() ): (1) f(x) g(x) x = x 0 f(x) + g(x) x = x 0 lim f(x) = f(x 0 ), lim g(x) = g(x 0 ) x x 0 x x0 lim {f(x) + g(x)} = f(x 0 ) + g(x 0 ) x x0 lim x x 0

3

連続関数と逆関数

証明): (1) のみ示す． f (x)と g(x) が x = x0で連続なら f (x) + g(x)も x = x0で連続であることを示す． 示すべきこと lim x→x0 f (x) = f (x0) , lim x→x0 g(x) = g(x0) なら lim x→x0{f(x) + g(x)} = f(x0 ) + g(x0) lim x→x0 f (x) = f (x0)より ∀_{ε > 0} ∃_{δ1 > 0 |x − x0| < δ1 =⇒ |f(x) − f(x0)| < ε} lim x→x0 g(x) = g(x0)より  ∀_{ε > 0} ∃_δ 2 > 0 |x − x0| < δ2 =⇒ |g(x) − g(x0)| < ε すなわち ∀_{ε > 0} ∃_δ 1 > 0 ∃δ2 > 0 |x − x0| < δ1 =⇒ |f(x) − f(x0)| < ε |x − x0| < δ2 =⇒ |g(x) − g(x0)| < ε この時 δ = min(δ1, δ2)とすると|x − x0| < δ のとき |f(x) + g(x) − f(x0)− g(x0)| ≤ |f(x) − f(x0)| + |g(x) − g(x0)| < ε + ε = 2ε よって lim x→x0{f(x) + g(x)} = f(x0 ) + g(x0)

定義 3.5 y = f (u) u = g(x)とする．(f と g は連続) 合成関数 y = f (g(x)) は x について連続 例 3.1 y = f (x) = sin(x2+ 1)は連続か? y = f (u) u = g(x) = x2+ 1 = sin u 合成関数なので連続 定理 3.1 (中間値の定理) f (x)は [a, b] で連続とし，f (a)× f(b) < 0 とする． この時 f (c) = 0 となる c∈ (a, b) が少なくとも１つ存在する. 証明):S ={x|f(x) < 0, x ∈ [a, b]} とする すると ∀x∈ S に対して，x ∈ [a, b] より x < b + 1 ⇒ S は上に有界 ⇒ sup S が存在 そこで c = sup S とする 示すべきこと f (c) = 0を示す 補題 f (x) は x = a で連続かつ f (α) > 0 とする． すると十分小さい δ をとると f (x) > 0 , x∈ [α − ε, α + ε] 証明):f (x) は x = α で連続なので ∀_{ε > 0} ∃_{δ > 0 |x − α| < δ =⇒ |f(x) − f(α)| < ε} ε = f (α) 2 とすると|x − α| < δ ならば |f(x) − f(α)| < f (α) 2 ⇒ f(x) > f (α) 2 > 0 この補題はしっかり 理解すること。 グラフを ること

1) f (c) > 0とする 補題より ∃δ > 0 c− δ ≤ x ≤ c で f(x) > 0 一方 c = sup S より c− δ ≤ x ≤ c に S の要素が少なくとも１つ存在しなければならない． ⇒ 矛盾 · · · sup の定理に反する． 2) f (c) < 0とする 補題と全く同じアイデアにより ∃_{δ > 0 [c− δ, c + δ] で f(x) < 0} すると c = sup S にも関らず, f (c + δ 2) < 0かつ c < c + δ 2 ⇒ 矛盾 · · · sup の定理に反する この定理から次の定理が出る. 定理 3.2 f (x)は [a, b] で連続とする. f (a)と f (b) の間の任意の値 k に対して f (c) = kを満たす c が [a, b] 少なくとも１つ存在する．

例 3.2 [a, b]上の連続関数 f (x) が a≤ f(x) ≤ b を満たすとする. このとき f (x) = x をみたす x が少なくとも１つ存在する. 証明):F (x) = x− f(x) とすると F (a) = a− f(a) ≤ 0 , F (b) = b− f(b) ≤ 0 ⇒ 中間値の定理より F (x) = x − f(x) = 0 をみたす x が存在 定理 3.3 （ワイエルシュトラウス） 閉区間 [a, b] で連続な関数は必ず最大値と最小値をもつ. 例 3.3 f (x) = xとする.f (x) は (0,1) で最大値も最小値も取らない． 証明): A = (0, 1) とする 最大値を取るとする ∃_{M ∈ A f(M) が最大値とする} m ∈ A より M < 1 f (M ) = M α = 1 + M 2 とする 0 < α < 1 + 1 2 = 1より α ∈ A かつ f(α) = α = 1 + M 2 > M ⇒ 矛盾 最小値も同様に存在しないことを示せる. Remark 中間値の定理とワイエルシュトラスの定理は連続関数の理論において非常に重要 Remark 教科書 p.31 系 1 では次のように一般している 定理 3.4  有界閉集合で連続な関数は必ず最大値と最小値をもつ この証明は難しい!! 解析学で最も重要 な定理の つ

