SASAKIAN IMMERSIONS WITH VANISHING
C−BOCHNER CURVATURE TENSORS
BYTOSHIHIKO IKAWA
§1．iltrOduction． Bochner【10】introduoed a Kahler analogus of Weyle co㎡brmar curvature tensor and Tachibana［8］has given the expression in a real coord血ate systerrts of the B㏄㎞er curvature tensor． Yamaguchi and Sato［9】have proved that a complex hypersurface M2n with vanishing Boclner curvature tensor in a Kahler manifold ，al2（n＋1） with vanishing Bochner curvature tensor is totally geodesic ifn≧6． Kon［4］gave a relation・ of codimension of Ktihler immersions with vanishing Bochner curvature tensors． On the other hand， Matsumoto and Chiiman［5】has defined the OBochner curvatum tensor in a Sasakian manifold， which was constructed from the Bochner curvature tensor by the丘bering of Boothby・Wang口】． The purpose of this note is to prove the fb皿oWingS： コ THEOREM 1．1． Le’」lfm be a Stzsakian ma〃〃わ〃with vanishing CLBochner curvature tensor コand・le’Mn・be・an⑳αr￡α〃’ぷubmcznifold in Mm with吻繊π宮（コーBochner・cur随伽e・tensor．∬ ρ＜（η十1）（η十3）／4〃，’乃θη」トfn is totaltンgeodesic in Mm， where P＝＝m−〃． COROLLARY． Lθ’Mbe an invaアitm’切eアぷ嚇6θof a Sasakian〃故〃iわldAイm（〃2≧5）げ’ va〃ishing C−」Bochner curvatttre tensoア． lfM isげ7αη緬㎎・C−Boehner・curvat〃re・tenぷoち泌θπ M‘ぷtotally geodesic in Mm． コ THEOREM 1．2． Lθ’λイm be a Saぷtzkian〃mnifold）伊ith vaniShing CrBochner curvatme tensor and・le’Mn be an invariant totallγ geodヒぷ’Cぷ〃b㎜〃襯邨1吻．71ben the C」BOC乃〃er・curvature・ τθπ∫orげバグn vanishes． The author expresses deep gratitude to Prof Yamaguchi who encouraged hhn and also・ thanks to Mr． Kon fbr his valuable suggestions． §2．Pre血ninaries． Let Mm（φ，ξ，η，〈，〉）be a Sasakian manifold（cf．［61）． We denote by − コ − コR，Sandρthe curvature tensor， the Ricci tensor and the Rjcci operator of、Mm resp㏄tive一 ロ ロ 1y， where〈2x，γ〉＝ぷ（π，ア）， x，ア∈Tp（M）． Then we can see the fbllowing【3】 8（x，ξ）＝（〃1−1）η（x）， コ − S（φx，φγ）＝S（x，y）一（〃1−1）η（x）η（ア）． コ コ The C−Bochner curvatUre tensor B of M is def辻1ed by［5】； ＊ Received June 20， i975 3132
T．IKAWA
②1）互（…）−R（…）＋晶、伽一⑳一edi・Aily
コ ロ コ ・ご．十ρφア〈φx十2〈2φx，y＞φ．十2〈φx，ア＞eφ→一η（ン）φx〈ξ一←η（x）ξ∧φア） エ ー≒語≒，（φ7∧、φκr2〈φκ，ノ〉φ）・㍍；・〈・ ＋m三、（itOi）・∧・＋nt・鵬 wh。，e‥デ＋m−1、ndアi、 th。1．1。， curv。t鵬。fπm． m十1 ロ Let Mπbe an invariant subm岨ifold of」lfm． Then Mπwith mduced structure t斑sors， which wi皿be denOted by the same letters（φ，ξ，η，〈，〉）as」匹『m， is also a sasakian manifbld and m血血nal m Mm． The cova亘ant differentiation i1」Mm（resp．ハ4n）will be denoted by ▽（resp．▽）． Then the Gauss−Weingarten formUlas are given by▽xγ＝▽xy＋B（x， y），・． ・
