高温におけるコンクリートの応力-ひずみ関係の定式化(梗概)

NII-Electronic Library Service

'

[nt

"1

.

_Journal

ef

Structvral

and

Censtructien

Engineering

H4kza\ftasxxXas"WthE

uDc:6i4.s4:6gl.32

,

(TransactionsofAIJ)No.384,,February,

lgss

'

rg

3s4

g･Hea

63

¢

2A

'

SIMPLE

FORMULATION

FOR

STRESS-STRAIN

RELATIONOFCONCRETEAT

'

'

･

/

'

'

ELEVATED

TEMPERATURE･

t

'

･

byFUKUJIRO

FURUMURA*,

CHANG

HEE

OH**,

'

TAKEO

AVE'*",

and

WHA

JUNG

KIM"",

Members

of

'

.

.

A.LJ.

'

t

t

1.

Introduction

'

The

mechanical

_propgrties

of

concrete

at elevated

_temperature

has

been

needed

in

connection

with

the

develbpment

of

_prestresSed

concrete

_pressure

vessels

f6r

nuclear

_power

blants

and with

the

research on

the

behavior

'

of

reinforced

concrete

members

under

fire

condition.

'

'

The

success of analyzing

the

behavior

of concrete structures at elevated

temperature

_gr6atly

depends

on

how

accurately certain mechanical

_properties,

especially

the

stress-strain curve, creep and

thermal

exp'ansion

can

be

determined

inawide

temperature

range.

_.

''

i

Analytical

expression

for

stress-strain curve

is

very

important,

because

it

provides

asignificant

information

of

the

internal

stress

against

the

deformtition

ofaconcrete

structure.

･'

'

'

'

In

order

to

carry out

the

ultimate

flexure

analysis of reinforced concrete members and others,

the

experimental' and

'

mathematical

expressions

for'the

relationship

between

stress

and

strain

for

coricrete

haVe

been

Performed

b\

many

authorsi)--i.

.

,.

'

_ttand

There

have

been

veiy

few

attempts

to

study

the

behavior

of concrete under･cyclic

loading

at elevatbd･temperature

to

aims

at

the

Eational

approach

to

the

_problem

of

incremental

deformations

of

reinfotced

concrete structures

subjected

te

variable

stress

･and

temperature

in

fire

hazards.

In

this

_paper

the

relationship

between

stress and strain of

_plain

concrete

at

ele'vated

temperatures

which

is

based

on

the

experimental

results6)

is

_ptesented.

The

simple

fprmulation

for

stress-strain

relation

of

concrete

at

elevated

temp'erature

is

needed

to

asstire

the

safety of' reinforced concrete structures against

heat

resistance and

fire

hazards.

o

, ₄₀₀

,

"Q

.-,,g'O]

Q

_o'

ft-240---

rxH

'm

re5

'o

.'-'rg

-{

fn

L-th

-:tiil;ill,lii･tl,ill,l:///ll･11.---

/･-･-pt S:Sptc.1intp C:Arm Stiovlder

<Xksit

e;SphtrtealUtllr

D:TicRina

'7eo

K:MLve"LlePlute

:m

40

-iEll

e

E:PLpeG:LoadCc:1 1:VpperCrosshEoa

Fig.1

F;FurnsctIS :Lowtr.Crosshtad

Details

ef

the

loadlng

1,:FSItdet"te

MiDLtlventLul

'Cruusi":-tr'

N:AuxilLHry Plste assembly and extensomete.

'

* ** *"##

Prof.

of

Tokyo

Institute

of

TechnoLogy,

'Dr.

Sci.

Por[

of

Han

Yang

Univ.

(KOREA'),

Dr,

Sci.

in

Assoeiate

Prof.

_pf

Tekyo

Institute

of

Tech,

Dr.

S

Graduate

_Student,

M.

Sci.

in

Eng.,

(Manusc[ipt

Tecetved

Murch

25, lg8T)

in

Eng.Eng.ci.

in

Eng.

-1-Architectural Institute of Japan

ArchitecturalInstitute of Japan

2,

Test

program

The

tests

measuring

stress-strain

curves

were

carried

out

on

a

universal

testing

machine

<]50

ton)

equipped with

an

electric

furnace

of

3

_partial

heaters.

The

details

of

the

loading

assembly and extensometer

is

shown

in

Fig,

1.

As

a

_general

rttle,

temperature

was

increased

at

the

rate of about

10Clminute,

To

obtain an even

distribution

of

temperature

in

aspecimen and

_get

rid of

thermal

expansion and shrinkage,

test

specimens were

kept

for

1-1.

5

hours

at each

test

tempeTature.

The

detail

of

test

procedures

is

described

in

Ref.(6).

And

additional

tests

has

been

_performed

to

obtain

thermaL

expansion,

weight

losses

at

various

temperatures

and stTess-strain

loops

during

unJoading and reloading.

Test

specimens

were:

A1

series of

concrete

specimens

(Usual

Strength

Cencrete)

:

5

_¢

×

10

cm

cylinders,

age

1

_year,

Portlafid

cement,

Tama

River

sand and

_gravel,

1

cm maximum size, cement-sand-gravel ratio

1

:

2.8

:

2.9,

water-cement ratio

70

%,

slump

15cm,

cornperssive strength

238kglcrne,

rnodulus

of

etasticity

(E,i,)

25.2

×

!O`kglcm2,

A2

series

of

concrete

specimens(High

Strength

Concrete)

:

5

_eXIO

cm

cylinders, age

3-4

months,

Portland

cement,

Tama

River

sand ancl

_gravel,

1

cm maximum size, cernent-sand-gravel ratio

l

:

1.9

:

2.0,

water-cement

ratio

₄₅

%,

slump

5.9cm,

compressive strength

457kglcm2,

modulus of elasticity

(E,/,)

29.5

×

10`

kglcm:.

Additional

test

specirnens were

:

A3

series of concrete specimens

:

age

₁₀

_years,

Portland

cement,

Tama

River

$and and

_gravel,

₁

cm maxirhum

size,

cement-sand-gravel

ratio

1:2.8:2.9,

water-cernent ratio

65

%,

slump

15cm,

compressive strength of

235kglcm2,

modulus of elasticity

(E,ls>

20.lxlO`kglcm2.

3.

Shape

ot

stress-strain

curve

The

instantaneous

axial

deformation

of a specimen under cyckic

loading

can

be

described

conveniently

by

a stress-straln curve.

A

generalized

diagram

of

stress-strain relation

for

concrete

under

cyclic

loadings

is

shown

in

Fig.2,

where a,

B

and

₇

represent L`envelope

curve", "unloading curve" _stn

and

"reloading

curve",

respectively.

For

analytical

predictions

of

the

behavior

of reinforced concrete structures under

loading

at elevated

temperatures,

three

curves are needed

to

forrn

an

analytical

expression.

The

empirical

formulae

of usuat

stress-strain

curves are mostly expressed with

the

exponential

forms

as

the

functions

of maximum stress, strain at maximum stress ancl

initial

tangent

medulus.

