FIBERING IN A FOLIATED RIEMANNIAN MANIFOLD
BYKEIzo SHIOZAKI
Introduction． The general concept of a foliated manif（）1d is discribed by Mogi［1］． in detail． Befbre it， Reinhart discussed鈍ated manifblds with b㎜dle−Hke metrics which are the metrics on socaUed base spaces［2］． Recently a◎onsideration on a fbliated monifbld with 1−d口nensiOnal distribution was done for the case of it having the bundle−like metric［6］． In this paper， we shall try to search the contact of a fbHated manifold with a fibred spa㏄［3］［4］［5］， esp㏄ially the one with invariant Riemannian metric［5］． Resultantly， we are taking the sp㏄ial consideration that a’foliated manifbld has iSometriC leaves． 1．Fundamental concepts． Letルf be a foliated manif（）1d of dimension m十1， admitting an involutive distribution・P of dimension l， and ｛xa， xo；σ｝be a cu1）icaI coordinate system㏄ntered at x， fbr each x∈M， such that each of its 1−dimensional shces defined byポ』cα， where c’s are less constant than breadth ofσ， be an in− tegral manifold of P， and in suchσ，（∂／∂xo）x， x∈σ， composes a base of Px． For any two coordinate systems｛ピ，xo；U｝and｛ピ’， xo’；ぴ｝， as they are且at with resp㏄t to P［1］［2］， the coordinate transfbrmation inσ∩ぴ（十φ）is given by （1．1） xα’−xα’（xβ）， x°’＝xo’（xβ， x°） （α，β＝1．…，〃1） and hence we have （1．2） ∂xa「 （∂xA’∂xB）一 ∂xβ ∂xOt ∂xβ一0
∂xo’ fiﾝx・ When we treat the tangent bundle of such M， our considerations are ascribable to the theory of τ▼−bundle［1］， that is， the structure group of this tangent bundle be・…9r・up…1・m・・・・…h・f・rm（Ea Oru Eo）・w…e・E・一（・・β）・E・−1 and r・一 （r，，… ，r．）， and therefbre it iS essential on M to consider m−functions ra ＝＝ ra（xβ， f）in every coordinate neighbOrhoodσ∈2t，班being an open cove血g of M， which have the fb皿owin91aw of transfbrmation under（1．1）inσ∩U， iφ（1・・） τノー器（器＋r・器）・
If、 there exist Such＊｝ m−functions ra＝ra（xβ・xo） in every coordinate neighborhood σ∈班，then they detem血1e a cross s㏄tionγof r−bundle［1］， and we can take the ［21］22
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natura1γ一frame｛Xa， Xo｝五1 the f（）m（1・・） 賑仇一ra・；・X・一・・（・・一、1・）
and the cofraine｛θβ，一θo｝which lare dual to｛Xd， Xo｝， Written by ’ （1．5） θβ ＝＝ dxβ， θo＝dxo十rβdxβ． From（1．2），（1．3）and（1．4）or（L5）， we have（1・・） Xa’一器為， x・’一蒜㌔
or
’（1．7） ・〃一器・ae・・一器・・ ．
