 して も、 ア ル ゴ リ ズ ム1と. 全 く同 様 に して 、 双 対 分 解 手 法 に 基 づ く ア ル ゴ. リ ズ ム を 構 成 す る こ と が で き る こ と に 注 意 し よ う。. 3.ト. レ ー ドオ フ 比 と 対 話 型 意 思 決 定 手 法. さ て 、 意 思 決 定 者 が 主 観 的 に 設 定 し た 基 準 メ ン バ シ ッ プ 値 μ に 対 して ア ル ゴ リ ズ ム1(およ び 、 パ レ ー ト最 適 性 の テ ス ト問 題(式(27))を 適 用 す れ ば 、 基 準 メ ンバ シ ッ プ 値 μ に あ る 意 味 で 近 い パ レ ー ト最 適 解 が 求め ら れ る 。 こ こ で 、 意 思 決 定 者 は 、 現 在 の パ レ ー ト最 適 解 に 満 足 す る か 、 そ う で な け れ ば 、 基 準 メ ン バ シ ッ プ 値 を 更 新 す る こ と に よ り、 新 た な パ レ ー ト最 適 解 を 求 め る必 要 が あ る。 意 思 決 定 者 が基 準 メ ンバ シ ップ値 を更 新 す る際 の有 効 な情 報 と して、 メ ンバ シ ッ プ関 数 間 の ト レ ー ドオ フ比 が 考 え ら れ る。 以 下 に お い て 、 原 問 題P(μ)は. 、 次 の3つ. の 条 件 を 満 た す 一 意 な 最 適 解 . を もつ も の と. 仮 定 す る(4)。 [仮 定4] . は 、2次. の最 適 性 の十 分 条 件 を 満 た す。. は、1次. 独 立 制 約 想 定 を 満 た す。. [仮 定5] [仮 定6] . は、 狭 義 の 相 補 性 を 満 た す 。. こ の 時 、 感 度 分 析 に お け る基 本 的 な 存 在 定 理(4)が 成 立 す る。 [定 理5] 原 問 題P(μ)は. 、 仮 定4,5,6を. 満 た す 一 意 な 最 適 解 . , , を も つ も の と す る 。こ に 対 し て 、 関 数 . , . の と き、. 適 当 な ゼ ロ の近 傍 上 の パ ラ メ ー タ. , , , で あ る よ う な 連 続 的 微 分 可 能 な . お よ び , , , が 存 在 す る 。 さ ら に 、 . そ れ ぞ れ 、 パ ラ メ ー タ . と 、 対 応 す る ラ グ ラ ン ジ ュ 乗 数 , . お よ び , , , は、. に 対 す る修 正 さ れ た 原 問 題 . の一 意 な 最 適 解 と 対 応.
(10) す る ラ グ ラ ン ジ ュ 乗 数 で あ り、 仮 定4,5,6を 一 方 、 原 問 題P(μ)の. 最 適 解 . 満 た して い る 。. と 、 対 応 す る ラ グ ラ ン ジ ュ 乗 数 , , ,に. 対 し. て 、 目 的 関 数 間 の ト レ ー ドオ フ比 は 次 の 定 理 で 与 え られ る(10)。 [定 理6] あ る 基 準 メ ンバ シ ッ プ 値 μ に 対 して 、 仮 定4.5.6を. 一 意 な 最 適 解 と し、. 満 た す も の と仮 定 す る 。 ま た 、 原問題P(μ)の制約. は 、 す べ て 活 性(即 , , ,と. を 原 問 題P(μ)の. ち 、 等 式 制 約 と し て 成 立)と. す る 。 こ の 時 、 最 適 解 . は、. 式. し、 対 応 す る ラ グ ラ ン ジ ュ 乗 数 を 、 . に お け る 目 的 関 数 間 の ト レ ー ドオ フ 比 は 、 次. 式 で 与 え られ る 。. 定 理5と 定 理6の 式(29)から、 パ ラ メー タ ρが 十 分 小 さ い正 数 で あ る と き、 修 正 さ れ た原 問 題 の最 適 解 . に お け る 目的 関数 間 の ト レー ドオ フ比 は、 近 似 的 に次 式 で 与 え られ る。 . 従 っ て 、 チ ェ ー ン ル ー ル よ り、 最 適 解 . に お け る メ ンバ シ ッ プ 関 数 間 の ト レー ドオ フ 比 は 、. 近 似 的 に 、 次 式 で 与 え ら れ る。. . 