【諭 文】 UDC ；624
．
074．
43：624．
04 日本 建 築 学 会 構 造系論文 報告集 第 364 号・
昭 和 61 年 6 月薄 肉
変
断 面
理
論
に
よ
る
塔 状 錐 形 殻
の
弾 性 解析
正 会 員 高畠
秀
雄
＊ §1．
序 電 力需 要が増 大 する中で，
市 街 地に建 設さ れる送 電 鉄 塔に対する美 観の向上 と用地の節 減が問 題とな っ て き て いる。一
方，
災 害 時におい て送 電 鉄 塔 を安 全に確 保 する た め に，
鉄塔の構 造 耐 力を高め ること が要 望さ れてきて い る。
ま た， 災 害 時にお け る 送 電 鉄 塔の 早 急 な 建 設 を 容 易にする ための プレハ ブ化が検 討され てきてい る。
送 電 鉄 塔に対 する これ らの 問 題 を解 決す る方 法 とし て，
山形 鋼や パ イ プに よ る従 来の鉄 塔に代え て，
円形ま た は多角 形の断 面か ら な る錐 形 殻を用い た塔 状 鋼 構 造の 利 用が検 討さ れてきて いる。 し か し，
こ の方 面の研 究は ま だ少な く，
実施 設 計に十 分 利 用さ れるまで に は確 立さ れていない の が現 状である。 中で も，
塔 状 錐 形 殻に横 力 ま た は ね じ りモー
メ ン トが作 用した と きの，
軸 方 向 力，
せん断 流，
変位，
およ び ねじり角に対する基 本 的な設 計 公 式が不 可 欠で あるが， 現 状に お い て は確 立され てい な い。 錐形殻を折板 構造 とし て解 析する方 法に は，
構 造 力 学 的 手 法，
フー
リエ級 数によ る 解法，
選点法，
有限要 素法，
ファ イ ナ イ ト シグメン ト法等の理論が 提 示 さ れて い る］］）。
し か し，
送 電 鉄 塔の よ うに，
断 面 径に比し材 長の長い構 造 物に対し て は，
そ の 力学 的 性 状が棒 材 的である ことか ら15｝，
上 述し た理 論 よりも薄 肉 断 面 材の理 論がよ く合 う と一
般に いわ れて いる。 本研究の 目的は，
送 電 鉄塔の ような，
断 面 径に比ぺ て 材 長の 長い塔 状 錐 形 殻が，
重 心 軸 上の任 意 点に静 的 な横 力ま た は ね じリ モー
メ ン トを 受 けた際の軸 方 向 力， せ ん 断 流，
変 位，
お よ びね じ り角に対する弾 性 解 析 解を，
薄 肉断 面 材の理 論 を用い て提 示 し， 次に， それ らの解 析 解 を 円錐 殻，
正四角 錐 殻，
正8角 錐 殻に適 用して，
設 計 公 式と力 学 的 性 状を提 示する ことにある。
な お，
本 論 文で用いる錐 形 殻は，
薄 肉で構 成される変 断 面 構 造 物の総 称と し て広 義に 用いて お り，
シェ ル理論 で解か れ る場 合の み に限定し ない。
§2．
仮 定 解 析に際し次の仮 定を と る。 （1
） 錐形 殻は母 線が直 線で構 成さ れ る2
軸 対 称 断 面 で あ る。
（2 ） （3 ） （4） （5 ） 錐形殻の断 面 径は材 長に比べ て小さい。
錐 形 殻の 肉厚は形 状 寸 法に比較して薄い。
微 小 変 形・
微 小ひずみが成 立する。 断 面変形は生 じ な く，
曲げに よ る せ ん断 変 形は 無 視で き る。
（6 ） 荷 重は重心軸 （せ ん断中心線 ）上 に作 用す る静 的な集 中 荷 重で ある。
§3．
錐 形 殻の幾 何 学 的 基 礎 錐 形 殻は Fig．
1に示 すよ うに， 肉 厚中心線に 沿っ て の母 線が材 軸 線 上の 1点に交わ る直 線で構 成さ れ る2軸 対称 断 面か ら な る薄 肉 閉 断 面で あ る と定 義する。
また，
錐 形 殻の断 面 寸 法は材 長に比 較し て小さいと仮 定す る。
座 標 軸 x， y， z 軸はFig．
1に示す よ うに設 定す る。
x 軸は断 面の重心 （せ ん断中心）を 通 り，
x 軸の原 点は 錐 形 殻の 母 線の交 点に とる。
y軸お よび x 軸は 断面の 主 軸にと る。 座 標 軸 x の値に よ り決 定さ れる直 交 断 面 内の 肉 厚 中 心線上に座標 u を設 定す る。 座標 u の原 点は，
常にあ る特 定の母 線 上に設 定す る。
一
般に錐 形 殻で は，
曲 率 線の弧の接 線と，
x 軸と直 交 す る横 断 面 内の板 厚 中心線 」：の座標 u の な す周 弧とは一
致しない 。 こ こ に，
曲 率 線 とは，
文 献 16｝に よ る微 分 幾 何 学 上の定 義に よる と，
曲面 上の 1つの曲 線 がその上の 任 意の点で主 曲 率 方 向の接 線 を もつ と きの 曲線である。
したがっ て， 錐 形 殻が回 転 面で ない限 り， 座標u は錐 形 殻の曲 率 線 と一
致し ない。
い ま， 周 弧 上の曲 率線の弧 の接 線と， 周 弧 との な す角 を，Fig．
2に示 すよ うに，
δ x 〆 Z 1 金 沢 工 業 大 学 教 授・
工博 （昭和 60 年 8 月 5日原 稿 受 理 ） “on YFig
．
1 Tapered doub且y・
symmetric thiR−
walled rods．
で表示す る。 角 δ は 2軸 対 称な横 断 面 と対 称 軸 y お よ び2 軸との 交点上で は
，
常に零で あ り，
また，
円 錐 殻 の場 合に は，
回 転 体で ある か ら，
母 線の長さ は常に等し い の で，
δ＝0
が常に 成 立 する。Fig．
2に示す よ う に，
周 弧と角 δ を なす 曲 率 線 上に 作用 する単位長 さ 当 たりの 母線方 向の軸 方 向 力をが，