i皿σ∩ぴ． Hereaftef we assume the exist㎝㏄of r」in everyこノ． The tangent spaCe Ts（M）at x∈M may be decomposed into direct sum （1．8） Tx（M）＝P．（M）＋（2．（M） where Ps（M）＝．」Ps and（｝x（M）is a complement of Px in Tx（M）． If is obvious inσ that Xa（α＝1，．…， m）fbrm a base ofρ。 and Xo fbrms the one of px． AIeaf is a 1−dimensional integral manifbld of a distribution P， therefore there al： ways exists C1−integral curve A＝A（’）of P on each leaf and dA／〃 込 evefywhere ．non−zero vector． We set inσ 〃鍾 ’・．（1・9） dt
＝AX，』， A・，＝A（v，x°）， and we have inσ∩σ’ ∂xo’（1．10）． ． A’＝
．4， ∂xo ・from （1・6）・ ． ：． t ．． 「』 ． 二 〔．．．ket N be．胆other，differe皿tiable manifold・qf dimention〃1，πbe a decomposition map丘）r p fromハ（OntO IV and ．g ＝＝（gaβ）be・a Ri㎝annian metric on N． Now we． put g＝（9AB）as fb皿ows （1．11） 9・・＝・A−209β・−9・β一がrβ，9。β一G。B＋A−2r．rβ where Gαβare m−￡unctions defined by gati＝Gαβ。π一1 and GαβGβr ・δar． Then we can s㏄that g＝（gAB）is a Riemannian二metric．bn M［6］． In fact， from（1．5）and（1．11），we have
ds’2−9ABdxAdxB−9・。θ゜θ゜＋Gaβdbeqdxβ， − WhiCh is the −reclUired・・ form「of metric on；afoliated ma㎡601d㌃M［2］． The Case when G砲o＝0・is disCussed by Reinhart・［2］and named bundle−like metric， where cornma de血（ites derivation∂h．・111．our foliated manifbldハイ， bundle−Hke inetric苛is．an im． portant object and may be essential，：so拓e treat only bundle−1ike metric unless other− ．．wise indicated・ ．・ ㌧ 〉・… ノ ’． ．＼ ． ’／ ： ’． ’F・・aρ一f・頂φ一・￠a・…・・θ『1八‥二八θ”’・d￠i・岨tt・n by th・fb㎝ ＊｝ Instea’d of thiS condition（1．3）， the condition of（1．4）−and（1．5）satisfシing（L6）and（1．7） ． respectively．血ay．be used，1as，Φe． one that determines a croSs s㏄tion．．、ofハbundle’［1］．d￠＝d5a1…αtθα1八・⇔〈θαt t ＝＝（∂φα1…僻一∂’φα1…at十∂”φα1…α，）∧θα1∧… ∧θαt −∂φ一∂’φ＋∂”φ， wh・re・i・Ce・df一θ゜∂・∫ザ（∂・−r・∂・）緬・．a real−val・・d麺・ti・n f，・w・h・ve’ P．tt Of ＝：θo∂of・∂ゲ＝．θαrd∂of，∂’ゲ』θα∂α∫・and df＝6ゲー∂’f十∂’rf二 ． ． ． ． ㌔
Then we define a derivati∀e珍by … ”
』亥カー（d−∂）φ一（一∂’＋∂〃）φ 亡1コ． Putting＠o＝吻（rαθα）， we can write（1・12）、 ，θ゜一一R・・θ・∧…、 ＿． ：
where we put （1・．13） −Rβa一τ。，・−rB，。＋11β，。r．−r，。，。rβ． On the other hand；we hゴve丘om（i．4） 』 ’ ． ’ 1）900」身oo−2九， oθagoo ＝θa（∂』t−ra∂o）90e二2ra， oθagoo ＝−2∠4−3（∠1，a一τ1α∠1，0十Ara， o）θα， r ． yhere負）r a P−tensor τof type（rss）， the．operator D is denoted by・． D徽一吻T；：1二r．＋熱・・喋：鴻酬鳴1：ll
輿tt垣9θ1L（∂∫rのθ・， r。。−r。，（i， i、，ノ， js−0）［1コ． If X is a basic vectorプ7eld［1］， that is，才一ξβ（St）・XB， then we have． （1・14） （1）9・・）（X）一一2ピメー・（4。−r。4。＋∬品：6） 、 ＝” ￡900， which shows that the condition fbrバグto have isometric leaves is ’（1・15） ん一r。4。＋Ara，。−0，