Therefore,

these

factors

must

be

determined

as

the

function

of

temperature

for

envelope

curves at various

temperatures,

From

ex-perimental

results shown

in

Figs.3

and

4,

the

rela--,)

an

sentm

o

an

g-sut

tco o monotonousleadingtL

ttt

t-u-t

.tt..ttI..

cyclicloadingr2S=i/ e e.1

Fig3-1

e,2 o.s a.a

STR-IN

C

:

l

Experimental

stress-strain

O.5o.s

STRAINt1J

Fig.2

GeneTalized

stress-strain curyes

for

concrete. m

-ng)

am

i:.1oo

ooo,tO,2

curves of usual strength concrete

(Al)

a,s o.4 o.s

STRAINCX)

at canstant temperature,

a,E

-2-NII-Electronic Library Service

tionships

between

each

factor

and

temperature

are shown

in

Figs.5,6

and

7.

Accordingly,

the

factors

can

'

expressed as

follows:

'

for

Al

series;

a(T)maxloRT==2.

04

×

10su"

T"-2,

56

×

10-'

T'S+7.

35

×

10"`

T"-4.

53

×

le-4

T'+1･････t･･････-･････-････････(

1

)

'

E(T)ma.IE,,!3.

99

×

10'fi

T't+2,

30

×

10-S

T'+1･････････--･･･-･･･････-･･･････････････････････････t･･･.,...(

2)

E(T>v,IE..=::

-6.

79

×

10'"

T'S+s.

27

×

10L6

T'i-3.

ssxloi3

T'+1

････････････-･･･-･･･-･･････････-････････････-･(

3

)

for

A2

serise

_;

. su m

}

an

gethIM

oan

lb

_amfzavth 1co o

g-geutIM

oan oo.tO,2O.3o.iaso,s oO.1O.1e.1tr.4e.so.s oo.lo.2o.sO,4o.so.s

,x.

_zmx

$zaico

o

{S

am

ing

o e osu

Nuhm!mNtsIM

e e.1P,lO.2o,lo.sO.6 e.1O.1o,so.4o.fiO.6 li/!ll

.---500

℃ i:' //1//'t-t1

I'

-...

:f'!:

omoo.t o.!D,ee,io.s o,soJ o,e

be

,)vgeta

_m 1co ooo.t

Fig.

3-2

o.#

Experimentat

o,s e.e STRAtN t,X] stress-straln 1t.2

,h

_an:8wzaIM Dea.1

curves ef usual strength concrete

tr.l e.s o,e t

STR-INC1}

(Al)

at constant temperature.

12

-3-Architectural Institute of Japan

ArchitecturalInstitute ofJapan em anlh m:8 anvzaantmosu

-o'h2

tu;zza an tm p

Am,>xMvaza

m 1co ;

-e,･}

ansts m 1co 2s ℃ i

l

/

/'

"-tttt

i

o O.1 O.2 o,s O.4

t-ttttoo

tt-t--trr-'tt

℃

t-rr

'

oD.tO.2o,ee.4o.sq.s 200t

ttt

u

o o opm

o.t n.2 o.s o,4

-m,>mg:

an 1co o o.s02 O.3or4ors 600 ℃

tt.ttt.

l

".

E

l a

Fig.4

O.3o.s O.t 12 STRA[N(t] 1.5

lm)

ge

anthtm o

-m,bx

zPmvm rm IM o

nm,)nivta

fin o

-mtsbxMmwts

In IM e 1J TOV

Ltmtttt

..t

'

m

-m,)m

e.

IM o

O O.1 O.2 O.3e.4c.so,s o.1 o.e

o e,t O.2 D.S e.l

300 ℃

-ttt

'

ttt'

't.

'

.t

'tt

mttt

a o.tO.2o.]n.4o.s !seovgP f.l

tttrt.

_'::'''tT

'

/

-'-/

_/'

/ / /'

-/

'

/

'

ee.tO.4g.En.sdt.2 7eo ℃

'

trtTtt'

o v.3

Experimental

st[ess-strain curves ef

high

strength concTete

O.E

(A2)

at o.sSTR-[N[:: censtant 1.l temperature. t.5

4

NII-Electronic Library Service

where 1.2 1

:

e.ee : o.s Epu o,# O.2 o 6 s -4st:

:3

Epv z ' D 1.2 t o.e-ptNQ O.SFas O.4 O.2 o a{

7')max/akT=3.

65

×

10"i

T"-5.

69

×

10-S

T"+2.

72

×

10'5

Tf!-4,

79

×

10-'

T'+'1･･････････"･････････-････--･(

4

E(T)maxleRT=3.

75

×

10-fi

T"+5.

05

×

10-'

T'+1'''-''H''''"'''''･･-･･･-･･･--･････

E(

T)v31EsT==

-6.

41

×

10-'

T'3+Z

28xlo-G

T'2-3.

24

×

lo'i

T'+1

･･････････

T=Temperature

(Ts7ooeC>

T'=T-Room

Temperature

(2sOC)

a(T}max=Maximum

stress

at

each

temperature

(kglcm2)

'

alir=Maximum

stress

at

room

temperature

(kglcmZ)

e{T)...=Strain at maximum stress

for

each

temperature

<%)

'

eRr=Strain at maximum stress

for

room

temperature

(%)

E(T)iis=Secant

modulus of elasticity

at

each

ternperature

E(T)RT=Secant

modulus

ef

elasticity

(E,x3)

at room

temperature

eoo 1e1

i

:

'1LAlserles1-.

i'

'

P'

'

olmanst) m an an mo TEMPERATVREC ℃)

･Fig,5

Variation

of an t.1 t -.o.e.ec

g

o.6i O.4 e.z D

ttttt"t

-tt

-t･:---･---(5

･---･--･-･--･-(6

'

)))

e

A2series'

.

e ooee

'

o maxlmurn stress at vanous

Alseries

'

o oIMan/ e

Alseries

:

'

'

"1co

Fig.7

4 3Fpt:

:2

Epv1 msu a an TEMPERATURE(X:]

temperature.

am

4n

em aD 1(n orn na _{tm･ xn stp an sn}

_am

TEMpERATVRE(V TEMPER4TURE( ℃}

'

Fig.

6

Variation

of strain at ma)cimum stress

in

various temperature.

12

am mo m Hn orn 7I" vn TEMPERATVRE( ℃

)

VaTiation

of secant modulus of elasticity

t D.ezae:. o.spasn.4 02 D man

'

'

e

A2series

e-. mo

r1/A2series

t.

'

11'

I

'

/1'

r

:'

eIM

at

thiTd

o'f maximum stress

sc M SD em TEMPERATVRECt)

ln varlous temperature. m

-5-Architectural Institute of Japan

ArchitecturalInstitute of Japan

The

maximum stress, strain at maximum stress and secant modulus of elasticity at ene

third

of maximum stress varies with

increasing

temperature,

The

maximum stresses are

decreased

nearby at

100"C

and again

incfeased

nearby at

200eC.

The

maximum stfesses at

the

temperature

range

from

ZOO

to

400"C

vary not so much,

but

after

that

decrease

rapidly

_to

_70o"C.