曲 率 線 方 向およ び 母線 方 向の単 位長 さ当たり のせ ん断 流 を t＊ と 表 示する。
また，
周 弧 上の単位長さ当た り の母 線 方 向の軸 方 向 力 をp，
せ ん断 流をt
と表示 す る。
いま，Fig．
2に示す微 小な三角形要素に外力 が作用 し て いない と仮 定すると，
こ の微 小な 三角 形 要 素に対す る 母 線 方 向お よ び曲 率 線 方 向の力のつ り合い条 件か ら， 次 式の関 係が得ら れ る。
IP＊
− 2
・tanδ ＋ 。ゐ
≒ 。器
δ…・
……・
…
（・．
ユ）t
＊＝
t・
一
・
・
tt・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
tt・
…
r・
・
・
・
・
・
・
…
（3．
2） 通 常の構 造 物で は角 δ は微小であ る か ら，
式 （3．
1）の 下線の項は省 略で き る。
§4．
横 力による曲 げ 送 電 鉄 塔の静 的 問 題で は，
荷 重は主に架 線の位置に集 中し て作 用する の で，
集 中 荷 重の場 合が問 題と な る。一
方，
風 荷 重お よ び地 震 荷 重の よ うな分 布 荷 重に対して は，
集 中荷重を総和する ことに よ り容 易に拡 張で き る。
そこで，
塔 状 錐 形 殻に，
Fig．
3に示 す よ うに，
横 荷 重 Psお よ び p。が集 中 荷重 と して，
重心軸上 （せ ん断 中心 線 ）に作用 す る 場合を考え る。
こ こ に，
横 荷 重 ρu は x＝
Xy の距離に作 用す る y軸 方 向の 外 力 成 分で ある。 ま た， 横荷重 p。は， x＝
Xz の距離に作 用す るz 軸 方 向 の外 力 成分で あ る。
荷重 Pyお よ び ρ〜 は，
座 標 軸の正 方 向に作 用す る と き を正と定 義 する。 横 荷重 Py及び Pi に よ る曲げモー
メ ン ト 鵺，
Mz お よ び せ ん 断力Qy
，
Q
。 は そ れぞれ次の よ うに与えら れ る。
My ； p！x−
Xz）Mz ；
P 試x−
Xy）dMz
Qy
＝
石＝
P・dMy
Q2
＝
dx
＝
ρz こ こ に，
（Xt≦ x≦ x。） （Xy≦x≦ Xo）．
〔Xy≦x≦XD） （Xz ≦ x ≦ Xo）・
・
・
…
（4．
1）・
・
・
…
（4．
2） 曲 げモー
メ ン トMy ，
M
。お よび，
せ ん断 力Qy
，
Qz
の正 方 向は， Fig．
4に示す よ うに定義す る。
曲 げに対 して断 面の平 面 保 持を仮定す る と，
材軸線x 方 向の曲 げひずみ εx は，
επ
＝−
iPy2
一
φ2望ノ・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
…
（4
．
3） で表さ れ る。
こ こ に，
砺お よ び φz は そ れ ぞ れ 〃軸お よ びz 軸回 りの曲 率で ある。
錐形 殻の母線 方 向の ひずみ ε と 材軸線 方 向の ひずみ ε x と の間に は
，
Ax2
（1
＋ε）2＝
（1
十εx） ZAx ：十tan2di
・
Ax
！ COS2 ψ orossFig
．
2Relations between p＊，
t虚and
p
，
t．
y
悔
・Fig
．
3 Bendingby
transverse loads．
・
・
一・
・
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一一…
（4．
4） の 関 係が成 立す る。
こ こ に Ax は材 軸 線x の微 小長
さ を 示 す。
い ま，
ひずみが微 小であると仮 定すると，
次 式 の関 係が得ら れ る。 ε＝
εxCOS2 ψ・
’
”・
’
…鹽
”曁
’
”t・
・
…・
………
（4．
5 ） ＝一
（φ 竪z＋ φz・
．
y）cos’
ψ…・
・
…・
・
…・
・
…
…・
（4．
6
） 母線に垂直な断面に作用す る母線 方向の軸方 向力 が は，
P＊＝E8
ε・
・
・
…
tt・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
…
（4．
7） で与え ら れ る。
ここ に，
s（x，
u）は錐形 殻 の肉 厚であ り，
一
般に x と u の関 数で あ る 。’
周 弧上の 母 線 方 向の単 位 長 さ 当 た りの軸 方 向 力 p は，
式 （3．
1），
（4．
6），
（4．
7｝ よ り次式と な る。
P
＝−
E8 （φy2 ＋φ2y ）cos2 ψcos δ・
’
…・
…・
（4．
8
） この軸方向力 p に よる断 面の曲げモー
メ ン トMy
お よ一
69
−一
一
び
M
。 は 咋〆
… Sψ・du
M
．・
＝
fp
・・sip・du
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
…
一・
〔4，
9） で与え ら れ る。
式 （4．
8） を式 （4．
9
）に代入 し，
断面軸y
お よび z が主 軸で あ る こ と に留 意すると， My＝−
E為φり・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（4．
10）M
．＝− Eliilz
が得られ る。
こ こ に， 断 面2次モー
メ ン ト1
』，
L
は 次 式 で定 義さ れ る。
・y−
f2
・C・S・ψ・ ・S・・（X，
・U）du ・x−
∫
・IC ・S・ψ・ ・Sδ蜘 ）du
・
・
一
（4．
11
）1 通 常の構 造 物ではtapering angle ψが小 さ く，
かつ ， 角 δが小さ い ことか ら， 断 面 定 数に お ける下線の 項は 近 似 的に 1とみなせ る。 よっ て，
