ディジタルフィルタの設計法
０．逆フィルター
１．直線位相FIRフィルタの設計
２．窓関数法によるFIRフィルタの設計
２．５時間領域でのFIRフィルタの設計
３．アナログフィルタを基にした
ディジタルIIRフィルタの設計法（Ｉ）
４．アナログフィルタを基にした
ディジタルIIRフィルタの設計法（ＩＩ）
５．双2次フィルタ
LTI離散時間システムの基礎式の証明
[
]
) 12 . 4 ( ] [ * ] [ ] [ ] [ ) 11 . 4 ( ] [ ] [ ) 10 . 4 ( ] [ ] [ ] [ ) 9 . 4 ( ] [ ] [ ] [ ] [ と表すことができる。 は 任意の離散時間信号 n h n x k n h k x k n L k x k n k x L n y k n k x n x n x k k k k = − = − = − = − =∑
∑
∑
∑
∞ −∞ = ∞ −∞ = ∞ −∞ = ∞ −∞ = δ δ δ 変数nに 対して Linear Time Invariant畳み込み：
∫
∞ ∞ −−
=
f
τ
g
t
τ
d
τ
t
g
t
f
(
)
*
(
)
(
)
(
)
だけ平行移動した関数
、
を原点を中心に反転し
t
g
(
τ
)
τ − τ ) (−τ g (a) フィルタ関数（インパルス応答） τ ) (τ g τ − τ τ ) (t−τ g 0 tとの類似度を計算
積和計算によって
)
(
τ
f
(b) 処理対象の信号 ) (t0 f ) (t f 積 和 ) (τ f τ たとえば、 ガウス関数による 信号の平滑化 ウェーブレット変換離散的２次元ラプラシアン
連続な場合、ラプラシアンは これより，離散的な場合のラプラシアンは と定義 計算の注目点が中心となるように差分の取り方を調整．これは結局 となる 非因果的 非因果的 因果的ディジタルフィルタの設計法
０．逆フィルター
１．直線位相FIRフィルタの設計
２．窓関数法によるFIRフィルタの設計
３．アナログフィルタを基にした
ディジタルIIRフィルタの設計法（Ｉ）
４．アナログフィルタを基にした
ディジタルIIRフィルタの設計法（ＩＩ）
５．双2次フィルタ
IIRフィルタ
) 31 . 4 ( ) 1 ( ) ( ) 30 . 4 ( ) ( ) ( 1 ) 29 . 4 ( ] [ ] [ ] [ 1 0 0 1 1 0 システム関数は 両辺をｚ変換すると∑
∑
∑
∑
∑
∑
= − = − = − = − = = + = = + − − − = N n n n M m m m M k k k N k k k N k k M k k z b z a z H z X z a z Y z b k n y b k n x a n y IIRフィルタを設計するには、 これらのパラメータの値を決めればよい。 時間領域でフィードバック係数 を直接求めるのはむずかしい。３．アナログフィルタを基にした
ディジタルIIRフィルタの設計法（Ｉ）
１．アナログLPFの設計
２．周波数変換によるアナログBPF、HPFの設計
アナログLPFの特性
：阻止域リプル 透過域リプル ：阻止域周波数 ：透過域周波数 s p s p r r : ω ω１．代表的なアナログLPF
（全極型フィルタ）
（１）ｎ次のバターワース(Butterworth)フィルタ 2 / 1 ) 0 ( / ) ( 1 1 1 | ) ( | / } 2 / ) 1 2 ( 1 exp{ ) ( ) ( 2 2 1 0 = = + = → − + = − =∏
= H H j H n n k j s s s c s H p p n n k n k k n ω ω ω ω π π ただし 安定 間隔で分布 円周上に 極は、左半平面の単位 【特徴】 ・ 振幅特性はω＞1で急激に減衰 ・ ωの変わりにω/ωpを代入することでカットオフ周波数ωpを任意に設定可能 ・ 伝達関数は1階から2n－1階までの全ての導関数がω ＝ 0において0。 この性質を最大平坦と呼ぶ（１）ｎ次のバターワース(Butterworth)フィルタ 2 / 1 ) 0 ( / ) ( 1 1 1 | ) ( | / } 2 / ) 1 2 ( 1 exp{ ) ( ) ( 2 2 1 0 = = + = → − + = − =
∏