以 上 よ り、 意 思 決 定 者 が 主 観 的 に 基 準 メ ン バ シ ッ プ 値 μ を 設 定 す る と、 ア ル ゴ リ ズ ム1に. よ. り、 基 準 メ ンバ シ ッ プ 値 に あ る 意 味 で 近 い パ レ ー ト最 適 解 が 求め ら れ 、 得 ら れ た 最 適 解 に 満 足 で き な い 場 合 に は 、 ト レ ー ドオ フ比 の 情 報 を 参 考 に し て 基 準 メ ン バ シ ッ プ値 を 更 新 す る と い う、 対 話 型 ア ル ゴ リ ズ ム を 以 下 の よ う に 構 成 す る こ と が で き る。 こ の ア ル ゴ リズ ム は 、 前 節 の 双 対 分 解 手 法 に 基 づ く ア ル ゴ リ ズ ム(ア. ル ゴ リ ズ ム1)の. 上 位 レ ベ ル の ア ル ゴ リズ ム と して 位 置 づ け ら れ. る。 [ア ル ゴ リ ズ ム2] [ス テ ッ プ1] 意 思 決 定 者 は 、 各 目 的 関 数 に 対 す る メ ンバ シ ッ プ 関 数 を 、 仮 定3の. 条 件 を満 た す よ う に、 適 切. に 決 定 す る。 [ス テ ッ プ2] と し、 初 期 基 準 メ ンバ シ ッ プ 値 を μ=(μ1,…,μ. κ)=(1,…,1)に. 設 定 す る。. [ス テ ッ プ3] 設 定 さ れ た 基 準 メ ン バ シ ッ プ 値 μ に 対 し て 、 修 正 さ れ た 原 問 題 を 構 成 し 、 ア ル ゴ リ ズ ム1と. パ レ ー ト最 適 性 の テ ス ト問 題(式(27))を 適 用 す る。 得 ら れ た 最 適 解 と ラ グ ラ ン ジ ュ 乗 数 を.
(11) . , . , , . と し、 メ ン バ シ ッ プ 関 数 間 の ト レ ー ド オ フ 比 の 近 似 値(31). を 計 算 す る。 [ス テ ッ プ4] 意 思 決 定 者 が 現 在 の 最 適 解 に 満 足 な らば 終 了 す る 。 そ うで な け れ ば 、 現 在 の メ ン バ シ ッ プ 値 と ト レ ー ドオ フ 比 の 情 報 を 考 慮 して 、 基 準 メ ンバ シ ッ プ 値 μ を 更 新 し、 プ3へ. もど る。. 4.環. 境管理計画問題への応用. 提 案 し た 対 話 型 ア ル ゴ リ ズ ム に 基 づ き,対 開 発 し た.本. プ ロ グ ラ ム で は,ア. を 解 く た め に,Lasdonら(8)の (GRG2)を. 応 す る 計 算 機 プ ロ グ ラ ム をFORTRAN言. ル ゴ リズ ム1に 開 発 し た,一. と して 、 ス テ ッ. お け る 部 分 問 題 . 語 に よ り. , , , , . 般 縮 少 勾 配 法 に 基 づ く非 線 形 最 適 化 プ ロ グ ラ ム. サ ブ ル ー チ ン と し て 利 用 して い る.. こ の プ ロ グ ラ ム の 有 効 性 お よ び 妥 当 性 を 検 討 す る た め に,仮. 想 的 な意 思 決 定 者 の も と で 、 以. 下 の よ う な 環 境 管 理 計 画 問 題(11)に適 用 し検 討 を 加 え た 。 こ こ で 対 象 と す る 問 題 は 、 大 阪 市 を 対 象 地 域 と し て 、 環 境 要 因 と し て のCOD(Chemical Oxygen . Demand)量. お よ びSO2(Sulphur . め る と い う、 以 下 の よ う な3目. Dioxide)量. をで き る だ け少 な く しつ つ 、 生 産 量 を 高. 的40変 数 の 非 線 形 計 画 問 題 で あ る 。. こ こで用 い られ て い る記 号 は以 下 の通 りで あ る。 :産 業( ,…,20).産. 業 の分 類 を 表1に 示す。. :産 業 の資 本 金(有 形 固 定 資 産 総 額) :産 業 の 現 状(1975年)の :産 業 の 労働 者 数 :産 業 の現 状(1975年)の . . 資 本 金 労働者数. :産 業 の単 位 出 荷 額(百 万 円)当 た りのCOD量( . )お よ びSO2量( . ).