・y÷∫
・・s（・・，
岫 ・．
÷か
・（x ，・u）du
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（4．
ll
）： 式 （4．
8
），
（4．
9
）よ り，
単 位 長さ当た りの軸 方 向 力p は次 式で与え ら れ る。
得ら れ る。Gy
÷イ
・ ・d
・Gz
÷一
ム
・d
・・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
…
一…
（4，
16 ）2一
方，
断 面が対 称 軸 を 持 ち，
かつ，
t。の分 布が断 面 内で対 称で，
u＝
0の 点を t。＝
0とな る対 称 軸上に と る と き，
不 静 定せ ん断 流 tは生 じない。 この と き，
せ ん 断流t
（X，
U）は…
榊・
・
…
樋・
・
・
…
（4、
ユ7｝ と な る。 もし，
u＝
0の 点 を 上 述 以 外の点にとる とき，
不 静 定せ ん断 流 tが生じ，
せ ん断 流 tは ・一
・［
馳
＋老
払］
gq
亀麺
亜・
・
…
（4，
12
） 等 断面材に対して は，
ψ＝
δ・
＝
O
と な る か ら，
式 （4．
12） は既 往の 式 と一
致 す る。
次に，
曲げに よ り生じ る単 位 長さ当た りの せん断 流 tdx
を求め る。 錐 形 殻の微 小エ レ メ ン ト・
du
におしナ COS ψ る 母 線 方 向の つ り 合い式 は，
その微 小エ レ メ ン トに外 力 が作 用し ない場合， 近似 的に次式で表せ る。籌
・
C・Sψ・罸
一
・…・
・
…・
……・
一 ・
……
（・．
13｝ p が既 知の と き，
t（x，
u）の一
般 解は t〔x，
u）＝
to（x，
u）十t（x）・
t−−t・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（4．
14） で与 え ら れ る1 ） 。 こ こ に，
t。（x，
u）は静 定せ ん断 流であ り，
t（x）は u＝O
にお け る せ ん断 流 を 表 す 不 静 定せ ん 断 流で あ る。 静定せ ん断流 t。は式 （4．
12） （4．
ユ3）より 次 式で与 え ら れ る。
t・
一
知
・争
・．…・
・
…・
…・
…………・
…・
（・．
15 ） こ こ に，Gy
お よびGz
は次式の よ う に定 義さ れ るeGy− 一
∬
・ ・C・S・ψ・ ・S…du
G・一一
f
， ” ySC ・S・ψ・ ・Sδ・du
・
・
・
・
…
（4．
16）1・
・
・
…
（4．
18） と な る。 こ こ に，Gy
およびG2
は，
せ ん 断 弾 性 係 数G
が全 断 面で一
定で あると仮 定す る と，
次 式で与え られ る1酷
幾
・傷
宗
… 一
一 次に，
横 力に よ り生じ る塔 状 錐 形 殻の材軸線の横た わ み v および w の計 算 式 を求め る。
曲 げに よ る せ ん断 変 形を無 視する と，
曲率 病 および φ2 はd2w
φ。
＝
dx2
・
…
tt・
・
・
・
・
・
…
t・
・
・
・
…
tt・
…
tt
・
・
・
・
…
（4．
20
）d2v
φ・
＝
扉 と表せ る。 ここ に変 位 v および w は，Fig．
4に示す よ うに， y方 向お よ び z 方 向の 変 位を表す。 式 （4．
20） に式 （4．
1
），
（4．10
）を用いる と，
横た わみ v および w の微 分 方 程 式が 次の よ うに求め ら れ る。
d
’ w p ／x−
Xt） dげ E為・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
tt
（4．
21）d
’ v Py（x−
Xs）dx2
E右QMyYV
Mx
Qz
ZW
断 面2次モー
メ ン ト に対する計 算と同様に，Gy
お よ びX
G
．に お け る下 線の 項 を 近 似 的に 1とみ なす と，
次 式が Fig．
4
Positive directions of M．
，
隅，
乢，
Qy，
Q．
，
v and w．
とこ ろ で
，
断 面2次モー
メ ン トIyお よ び Jzは，
母線が 直線で構 成さ れ る変 断 面において は，
後 述す る よ うに，
x の 3乗の関 数であ る。 よっ て，
断 面2
次モー
メ ン トIy
お よび ムはIy
＝
叫
…．
………．
『
．
…＿ ………．
．
．
．
．
（、．
22） 1』；
x31。
、 と表 示でき る。 こ こ に，
ん お よ び ム は x に独 立で，
断 面の形 状の みで決定さ れ る。
式 （4．
22 ）を式 （4．
21）に 代入 す る と，
変断 面に対す る横たわ み v お よ び w の微 分 方 程 式は次の よ うに な る。
窒
一
妾
［
計
劃
…一 …・
…
（4．
23）農
一一
註
［
歩
一
劃
式 （4．
23）iの一
般 解は，w
−
… ＋C2・麦
（
1・x ＋騫
）
・
・… 41 と な る。
積 分 定 数CI
お よびC
，を固 定 端での境 界 条 件 w ＝O at x ＝ Xodw
〔固定 端）…・
（4．
25 ） ＝O
at コc＝ Xodx
に よ り決 定す る と，
たわ み w が求ま る。
同様な操 作 を v に つ い て 行う と，
た わ み ω およ び v に対する計算 式 は次 式と な る。
・一麦
［
（
9
−
1）
（
1譱
・毳）
・峠
］
v−一
瓮
臘
一
1）
（
1−
Xy Xy 2x。 ＋ 2x）
・嶝
］
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（4．