= H H j H n n k j s s s c s H p p n n k n k k n ω ω ω ω π π ただし 安定 間隔で分布 円周上に 極は、左半平面の単位 http://ufcpp.net/study/digital_filter/butterworth.html より転載 3～9次のバターワースフィルタの周波数特性 2 1 1（２）ｎ次のチェビシェフ(Tchebyschev)フィルタ 関数） （双曲線正弦、余弦 ここで、 のとき のとき はチェビシェフ多項式 ここで、 までの整数、 ～ は ここで、 2 ) cosh( , 2 ) sinh( 1 | | )) ( cosh cosh( 1 | | )) ( cos cos( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( , ) ( , 1 ) ( ) ( ) ( 1 1 | ) ( | 1 sinh 1 2 / ) 1 ( 0 2 ) 1 2 ( sin cosh 2 ) 1 2 ( cos sinh ) ( 1 ) ( 1 1 1 1 1 0 2 2 2 1 1 x x x x n n n n n n n k n k k n e e x e e x x x n x x n x T x T x xT x T x x T x T x T T j H n n k n k n j n k n s s s s H − − − − − + − = + = − = > ≤ = − = = = + = = − − − ± − − − = − =
∏
ω ε ω ε ν π ν π νチェビシェフ多項式
る。 なる直交数列が得られ とし、 、 に対して ここで、ある正の整数 を①に代入すると ている。 となることが知られ は、 の根 式 次のチェビシェフ多項 という。たとえば、 をチェビシェフ多項式 の多項式となる。これ は ①と定義すると、 すなわち、 の多項式 用 の倍角の公式を反復適 − = − = + = = − = = − − = = − = = − = = + − = − = − = = = = ⇒ ⇒ = − 1 ,..., 1 , 0 1 ,..., 2 , 1 2 ) 1 2 ( cos ] [ 2 1 ] [ ) 1 ,..., 1 , 0 ( 1 ) 1 ,..., 2 , 1 ( 2 ) 1 2 ( cos ) ( 2 ) 1 2 ( cos ) ,..., 1 ( ) ( ,... 1 8 8 ) ( , 3 4 ) ( , 1 2 ) ( , ) ( ) ( )} (cos cos{ ) ( cos cos cos cos ) (cos 0 2 4 4 3 3 2 2 1 1 M m M k M k m m T m T M m m i M k k n M M n i T x M i M i x T M x x x T x x x T x x T x x T x x T x n x T x n T k i n i i i M n n n π π α α π α α θ θ θ θ ＤＣＴ（２）ｎ次のチェビシェフ(Tchebyschev)フィルタ 【特徴】 ・ 振幅特性はω＞1で急激に減衰 ・ リプルを許容することで急峻なカットオフ特性を実現 チェビシェフフィルタの周波数特性 http://ufcpp.net/study/digital_filter/chebyshev.html より転載
（２）ｎ次のチェビシェフ(Tchebyschev)フィルタ n r n A n r A s s p s p s p 数 を満たす最小の正整 は次式で計算される。 、 のパラメータ チェビシェフフィルタ た時、 を設計仕様として与え 、 、 として、 ωε ε ε ω ω 1 2 1 2 cosh 1 1 cosh 1 1 1 − − − ≥ − = =
（２’）ｎ次の逆チェビシェフ(Tchebyschev)フィルタ http://ufcpp.net/study/digital_filter/chebyshev.htmlより転載 ェフフィルタ 逆チェビシ チェビシェフフィルタ 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 | ) ( | ) ( 1 1 | ) ( | + = + = + = ω ε ω ε ω ε ω ω ε ω n n n n n n T T T j H T j H
（１）LPF→LPF（カットオフ周波数の変換） これは、元の周波数区間 (－1, 1) を (－ ωc , ωc ) に移す。
２．周波数変換によるHPF,BPF,BEFの設計
基準となるLPF: アナログ カットオフ周波数 ωc=1のLPF H(s) c s s ω ⇒ 【注意】 周波数軸は実数！ 【注意】 変数変換は複素数！演習課題６１
２次のバターワースフィルタを基に、
遮断周波数が１００Ｈｚの低域通過フィル
タを設計しなさい。
（２）LPF→HPF
これは、元の周波数区間 (－1, 0) を (ωc , ∞ ) に、 (0, １) を ( ー∞, ーωc ) に移す。
s
の実数変換 周波数変換： 複素数変換： 2 1 2 1 2 1 ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω c c c c j j j j s s − = ⇒ − = ⇒ = = 1 ω 2 ω c ω c ω − 1 1 −