・ Vxハ『＝−AN（X）十1）xN， X，】7∈宮（Mn），ハr∈宮⊥（Mn）， where〈B（瓦y），、∼「〉＝〈AN（X），17＞and 1）is the llormal connection． The Gauss equation is given by （2．2） 〈コR（x，y）Z，研〉＝〈R（X， y）Z， va＞一〈β（X，▽）， B（］ζZ）〉 十〈B（Y，▽），β（x，z）〉， x， Y， z，▽∈琢（Mカ）， where R is the Riemamian curva加re tensor of Mn． SmC曾Mちis t晒mal i11．Mm， we have．ΣB（ei， ei）＝O for a frame el，．．り．en， in Tp（ハ4n）． If B is identica皿y zero， Mn is called totany geodi ic submanifold． In the fbUowing， we d・n・t6 by・，．5中dρth・・calar．・ur・atUre， th・N・Ci tCn…aPd．thg Rjcci．gP・・at…fMn resp㏄tively工et y1，．．．，v匁 be a ftiiine of T右（Mn）． Hereafter we write、Aa in’ stead of．Av・ to simplify the presentation・ ・ ’、『 ・． ’．． ’ ．㍉ ’ 、 S血nons【7］have de6ned the fb皿owhlg syn皿etric》positive semi−de丘nite operators； 声 P ・ ・ 一 ∠4＝・t∠1・ril， 4＝＝ Σ adA．eadAa． a＝1 ・．ve put the sy血鵬tric positive semi−definite operator A＊by the fb皿owing；「 ’・ ． ＼ ． P ． ’ Σ（Aa）2 、4＊＝ の＝1 which was defined by Kon囲． Then we have TrA＊＝1レ4112 and 2Tr（A＊）2＝〈4・．4，の Where lレ引l denotes the 16ngth of the second fundamental form∠A． For an血va1迦t subma通fold of a Sasakian m画fold， the second fundamental form A has the負）皿owing Properties【2］；、 ． ． ． φノ4P＝ 一∠4vφ＝＝∠1φδ， ．∠tρ（ξ）＝0． §3．Proof of TheOrems． Hereafter we use’afεame色．∴．プen for−Tp（Mn）such thate・堰￨llti＝φθ・云・孤dθ・＝
ﾟ輌meγ1∵・’・1・，v・叉歩（吻suchthat誓・・＝φv伽
Then・by・th・（Nraus・eq・・ti・n巳勾孤d・i・・nply・eql・Ul・ti・n w・・bt・in（3．1）9￡〈R（。、，物）e」，Aaのr￡￡〈R（・、，A・砺，Adei＞＋くA・z，》．
SASAKIAN IMMERSIONS Wn¶H VANISgING（工BOCHNER CURVATURE 、33
Since Mn is°f vanis血gS−B°c麺C「cu「vatgrミ tgnS9「・we have by using（2・1）《3・・）蕊、皇〈R（・鋼細〉≒三，T・eA＊ナ’4k吉芸7‖刷1・
Simi1。rily、it、f。ll。w、th。t I・：…｝1・．．∴
：㌫蕊驚蒜：（箒・ぽ三；テ7剛’．
Next， we shall calcU late Tr2A＊． By virtue of②1）and（2．2）， we；get：【3・・）働一晶、｛（n’十3）〈￠x〉』〉：T・σ一←−1in（・）・ω
一・（x）ηωTrO｝一〈・…y＞±｛（・＋瞬・斑L・吐1｝
＋・剛轟、｛＠＋1ぽ（m−i5｝一く∠r妨・
＜…）・−Z；／1；−il−ln＋＋，’）・・e一詣［（−1）｛＠＋1）π＋・功一4〃一・｝＋・（m−1）卜一1同12．
iUsing（3．4）and（3．5）， it fbllows that・T・eA・．一宗・・＠告撰・・e一撰低＋1）泥鞠一・・＋・｝『
−T・（A＊）2） ．・：一 ‘1 ・・
T・O−，‘碧）ζ＋、（±，）［（・−1）｛（n＋1）͡〔・｝＋・（m−1）］◎
＋（tZ！＋3）1剛2． ・・「 2（n十1） ・ …F・・m・h・・eeq…i・…．w・・h・Y・∴tt． ．91 ＿1、tt ．．
・（・・6）．T・eA・一鵠・・eA・一舞蓋1皐ll；）．，、、・：−． ，
＋、（ ・1凶i2’n十1）（n十3）［（・＋3）｛（・＋1）』−4・i．＋5−・m＋翌．2篇芸1縣1…）＋誓；血（A・）2・
’Therefbre（3．3）’a亘d（3．6）imply『‘⑬の、ξ場〈R（』͡〉一一。旱，T・eA＊＋（埠1賠、）
＋（ 411All4n十IXn十3）一（辻，）・・（A・）・（3〃2−11）
llAll2．
十
（n十1）（n十3）
℃onsequently， it holds丘om（3．1），（3．2）and（3．7）that ．㈹ ＠＋顎i≒3）＋〈 ロA・A，A〉一。睾3忽・A・・A＞・
On the other hand， it is well known the following inequalities［2］；34 T．．IKA．WA ．÷11A“・≦碗・カ≦÷llAll・ ’“…11凶1・≦銅，A＞≦［1・11・・ Therefore（3．8）beco血bS ω≒樵，）＋SilAll・≦ぴ：，）⑱・A・A＞≦ 丘om which we obtain 4 11Ai14，