26） な お，
比 較の た め，
等 断 面に対す る た わ み．
ω の式を示 す と・
一
諾
（
1−
t
）
！（
z
・咢
）
……・
…・
…・
…・
（・27
） と な る。 こ こ に，
‘は材長 を 示 し，
座標軸x の原 点は自 由 端に とっ てい る。
§5，
ね じ り ね じり中 心を x 軸 （せ ん断 中心）とす るねじ り モー
メ ン トMx が，
錐 形 殻の任 意 点に作 用す る場 合を考え る。
対 象と す る構 造 物の tapering angle ψ は一
般に小さい ことか ら，
反り の x 方 向の変 化 は 無 視で き る と 近似す る。 こ の近 似を用いる と，
薄肉閉断面棒の 反 り拘束が あ る場 合のねじ り の 支配 方 程式 は一Mx −
・・｛
鴛
一E
・誰
…一 ・
一 一
（・・
1） と な る。 ね じ リ モー
メン ト鑑 の正 方 向は x 軸の右 回り を正と して定 義し て い る。
いま，
ね じ り モー
メ ン トMx
は錐 形殻の負の面 （x が増加 し て い く面と は反 対の面 ） に作用 して い る の で，
ね じり モー
メ ン トMx
は一
Mx で 表示す る必 要があり，
式 （5．1
）の左 辺の 雌 の負符 号 に留 意 され た い。
ね じり剛 性 」 お よび反 り抵 抗r
は次 式で与え ら れ る。 ・一
§
価
＋参
テ
孝
’ …
（52 ）・
一
〆
圃 8d ・…一 ・
…・
・
………・
・
（… ） こ こ に，F
は 座 標 軸 x か ら錐形 殻に下し た垂 線の長さ r によ り，
次式で定 義され る。
’
f
・d
・一
・戸・
…・
・
…一 ・
…・
…・
・
…・
…・
……
（… ） 変 断面で は，F
は コ：の値に よ り決 定さ れ る直 交 横 断 面の板 厚 中心線で か こ ま れ る面 積よ り は小さ い。 また，
St．
Venant
の ね じ り剛 性は，
肉 厚が断 面 径に比 較して 小 さい こ と か ら，
通常 無 視できる。
一
方，
反り関数 ep（u）は せ ん断 中 心に関する単 位反り 関 数であ り，
次 式で与えら れるe）。
ψ（u）＝ φs
一
φ→一
ψo・
・
・
・
・
・
・
…
．
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（5
．
5） こ こに， φε およ び φは・・s
＝
薄
∬
＿
． ＿
、5．
、，φ
イ
伽 で定 義さ れ る。 ep。は u＝
0にお け るOfu
）の値を表し， u＝
0点を横断 面 の対 称 軸に と る と，
ep。＝0
と な る。
そ れ 以 外の と き は，
¢ oは 反 り が拘 束され る た めに生 じる 軸 方 向の断 面 力が零であ る という条件よ り， 次 式で与え ら れ る。f
（¢一
¢。
）・ ・du
舮∫
・du
・
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（5．
7 ） 変 断 面材で は，
ね じ り剛性」 お よび 反り抵 抗r
は，
各 種 断 面の項で後 述 する よ うに，
そ れ ぞ れ，
x の 3乗お よ び 5 乗の 関 数で ある。
よっ て，
次 式の ように，
x と断 面の形 状によ り定 まる定 数 項と を分 離して表 示す る。 」＝
xSJ−
・
…
∵・
・
・
・
・
…
一・
…
一一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（5．
8） F＝
xsr 式 （5．
8
｝を 式 （5．11
に代入 す る と， 反り拘 束の ある場 合のねじ り角 θcaEuler
型の 微分方 程 式で与え られ る。體
一
嬬
一
農
………・
………
・・… こ こ に，
λは次式で定義さ れ る。
・
一
厩
………
…・
・
tt……・
・
…一
… 1・・ 式 （5，
9）の一
般解 θ は，
一 71 一
・一
告
［
・・＋・txfii ・・・…一
，、12≡
，、。］
・
噛
9…
9・
・
・
…
『
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（5，
1ユ） と な る。
こ こ に，
β，お よび β、は次 式で与え ら れ る。
1
：
一
卸
・i
− …………・
………
・512 ・ 積分定 数C
、，C
，，
C
，は次の境 界 条 件よ り決 定さ れ る。
θ＝Od
θ 石＝O
dZ
θ五
广 o atx＝
x。 （固 定 端 ）……・
・
（5．13
） at x＝ Xo （ 〃 ｝・
・
・
・
・
…
（5．
ユ4｝ atx ＝ x 。 （自 由 端 ）・
……・
（5．
15＞ よっ て，
次 式 を解くことに より，
Ci〜
C3が求まる。
［
i
識
轟
］
［
li
］
112一
λ2 ⊥2x
言 ユ 誘1xz
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
r・
…
（5．
16） 薄 肉 閉 断 面 棒で は， 反り抵抗r
は ね じり剛 性 丿 に比 較 して著 し く小さい。
し た がっ て，
式 （5．
10＞の λ は 大き な値とな り，
式 （5．
12）の β1 お よ びβ2 も大き な値 を とる。
こ の た め，
式 （5．
16）の解法は， 数 値計算に特 殊な技 巧 をし ない限り困 難にな る場 合 が ある。
そこで，
β、と β2の値の共役 性に着目して，
近 似 式 を以下 で提 示 する。
β，お よび β、が そ れ ぞ れ 正 ま た は負の大 きな値 をと る こ とに着 目す る と，