It

is

understood

that

these

_phenomena

are cansed mainly

by

the

evaporation of

free

and chemical water, variations of cement

hydrates

and expansion

due

to

crystal change of

SiO,

to

be

almost aggregate component6).

The

test

results as

for

the

weight

loss

and

thermal

expansion

of

concrete, abtained

from

the

other

concrete

specirnens consisting of

the

same materia],s explain

_partially

these

_phenomena

{See

Figs.8

and

9).

Namely,

variation of weight

loss

of concrete at

the

temperature

range

from

room

temperature

to

10eOC

and

form

400

to

7000C

and

thermal

expansion of

concrete

from

400

to

_6eOeC,

are

remarkably

large

in

comparison

with

ether

temperature

range.

The

strains

at

maximum

stresses

are

increased

with ascending

temperatutes.

The

moduli

ofelasticity

are

decreased

with ascending

temperatures

and show remarkable reductions at

the

temperatuie

iange

f[om

room

temeratu[e

to

loooc.

The

ttnloading curves show

the

shapes of

_quadratic

curve.

The

shapes of reloading curves are variable

in

accordance with

the

magnitude

of

_plastic

strain.

The

slopes of

these

curves

are

also

varible

a

¢cording

to

temperature

and

the

magnitude

of strains

at

the

start

_points

of

unloading

curves,

4.

Analytical

expression

:z:!l

t 1 2 o e 6 , 1 o e:g:sv1:2.S:IS wtc c 6s $ 1tiYesrs

-:El:ib

Fig.8

o m o

Weight

loss

of concrete

TE)P.(A3)

co

M IM txlO 'E 1 at vartous

temperature,Fig.9

o

Thermalvarlous

geq

t5 -･ -.fi 1.5

gsq

-a.s

l,51.5

a-eg

o1 1.S "':,s ot 5S oAletET 1.5 1.S

:Rc-･

".5 O 1.S

ge"

-,5 -,s at,5

asg

1 L5 -'X.5 O t 1,S NogE'

Retation

of

Alog

a and

Aleg

E

(Al

series}.

gs(

1.S {.s

_-o,s

at.5

:s(

-o,5

t.s a1.

as4

1 l.S 1 1.5 e,s

gsrl

-.+s.za oo,n an

Fig.10

expansion

temperature.

o.n e.za b.s

a!n,m"

£ ti -･li o,rs

xso.=(

-,51.S t.s o ! 1,S ntogE ln varlous

temperature

"

am

TE)PERATIIE

t

tC

₎

of concrete

(A3)

and

a.ti o,rs

aHe

o.esd t'eso.n +.as O.T5

SiO,

at

gev.za<

-･= :oe ℃

/-.eso.rso,esn.fi

a-E

o,asa -,es soo

"c

/-D.n

-,th -.Ee.rs

2e

e.!sa -,6-. o.n

a:-o.ua o,n o,n AL"gERelation o

(A2

series

-o,eso,n

+.th o,ts `o

7

Fig.11

tie.tiiLogE

gE

o.nq n.n -'n-,es o,thaeo tc

/

D.th700 ℃

/D.nAlo:E

o,fi o.rs o.m

f

A

log

a and

A

log

e

in

various

temperature

)･

-6

NII-Electronic Library Service

'

'

The

relationshlp

between

stress a"d steain of coficrete under vaTious constant

temperature

can

be

expressed mathematically

by

dividing

the

stress-strain curve

into

three

_parts.

'

4,1

Envelope

curve

'

Figs.

10

and

11

show

the

relationship

between

A

log

a and

A

log

E of some examples.

The

A

log

a and

A

log

sare explained

in

Fig.

12,

It

appears

that

there

is

approximately a

linear

relation$hip.

On

the

basis

of

this

relationship,

it

'

can

be

expressed as

follows:

'

a=aEbexp(cE)･--･･････････････-･･･-･･････--･････:-･･･････--･･･-････-･･-･･･-･･･-･･･--･･･-･･･-･･･････-････-･-･--･･･-･･-･･-･(7)

Where,

if

we

let

a>O

and E20,

the

equation

(

7

)

_passes

through

the

origin

in

the

case

b>O

and

the.

tangent

slope

of zero

_point

{

1ts)

changes

by

the

magnitude of

_parameter

"b".

Hereupon,

parameter

"b"

must

take

"1",

in

order

that

the

initial

tangen,t

modulus

of

elasticity

may

have

an

arbitrary value,

This

is

as

follows,:

k=a

at

b-1･---･･･-･･-･-･---･---･-･-i･-･･-･t--･---(8)'

Besides,

a

parameter

"b"

and "c" must

be

the

opposite sign,

providecl

that

E(T)ma. must

have

_positive

value.

Therefore

_'

'

'

E(T)max='-11c at c<O･･･････････････-･･････････････････--･--･･･････-･････:･--･････--･･･-･･･-･･･-･･･-････-･･-･･･････････<9)

a(T).ax=ae(T)ma.exp(-1)･･-････････-･･･-･･･････-･･･-･････････-･････････････-･････････････････････-････････････････-･･-････(10)

a=a(T)ma.fe(T)ma.Xexp(1)'･･t･''''･････････''･'･･-･････････-･･････''･･････-･･････････--･･･････-:･･-･･･････--････････-･･･-･{11)

Therefore

the

relationship

between

stress and strain of envelope curve can

be

expressed as

follows

:

mmopk"m g2 al ,

1

il

_--u

il Li ld

lii

Ltd

-

IId 1111 lll

lill

:Llt

iil:

L e l 1 ₁

1/

l

4

:

d l L l 1 ₁

:

:

Alogalulogg2-logvl

i l

:

:

AlogEl;]ogE2-logEl

d _l b t

l

e

I

_I

El E2･

Strain

sarneinterv"1

Fig.12

Calculating

method of

Aloga

and

Aloge

from

test

results,

:sum'

-mmo

..

at"

Il/IP.7/z

'i℃

l.`ff"ig,/j]I],

lll.iem!/2;T/

'OO=

D O

o

b D.2 o.1 o.e D e.2 o.i o.6 n O,2 O.4 e.S

STRAIN[fi) STRAIpt("] STRMptC-]

_: ttmo=.

..

ato

-=mo

ieo℃ i- 3eo

"c

;･. 400℃

'/li･--iii.<.2:/i/

lrmg///

i`-v/..

'

ee

o,2 o.4 o,e eo o.1 o,- e.F eo D.2 o.l o.t

sTRAINCfiJ stRA:N[g} STRAIN[-)

:1mn

-lun

-looo

=.

S.

_6oo ℃

:'.

ToOT

/

ll.s"n

!Zams..4/!

llLswfff

Vo

-o

o o,z o.4 o,s a:e o D.4 o.e ln v o,4 o.s ln

STR"IN{") STnA]N(S} STfiklS(N)

Fig.

₁₃

Relation

of strain and

(a`-E,{a))1(e-E,{E))

in

vaTious

temperature

(Al

series).

TaPte1

G,

H,

l

and

J

Constant.