もecauseハぜis said to have iso〃tetric／eaves if 1）900＝O is satis丘ed on、M． F・・ap・ir・・f・tw・v㏄t・・丘・ld・X， Y∈砕∈M），θ・’d・t・m血e、・。 。e。t。，丘。1d、． （1．16） ＠（X， Y）＝＠（X， 】つ゜Xo 』』 ． −㌔ ” belong口1g to 1「」・ If X and Y are both basic［1］， then We have （1．17） ∂o（＠o（Xl，γ））＝（∂o＠oxx， Y）． こHence we get i
” 11）290e＝一＠ogoo， o−2∂oθe●900， ， and then ．．．（L18） （D29。。XX，γ）一一￡9。。プ
θ（x，Y）by・i「t…f（1・m・whi・h・㎞P弊th・tθ（X，．・y）i・a剛9・㏄t・・丘・1d麺d・nly
’f （D29・・XX・ ”一゜・W㎞・’D・・一・d・d・㏄㌔、鵠・一・・ご・h・n・剛・w日t…．輌 our fbliated Riemannian man証bld’ l， equations（L15）are satiSfied，・thenハf admitsa剛9・e・1o・’五・1dθ（元η・・ea・h 1・af，「［1コ・ ・ ’1．・’
・lf w・p・t・C−AX・， i−A−’b’°（A−A〈・g，・0）），・the・・w・h・v・ （1．19） 矛（ζ）＝1，24
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へ へ（1．20） 9（C，’C）−1
from（1．11）and へ へ り （1．21） 萄（X）＝g（C，X）， へ二∼being an arbitrary v㏄tor丘eld in M， that is，λr＝ξα石＋ξ゜Xo（ga・＝y（xβ・af）））・ Directly calculating￡g， we have from（1．11） 』 ・ 6 fgoo．＝−2Al−2／1，0十2／1，0／1−2＝0， 」 ￡9。a−A−2（4。−4。7a＋Ara，・）， εand
fg。β一A−・｛（ん一4。ra＋Ara，・）rβ＋（4β一4・rβ＋∬β，・）ra｝・、 e We have tfom（L15）the fb皿owin9： THEoREM 1．1． If a fb五ated manifbld M with 1−dimensional dist亘bution admitt口lg the Riemannian Inetric g＊＊）defined by（1．11）has isOmetric leaves， then M is a． 砲・4W・・W励・・’∫・・’R’・砲朋励m・t・i・g＊＊＊｝［5コ・which admit・Killing・㏄t・r 丘elds on each leaf． 2．The tensor calc111us． Letハイbe a fbliated manifbld with 1−d㎞ensio皿al dist亘bu− tion adlnitting the bundkハー1ike・metric defined by（L1．1）and having isometric leaves．…n・he c・m・・n・n・・｛副…h・N・mann・・n・・nn㏄…nd…㎜・d by…ゆ・n
as fbllows［6］， by putting（gABXgBc）＝（δAc）and consequently getting gαβ＝Gαβ， goα ＝−fγατ「γand goo＝ノ12十GTarrr．， （2．1）㈲一・
｛陥｝一TG仰R・βメー2 ｛￡｝一｛￡｝＋−ltG‘teA−・（R・Brr＋…r・）｛品トA−・4・
一・丁鋼砲一2−A−・4・
θ
｛￡｝一一ra｛￡｝−A”A・…’・r・＋丁（r…＋r…＋r・…rr＋r…P・）・where
｛￡｝一÷G・・（G・3・・＋G・r・・−G・…） Raβ・・ra，β一τ▼β，。＋rβ，・ra−ra，・「β・ On the other hand， if we put 』 ＊＊）Gis of course bundle・1ike metric． h this case， the base space and the五bre of our fibred space arCπ一1（N）and each leaf of M， respectively・ ＊＊＊） Conditions（1．19），（1．20），（L21）and￡g＝O are of M bei lg a fibred space with mva亘ant Riema皿ian・metric・9． 6FIBERING IN A FOUATED］FUEMANNIAN MANIFOLD 25
シ h （2．2） C＝＝AXo＝A∂o， Ba＝＝正IXα＝」E（∂d−ra∂o） inσ， then we get from（1．5） ぺ （2．3） ． ガ＝∠1−1θo＝∠4−1（4Wo十radxa）， Ca＝E−1θα＝E−idjtCt・ Fbr the convenience of sequel calculatio皿s， we sha皿use the fbllowing notations へ ら about Ba， C，ζa and ガ， 9a； （Eaβ）＝（δaβE， 一」研「α）， へ C；（Eβ）＝（δ。BA）， べ ζα； （・Eca）一（δcαe1）and