式 （5．
1ユ）の Cs に対す る係数 灘β2 の値は， β，の負 符 号の ため，
τβ2≒x一
λ ≒0
と近似で き る の で，C3
は無視で き る。 よっ て， ね じ り角θ は・
・
・
…
幽
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
…
t−・
・
…
（5．
17） と近 似 的に表され る。
こ こ に， δは次 式で定 義され る notation である。
S
−
（
S
）
1
隣
：
；
一 ・
・
・
・
………
（・・
18・ な お，
等断 面に対す る 式 （5．1
）の解は，
周 知の ように，
・
一
蕩
［
・（・＋ sinh器
轟
号
h凝］
…
一・
一
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
・
・
…
（5，
19） で与えられ る。 ここ に，
x は自由 端 より測り，Z
は材 長 を示 す。
錐 形殻の断 面 形状が円 形 ま たは特殊な 矩 形の場 合， 反 り抵 抗r
が無 視で き る。
そこで，
F ＝0
に対す るね じ一
72
一
り角 θ の支 配 式は，
噐
一一
籌
・
歩
一 …・
……・
・
・
……・
…・
…・
・・・
… とな る。
上 式の解 θ は，
境 界 条 件 式 （5．
ユ3）を 用いる と，
（厂＝
0の場 合 ）…・
（5．
2ユ〉 となる。 同 様に， 等 断 面に対す る 厂＝0
の場 合の ねじ り 角 θ は座 標 軸x の原 点 を 自 由 端に と る と次 式で与え ら れる。
・一
｛
／
t
［−
x＋1
ユ（r＝
＝
・ の場 合 ）…・
・
一 ・
（・．
22） な お，
式 （5．
21）は式 （5．
17）よ り求め ること も で き る。
す な わ ち，
厂 が J に比べ て小さ く な る と，
λお よ び βが大き くな る か ら，
式 （5．
17｝に こ れ らの 関 係 を 用い る と式 （5．
21）が求め ら れ る。
ま た， 式 （5．
21
）か ら式 （522
）へ の移 行はAPPENDIX
1
に示す。 §6．
塔 状円錐 殻に対す る 計 算 式 本 章は，
Fig．
5に示す よ う な塔 状円錐 殻に対す る計 算 式を提示す る。円錐 殻で は
，
曲 率線と周 弧とは常に一
致する から，
δ＝
0となる。
断 面の肉厚 s｛x，
u）は周 方 向に一
定と す ると，
x のみの関 数にな る。
断面の肉 厚 中心線の極 座 標 を r，
φで表 示する と，
断 面の諸 定 数は 次の よ うに表せ る。
r
＝
xtan ψ z＝
rsin φ y＝
rCOS φ
Iy＝lz．
＝
x31，1＝
＝
Srrtan
諸ψ
Gy＝
x2・
Gv，
Gy＝
stan2 ψCOS φGz
＝
＝
X：・
Gz，
G〜
＝−
Stan！
ψsin φGs・・GiO
J ＝
x3J，
J ＝
ε2πtan3ψ，
r・
・
O・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一…
（6．
1） 横 力Py
お よ び 往 に よ る曲げ モー
メン トに よっ て生d
じ る軸 方 向 力 p およびせん断 流 tは
，
式 （4．
12）（4．
18） より次 式で与えら れ る。
hH
…
一・
・
pr
（6．
2），
（6，
3
＞ 曲 げによ り生 じ る横た わみ ω お よ び v は， 式 （6．
1） で計 算 される断 面 定 数 を 用 駐ると，
式 （4．
26）より計 算 さ れ る。
一．
方，
ねじ り に対して は，
反り抵 抗1
「＝O
で あ る か ら， ね じり角 θ は式 （5．
21）より計 算さ れ る。
上 述の 塔 状 円 錐 殻に対する計 算 式を用い て，
力学 的 性 状と解の妥 当 性を数 値 計 算に より明 らかにする。 いま，
円錐 殻の数値デー
タ は次の値にと る。 （形状 ） 高さH
（m ） 底面の半 径 ro＝
0，
5m一
ヒ面半径／底面半径 n；O，0．2，
0．
4，
0、
6，
O
・
8・
1−
b
（荷重）
ρ2
＝
ltρy
＝O H
荷 重 高さ Xo−
xセ；H
数 値 計 算 結 果ci
，
Fig．
6−
10に 示 すe 単 位 長 さ 当 た り の軸 方 向 力 p お よ びせ ん断 流t
， た わ み w， ね じ り角θ はいずれ もtapering angle ψが小さ く な る程，
等 断 面の 結 果に近づ くこと が分る。
また、
そ れらの力 学 的 性 状は 錐 角に大 き く影響 される。 し たがっ て，
変 断 面 材に等 断 面 材の計 算式 を使 用す ること は，
錐 角が小さい場 合で も 大き な危 険側の誤差を生じ ること が分る。§
7．
塔 状 角 錐殻に対す る 計算式 本 章で は，Fig，
ユ0
に示す よ う な 矩形 断 面を有す る塔h
百
1．
0
0、
5
0
1
2
塾H
Fig
．
6 Pmax一
ψrelations．
3
h
百
1，
0
0
．
5
1
．
0
0
。．
5
5
Tmax
（t） Fig．
7 Tmmズ ψ relations．
0
1．
o
O．
5
2
1
）驫
駅 SnOhb 陀 ゆ W89 臼o
）誌
階 釧 SnO．
hh 陀 ψ■
θ1
9 且 日3
（XIO ＞一 73 一
X
Z
Fig
．
10 Tapered recta皿gular thin・
walled rods．
o 状 角 錐 殻に対する計算式 を求める
。
次の よ うに， notation を とる。
Sl，
s ：：al辺および α 2辺の それぞれの周 方 向に一
様な肉 厚 帆 ψz ：y＝