%

a2' al ao

G

'

-

-9.11xlo-6O.786

AlH

-

-

-7.19xlO

.4

1.680

.serlesI

_-1.49xlO

-5

-2

2.11xlO

11.3

32.96xlO

J6.o3xlo'8

8.92xlO

-5

O.0461

9.7S

G

-

'

-6.68xlO

.4

1.112

A2H

-

.

-1.26xlO

-3

2.10

'serlesI

_.3.43xlO

.5

-2

4.21xlO

18.24.13xlo3

J

-

-1.07xlO

-5

_O.O12

_5.53

..

,A

A

-cu

-

t.

orm

-SM

-

-v. -. v.

/

il.i.Ii

f""':"'"e'"pt

1

ti . D'

i/..Icl//

70 ℃

i/..::

,yc];=

O sTRft-;N(-) n-1 D sOT･!RArliS･i4%)"･C " sTROillN(-')aJ

-

-

-.

Arm

nrm

-t

rm

tt･･

_t

:-･

_/

:ny

_/

･

.gnm ';an.z.pt7f"gmm.V//

ijioco

ij-imm

ee'b4:oo ℃

tiian

3oo ℃

b b b

v

VO

L.O

O D.1 O,1 O.1 O O.1 O,2 O.1 O O,1 O.? O.1 O.4

STRAIN(5} STRA]h'C-) STRAIN{g)

-

-

---IMP

_ur

Aam

_ul

Alam

_w

v

_-

-

m

--

--//,am

:"

,.

;/

..

OfiS

sg

`g400℃

i'e

it-

pt:be

iS.f

_el

g

g

6:c.

V

o o" e,2 Q.sY o o2' o.a D,E o.H- Oo o.1 e,e i,2

STRATNCS) STRA[NCS) STRAIN{%)

Fig.

14

Relation

of stfain and

(a-E,(a))!(s-Es{E)}

in

various

temperature

(AZ

series).

-･7

Architectural Institute of Japan

ArchitecturalInstitute of Japan

a(T)la(T)ma.=exp(1-e(T)le(T)mx)XECT)!e(T)rte.'H''''H''''''''''''''''''''''''''H'''''''''''''''''''''"'''H'''(12) where a<T)=Stress

(kglcrn2)

e(T)==Strain

(%)

4,2

Unloading

curve

Some

examples

of

the

relationship

between

the

strains,

E,

on

the

unloading

curve

and

the

secant

s]opes

aie

shown

in

Figs.

13

and

14.

The

secant

slops

(a-E,{o))1(e-E,(e)}

are

calculated

from

the

E,

_point

(See

Figl2)

and

each

point

on

the

unloacling

curve.

Where,

E,(a)

(=

O)

and

E,(E)

are

the

stress

and

strain

of

E,

point,

respectively.

It

appears

that

there

is

approximately

a

linear

relationship.

On

the

basis

of

this

relationship,

the

unloading

curve

can

be

expressed as

follows:

a=de'+ee+f･-･-･･･-''････････-･･-･･-･･-･･-･･･-･･･-･･････････-････-･･･t･････････････････-･･-･･････････-･･･t････-･･(13)

where each

_parameter

d,

e

and

f

is

derived

from

experimental results according

to

the

retation

between

the

stress-strains of

E,,

E3

_peints

and

the

tangent

slop of unloading curve at

E,

point,

tan

e,

shown

in

Fig,2.

The

strain

and

the

tangent

slope

(tan

_e)

of

E,

_peint

must

be

related

with

the

function

of

the

strain

ef

_E,

_point,

in

order

to

fix

the

unloading curve.

They

can

be

expressed as

follows:

E3{E)=G'Ei(e)"''-'･･･'''･･････'''--･･･"'･-･･-･･t･･･････････-･･･････-･･t･･･････-･･･--･--･･-･--ny･-･･-･･････････-･･--･--(14)

Y}=I･exp(J･E,(E))･･･････-･･･････-･･-････-･-･･････････t･･････････････-･･････････････t･･-･･･････-･-･･････--･･-･･-････-･--･･(15>

where

G,

H,

l

and

J

are

derived

from

experimental results

by

the

use of

leastsquares

regression and regression equations

are

estimated

as

polynomial

expressions

as

for

temperature.

G,H,I

and

J==Za,T`--････-･-･･･-･---t-･----･･･-･--･---･･--･･---･･･-･---･-･---･(16)

T=Temperature

(OC)

The

coefficients

(aD

are

shown

in

Table1,

E3(E)=Strain

of

_E,

_point

(%)

E,(e)=Strain

of start

_point

(E,)

of unloading curve

(%)

Yl=Tangent

slepe

(tan

e,)

of

E,

_point

(kglcmZ)

4,3

Reloading

curve

The

reloading curves are assumed

to

be

linear

equations

_passing

through

the

_points

E,

and

E,

shown

in

Fig.2.

a=ge+h''"'H""""'""H""""'-"'"-""v"H"""''""'""'H-"'H"'"H"""H""'""H-"-''"･'-"""(17)

Therefore,

the

stress

and

strain

of

E!

_point

must

be

known

for

deciding

a

straight

line.

The

strain of

E2

_point

is

derived

from

expe[imental results as

the

functien

of strain of

E,

_point.

E,{E)=K･E,CE)-･･--･････--･･-･････････-････--･-･･･-････････--･･-･･--･･････-･･･-･･-･･････-･････--･-･l-･･-･･･-･･････(18)

where

K=2.

81

×

10J5

T+O,

969

for

Al

series

K=5.

63

×

10-5

T+O.

950

for

A2

series

Ei(e)=Strain

of

E,

_point

(%)

The

stress of

E2

_point

can

be

obtained

by

the

equation

of

unloading

curve

at

the

strain of

E,

_point,

5.

Stress-str4in

loop

during

unl6ading

and

relading

m

i

an

sm

1ca

o

a

e.t

o,2

e.e

STRAIN

t

Fig.

15

Experimental

stress-strain

-8

O,4x)under O,5o.c cyclic

loading.

-HfiRNxvuammatsua

1

E3

sTRAng(

es)

NII-Electronic Library Service

The

stress-strain relationship

of

concrete

under

high

temperature

is

needed

to

predict

the

load

carring

capacity

and

the

deformation

of

members

of

reinforced concrete structures subjected

to

high

temperature.

The

investigation

of stress-strain

loop

during

ttnloading and rcloading

is

necessary

for

arational approach

_tb

_the

_problem

fo

inclemental

elasto-plastic

deformation

of reipforced concrete structures subjected

to

arbitray

loading

and variable

temperature

such

as

fife

condition.

And

the

shift rule of stress-strain relationship undei arbitrary varying stress

is

necessary

for

the

iterative

calculation method of convergenee

in

elasto-plastic analysis.

The

experimental Tesult of

_A3

concrete under

the

conditions cyclic

loading

within one

loop

at room

temperature

is

sho)vn

in

Fig.15.

Ori

the

conditions

of

cyclic

loadings

within one

loop,

the

active movement of stress-strain

for

unloading.and reloading arises

inside

this

loop(Fig,

15),

And

reload-ing

cruves within one

loop

converge near

the

common

_.'"