(12) :産 業 の単 位 出荷 額(百. 万 円)当. た. りの 土 地 の 要 求 量 お よ び 水 . の要 求 量. :産 業 の 単 位 出 荷 額(百 万 円)当 た りの資 本 金(資 本 係 数) :土 地 . お よ び水 . の上. 限値 :全 体 の 資本 集 約 度(総. 資 本 金 と総 労. 働 者 数 の比)の 上 限 値 . お よび. 下 限値 :生 産 関 数 の パ ラ メ ー タ :資 本 と労 働 の移 動 に対 す る摩 擦 を示 す パ ラ メ ー タ. 目 的 関 数 はCobb-Douglas型 示 すCOD量. の 生 産 関 数 で あ り、 目 的 関 数 お よ び . お よ び 大 気 汚 染 を 示 すSO2量. は、 各 々 、 水 質 汚 濁 を. を 表 し て い る。 制 約 式(33)は 土 地 と水 の 要 求 量 に 対 す る. 制 約 、 制 約 式(34)は 全 体 の 資 本 集 約 度 に 対 す る制 約 、 制 約 式(35),(36)は 資 本 と労 働 に 対 す る 制 約 を 表 す 。 ま た 、 便 宜 上 、 制 約 式(33)一(36)を満 た す 決 定 変 数 領 域 を 、D(K,L)で モ デ ル に 用 い られ た デ ー タ は次 の 通 りで あ る 。 即 ち 、 =0. .9,α=. そ れ ぞ れ 、 表2お こ の3目. =0.903,β=. =1.070.さ. よ び 表3に. 示 さ れ て い る。. 的 非 線 形 計 画 問 題 に 対 して,仮. 決 定 者 は,各. 目的 関数. プ 関 数 を,そ. れ ぞ れ,. ,. ,. =232200, . ら に、 パ ラ メ ー タ. 想 的 な意思. に対 し て,メ. ンバ シ ッ ,. と設 定 した も の と す る. こ の と き,意. 思 決 定 者 が 主 観 的 に基 準 メ ンバ シ ッ プ値. μ=(μ1,μ2,μ3)を. 設 定 す れ ば 、 μ=(μ1,μ2,μ3)に. あ る 意 味 で 近 い パ レ ー ト最 適 解 は 、 次 の 修 正 さ れ た 原 を解く こ と に よ り得られる。. 問題 . ,. 表 す。 =200000,. =1.8, の値 は、.