0およびz1e を通るそ れ ぞ れの 母 線とx 軸との な す角 角 錐 殻に対する断 面 諸 定 数を以 下で求め る。 ま ず，
断 面2次モー
メ ン トlyおよび ム は，
1・； xS
！
y＿．
．
．
．
＿．
．
．
，
．
．
．
．
．
．
＿＿．
＿．
＿．
．
＿．
（7．1
） 右＝
x3 ∬a と表され る。
こ こ に，Iy
S よ び 1．は次 式 とな る。i
．・
一
告
・an ・ 砺［tana … ＋ ・ta・th・
Sl］L
一盞
鴎 ［瞬・
・1＋ ・t
・・a ・
s・］・
…
凾
幽
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（7，
2 ）Gy
お よびG
。の 計 算に おい て， 座 標 軸 u の原 点 をFig．
10に示す よ うに，
Gy につ い て は点 Oiに，
G。
につ いて は点02
に設 定 すると，
対 称 性 より不 静 定せ ん断 流 の計 算が不 要 とな る。 （んお よ び Gz はG
・’
＝
x ’9
・ ＿＿＿＿．
．
＿．
＿．
＿．
＿＿．
．
．
＿
（7．
3）Gz＝
x2Gz と表さ れ る。
こ こ に，Gy
お よびGz
は断 面の形 状に の み 依存す る断 面 定 数で あ り， 次の値 を とる。
i
． ： Gy＝
2s、で1
tanψtanψを （AB
区間，
CD
区 間 ）G
．十
S・
・an 吻・妥
・a翩 於 1）］
鋤 （BC 区 間） ・ y一
ト
・鋤一
書
・anUt47 ’−
1 ）］
tandit（DA 区 間）・
・
・
…
（7．
4） 否がC
．
一
［
一
・，ta・…号
・an 岬一
1）］
脚 （AB 区 間 ）G
。＝− 2s27
tan
ψ1tanda
（BC
区 間， DA 区 間 ｝Ga−
［
・・tan
砥一
号
剛 ・y2
− 1
）］
t
・・Wh
（CD
区 間1
一
74
一
こ こ に，
7
および2 は無 次 元 化し た座 標 値で ある。
＿
yy＝
厨・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
…
（7．
5）2
＝
亙 α 2 次に，
ね じ り 剛性J
を求め る。
断 面の重心か ら 各 側 面に下し た垂線の長さr は，
al・・辺 ； F7 ・ ・sda
……・
t・
・
…・
……・
（7．
6） α2al 辺 ： r
ニ
7cosG
で与え ら れ る か ら，
式 （5．
4）で定 義さ れ るF
はア
ー
咢
三［cosG 十COS ψ2］・
・
…・
…・
……・
…
（・・
7） と な る。
等断 面に 対 して は，
cosda＝
cosgbt＝
1となる か ら， F は閉断 面の板厚 中心線で囲ま れ る面 積に な る。
ところ で， al お よび a2 は at＝2
」じtan
ψ2…
P・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
9・
・
（7．
8 ） a2＝ 2x tanψ1 で与え ら れ る よ うに x の関 数で あ る。
よっ て， 式 （7、
8） を式 （7．
7）に代入 し，
式 （5．
2） を計 算すると，
ね じ り 岡IP駐Jt
よ， 」＝
＝
コじ3」・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
…
マ
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（7，
9） と書 ける。
こ こ に，
J は断 面の形 状に のみ定ま る断 面 定 数で あり，
次の 値を と る。
−
4Sttan2ψl tanψ2［cosdii 十cosili］2 J
＝
［
a2−
82 十一
al 8■］
…一 ………・
…・
…………
（7．
10） い ま，
矩 形 断 面が 正 方形 断面で かつ，
肉 厚 s が Sl＝
St＝
・
s の と き，
式 （7．
10
｝ は 次 式 と な る。
J ＝8s
tan3
ψi cos ！da・
・
……・
…・
・
・
…
…・
…
（7．
11 ） 次に，
反り抵 抗r を求め る．
反 り抵 抗F
は式 （5．
5
） で定義され る反り関 数 ψを式 （5．
3）に代入 す る と求ま る。 こ の反り関 数の計 算におい て，
断 面の重心 か ら各 側 面に下 し た垂 線の長さ r を式 （7．
6
）の よ うに，
錐 形 殻 と し て計 算す ると，
r は複 雑な 式 と な り 実 用的で ない。
そこで，
通 常の構 造 物で は tapering angle ψが小さ い こ と か ら，
式 （7．
6
＞に お ける cos ψの影 響を無 視で き る と 仮 定 する。
する と，
垂 線の長さ r は横 断 面 内にあ る とみ なせ る か ら，
反り抵 抗 r は等断 面に対す る 既往の 結 果 を用い て，
r −
aiα；（α需
鬻
〜
軍
・
・
一
（・・
12 ・ と表せ る。 上 式 を式 （7．
8） を 用いてコcの関 数で書 き表 すと，
r
＝ xSr− …一 ……・
……・
・
…………・
…
（7．
13） と な る。
こ こに 厂 は次の値を と る。r −
4
．
tan2偽tan2吻［tanth’
Si ＋ta
暗 ・・］ 3 ［tan啗s1 十tan
ψ毎8z］ 2．
［tana ’
s・’
tanWh’
・・］ 2．
．
……．
…．
．
（，．
14｝ も し，
断 面 形 状が a］s2＝
α！sI・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
・
・
・
・
・
…
tt・
・
…
（7．