.E

point

(E,

point).

_･

R.

x

On

the

basis

of

these

_phenomena,

the

felationships

of

_zaV

ste.ss-strain

during

unloading and reloading at constant

e

m

temperature

are assumed as

foilows;

In

the

case of

Fig.

16,

if

stress

increases

from

Ul

_point

of unloading curve,

the

stress-strain relationship

is

shifted on

the

straight

Line

_passing

through

Ul

and

E,

'points.

Where,

E,

point

is

calculated

by

the

use

_p,f

equation

(19>

Csee,Fig.16).

m

''m

Fig.17

Shift

of stress-strain

loop

during

reloading.

(5-2

1"

m

}ps,Jm

il1]"vapt

mO

,-g..!

,N -1-1}.pe ,. 1-Fri-t,U#rieH/al....Age,1."-.-. 1'11"'s..

t

t

-x',,'

f-v,,.,1,,,,lt

,.',:`'1･i2"'r"l!

_'t'

_.rv

,,,,,,,,/'1

''rfJ'/t" e Le -,i u L- tl "

.1]ng-1cr

mi,.Iza

/m

-o1,ms-"a m1}nlot la

T-F/-tmNtts+e-eld--di"in't.r.L..t..tttth.L.t.'

'1't/tltttt''x'ttt!tttt.

---.

,,･:,.I･r,,r`,t'z',tf,,'.t

xtt.t..t...-/E ee,/e,lo.]e.J.:" -ElEs. -b R1 {1:{2=al:a2 pt t2=if2X.EllCl b E3

Ei"

E2 EE4

,STRAIN(%)

-.m}el-=-q ms"l-E. t

-Sd}neza p

m

mi-T'-e.

/m

1}mi'u /"

't-.

m=-bim-....

J-ded

.V"'

1

'ttt

-e _{Lt za4 eE L- 1 II} SmaEnyt-1 matNCib

Fig.18

Experimental

ancl calcuiated resuLts of stress-strain

curves

in

various

temperature

(Al

series).

m1?mge=m

rp

}e

e"

/-n{e)me.

tm

fiS.]ns=n

v

m{o] tte.

,/"n1}ne-

stMISt1b nv1rii:/

Fig,19

Experirnental

ancl calculated results of stie$s-$tTain

curves

in

various

temperature

_(A2

series).

Architectural Institute of Japan

ArchitecturalInstitute ofJapan where

et:E!-ai:ai-a!

1

Et==(ai-a})la,XE,

i

'H''--"''''""""""H"H'HH''HH'HHHMH-""''"'M-H"'''H"'H""---･-･･---････-(lg)

Ei=E,<e)-Ei(e)

Et#Es{E)-E,{e)

'

ai,ar=Stresses of

_Ei

and

_Vl

_points,

respectively

(kglcm2)

Ei(e),E,(E),

Es(e)=Strains

of

E,,

E,

and

E,

_points,

respectively

In

the

case of

Fig,

17,

if

stre$s

decreases

from

R,

point

of reloading

line,

the

stress-strain relationship

is

shifted on

the

_quadratic

curve

determined

from

the

stress-strains

of

R,,

E,

points

and

the

tangent

slope of

E,

_point.

Where,

the

tangent

slope

of

E,

_point

is

calculated using

the

equation

(15)

in

which

_E,(e)

must

be

exchanged with

the

strain of

R,

point

and

E,

_point

is

calculated

by

the

rate

of

relationship

between

stresses of

R,

and

E,

_points

versus a

differenee

of

strams ef

E,

and

E;

_points,

as

follows

(See

Fig.17),

El:et=al:a:1

E!=ozlaiXEi

i

'''''''-''-'''''''''''''''-'''-''''''-'''''''''''H''H''H'''''''''''''"''''''''･-･････････-･･-･･････････--･-(20)

an

k..:-:1oo

o an

I.--zauza'1oo

o

am

o

D.1O,lo,3 e.4

STRA[N

C

X]O.5o.c o O,1O,2O.3 O,4

sTFtArN'c

x

}.D,5O,6

an

A

rm}.eanx

movzavta

or) 1co o an

-mke

an:gets

nm

e,1

200

℃

too

e e 02 o.s a.4

STRAIN

C

X

)o.fiO.6

-xxm

mo:mgeta1ca

eo

Fig.

20

o e,1D.1o,s o,4

STRAIN{X1eso,e

o.t

Calculated

02

results

O.3

O.4

STM[NCr)

of stress-strain

in

p.s

2000C

(Al).

O.6

A

anighx amvzawza ano 1oo o 200 ℃ o O.1O.2

Fig.21

Calculated

results

O.3 O,4

STRAINtX)

ef $tress-strain

in

O.5O.6

200"C

_(A2),

-10-NII-Electronic Library Service

where e,=El(e)-E;(e)

e2=E,(e)-Es{E)

ai,a2==Stresses of

Es

and

R,

_points,

respectively

(kglcm2)

Es(E),EZ(e),E4{E)=Strains

of

El,

E:

and

E,

points,

res'pectively

6.

Calculation

results

The

calculated results are shown

in

Figs.

18

and

19

comparing with

the

experimental results of some exarnples.

This

calculated stress-strain envelope, unloading

and

reloading

curves

are

in

_good

agreement

with

_the

experimental

results,

The

calculated Tesults about stress-strain

loops

during

unloading and reioading are shown

in

Figg.

20

and

21

for

reference.

7.

Conclusions

Based

on

the

test

results and

the

mathematica! expression

_presented

on

this

_paper,

the

following

conclusion$

can

be

made;

'

･

The

rnathematical expression of

the

relationship

between

stress

and

strain

under cyclic

loadings

at elevated

temperature

has

been

developed

by

using

the

experimental

results,

Calculated

results using

this

expression

are

in

good

agreement

with

the

experimental results,

The

comparatively

_good

correlation

between

_predicted

and experimental stress･strain curves

indicates

the

adequacy of

the

expression

of

usual

and

high

strength concrete,

However,

further

experimental and analytical works are needed

before

a more

general

mathematical expression can

be

formulated:

Reterences'

1}

･

Smith,

G.

M.

and

Young,

L.E.

,

"UltiTrtate

_Flexural

_Analysis

_Based

en

Stress-Strain

Curves

of

Cylinders",

ACI

Jonrnal

Proceeding

Vol.53,

No.6,

Dec.

1956,

pp.597N609,

'

2)

Desayi.

P.

and

Krishnan,

S.

_, "Equation

for

the

Stress-Strain

Curve

of

Conc[ete",

ACI

Jou[nal,

Pioceedings

Vol,

61,

No.

3,

Mar.

I964,

pp.345-350.

-3)

Sinha,

B.

P.,

Gerstle,

K.

H.

and

Tulin,

L.

G.

,

"Stress･Srtain

_Relations

_forConcrete

_Under

_{CycLicLoading",}

_ACI

_Journal,

Pf6ceedings

VoL61,

Ne,2,

Fed.

1946,

pp.195N211,

･

'

4)

Popovics,

S.