(13) こ こ で, . は 補 助 変 数 、 . (9)式 に 基 づ い. て 設 定 さ れ る。 ま た 、 こ こ で は、 拡 張 パ ラ メ ー タ ρ=0.01と. 設 定 した。. こ の 原 問 題 . に対 応 す る ラグ ラ ン ジ ュ関 数 は、. 次 式 で 与 え られ る 。. こ こ で 、 . は制 約 式(38)一(40)に 対 応 す る. ラ グ ラ ン ジ ュ 乗 数 ベ ク トル を 表 す 。 こ の ラ グ ラ ン ジ ュ 関 数 は 、20種 類 の 産 業 の 資 本 金 と労 働 者 数 を5つ う な5つ. ご と に分 割 す れ ば、 次 の よ. の副 ラ グ ラ ンジ ュ関 数 の総 和 と して表 現 で きる。. 以 下 で は 、5つ. の 副 ラ グ ラ ン ジ ュ 関 数 に 対 応 し て5つ. し解 く こ と に よ り修 正 さ れ た 原 問 題. の 部 分 問 題 を 構 成 し、 そ れ ぞ れ を 繰 り返. の 最 適 解 を 求め る と い う、 本 論 文 で 提 案 し た ア ル ゴ. リズ ム の 適 用 結 果 を 説 明 し よ う。 た だ し、 数 値 計 算 の 段 階 で ス ケ ー ル 変 換 の た め 、 等 価 的 に 、 修 正 さ れ た 原 問 題 両 辺 を4倍. に お け る 目 的 関 数(37)を100000倍. 、 制 約 式(38)の 両 辺 を0.1倍 、 制 約 式(40)の. し た 後 、 適 用 し て い る。. ま ず 、 ア ル ゴ リズ ム2の し た 後 、 ス テ ッ プ3で. ス テ ッ プ2に. 、 ア ル ゴ リズ ム1に. よ り 、 初 期 基 準 メ ン バ シ ッ プ値 を μ=(1,1,1)と 制 御 が 移 る。 ア ル ゴ リズ ム1の. 計 算 結 果 を表4に. 設 定 示 す。.
(14) こ の 時 、 ア ル ゴ リ ズ ム1の100回 . 目 の イ テ レー シ ョ ン に お け る メ ンバ シ ッ プ 関 数 値 は、. , , ,. ま た 、 メ ン バ シ ッ プ 関 数 間 の ト レー ドオ フ比 の 近 似 値 は 、 . ,. と な っ た 。 ち な み に 、 基 準 メ ン バ シ ッ プ 値 μ=(1,1,1)に く と、 最 適 目 的 関 数 値 は 、47471.0と. な り、100回. 対 して、 修 正 さ れ た主 問 題 を 直 接 解. 目 の イ テ レー シ ョ ン に お け る 最 適 目 的 関 数 値. と ほ ぼ 完 全 に一 致 して い る。 ア ル ゴ リズ ム2の. ス テ ッ プ4に. お い て 、 仮 想 的 な 意 思 決 定 者 は 、 た と え メ ンバ シ ッ プ 関 数. を 若 干 犠 牲 に し よ う と も、 メ ンバ シ ッ プ 関 数 メ ン バ シ ッ プ 値 を 、(μ1,μ2,μ)=(0.5,0.6,0.55)に して 、 ア ル ゴ リ ズ ム1が 以 下 、. 同 様 に. 適 用 さ れ 、 表5の. と. を 改 善 し よ う と考 え 、 基 準. 更 新 した 。 こ の 基 準 メ ンバ シ ッ プ値 に対. よ う な結 果 を得 た。. し て 、 仮 想 的 な 意 思 決 定 者 は 、. (μ1,μ2,μ)=(0.48,0.62,0.57)に. 更 新 し、 表6の. 仮 想 的 な 意 思 決 定 者 の 対 話 過 程 を 表7に. 基 準 メ ン バ シ ッ プ 値 を 、. よ う な 結 果 を 得 て 満 足 解 に到 達 した 。. ま と め る。 ま た 、 イ テ レー シ ョ ン3で. 得 られ た意 思 決. 定 者 の 満 足 解 に お け る 決 定 変 数 の 値 を 表8に ま と め る 。 表8は. 、 仮 想 的 な意 思 決 定 者 の 選. 好 構 造 を 反 映 した 資 本 と 労 働 の 最 適 配 分 と し て 解 釈 で き る。 こ の 表 に お い て 、 初 期 値 (1975年. の 値)と. (4)木 材 、(5)家 し皮 、(15)金 器 、(18)輸. 比 べ て 、 各 産 業 の 資 本 金 で は、 具 、(10)ゴ. ム 製 品 、(11)な. 属 製 品 、(16)機. 械 、(17)電. 送 機 器 、(19)精. 逆 に 、(1)食 料 品 、(2)繊. め 気 機. 密機 器、 が増 加、 維 、(3)衣. 服 、(6)パ. ル プ ・紙 、(7)出 版 ・印刷 、(8)化 学 、(9)石 油 ・ 石 炭 、(12)窯. 業 ・土 石 、(13)鉄. 鋼 、(14)非. 鉄. 金 属 、 が減 少 して い る こ とが わ か る。 こ の 結 果 か ら、 仮 想 的 な 意 思 決 定 者 は 、 環 境 要 因 を.