15） の関 係 を 満 足 す る と き，
1「＝
0とな る。
今考え てい る よ う な薄肉 閉 断 面 材につ い て は，
反り抵 抗F
は ね じ り 剛 性J
と 比較 し て は る か に小さい こ と，
さ らに，
式 （7．
15） の関係が 成 立 し や すい ことか ら判 断 して，
近似的にF
＝0
と計 算でき る。上 述の断 面 諸 定 数を用い て
，
塔 状 角 錐殻に対す る計 算 式 を求めると次の ように な る。
曲げによ る軸 方 向 力 p は式 （4．
ユ2｝よ り と なる。 こ こ に βは次の値 をと る。
COS2di ， β＝
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（7．
・
16） β＝
［
鴫
・・S明
耄 COS！
ψ、
（α1辺）［
1
＋（
f
・ ・S明
甚 （a、辺1
……
（7．
17
）一
方，
せ ん 断流 tは式 （4．
17）よ り次 式で与え ら れ る。
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（7．
18） 曲 げに よ る横た わ み v お よび w は式（4．
26）で求ま る。 ね じリ モー
メ ン トに よるね じ り角 θ は，
反り抵 抗r
キ0
の断 面につ い ては，
式 （5．
11）また は近 似 式 （5．
17）に よ り求 まる。
反 り抵 抗F
≒0の断 面につ い て は，式 （5．
21） で求ま る。
上 述し た塔 状 角 錐 殻に対する計算式 を用い て，
解の妥 当性と力 学 的 性 状を数 値 計 算に よ り明ら かにする。 角 錐 殻の数 値デー
タ は次の値を と る。 （形 状）高さH
（m ） 正．
方 形 角錐，
肉 厚 s＝一
定 底 面の長さ α 1≡
α 2＝
lm 上 端長 さ／下 端 長さn＝
・
O，
0．
2，
0，
4，
0．
6，
0．
8，
1．
0 （荷 重 ） Pπ
＝
ユtPy＝0
荷 重 高さ Xo−
x．≡H
数 値 計 算 結 果は
Fig．
11−
14 に示す。
単 位長
さ当たり の軸 方 向 力 ρ およ びせ ん断 流t
， たわ み w，
ね じ り角 θ tapering angle ψ との関 係は， ψ が 小さ く な る程等
断 面 に近づい て い る。
また，
それ らの 力 学 的 性 状は， taper．
h
一
H
彑
H
hH
1．
0
05
10
0 、
5
10
O
．
5
0
1
2
匝 日 Fig．
11 Pmax一
ψrelations，
3
0
5
Tmax
（t） Fig，
12 rmaズψ「elations、
O
1
2
w
（晶
） Fig，
13 M！一
ψrelations．
h
百 h百
1．
o0．
5
o
1．
。O、
5
1 2θ
・
（偏
） Fig．
14 θ一
ψrelations．
3
（XIO）0
1
2
e ・
（磊
） Fig．
15 θ一
ψreLations．
3
（x10 ）ing
angle に 大 き く影 響さ れ る。Fig．
14 のね じ り角 θ は 式 （7．
15）の関 係が成 立する 場合の断面 で あ り， 反 り抵抗r
＝0
で あ る。
い ま，
断 面 形 状 を a2／α1＝
2／1
で肉 厚 s が一
定で あ る断 面と す る と，
反り抵 抗r
≠0
とな る。
こ の 断 面に対す る数値計算 結果 をFig，15
に示す。
結果はFig．
14の場 合と同 様に，
錐 角が小さ く な る程，
式 （5．
19
）で与え られ る等 断 面の 結果に近づ くこと が分る。 §8．
塔 状正8
角 錐 殻に対 する計 算 式Fig．
16
に示す よ う な塔状正8
角 錐 殻を考え る。 肉 厚 は周 方 向に一
定と仮 定す る。
正8
角 錐の幅b
お よ びh
， は次式で与え られ る。
b
＝2x tanAh1
−9
・・n・”鹽
’
…
”… ’
’
’
’
”… ’
（8」 ） こ こに，
角 輌 は 正8
角 形の 各辺の 中 点を通る母 線とx 軸との な す角であ る。 正8
角 錐 殻に対 する断 面 諸 定 数 を以 下で求め る。
ま ず一 76 一
xFig
．
16 Tapered ocmngular th川一
waned rods、
最初に
，
断 面2
次モー
メ ン トIy
お よ びJ。は ∬＝1
』＝1
．；
xS∬・
………・
・
…・
…・
（8．2
） で与え られ る。
こ こ に， ∬は次の 値 をと る。
∬＝
3．
503stan3 ψb・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（8．3
） 次に，Gy
お よ びG2
の 計 算におい て， 座 標 u の原点 をGy
につ い て は点0
，に，
Gz につ い て は点 0，に設 定 す る と，
対 称 性より不静 定せ ん断流の計算が不 要とな る。
よっ て，Gy
お よ びGz
は式 〔7，
3
）と同 様にGy
＝ ・x2G ．＿
・
・
一・
凾
幽
一・
・
一・
・
・
・
…
7・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（8，
4 ）Ga
； x’G2
で表さ れ る。 こ こに，G3
お よ びGz
は次の値を と る。 否s ：G
。＝−
s tan2偽［−
Lo857 ＋o．
08579 22］ （AB 区 間 ）Gy
＝−
stan2 ψ｛−
1．
1213十 〇．
1213乏z］ （BC
区 間，
HA
区 間 ）Gy＝
s tan2ψbb〔0．
4142 訓 （CD
区 間，
GH 区 間 ）Gy
＝−
stan2 ψb［1．