, "A

Te"iew ofStress-StrainRelationships

forConcrete",

ACIJournal,

Proceedings

Vol.67,

Mar.

1970,

pp.

243

-248.

5)

Maher,

A.

and

Darw{n,

D.,

"Mortar

Constituent

of

Cencrete

in

Compressien",

"ACI

Journal.

Proceedings

Vel.79,

Mar.-Apr,

l982,

pp.100rl09.

6)

Furumura,

F.

,

"Studies

on

the

Stress-Strain

Relatlon

ln

Cornpression

of

Concrete

at

High

Temperature",

TTans,

of

",

I.

J.

,

No.l72.

173,

174,

_Jun.

Aug.

1970.

7}

Kozu,

S.

and

Saiki,'

S.,

Sci.

Rept

Toheku

Univ.

(3)2,

1925,

pp.204-208.

-11-Architectural Institute of Japan

Arohiteotural エnstitute 　of 　Japan

【

論

　

文

1

UDC ：

614

．

84

：

691

．

32

日本建築学会構造系論 文 報 告 築 第

3S4

号

・

昭和

63

年

2

月

高

温

に お け る

コ

ン

ク リ

ー

ト

の

応 カ

ー

ひ

ず

み

関

係

の

定 式化 （

梗 概

）

正 会 員 正

会 員

正 会 員 正 会 員

古

呉

安

金

村

部

　

　

＊ 纏

　

＊ 　 ＊ 　 ＊ ホ 　 ホ 　 ホ 　 ホ

郎

煕

雄

中

次

福

昌

武

和

　

1，

序

　

高 温

に おける コ ン ク

リ

ー

トの

力 学 的 特 性

は_，

原

子 カ

プ

ラ ン

ト

の

プ

レ ス

ト

コ ンク

リ

ー

ト

圧 力 容 器

の

開発

お よ

び火

災 時

の

鉄 筋

コ ン ク

リ

ー

ト

部 材

の

挙 動

に

関

する

研 究

に

関 連

して

，

必

要

に なっ て きて い る。

　 高

温

に おい て コ ン ク リ

ー

ト

構 造 物

の

_{挙 動}

を

明確

に

解 明

す る た めに は_， コ ン ク リ

ー

トのい くつ かの

基

本

的

な

力 学

的 性 質

に

関 す

る

材 料 デ

ー

タ が 必 要

で

あ

る

。

特

に

，

応 カ

ー

ひ

ず

み

関 係

， ク

リ

ー

プ

，

熱 膨

張等

を広

い温

度 範

囲

におい て

究 明

する こ

と

が

大 切

で

あ

る。 その

中

で， コ ンク リ

ー

ト

構 造 物

の

変 形

に

対 す

る

部 材 内 部 応 力

の

意 味 あ

る

情 報 を提

供

する ために は_， コ ン ク リ

ー

トの

応 カ

ー

ひ

ず

み

関

係

の

_数

学 的 な表 現 が 非 常

に

重

要

で

あ

る

。

鉄 筋

コ ン ク リ

ー

ト

部材

の

極 限 曲 げ 解 析

な

ど

に

関 連

し

，

多

くの

_研究

者

1｝

』

4｝ に よっ て_， コ ン ク リ

ー

トの

応

カ

ー

ひ

ず

み

関 係

に

_対

す る

実 験

と

数

学 的 解 析 が 行

わ れ て

来

た

。

し か し，

高

温 で の

繰

り返 し

荷

重 下

にお

け

るコ ンク

リ

ー

ト

の

挙 動 を究 明

し，

火 災 時

にお ける

変

動 応 力お よび

変 動 温 度 下

で の

鉄 筋

コ ン ク リ

ー

ト

構

造 物

の

_変

_{形 挙 動}

を 工

学 的

に

解 析

し よ

う

と

す

る

研 究

はほと ん

ど

行

わ れ ていない_。

　

本

研

究

では_， 高 温 時 にお け るコ ンク リ

ー

トの応 カ

ー

ひ

ず

み

関 係 を

，

既

往

の

実

験

結

果

6〕 か ら

数学 的

に

_表

_現

す るこ

と を

目

的 と

し た もので

あ

る

。

高 温 時

に お け るコ ンク リ

ー

トの

定 式 化

さ れ た

応 力

二ひず み

関 係

は

，

火 災 時

に お ける

鉄 筋

コ ン ク

リ

ー

ト構 造 物

の

安 全 性 を確

か

め

る た

め

に

必 要

な

も

の であ る

。

　

2

．

試 験 方 法

　

応 カ

ー

ひ

ず

み

曲 線 を測 定

す る

実 験

は，

電 気 炉 を備

え た

150ton

ユ ニ バ

ー

_サ

ル

試 験 機

で

行

わ れた

。

載 荷 装 置

とひ

ず

み

_計

の

_詳

_細

を

Fig．

1

に

示

す

。

原 則

と し て

，

温 度

は

約

1

℃

〆分

の

速 度

で

上 げ

た。

試 験 体

の

温 度 分 布

を

一

定

に し

，

熱 膨 張

お

よ

び

収 縮

を

避

け る た め に

_，

試 験 体

は

1− 1．

5

時

間

，

試 験 温 度

に

保

た れ た

。

試

験

法

の

詳

細 は

文 献

6

｝

に

述

べ _られて い るQ

　

串

東

京工

業

大 学

　

教

ff

　

＋

工博

　

＊ ＊ 韓 国 漢 陽 大 学

　

教 授

・

工

博

＃ ＊

東京

工

業

大 学

　

助 教 授

・

工 博 榊 榊 東 京工業 大 学

　

大 学 院 生

・

工 修 　 　 ｛昭 和 62 年 3 月

25

日原 稿 受理｝

　

熱

膨 張，

重

量 減

少

お よ び

除 荷

，

再 負 荷 時

の

応 カ

ー

ひず み ル

ー

プ を 求

め る た め に

追 加

試

験

を

行

っ た。

　

実 験

に

用

い ら れ たコ _{ン ク リ}

ー

_トは

，

　

A1

シ リ

ー

ズ

（

普 通 強 度

コ ン ク リ

ー

ト

）

の

場 合

，

大

き さ

5

φ×

10

　cm

_，

_{養 生}

1

_年

_，

_ポ

_トラン ド セメ ン ト

，

多摩

川

の

_{骨 材 （}

_{最 大 大}

き

さ

1cm

） 使 用

， セ メン ト

ー

砂

一

砂利

比

1

：

2

．

8

：

2．

9

_，

WIC

　

70

％

，

ス ラ ン

プ

15cm

，

強 度

238kg

／

cm2

，

　

E

，／ 325

．

2

×

104

　

kg

／

cm2 である

。

　

A2

シ リ

ー

ズ

_（

_{高強 度}

コ ン ク

リ

ー

ト）

は

大 き

さ

5

φ

×

10cm

，

養 生

3

〜

4

カ 月， ポ ト ラン ドセメ ン

ト

，

多 摩 川

の

骨 材 （

最 大 大

き さ

1cm ）使

用

，

セ メ ン ト

ー

砂

一

砂 利 比

1

：

1

．

9

：

2

．

0

_，

W

／

C

　