(15) 悪 化 さ せ る可 能 性 の 高 い産 業 の資 本 金 を抑 え 、 逆 に,. 表8資 産業. 資本. 労働. 最適 配 分 資本 労働. 1. 31653 . 22527. 28579 . 25783. 2. 22981 . 17521. 20749 . 18740. 3. 10114 . 18088. 9132 . 19347. 4. 13479 . 8237. 14417 . 8810. 5. 8581 . 8275. 9178 . 8851. 6. 36996 . 16041. 33403 . 17157. 7. 75595 . 43494. 68254 . 47008. 8. 86440 . 34161. 78047 . 36539. 2004 . 827. 1809 . 885. 5161 . 4195. 5520 . 4487 5896. 1975年. 比 較 的環 境 要 因 を悪 化 させ る可 能 性 の少 な い 産 業 の 資 本 金 を上 昇 さ せ る こ とを望 ん で い る もの と考 え られ る。. 4.あ. 本 と労働の最適配分. とが き. 本 論 文 で は,角 型 構 造 の大 規 模 多 目 的非 線 形 計 画 問 題 に対 して,意 思 決 定 者 の主 観 的判 断 の あ い ま い 性 を 考 慮 した満 足 解 を導 出 す るた め の、 双 対 分 解 手 法(7)に. 9. 度. 基 づ く対 話 型 フ ァ ジ ィ満足 化 手 法 を提 案 した 。 提 案 し. 10. た手 法 で は、 意 思 決 定者 が主 観 的 に メ ンバ シ ップ 空 間. 11. 3764 . 5512. 4026 . 12. 15538 . 8472. 14029 . 上 に お け る基 準 メ ンバ シ ップ値 を設 定 す れ ば 、 基 準 メ. 13. 108036 . 28964. 101793.4 . ンバ シ ップ値 に あ る意 味 で近 い パ レー ト最 適 解 と メ ン. 14. 28750 . 10147. 25958 . 10853. 15. 75339 . 52749. 80583 . 56420. 16. 81541 . 52358. 87216 . 56002. 17. 30677 . 26736. 32812 . 28597. 18. 32687 . 18597. 38813 . 19891. 19. 4577 . 4148. 4896 . 4437. 26266 . 22701. バ シ ップ 関数 間 の ト レー ドオ フ比(近 似 値)が. 得 られ. る。 意 思 決 定 者 は これ らの情 報 を考 慮 して 、 満 足 で き る解 が見 つ か るま で、 基 準 メ ンバ シ ッ プ値 の 更 新 を 繰. 20 . り返 す こ とに な る。 ま た、 提 案 した手 法 を 大 阪 市 の 環. 128094 . 9026 30980. 24280. 境 管 理 計 画 問題 に適 用 し、 そ の妥 当性 を検 討 した。 こ こで取 り上 げ た応 用 例 は、 問 題 の規 模 が小 さい た め汎 用 計 算 機 を 用 い て 直接 解 く こ とが 可 能 で あ るが(11)、 特 殊 構 造 を有 す る現 実 の大 規 模 計 画 問題 を取 り扱 う場 合 には、 本 論 文 の手 法 が 、 計 算効 率 の側 面 か らきわめ て有 効 に な る もの と思 わ れ る。. 文 (1)Bellmann, . R.E. . Management . Sci.,17, . (2)Dantzig, . and Zadeh, . G.B. . 尾 毅 、 豊 田 淳 一:"電. (4)福. 島 雅 夫:"非. (5)Haimes, . (6)小 . 舘 英 寛:"利. (7)Lasdon, . Environment",. Algorithm . Tarvainen, . for Linear. pp.767-768,(1961).. 業 図 書,(1980).. K., Shima, Systems", . 業 図 書,(1972).. T. and Thadathil, . Hemisphere . Publishing . 水 シ ス テ ム 運 用 に お け る 計 画 問 題",シ. J.:"Hierachical . Multiobjective. Corporation,(1989).. ス テ ム と 制 御 、 第22巻. 第3号. (1978). LS.(志. (8)Lasdon, . in a Fuzzy . 力 系 統 へ の コ ン ピ ュ ー タ の 応 用",産. of Large-Scale . pp.138-145 . Decomposition . 線 形 最 適 化 の 理 論",産. Y.Y., . Analysis . P.:"The . Econometrica,29, . (3)深. Making . pp.141-164(1970).. and Wolfe, . Programming", . L.A.:"Decision . 献. Memorandum, . L.S., . 水 清 孝 訳):"大 Waren, University . A.D. . 規 模 シ ス テ ム の 最 適 化 理 論",日 and . Ratner, . of Texas,(1980).. M.W.:"GRG2 . 刊 工 業 新 聞 社,(1973).. User's . Guide", . Technical.