演習課題６２
２次のバターワースフィルタを基に、
遮断周波数が１０００Ｈｚの高域通過フィ
ルタを設計し、振幅特性のグラフを描きな
さい。
（３）LPF→BPF + ⇒ = + = − = → Ω Ω = = Ω − = → − = Ω s s W s j s j j W jx j W x x W W c c c c c c c c c c c c c c ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω と置くことにより、 となり、 を掛けると、 となり、両辺に ２段目の変換） とすると（下図１ とし、 、 の通過帯域幅を ３段目の変換） （下図２ として実数の変数変換 まず 1 2 BPF
演習課題６３
２次のバターワースフィルタを基に、
通過周波数が４００Ｈｚ～８００Ｈｚの帯域
通過フィルタを設計し、振幅特性のグラフ
を描きなさい。
（４）LPF→BEF + ⇒ ⇒ → s s W s s s c c c ω ω ω 1 BEF BPF 1 HPF LPF すなわち、 が実現できる。 から とすれば、 の議論から
演習課題６４
２次のバターワースフィルタを基に、
遮断周波数が４００Ｈｚ～８００Ｈｚの帯域
遮断フィルタを設計し、振幅特性のグラフ
を描きなさい。
３．双１次変換（S-Z変換）による ディジタルフィルタの設計． 【目的】 設計したアナログフィルタの安定性を損なうことなく、 同様の特性を持つディジタルフィルタを求める。 安定性を保つ条件
ラプラス変換とZ変換
で求める。 を の伝達関数 タ からディジタルフィル ルタの伝達関数 設計したアナログフィ つまり、 【双１次変換】 ないようにしたい。 返し歪み誤差が発生し フィルタの特性に折り て、 への周期的変換によっ また、 たれるようにしたい。 ができるだけ線形に保 、 周波数特性 【条件】 【定義】 1 1 1 1 2 1 1 | ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 2 − − + − = − − Ω = + − = < Ω < − ⇒ ∞ < < ∞ − = = = z z T s j sT s H z G z G s H z z T s j s e z e z π π ω ω双１次変換の意味 が得られる。 から となり、 の伝達関数は この離散時間システム の関係と見なすと、 これを離散時間信号間 似すると、 の間の積分値を台形近 の が十分小さいとして、 一方、 となり、伝達関数 、 ラプラス変換をすると とすると、 の積分値を の アナログ信号 1 1 1 1 ) 1 ( 1 1 2 ) ( ) ( 1 1 2 ) ( ]} 1 [ ] [ ( 2 ] 1 [ ] [ )} ) 1 (( ) ( { 2 ) ( ) ) 1 (( ) ( ] , ) 1 [( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ] , [ ) ( − − − − − ∞ − + − = ≈ − + = − + = − − − + ≈ = − − − = = = −∞
∫
∫
z z T s z G s H z z T z G n x n x T n y n y T n x nT x T d x T n y nT y nT T n t x T s s H s X s s Y d x t y t y t t x nT T n t τ τ τ τ演習課題６５
２次のバターワースフィルタを基に、 １．遮断周波数が１００Ｈｚの低域通過ディジタルフィルタ ２．遮断周波数が１０００Ｈｚの高域通過ディジタルフィルタ ３．通過周波数が４００Ｈｚ～８００Ｈｚの帯域通過ディジタル フィルタ ４．遮断周波数が４００Ｈｚ～８００Ｈｚの帯域遮断ディジタル フィルタ を設計し、振幅特性のグラフを描きなさい。 また、基になるバターワースフィルタの次数を高くすること によって、振幅特性がどのように変化するかも調べなさい。ディジタルフィルタの設計法
０．逆フィルター
１．直線位相FIRフィルタの設計
２．窓関数法によるFIRフィルタの設計
３．アナログフィルタを基にした
ディジタルIIRフィルタの設計法（Ｉ）
４．アナログフィルタを基にした
ディジタルIIRフィルタの設計法（ＩＩ）
５．双2次フィルタ
３．双１次変換（S-Z変換）によるディジタルフィルタの設計
４．
アナログフィルタを基にした
ディジタルIIRフィルタの設計法（ＩＩ）