定理（ワイエルシュトラス）の証明 「f (x) が [a, b] で連続とする．すると f (x) の [a, b] での最大値と最小値が存在する」 ♣ sup f(x) が有限であることを示す． x∈ [a, b] 背理法で示す. ∃{xn} (xn ∈ [a, b]) f (xn)→ +∞ とする. Bolzano-Weirstraussの定理 (有界な数列は必ず収束する部分列を持つ) より ∃{xnp} ({xn} の部分列) xnp → α a≤ xnp ≤ b より，a ≤ α ≤ b が成立 ⇒ α ∈ [a, b] fは連続なので f (xnp)→ f(α) f (xnp)→ +∞ と矛盾 よって，f (x) は上に有界 そこで sup f (x) = M (x∈ [a, b]) とする supの定義より m∈ N(自然数の集合) f (xm) > M − 1 mとなる xmが少なくとも１つ存在する. これを用いて数列{xn} を作ると {xn} は有界なので (a ≤ xn ≤ b) B-Wの定理より ∃{xnp} xnp → c a≤ xnp ≤ b より a ≤ c ≤ b ⇒ c ∈ [a, b] ⇒ (f(c) は存在) f (xnp) > M − 1 np かつ f (xnp)≤ M p→ +∞ とすると lim p→+∞f (xnp) = f (c) = M ⇒ f(x) は x = c で最大値をとる (最小値の存在も同様) Remark 教科書では [a, b] のかわりに「有界閉集合」を用いる (p.31 あたり) これを理解するために次のことを知るべきである

定義 3.6 xが集合 M の集積点とは ∃_{x n} ∈ M (xn6= x) xn→ x(n → ∞) 定義 3.7 M∪ { M の集積点全体 } = M と表わし M の閉包 (closure) という． 定義 3.8 Mが閉集合 ⇔ M = M すると{xn} ∈ M xn→ α ⇒ α ∈ M 閉集合の性質はこれを用いる. 一様連続について 定理 3.5（一様連続） f (x)が区間 I で一様連続とは ∀_ε ∃_{δ(εのみで決まる) > 0 |x − x}0_{| < δ(x, x}0 _{∈ I)} ⇒ |f(x) − f(x0_{)| < ε} Remark f (x)が区間 I で連続とは ∀_{a∈ I} ∀_ε ∃_{δ(εと a によって決まる)} |x − x0_{| < δ(x, x}0 _{∈ I)} ⇒ |f(x) − f(x0_{)| < ε} 様連続との違いをしっかり と理解せよ。

例によって違いを具体的に示す. 例 3.4 f (x) = 2x I = [0, 1] ∀_{ε > 0 δ =} ε 4とすると |x − x0_{| <} ε 4なら |f(x) − f(x0_{)| <} ε 4 × 2 = ε 2 < ε よって,f (x) は I で一様連続 例 3.5 f (x) = 1 x I = (0, 1] ={x|0 < x ≤ 1} f (x)は I で連続であるが，一様連続ではない x = 0で f (x) は発散するので背理法で矛盾を導く. f (x)は I で一様連続とする. ∀_{ε > 0 ,} ∃_{δ > 0} |x − x0_{| < δ ⇒ |f(x) − f(x}0_{)| < ε} そこでnδ 2 > 1となる n をとり xn = 1 n , xn+1 = 1 n + δ 2とする. すると|xn− xn+1| = δ 2 < δ しかし|f(xn)− f(xn+1)| = ¯¯ ¯¯ ¯n− 1 1 n+ δ 2 ¯¯ ¯¯ ¯ 1 1 n+ δ 2 = n 1 + nδ₂ < n 2 すると,|f(xn)− f(xn+1)| > n 2 nはいくらでも大きく取れるので n 2 > εとできる ⇒ 矛盾 Remark f (x)が一様連続であることを次のように考えるとわかりやすい. 重要な例なのでグラフをみながら しいかりと理解せよ。 なお演習書のＰ３３に同じ問題 がある。