45

％

，

ス ラン

プ

5

．

9cm

_，

強 度

457

kg

_／

cm2 _，　

Eifs

　

29．

5

×

104

　

kg

_／

cm2 であ る。

　A3

シ リ

ー

ズ

_（

追

加試

験 用 ）

の

場 合

は

，

養 生

10

年

，

ポ ト ラン ドセメ ン ト

，

多 摩 川

の

骨 材 （

最 大 大

き さ

1cm ）

使 用

，

セメ ン ト

ー

砂

一

砂

利

比

1

：

2，

8

：

2

．

9

，

W

／

C

　

65

_％

，

ス ラ ンフ

15cm

，

強 度

235

　

kg

／

cmz

_，

　

Ei

／s　

20

．

1

×

104

　

kg

／

cmt である。

　

3．

応 カ

ー

ひ

_ず

み

曲線

の

形 状

　

繰

り返 し

荷 重

下にお け る

試

験

体

の

軸

方 向 変 形

は

，

通 常

，

応 カ

ー

ひ

ず

み

_曲線

によっ て

表

現

で き る。 コ ン ク

リ

ー

ト

の

応 カ

ー

ひ

ず

み

曲

線

は

Fig．

2

で

見

ら れ る よ うに

包

絡

，

除

荷

，

再 負 荷 曲 線

の

3

部 分

に

分

け ること がで きる

。

_高

温

時

の

，

荷

重

作

用 下

にお け る

鉄

筋

コ ン ク リ

ー

ト

構 造 物

の

挙 動

を

理

論的

に

_{予 測}

す る た めには， これ ら の

曲線

の

数 学

的

な

表

現

が 必

要

であ る

。

　 通 常

，

コ ンク リ

ー

トの

_{応 カ}

ー

ひ

ず

み

曲 線

の

実 験 式

は

，

最 大

応

力

，

最 大

応力時

の ひ

ず

み

，

初 期

こ

う配 等

の

関数

と して

，

_指

数 型で

表

さ れ るこ と が

多

い。 し たがっ て

，

いろ い ろ な温

度 下

で のコ _ン ク リ

ー

トの包

絡 曲線

を

数 学 的

に

_表

現

する ために は

，

これ らの

変 数 を温 度

の

関 数

と し て

表

さ な け れ ば な ら ない。

Fig

．

3，

4

の

実 験 結 果

か

ら

，

各

々 の

変

数 と 温

度

の

_{関 係}

を

Fig

，

5

，

6

，

7

に

示

す。 これ らの

実 験

式 を

（

1

_）

一

_（

6

_）

に示 す

。

　

最 大 応 力

，

最 大 応 力 時

の ひ

ず

み

，

最

大 応 力

の

1

／

3

で の

割 線 弾 性 係 数

は温

度

の

増 加

によっ て

変

動 す る。

最 大 応 力

は

100

°

C

_付

近で

_{減 少}

し，

200

℃

近

くで ま た

増 加

す る。

200

℃ か ら

400

℃ の温

度

に お け る

最 大 応

力 は あ ま り

変

一

₁₂

一

NII-Electronic Library Service

動

しないが

，

そ の

後

700

℃

ま で

急 激

に

減 少

する

。

こ れ らの

現 象

は

，

主

に コ ン ク

リ

ー

ト内 部

の

自 由 水

や

化 学 的 結

合 水

の

蒸 発

，

セメ

，

ン

ト水 和 物

の

変 化 や 大 抵

の

骨 材

に

含 ま

れてい る

石 英

の

結 晶 構 造

の

変 化

にょる

膨 張

に関

係

し て い る と

考

え ら れ る。

同

じ

材 料

か ら なる ほ か の コ ン ク

リ

ー

ト

試 験

体 ｛

A3

シ リ

ー

ズ

）

か ら

得

ら れ た

重

量 減 少

と

熱 膨 張

の

試 験 結

果によっ て

，

こ れ らの

_現

象

が あ る

程 度

理

解

で き る

（

Fig．

　

8

，

9 ）

。

す な わ ち， 室 温か ら

100

°

C

お よ び

400

°

C

か ら

700

℃ の温

度 範

囲 に お け る コ ンク リ

ー

トの

重 量 減 少 と

400

℃ か ら

600

℃ に お け るコ ンク リ

ー

トの

熱 膨 張

の

_変

動

は_，ほ か の温

度

範

囲に比べ_てか な り

大

きい。

　

最 大 応 力 時

のひ

ず

み は 温

度

上 昇

と

共

に

増 加

す る。

弾 性

係 数

は

温 度 上 昇

と

共

に

減

少

し

，

特

に

室

温か ら

100

℃ の

温

度

で

_著

しい

_{減 少}

を

示

してい る。

　

除 荷 曲

線

は

2

次 曲

線

の

_形

_状

を

示

し，

再 負 荷 曲 線

は

塑 性

ひ

ず

み の

大

き さに よっ て その

形 状

が

変

わる

。

また

，

これ らの

曲 線

の こ う 配は_， 温

度

や

除

荷

曲 線

の ス タ

ー

ト

位 置

の ひ

ず

み に

よ

っ て

大

き く

変 化

す る

。

　

4．

数 学 的 解 析

　

コ ン クリ

ー

トの

一

定 温 度 下

に お け る

応 カ

ー

ひずみ

関 係

を

3

部 分

に

分 け

て

表 現 す

る。

　4

．

1．

包 絡 曲

線

　

Fig．

　

10

，

11

に

A

　

log

　a と

Alog

εの

関

係 を 示 す

．

　

A

　

log

σ と △

log

ε は

Fig．

12

で

説 明

して い る。　

A

　

log

σ と

A

log

εの

関

係

が

直線 的

で あ る た め

，

コ ンク リ

ー

トの

応

カ

ー

ひ

ず

み関 係 を 次の よ うに仮 定 し た

。

　 　 　

σ＝　

_a

_εb

・

exp

_（

c

ε

｝

・

・

一 ・

………・

・

………・

（

7

）

こ こで

，

も しα＞

0，

ε≧

0

な ら

ば

，

（7 ）

式

は

b

＞

0

の

場

合

原

点

を 通 り

，

原 点

の

_{接 線}

こ う

配 （

｝ 

）

は

b

の

大

き さに よっ て

変

わ る

。

こ こ で

初 期

こ う

配

が

任 意

の

_値

を と る た め に は

b

は

1

で な け れ ば な ら ない

。

　 　 　

Y

。

＝

α atb

＝

1

…・

…・

…・

・

…………一 …・

・

一

（

8

｝

　

さ らに ε

（

T

）

ma ．が 正の

値

を

持

つ な らば

“

_b

”

_と

“

_c

”

_は

異 符 号

で な け れ ば な ら ない。

　 　 　

ε

（

T

）

max

三一

1

／

c

　

at

　

c

〈

0

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（

9

）

　 　 　

σ（

T

｝m 。 ．； αε〔

T

）

max 　exp

（

−

1

）

……一 ……・

…

（

10

＞

　 　 　

