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累積分布関数の図的利用

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Academic year: 2021

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累積客数

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図 B スキー場のリフト待ち時間 らの図をマイコンで描けるようにしておけば,可能な退 去や発注の方策について検討することが容易にできるだ ろう. このお正月 10年ぶりにスキーに出かけた.スキー場は かなり込んでいたが, リフトに並ぶ行列の長さは 1 日中 ほぼ一定していた(図 6 ).待つ時間にして 10-15分くら いであったろうか.これはリフトの利用客が,山の上か ら行列を見て,今すいているぞとか,少し込んできたか らゆっくりしていようとかするために,自然と到着の仕 れて退去曲線をコントロールすることを考えた.在庫の 方がコントローんされるからであろう .λ (t) 宇 μ で,必 場合は,退去に相当する需要曲線がまず推定されて,そ ずしもラッシュ的ではないのだが,流体近似がうまく使 の上で発注による品物の到着曲線を決定している.これ える例となっている. ¥11111111111111111111111111111111111111111111111¥111¥11¥111111¥11111111111111111111111111111111¥1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

累積分布関数の図的利用

若山邦紘法政大学

11川川11叩川11川川11川川11川川11川川11川11川11川川11川11川11川川11川11川川11川川111川11川111川11川川1111川11川川11川11川11叩111川11聞111川川11川川11川川11川川11川川11川11川11川附11川111川川11川附11川11川川11附川11川11川川11川11川11川11川川11川11川11川川11叩川1自川11川聞川11111川11川川11川11川川11聞111\川川11剛11川11川川11川川11川川111111川11川11川11川11川川11川川11川111川川11川11川11川1\川11川川111川11川11川111111川\111\川11川11川11川川11川11川川11川川11聞11川11川川11川川111川11川川l川11川11川川11聞11111\川11川11川11川111川11聞川11川11川11川111聞川11川1111川11川川11川川1川11川川11聞川11川11川111川川11川川111川11111川聞川111l川川111川111川11川川11川川11川川11川川11川川11聞川l目川111川11川11川1111川11川111川川11聞11川11川川11川11川聞11聞11川川11川11川11川11川11川11川川11川川11聞川11川川11川11川川11川川11川11聞11川川11川11川11川11川1111\111刷11111川川11川川111川l川川11川11川11川11刷11川川11川川l川11聞111川11川川11川附11附11刷\111川111111聞川l川川11川11剛川11川川11川川11山川11川川11川川11川聞11剛11川1111川11川111川11川11川11川111111聞l目川11川川11川11川川11川111\川\11川川\11川11川11111l 累積曲線の効用についてはこの特集号で‘いくつかのテ ーマがとりあげられているが,この稿では確率分布の累 積曲線である累積分布関数の図的利用法について,①一 様乱数から任意の分布にしたがう乱数への変換法,②標 本分布から理論分布の当てはめ, にスポットを当てよ う. 図 1 を見られたい.乱数をいじったことのある人なら ほし数の変換の説明だな j とすぐに気づくことと思う. 実際,分布関数 F(x) が連続関数であるとき,変数 z と u , 確率変数 X と U の聞に次のような関係を考える. u=F(x)

,

U=F(X) すると , U が u 以下である確率は, Pr{U;;;;u}=Pr{X 豆 x} =F(x)=u となり , U は一様分布にしたがうことがわかる.このこ とから,区間 (0 , 1) の一様乱数 u を発生して, u 。 X

[\ゾ~一

図 1 乱数の変換(連続分布の場合) Pr{X=k}=Pk(k=O, 1.2 ,・・)としたとき,一様乱数 u に対して,

L

:

Pk<u 亘L: Pk k=o k=O となる z を見つければよい. 以上の方法は逆関数法と呼ばれ,一般的な乱数変換法 u=F(x)

の l つとして利用されている.この他には,棄却法,合

となる z を求めれば x は分布関数 F(x) をもっ確率変

成法などがある. また,いくつかの理論分布に対して

数の実現値とみることができる・

は,その分布の特別な性質を利用した方法が考えられて

この原理は,離散分布の場合で考えた方がより直観的 いる. に理解できょう.図 2 のように累積分布関数の縦軸の値 [指数分布] 指数分布の分布関数は F(x)=I-e-''''で、 u をランダムに決め,どの階段に当たるかで、 z の値が決 あるから, まる x それぞれの値が出現する確率は対応する階段の u=F(x) = 1-e-'''' 高さに等しいのであるから理解しやすい.一般的には, の対数をとって整理すると, 1987 年 6 月号 © 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず. (99)

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9

3

(2)