ガ；（Ec）一（A−1r・， A−1）． fbr B， C＝1，…， m， O andα，β，γ＝1，…，〃1．Then we have
へ へ へ へ へ へ （2．4） g（C，C）＝1， g（C， Ba）＝0， g（Ba， Bβ）＝GαβE2． where・A−A（xa， x°）， and E−E（St，鋪）spch that we define （2．5） 9（瓦，瓦）−GaaE2−’1，’that is， G…t−E−2・ へ へThen｛9a， C｝forms a 10cal血eld of frames in U．and｛Ca， iii｝forms that of co− frames［4］． へ へ へ へ Now we shall calculate tB’a，￡C，￡ζαand￡ガwith rt：spect to C． First of a11， wehave
へ へ へ べ へ へ へ へ ￡Ba−［C， Ba］一 CBa−BdC−AE−1・E，・Ba， by virtue of（L15）． From（2．5）， getti皿9 0＝」ε（GααE2）＝2∠4E−1E， e， we see E＝E（ピ）， and consequently we have￡Da＝O． ￡C＝O is trivial． Similarly we have￡ξα＝O and￡万＝0． Therefbre， summing．up， we get へ へ （2．6） ￡瓦＝0， ￡C＝0， ￡ζα〒0， ￡ガ＝0． へ ￡being the Lie derivative with respect to C． Since gBcEB＝gBc（δeBA）＝goc∠4， then we have from（1．11） （2．7） 9βcEB＝Ec， 9BcEBEC＝EcEC and then the inverse of the matrix（Ecα， Ec）as the fb頂（・．・） （E・a，・Ec）一』（曇γ）・
The『equation（2．8）is equivalent to the conditions （2．9） Ec”ECr ＝ 6rα， EcαEC＝0， EcEC＝1， Ec」ECr＝O， that is， へ へ へ へ へ へ ζ・（Br）一δ，α，ζα（C）−0，ガ（C）−1，万（＆）−0， ’ 傷 or to the condition （2．10） EcαEBα十EcEB ＝ 6cB． Using these皿otations， we w亘te（2．6）as the fbrms （2．11） ￡EBα＝O， ￡EB＝0， fEca＝O， tEc．＝＝O．‘ 26
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To any fibred space with−mva亘ant．R』emantユian血et亘c 9， there corresponds natura皿y the one with invariant athne co皿㏄tion 7［4］［51 Then in our ．manifold ．M， fbr へ へ へ r Ba， C，（㍗andガ，。the丘’covariant derivatives」which』have◎omponentsクbEBa，7cEB， 7c石bα．and 7bE．’respec tively・are a11血1va亘ant inσ「with resp㏄t tO the infinites㎞al へtransformation detem血1ed by the structure丘eld C． From（2．10）， we can write lt」iDa by the fbrm 、： （2．12） 7L」EDd＝−rβra王：LβEDr十hBa五：．βE，）十〃γα、ELEDr十乃α正；L互D． Where We pUt inVa1工ant fUnCtiOnS aS Pβγα＝一（VcEBa）ECβEBr＝（J7cEBr）ECβEBα（2．・3） h・a＝（ク・鍋ECβ理＝1−（7・EB）ECβEBα
〃γα一（7cEBりEρ・EBr＝，一（7cEBr）ECEBa mi（17cEBつECEB＝一（7cEB）ECEBa， 伽mwhich we obta加hBa＝万♂∵Then we denote them by hβα simply， in the sequeL On the other hand， we can．w亘te 7LEργ、by thβfφm ．（2．14） クLEDγrr訂αELβEρα十乃βr」E三βED−々γαELEDαナみ1「LE戊），wh●We put inva卓anゆnCti・ns、・as層． ・ ．一
、．9；1・）1．，、 ｛㍍篇鑑：蕊罐竺γ
Analogously， we have（2・16） 、π両＝−h・・E・BED「−1・E・BED三砥筋
and 「‘ （2．17） ・ 17LED・・ −hB”ELβEDα＋1βELβED−haELEDα一IELED， “ where we put（2・18），．．・1〒（聴）ECEB〒二（7・躍IEC庇・ ．
M・㎞gnsr・f l2・：D・、，w・have ＿ “．