α

；

σ

（

T

＞

 

／

ε

（

T

）

max

・

exp

（

1

）

・

・

…

　

−t・

・

・

・

…

　

『

・

・

…

　（

11

＞

し た がっ て

　 　 　

σ（

T

｝

ノσ

（

T

）

max

＝

exp

（

1

一

ε

（

T

）

／

e

（

T

）

max

）

　 　 　 　

・

ε

（

T

｝

／

ε

（

T

）

max

・

・

……・

…一 ・

（

12

｝

こ こで σ

（

T

）

は

応 力

（

kg

／

cm

り

，

ε

（

T

）

は ひ

ず

み

（％ ）

，

　

T

（℃

）

は 温 度で ある

。

　

4．

2．

　

除 荷 曲線

　

除 荷 曲 線 上

の ひ

ず

み

，

ε

，

と

割 線

こ う 配 との

関 係

を

Fig

．

　

13

，

14

に

示

して い る

。

割 線 こ う 配

，

（σ

一Es

（σ｝）／

（

ε

一

E

，

（

ε

）

）

，

は

除 荷 曲 線 上

の

各

々 の デ

ー

タ

点

と

E

，

点

（

Fig．

2

）

か ら

計 算

さ れ た。 こ の

関 係 を線 形

と

見

るこ

と

によっ て

，

その

_{関 係}

式は

次

の よ うに

仮 定

で き る。

　 　　

σ

＝

d

ε2＋ eε＋

∫

・

…・

・

一 ・

一 一 …………・

…

（

13 ）

こ こ で

d ，

e

_，

　

f

は

実 験 結

果 を 用い て

，

　

Fig．1

_{に お け る}

E

，

，

Es

点

の

応 力

と ひ

ず

み お よ び

E ，

点

の 接 線 こ う 配

（

tan

の

か ら

求

める

。

　

Es

_点

の ひ

ず

み

_（

E

，

（

ε

）

）

お よ び

接

線

こ

う配 （

Yt

＝

tan

　

ei

）

は_，　

EI

点

の ひ

ず

み

（

E1

（

ε

）

）

の

関

数

と し て

以 下

の ように

関係

づ ける

。

　 　 　

E3

（

ε

）

＝

σ

・

El

（

ε

）

”

・

…

　

．

…

　

9…

　

∴・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

・

・

・

・

・

…

　（

14

）

　 　 　

Y

‘

＝1 ・

exp

（

J ・

E

，

（

ε

）

）

tt・

・

一

…

　

一

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

t・

・

・

・

・

…

　（

15

）

こ こで

，G ，

　

H ，1，

」 は

最 小

2

乗 法

に よっ て

，

多 項 式

と して

実 験 結 果

か ら

求

め る。

求

め た

多項 式

の

係 数

を

Table

1

に

示

す。

　 　　

G ．

　

H

．

land

　

J

＝

2

］

aiT

‘

一 …一 …・

………

（

16 ）

　

4

．

3

，

　 再 負 荷

曲

線

　 再 負 荷 曲 線

は

，

Fig

，

1

の

E3

点

と

E

，

点 を結

ぶ

直 線

と し て

仮

定

し

，

_次

の よ

う

に

・

_表

す

。

　 　　

σ

＝9

ε＋ん

一 ………・

………一 ・

・

……・

（

17

）

こ こで

，E

、

点

の ひず み は

，

実 験 結 果

か ら

，

以 下

の

式

を 用い て

，E

，

点

の ひ

ず

みの関

数

と して

求

め られ

，

応 力

は

求

めた ひ

ず

み を用 いて

除荷 曲 線

か ら 求 め られ る

。

　 　　

E

、

（

ε

）

＝

κ

・

E1

（

ε

）

…・

…・

………・

…・

・

………・

…

（

18

）

　 　 　

K

＝

2

．

81

×

10

−

sT 十 〇

．

969

　 　

Al

シ リ

ー

ズ

　 　 　

K

＝

5

．

63

×

10

−

sT ＋

0

．

950

　

A2

シ リ

ー

ズ

　

5．

除 荷

，

再 負 荷 時

の

応 カ

ー

ひ

ず

み

関 係

　 高 温 時

にお け るコ ン ク リ

ー

トの

応 カ

ー

ひ

ず

み

関 係

は

，

高

温

下

で の鉄 筋 コ ン クリ

ー

ト

構 造 部 材

の

耐 力

や

変形

を

予

測 す

る た

め

に

必 要

で

あ

る。

除 荷

，

再 負 荷 時

の

応 カ

ー

ひ

ず

み

曲線

を

研 究

す ることに

よ

っ て

、

火災 時

の

よ う

に

，

任 意

の

荷 重

と

変 動

す る

温 度 下

に お け る

鉄 筋

コ ン ク リ

ー

ト

構 造

物

の

弾 塑 性 変 形 問題 を 合理 的

に

解 明

する こ

と

がで きる。

変

動 応 力 下

に お け る

応 カ

ー

ひ

ず

み

関 係

の

移 動 法 則 も

，

弾

塑

性 解析

におい て

，

解

を

収 束

さ せ る

繰

り

返

し

計 算

に必

要

であ る

。

　 室

温 で

，一

つの ル

ー

プ 内

の

繰

り

返

し

載 荷

にお け る

A3

コ ンク

リ

ー

ト

の

実 験 結 果 を

Fig．

15

に

示

す

。一

つの

除 荷

，

再 負 荷

ル

ー

プの

中

で

，

繰

り

返

し

載 荷

を

行

うと そ の

時

の

応

力

とひずみ は そ の ル

ー

プ 内 を動

く

。

また

，

再 負 荷 曲 線

は

共 通

点

（

Ez

点 ）

に

近

い ところに

向 け

で

立 ち上

が る

。

　

これら の

現 象

を

基 本

にすると

，一

定 温 度 下

の

除荷

，

再

負荷 時

の

応 カ

ー

ひ

ず

み

関 係

は

次

の

よ う

に

仮 定

で きる。

　Fig．

16

の

場 合

，

も

し

除 荷

_由

線

の

U

，

点

か ら

応 力

が

増 加

すると

応 カ

ー

ひ

ず

み

関 係

は

U

，

点

と

E

、

点 を通

る

直線 上

に

移 動 す

る。 こ こ で

E

，

点

は

（

19

） 式 よ

り

計 算

で

求

める

。

　

Fig

．

17

の

場 合

，

も

し

再 負 荷 曲 線

の

R

，

点

か

ら

応 力

が

減 少

すると

応 カ

ー

ひずみ

関 係

は

R

，

，

E

、

点

と

E

、

点

の

接 線

こ う

配

に よっ て

決

ま る

2

次

曲

線

上に

移 動

す る。 こ こで

E

，

点

の

接 線

こう

配

は

式 （

15

）

を 用い て

，E

，

点

のひ

ず

み

を

R

，

点

の ひ

ず

み に置 き

換

え る こ と よ り

計 算

される

。

ま た

，

E

．

点

は

R

，と

E

，

点

の

応 力

の

大

き さと

E3

と

Ei

点

の

一 13 一

N工 工

一

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