１．アナログLPFの設計２．Ｚ領域における周波数変換によるBPF、HPFの設計（Ｉ） （ＦＩＲ→ＦＩＲの場合） } 1 . 0 , 5 . 0 , 1 , 5 . 0 , 1 . 0 { } 1 . 0 , 5 . 0 , 1 , 5 . 0 , 1 . 0 { } , , , , { ) 2 / ( ~ ) 2 / ( ~ 0 ) 1 ( ) 34 . 4 ( ] [ ) 4 3 2 1 0 0 例： の通過帯域 の通過帯域 に変換 係数を 【１】 フィルタ（ − − → = + − ⇒ − → ⇒ =
∑
= − a a a a a HPF LPF a a HPF LPF z a z H LPF FIR p s p s p m m m M m m m ω ω ω ω ω | ) ( |H ω 0 ωp ωs /2 ωs −ωp ωs | ) ( |H ω 0 (ωs /2)−ωp ωs /2 (ωs /2)+ωp ωs演習課題６６
計しなさい。 高域通過フィルタを設 の が これを基に遮断周波数 がある。 移動平均フィルタ 表例として 低域通過フィルタの代 Hz z z H FIR k k 000 , 1 3 1 ) ( 2 0∑
= − =} 2 . 0 , 0 , 2 , 0 , 2 . 0 { } 1 . 0 , 5 . 0 , 1 , 5 . 0 , 1 . 0 { } , , , , { 4 / ~ 0 ) cos( 2 4 3 2 1 0 0 0 0 とすると、 例： る を通過帯域の中心とす の通過帯域 に変換 係数を 【２】 − → = = ⇒ → ⇒ a a a a a BPF LPF a T k a BPF LPF s p m m ω ω ω ω ω | ) ( |H ω 0 ωp ωs /2 ωs −ωp ωs | ) ( |H ω 0 ω0 ωs /2 ω0 ωs
演習課題６７
計しなさい。 帯域通過フィルタを設 の 帯域が これを基に通過周波数 がある。 移動平均フィルタ 表例として 低域通過フィルタの代 Hz Hz z z H FIR k k 800 ~ 400 3 1 ) ( 2 0∑
= − =} 2 . 0 , 0 , 2 , 0 , 8 . 0 { } 1 . 0 , 5 . 0 , 1 , 5 . 0 , 1 . 0 { } , , , , { 4 / ~ 0 ) 0 ( ) cos( 2 2 1 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 − → = = ⇒ ≠ − → − → ⇒ とすると、 例： る を遮断帯域の中心とす の通過帯域 に変換 係数を 【３】 a a a a a BEF LPF m a T k a a a BEF LPF s p m m ω ω ω ω ω | ) ( |H ω 0 ωp ωs /2 ωs −ωp ωs | ) ( |H ω 0 ω0 ωs /2 ω0 ωs
演習課題６８
計しなさい。 帯域遮断フィルタを設 の 帯域が これを基に遮断周波数 がある。 移動平均フィルタ 表例として 低域通過フィルタの代 Hz Hz z z H FIR k k 800 ~ 400 3 1 ) ( 2 0∑
= − =２．Ｚ領域における周波数変換によるHPFの設計（ＩＩ） （ＦＩＲ、ＩＩＲ→ＩＩＲの場合） ) 2 / ( ~ ~ 0 2 cos 2 cos 1 1 1 1 s q p p q p q HPF LPF T T z z z z HPF LPF ω ω ω ω ω ω ω α α α の通過帯域 の通過帯域 に変換 ここで、 を 【１】 ⇒ − + − = + + − → ⇒ − − − | ) ( |H ω 0 ωp ωs /2 ωs −ωp ωs | ) ( |H ω 0 ωq ωs /2 ωq ωs
演習課題６９
計しなさい。 高域通過フィルタを設 の が これを基に遮断周波数 がある。 移動平均フィルタ 表例として 低域通過フィルタの代 Hz z z H FIR k k 000 , 1 3 1 ) ( 2 0∑
= − =ディジタルフィルタの設計法
０．逆フィルター
１．直線位相FIRフィルタの設計
２．窓関数法によるFIRフィルタの設計
３．アナログフィルタを基にした
ディジタルIIRフィルタの設計法（Ｉ）
４．アナログフィルタを基にした
ディジタルIIRフィルタの設計法（ＩＩ）
５．双2次フィルタ
５．
双２次フィルタ
【特徴】 ・フィルタ設計が容易である。 ・設計手法が確立されたものである。 ・多様な特性のフィルタが実現可能 ・直列接続で多様な特性が実現可能 ↓ 双2次フィルタは非常によく利用される。 2 2 1 1 0 2 2 1 1 0 ) ( − − − − + + + + = z a z a a z b z b b z H双２次フィルタで実現可能な特性
http://ufcpp.net/study/digital_filter/biquad.html