． rSt・一…E．・ti＋｛ir｝“・一TG吻R・・A−・・
（2．19） ・弓R声E・∠一・1ぽ・ナ・，and then
（2．20） ． GαrE2hβロ’＝hβγ or hβa・＝GαrEr’2hβγ，． 乃8デ十hrβ＝0． ぽ け Sillce［、Ba，ββ］−EE，αXB−EE， BXa 一 E2RβaXo， we see that the condition Ibrρ（M） ・ being integrable is Rβα＝0， and then from（2r19），乃βα＝0． Thus we have THEoREM 2・1・1nρur章∼1iatCd manifold M which．has isometric leaves・admitting the．Rieロ1almian metric g defhled by（1．11）， G be㎞9 bund』ρHke， the condition 丘）r the dist「ib”ti°nρ（」り゜f M．t・恒・卿p1・i・母＝0［1コ．〈・・h・・−0［5コ）・ As iS well known， we have Rioci formula ’‘・ へ へ へ （2・21） 」7Dl7qXL−17c7DXL＝K，）CBLXB へ へ fbr any v㏄tor丘eld X haVing components XB．1 in． U， where KDcBL． denote the’com− ponents of the curvature．te血sor K of the given invariant Riemannian conn㏄tion 7FIBERING IN A FOHATED RIEMANNIAN MANIFOLD
and are de丘ned by 2． ． ’．、 ． ご ．． KD…一｛謝．。一｛鋼，。＋｛D5｝｛θ一｛、幻働 Then we can calculate（2．21）by making use of（2．12），（2．17）and（2．19）， and江 we put（・・22） 臣1；；：；：1器1篇；：
we have丘om the五rst of（2．22） ny − K・…一（｛∪｝，、一｛5｝．。＋｛、2｝｛爵｝一｛。1．｝｛C｝）E−（・・…一晒）＋・励・・ Putting へ ．“ 瓦・γ〃一｛∴｝，、一｛L｝，。＋｛∴｝｛三｝一｛。r．｝｛6｝ which are c6mponents of the curvature tensor、颪．with resp㏄t to the bundle−likeme垣c G・we鰺 ．・、， ．’
（2・23） 、 κ、。，・一瓦。，・E・＋｛2h、〃一（醐。，一醐、，）｝．『、、 From「this， the conditionρ、K＝瓦E2 is equivalent to the condition （2．24） ’ 2hiμhr”コ（乃λγ乃万γ一hμツhir）＝0， 1 ” 二 ρbemg the projection map． This is also eqUivalent to the condition （2．25） 」RλμRγε一RλεRμγ＝0， by v血ue of（2．19）， which implies RAμ＝0』田e of Rλ垣mg sk飢v−symmetric forλandμ． Thus we have
THEoREM 2．2． For a fbUated man迂bld M with 1−dimensional distribution a（lmit− ti皿g the Riemannian metric g de6ned 1⊇y（1．11）， the projectionクK of the curvature tensor、K of the Ri㎝annian metdc g◎oincides with the curvature tenson XE20f the bundle−like meUic G induced in the base spaceπ一11V of M， if and only if M has isometric leaves and the distribution（∼（M）is involutive． As fbr the second of（2．22）， we have ム （2．26） KaμrO＝｛7λ乃μγ一クbhλγ十2（乃λγ、己μ一hPtrE， A）｝E」 where we put fi・・…珊…｛、；｝ん・一｛6｝・… パ ’7 beh享g the connection of the base space n−iN with respect to the bundle−like metric G． Analogously， putting」陥oo』Kl）cBLEi））．EcEBELツ， we have （2．27） Kxoe”〒hK， o∠1一乃θりりβ． In the last equatio皿（2・27），屑， o＝0姪always satis丘ed， another saym9，乃ασ返basic in our fbliated manifbld． In fact， we have 瀦，・−GσεR。・，。メー1−G・・R。，A”2A．。 ＝GaeAE−2￡900 θ（廠・蚕ε） ＝0， ㈲．’