(16) (9)坂. 和 正 敏,湯. 峯 亨,矢. 野 均:"多. 目 的 非 線 形 計 画 問 題 に 対 す る 対 話 型 フ ァ ジ ィ 満 足 化 手 法",. シ ス テ ム と 制 御,28,pp.575-582,(1984). (10)Sakawa,M.:Fuzzy New . Sets and Interactive . Multiobjective . Optimization, . Plenum . Press,. York,(1993).. (11)Sakawa, . M. . Augmented . and . Yano, . Minimax . Transactions (12)Sakawa, . Problems . on Systems, . M. and . H.:"An . MultiobjectiveNonlinear . Fuzzy . and Its Applicationto . Man, . Yano, . Interactive . and Cybernetics, . H.:"A . Fuzzy . Programming . Dual . Satisficing . Environmental . SMC-15, . Fuzzy . Using. Systems", . IEEE. pp.720-729,(1985).. Decomposition . Problems", . Methad . Method Sets . and . forLarge-Scale Systems,67, . pp.. 19-27, (1994). (13)Sakawa, . M., . Yano, . Multiobjective Cybernetics . Structured . R.:"A . An International . Journal,26, . Fuzzy . Sets and Systems,19, . Pollatschek, . Regulation in Cybernetics . Problem", . M.A.:"A . Fuzzy . Research, . 規 模 シ ス テ ム ー モ デ リ ン グ ・制 御. (17)矢 野 均 、 坂 和 正 敏 、 澤 田 一 哉:"大. Academic . H.-J.:"Fuzzy Publishers(1991).. with . Method . Set . Theory . for. Goals",. Supply. pp.217-237(1986}.. Programming . Approach . to an Air. G. J. Klir and L. Ricciardi(eds.): pp.303-323, . Hemisphere,(197$).. ・意 志 決 定 一",昭. No.7, and . Fuzzy . for Water . 晃 堂,(1986).. 規 模 多 目 的 非 線 形 計 画 問 題 に 対 す る3レ. 子 情 報 通 信 学 会 論 文 誌 、Vol.J78-A, . Method . pp.413-426(1995).. Programming . in R. Trappl., . and Systems . Decomposition . Problems . Planning", . Pollution . Kluwer . Programming . Linear . G. and . (18)Zimmermann, . Primal . Fuzzy . (15)Sommer, . 足 化 手 法",電. K.:"A . Multicriteria . SystemDevelopment . (16)田 村 担 之:"大. Sawada, . Nonlinear . and Systems . (14)Slowinski, . Progress . H. and . ベ ル フ ァ ジ ィ満. pp.811-823,(1995).. Its Applications . (Second Edition)",.
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