φ(δ) = sup|f(x) − f(x0)| |x − x0_{| < δ} x, x0 ∈ I 定理 3.6 f (x)が I で一様連続であるための必要十分条件は lim δ→0φ(δ) = 0 証明):必要性:f (x) は I で一様連続とする. ∀_{ε > 0} ∃_{δ0 0 < δ < δ0なら} φ(δ) < ε これは lim δ→0φ(δ) = 0を意味する. 十分性:lim δ→0φ(δ) = 0とする すると ∀ε > 0 ∃δ0 0 < δ < δ0なら φ(δ) < ε これは ∀ε > 0 ∃δ0 0 < δ < δ0 なら|x − x0| < δ ⇒ |f(x) − f(x0)| < ε となり，f (x) は区間 I で一様連続 定理 3.7 f (x)が [a, b] で連続なら f (x) は一様連続である. Remark この定理は重要，例えば Z b a f (x)dxを極限で定義する時に用いる

証明): φ(δ)→ 0 (δ → 0) でないとすると φ(δ) → 0 (δ → 0) m ∀_ε 0 > 0 ∃δ0 ∀δ < δ0 ⇒ φ(δ) < ε0 ↓ 否定 ∃_{ε0 > 0} ∀_δ0 ∃_{δ < δ0 ⇒ φ(δ) ≥ ε0} そこで δ1, δ2,· · · , δnとして φ(δn)≥ ε0 かつ δn→ 0 (n → +∞) となるのを選ぶ すると|x − x0| ≤ δn ⇒ sup |f(x) − f(x0)| ≥ ε0 (|x − x0| < δn) supの定義より ∃xn , ∃xn0 (|xn− x0n| < δn) |f(xn)− f(x0n)| ≥ ε0 2 · · · (1) {xn} は [a, b] に含まれるので有界 B-Wより ∃xnp xnp → α a≤ xnp ≤ b より a≤ α ≤ b −→ α ∈ [a, b] このとき、δn → 0 より x0np → α. f (x)は x = α で連続 (α∈ [a, b]) より 適当な δ00 を取ると |x − α| ≤ δ0 0 ⇒ |f(x) − f(α)| ≤ ε0 8 |x − α| ≤ δ0 0 , |x0− α| ≤ δ00 なら |f(x) − f(x0_{)| = |f(x) − f(α) + f(α) − f(x}0_)| ≤ |f(x) − f(α)| + |f(α) − f(x0_)| ≤ ε0 8 + ε0 8 = ε0 4 xnp → α, x0np → α より    xnpは cauchy 列 ∃_K ∀_{ε > 0} ∃_N ∀_k 1 ∀k2 > N |xnK − α| < δ00 |xn_k1 − xn_k1| < ε |x0 nK − α| < δ 0 0 ⇒ |f(xnK)− f(x 0 nK)| ≤ ε0 4 (1)に矛盾 Remark 教科書では有界閉集合と一般の場合を扱っている．証明は難しいが閉集合の性質を どこで使うかに注意するとわかりやすい． 常にヘビーな証明。 これは証明で使わないが 付録で書いておきます

逆関数

定義 3.9 f : D1 → D2が全射かつ単射な場合，f は全単射という. 定義 3.10 f : D1 → D2への全単射とする. すると任意の y∈ D2に対して f (x) = y をみたす x∈ D1が唯一つ存在する. そこで y∈ D2に対して x∈ D1を対応させる写像を 逆写像または逆関数と呼び x = f−1(y)と表わす. y = f (x) x = f−1(y) Remark 高校では x = f−1(y)の x と y をいれかえて y = f−1(x)と表わしている. この講義でもそのように表わす． Remark f−1(x)6= 1 f (x) → 初学者がよくする間違い 定義 3.11 f (x)が [a, b] で単調増加（又は単調減少） m ∀_x 1, ∀x2 ∈ [a, b] x1 < x2 ⇒ f(x1) < f (x2) (⇒ f(x1) > f (x2)) 定理 3.8 D1 = [a, b] D2 = f (D1) = {f(x)|x ∈ [a, b]} とする. f (x)が D1で単調増加又は単調減少なら f は全単射である. 従って逆関数 f−1 : D2 → D1が存在する.