ユ213−
O．
1213乏2］ （DE
区間，
FG
区 間）Gy
＝−
stan2G
匚1．
0857−
O．
08578万2］ （EF
区 間 ）it
：G
。＝−
stan2A ［0．
41422 ］ （AB 区 間，
EF 区 間 ）G
τ＝−
8tan2 ψb［1．
1213−
O．
1213Y2 ］ （BC
区 間，
DE 区 間）G
。＝−
stanta ［1．
0858− 0，
08S79T
］ （CD
区 間＞G
。＝−
8tan2 輒一
1，
1213＋0．
1213す 2 ］ （FG 区 問，
HA 区 間 ）G
。＝−
s tan ’ ψb［−
1．
0858＋0，
08579 ず］（GH
区 間 ）…
tt・
・
…
tt・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（8．
5） こ こ に・
y
・’斎
z
z＝
−
次に， ね じ り 剛性J
を求め る。 断 面の 重 心か ら各 側 面に下 し た垂線の長 さ r は，
r
・
・
9
・・s蜘・
一 ・
・
……t…一 ・
…・
……・
・
…
（8．
・） で与え られ る から，
式 （5．
4）で定義 さ れ るF
はF ＝4
δんlcos ψビ…………・
…………・
……
（8．
7 ）と な る
。
等 断 面で は，
COS 媽＝
1とな る か ら，
F
は板 厚 中心線で囲まれ る面 積に等し く な る。
よっ て，
ね じ り剛 性 J は，
」
＝
x3J，
．
∴ ∴＿＿＿．
．
＿．
＿＿．
．
＿．
＿．
＿…・
（8．
8）h
で与え ら れ る。
こ こ に，
J は次式と な る。
H
J ＝
6．
627 s tan’Wh
cOs ’ 〜Wh
・
・
……・
……一
（8．
9） 薄肉 閉 断面棒で は 反 り抵 抗r
は ね じり剛 性 J よりは るか に小 さい こ と，
お よ び 正 8角 形 断 面は円 形に近い こ と か ら， 近似的に r＝
0とおけ る。 上 述の断 面 諸 定 数 を用い て，
塔 状 正8
角 錐 殻に対す る 計 算 式を以 下で求め る。
曲げに よる軸 方 向 力p は式 （4．
12）よ り と な る。
こ こ に， βは次の値を と る。 β一
［
1＋・ ・S・gbb（
f
）
2］
号………
（8．
10
｝ （AB 辺，
EF
辺） β一
［
1＋・ ・s・・bb（
9
）
2］
’，
（
CD
辺 ・・ 辺） β一
［
1＋・・・…−
le
・・…・ … s・ ・bb
（
訓
号 （BC 辺，
DE 辺 ） ・一
［
1＋』
・…b。・A
・・…・ … s・ ・
a
，（
訓
弖 （FG 辺，
HA 辺）………・
…・
………・
（8．
11｝一
方，
曲げに よ る せ ん断 流 tは式 （7．
18）で与え ら れ る。 た だ し，
断 面 諸 定 数は正8角 錐の断 面 定 数 を使 用 す る。
ま た，
曲 げによる横た わ み v お よびw は式 （4．
Z6） で与え ら れ，
ね じ り モー
メ ン トによるねじ り角 θ は式h
一
H
1．
0
0
．
5
0
1
2
Pnmax
T
Fig・
17 Pmx一
ψrelatiens，
．
3
h
一
口冂
h一
H冖
1．
0
0 ．
5
1．
O
O
、
5
o
5
丁「max （t）Fig
．
18 Tmax一
ψrelations．
0
1．
。0．
5
1
2
w
（轟
，） Fig．
19 W一
ψrelations．
0
1 ラ2S
旧61
陥 釧 Fig，
20 θ一
ψrelations．
3
（XIO ）一 77 一
（5
．
21） より計 算 される。
塔 状 正 8角 錐 殻に対する解の妥 当 性と力 学 的 性 状 を， 数 値 計 算に より明らか にする。正8角 錐の数 値デー
タは， 次の値を と る。 （形 状 ） 高さ H （m ＞ 底辺の最 大 幅b＝
1m 上 端 長さ／ 下 端 長さ n±O，O．2、0．
4，0．
6，
0，
8，
1，
0 （荷 重 ） Pz＝
lt Py＝
0 荷 重 高さ Xo一
晦三H
数 値 計 算 結 果はFig．
17〜
20に示す。
塔 状 正 8角 錐 殻 の場 合 も前 述の円 錐 殻，
角 錐 殻と同 様に，
錐 角が小さ く な る程 等 断 面 棒に近づく。 §9．
結 論 送 電 鉄 塔に利 用され るよ うな， 断 面 径に比べ て材長の 長い 2軸 対 称 断 面の塔 状 錐 形 殻 が，
重 心 軸 上の任 意 点に 静 的な横 力また はね じ り モー
メ ン トを受けた際の軸 方 向 力，
せ ん断流
変 位，
お よ び ね じ り角に対す る弾 性 解 析 解が， 薄 肉 断面材の 理論を 用い て提 示 さ れ た。 次に，
円 錐 殻，
矩 形 角 錐 殻，
正8
角錐殻に対す る計算式を示し，
数 値 計 算によ り解の妥 当 性が保 証 され， 変 断 面 材の力 学 的 性 状が等 断 面 材と著し く異な ること が 明 ら かに さ れ た。 これらの解析 解は，
山形 鋼 やパ イプによる従 来の鉄 塔に代わる錐 形 殻か ら な る塔 状 鋼 構 造 を設 計する際に必 要 不 可 欠な式であり，
変 断 面の設 計に十 分 利 用さ れ る と 考え ら れ る。 今 後，
本 研 究 を 有 限 変 形お よ び動 的 問 題に 拡 張し た設 計 式 を 提 示し た いと考え て いる。
謝 辞 本 研 究 を ま とめ るに当た り，
金 沢工業 大 学の和田宏幸，
大 塚 洋和，
有 田繁 博，
渡辺真 康 君の卒 業研究 生の献 身 的 な協 力を得た。 こ こに記し謝 意 を表する。
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