7

u

1 2

3

4

5

6

図 2 乱数の変換(離散分布の場合) x= ー(1/.ì )ln(l-u) ここで, I-u もまた (0, 1) の一様乱数であるから, あらためて, x= ー (Ij.ì )lnu として指数割激を得る. このように解析的に F(x) の逆関数 F-l(U) が得られ ない場合が多い . F(x) を折れ線近似したり, F-l(U) を 関数近似したりして逆関数法を適用する. [正規分布] 一様乱数 u に対して,

日 (x)=J:才-t

2

/2dt

となる X=F-l(U) を求めるには,山内の近似式がよい. すなわち, 百=ー ln[4u(l-u)J とおいて, X=F-l(U)

5

.

7262204

=[y(2.0611786 ー

y+

)J 1I 2

1

1.

6

4

0

5

9

5

で計算する.相対誤差は 4.

89x

\0-'である u が 0.5 よ り大き L 、かどうかによって,得られた z の債に正負の符 号をつける . x は平均 μ=0 ,標準偏差 σ=1 の擬似正規 乱数である.周知のように,正規乱数発生には,中心極 限定理を利用する方法, Box-Muller 法,渋谷の棄却法 などがある. シャボン玉の寿命を 1 , 000回測定したところ, 図 3 の ようなヒストグラムが得られた.寿命が長くなるにした がし、度数が減少していることはわかるが,データはパラ ツイているように見える.ところが,このデータの累積 をとって眺めると,図 4 のように驚くほど滑らかな曲線 が浮かび上がってきた.累積をとると,偶然の変動が除 去されるからである,この効果を累積による smoothing 効果という. 観測データが指数分布 f(x) =.ìe-l.x にしたがっている

3

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(1

0

0

)

30 I X 。 。

20

40

60

干少 図 3 シャボン玉の寿命の度数分布

1

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0

0

積度累

5

0

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数|

/

一一 一一.., ... . . . ~-・・"・・・・ ...r ー 一一 一 一 。 。

2

0

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60 秒、 図 4 シャボン玉の寿命の累積度数

1

0

0

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巣 \旬、、

10

、園、、.・", I 。

2

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40

6

0

平歩 図 S 寿命の長い方からの累積度数 場合,寿命の長い方から累積をとると,図 4 を 50% の線 で折り返した図 5 が得られ, これが指数曲線 e-l.x とな るはずである.このグラフを片対数グラフ用紙にプロッ トすれば直線になるわけで,図 B がその結果である.み ごとに直線になった.図から得られる情報は説得力が大 きいことがわかるであろう. このように,ある種の曲線を描くと直線になる特殊な グラフ用紙が市販されている.雨対数グラブ用紙,正規 確率紙,対数正規確率紙 2 項確率紙, ワイフ勺L 確率紙 などがある.大いに利用していただきたい. きて,独立な乱数をいくつか発生し,その和をとると 近似的に正規分布にしたがうことが知られている.これ は中心極限定理によって説明される性質である. 区間 (0 , 1) の乱数 12個の和の分布を調べてみた.図 7 がその 結果であるがどうやら正規分布のような形をしている. 平均 μ=6.04,標準偏差 σ= 1. 04である.累積をとると, 図 S のように滑らかな S 字カープが観察できる.このグ オベレーションズ・リサーチ © 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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0

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f

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累 積

500

1\

数 l\ OL-一一一一一一一ニニニ--占品出」 目 。 20

4

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60 秒 図 S 片対数グラフ用紙での累積度数 ラフを正規確率紙にプロットすると,図自のように一直 線に並んだ.このグラフ用紙は正規分布の分布関数を描 くと直線になるようにグラフ用紙の上と下の部分のスケ ールを引き伸ばしたものである.分布の母数 μ と σ もこ のグラフから読み取ることができる便利なグラフ用紙で ある. このような用紙を使えば,定規 l 本で累積曲線が描け るので,正規乱数も指数乱数も簡単に作り出すことがで きる. 参芳文献 <

1

J

山内二郎編:統計数値表.日本規格協会(1 972)

[2J

関根,高橋,若山:シミュレーション.日科技連

(

1

9

7

6

)

[3

J

森村英典:おはなし OR. 日本規格協会 (1983)

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2

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x x

x x x x x

.

メ x x x x 3ぽ x

x

3 4 5 6 7 8 9

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図 S 累積分布(正規確率紙) 1987 年 6 月号

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1

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

S

函 7 乱数 12個の和の分布

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1

5

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S

図 S 乱数 12個の和の累積分布

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1

0

1)

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9

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© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

参照

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