証明):まず f が全射であることを示す． これは D2 = f (D1)よりわかる. 次に f が単射であることを示す． 背理法で示す．∃x1 , ∃x2 x1 6= x2 ⇒ f(x1) = f (x2) すると，これは f (x) が単調増加又は単調減少であることと矛盾 例 3.6 D1 = [0, 3] y = f (x) = x2_{の逆関数を求めよ．} ∵ D2 = f (D1) = [0, 9]かつ x1 > x2なら f (x1)− f(x2) = x21− x22 = (x1+ x2)(x1− x2) > 0 より単調増加⇒ f−1は存在 y = x2 x =±√y x ≥ 0 より x =√y xと y を入れ替えて y =√x = f−1(x) Remark 逆関数のグラフは元の関数のグラフと y = x に関して対称 Remark この例でわかるように f−1(x) =√x6= 1 f (x) = 1 x2

逆三角関数 例 3.7    y = sin x µ x∈ · −π 2, π 2 ¸¶ 単調増加なので逆関数が存在する．これを sin−1x又は arcsin x と表わす. Remark sin−1x = 1 sin xと間違える人が多いので, その対策として arcsin x が導入された. 例:) arcsin 1 を求めよ． arcsin 1 = αとすると sin α = 1 α ∈ [−π 2, π 2]より α = π 2 }y = cos x (x ∈ [0, π]) 単調減少なので逆関数が存在する. これを cos−1x又は arccos x と表す．

}y = tan x µ x∈ µ −π 2, π 2 ¶¶ 単調増加なので逆関数が存在する. これを tan−1x又は arctan x と表す. 例 3.8    sin−1 à − √ 3 2 ! を求めよ. sin−1 à − √ 3 2 ! = αとすると，sin α =− √ 3 2 −π 2 5 α 5 π 2 より α =− π 3 例 3.9    tan(2Arctan3)を求めよ. Arctan3 = αとすると， tan α = 3 − π 2 5 α 5 π 2 tan(2Arctan3) = tan 2α = 2 tan α 1− α2 =− 3 4 例 3.10    x= 0 なら Arcsinx = Arccos√1− x2_を示せ. Arcsinx = αとすると， sin α = x µ −π 2 5 x 5 π 2 ¶ ． √

1− x2 ₌p₁− sin2_{α =}√_cos2_{α = cos α (cos α}≥ 0) より Arccos√1− x2 _{= Arccos(cos α) = α}

例 3.11    tan−1 3 4 + tan −1 1 7を求めよ. ポイント：逆関数は適当に α や β とおき，考える.α と β の範囲に注意!! tan−13 4 = α とすると tan α = 3 4 ⇒ 0 < α < π 4 tan−1 1₇ = βとすると tan β = 1₇ ⇒ 0 < β < π₄ tan(α + β) = tan α + tan β

1− tan α tan β = 1 0 < α + β < π₂ ⇒ α + β = π₄ 指数関数と対数関数 ax_{は単調増加 (a > 1)} 又は単調減少 (0 < a < 1) なので逆関数が存在する. これを log_axと表わす. Remark a = e = lim n→∞(1 + 1 n) n _{ネイピア数}

の場合，logexを log x と表し，自然対数とよぶ.（natural logarithm）

そこで，例 1.4 で定義した e の指数関数 ex _{の逆関数 log} exを log x と表し，自然対数とよぶ. なお，物理では log x ではなく ln x とも書かれる. Remark a = 2としよう 22_{, 2}3_{,· · · , 2}n_{は定義できる.} そこで 2mn = m √ 2n _{m, n}∈ N とすると有理数では何とか定義出来る．では， 2√2はどう定義するか？ supを用いて次のように定義する Q :有理数全体の集合 2√2 = sup 2r r ∈ Q r ≤√2 この定義によって 2x(x∈ R) を定義する. 教科書の70ページに 詳細な指数関数の定義が あり。

Remark この定義では次の性質を用いる． ∀_a, ∀_{b∈ Q (a < b) に対して} (a, b)に無理数が無数に存在する． 更に ∀c, ∀d 無理数 (c < d) に対して, (c, d)に無理数が無数に存在する． まとめると， ∀x, ∀y ∈ R(x < y) に対して (x, y)に有理数と無理数が無数に存在する 定義 3.12 (1) sinh x = e x− e−x 2   (hyperbolic sine) (2) cosh x = e x_{+ e}−x 2   (hyperbolic cosine) (3) tanh x = sinh x cosh x = ex− e−x ex_{+ e}−x   (hyperbolic tangent) Remark 次は絶対覚えること cot x = 1 tan x (cotangent) sec x = 1 cos x (secant) cosecx = 1 sin x (cosecant)