一85一
古 典 確 率 論 に お け ろ諸 問 題(D
武 隈 良 一
序
、1カ ル ダ ノ と ガ リ レ イ 豆 パ ス カ ル と フ ェル マ 皿 ホ イ ヘ ン ス
皿 組 合 せ に つ い て V死 亡 数 と 生 命 保 険 Wl670年 か ら1700年 ま で
序
古 典 確率 論 の基 礎 に つ い て は以 前 に述 べ た こ とが あ るが(1)(2),も う 一 度系 統 的 に取調 べ て み よ う。 とい うの は現 代 確 率 論 に深 入 りす る ときつ ねに 古 典 確 率 論 の 結果 が反 省 され るに もか かわ らず,そ れ らが消 化 され てお らな い た めに議 論 が曖 昧 とな り後 味 の わ るい結 果 に な り勝 ちで あ る。 それ とい うの も 過 去 の 文 献 が よ く読 と られ な い た め正 し く創 始者 ⑱ ア イデ アが伝 え られ ない か
らで あ る。 そ こで 出来得 る限 り原典 に 目 を通 し そ の真 髄 を伝 え る必 要 が あ る と 思 い稿 を起 し た次 第で あ る。Todhunterの1865年 に お け る著 書(3)が1949年 に 復 刊 され る現 状 か ら考 えて古 典 確率 論 を しつか り把 握 し よ う とす る意 向 は内 外 と もに強 い よ うに 思 わ れ る。
1カ ル ダ ノ と ガ リ レ イ
19世 紀 の 数 学 史 家 リブ リ と グ ■ … 一ロ ー の 著 書 に よ る と,設 子 を投 げ た と き 如 何 な る 目 が 出 るか の 予 想 は ダ ン テ神 曲 の デ ィモ ラ に よ る註 釈 本(1477)に あ る
とい う。 お そ ら く これ が 確 率 論 の 数 学 的 問 題 とし て は 最 古 の 記 録 で あ ろ う。
ダ ン テ 神 曲 煉 獄 篇 第6曲(4)は 次 の よ うに 書 きは じめ られ て い る。
静 後 掲交献 の番号 をあ らわす。
一86一 商 学 討 究 第8巻 第3号 ツ ァラ の 賭 の は ね た 時
負 け た もの は 憂 ひ て の こ り 繰 返 し投 げ て 悲 し く も習 ふ 。
勝 つ た もの と共 に 人 々 は皆 歩 み ゆ く。
ひ と りは 前 に 一 人 は後 よ り彼 を 捉 へ', ま た ひ と り は 側 よ り彼 に 挨 拶 す る。
然 し彼 は 止 ま らず に 此 者 彼 の 者 に 耳 を傾 く。
彼 は手 を伸 ば し て 人 を 寄 せ し め ず か くて 身 を群 よ りふ せ ぐ。
この 最 初 の 語 ツ ァ ラ(Zara)と は3つ の 般 子 で 行 う賭 博 の こ とで 当 時 盛 ん に 行 わ れ た もの で あ る。 デ ィモ ラ が この 賭 博 に つ い て の 種 々 の 計 算 を註 釈 本 に し る し た もの と思 わ れ る。
次 に 我 々 の 注 目 を ひ く もの は カル ダ ノ(G.Cardano,1501‑1576)の 著 書 DeLudoAle房(運 ま か せ の 勝 負 ご とに つ い て)で あ る 。 これ は 彼 の 死 後 に お そ く出 版 され た全 集 の 第1巻(1663)に お い て 公 表 され た 。 彼 は長 年 の 賭 博 師 で あ つ た の で 著 書 は 賭 博 師 た ち の 手 引 とし て 書 か れ た 。 そ れ は 賭 博 に 関 す る 雑 多 な こ と,例 え ば 勝 負 の 仕 方 不 正 賭 博 師 に対 す る用 心 の 仕 方 な ど が 書 か れ て あ る が,偶 然 に 関 す る論 争 に つ い て は 僅 か し か 触 れ て お らな い 。
1つ の 見 本 とし て 第13章 を あ げ て み る と,彼 は2っ の 般 子 を投 げ た と き 目 の 和 が2,3,・ ・ … ・12に な る場 合 が 何 通 りあ る か を し め し て い る。 こ れ と同 様 の こ と を3っ の 椴 子 に つ い て 述 べ,ま た 次 の 表 を与 え て い る。
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
108,111,115,120,126,133,33,36,37,36,33,26,
し・か し これ が 何 を意 味 す るか は い ろ い ろ 考 え られ て い る が 不 明 で あ る。
さて ガ リ レ イ(GalileoGalilei,1564‑16生2)の 小 論 文Considerazione
soprailGiocodeiDadi(般 子 の 賭 博 に 関 す る考 察)は 出 版 年 月 が 不 明 で あ る
が 重 要 な もの で あ るPこ れ に は 次 の 問 題 が 含 ま れ て い る。 一 友 人 が ガ リレ イ に
次 の こ と を相 談 し た 。3っ の 般 子 を投 げ る と き 目 の 和 が9に な るの と10に な る
古典 確率論 にお ける諸 問題(1)(武 隈)‑87一
の と は と もに6つ の 場 合 しか な い の に,実 際 に は10の 方 が 多 く出 るの は 何 故 だ ろ う と。 ガ リ レ イ は 注 意 深 く精 確 に 計 算 し て10の 場 合 は216に 対 して27,9の 場 合 は25で あ るか ら前 者 の 方 が よ け い に 出 る と答 え た 。 ガ リ レ イの この 小 論 文 は
フ ィレ ン ツ=で1718年 に 出 版 され た 全 集 の な か に 始 め て 公 表 され た 。 な お1855年 に フ ィレ ン ツ=で 出版 され た ガ リレ イの 全 集15巻 にLettere intornolagtimadiuncavallo(馬 の 評 価 に 関 す る手 紙)と い うの が あ る 。 こ
れ に よ る と当 時 の 文 化 人 の 集 りに お い て 次 の こ とが 問 題 とな つ た 。実 際 に 百 ブ ラ ウ ン の 値 の あ る馬 を,拾 ク ラ ウ ン と評 価 し た 人 と千 ク ラ ウ ン と評 価 し た 人 と で は 如 何 な る相 違 が あ るか と。 文 化 人 の 仲 間 の 一 人 で あ つ た ガ リレ イ は 両 方 と も法 外 で あ る とい う点 に お い て は 等 し い とい つ た 。 何 故 な ら千 の 百 に対 す る比 は 百 の 拾 に 対 す る比 に 等 しい か らで あ る と。 これ に対 してNozzoliniと い う司 祭 が 千 の 評 価 の 方 が 拾 の 評 価 よ り法 外 で あ る とい つ た 。 何 故 な ら千 の 百 を 超 え
る分 は 百 の 拾 を超 え る分 よ り大 きい か ら と。 両 者 の 手 紙 は 印 刷 され て お り,論 争 は 激 しか つ た が 科 学 的 興 味 も科 学 的 価 値 もな い もの で あ る 。
flパ ス カ ル と フ ェ ル マ
前 章 で 述 べ た よ うに確 率 の 概 念 が 数 量 的 に は じ め て 取 扱 わ れ た の は イ タ リ ア に お い て で あ つ た が,こ れ を更 に 理 論 的 に 解 明 し た の は フ ラ ン ス の パ ス カル
(BlaisePasca1,1623‑1662)と フ=ル マ(PierredeFermat,1601‑一 一1665) で あ る。 通 常 この2人 が 古 典 確 率 論 の 端 緒 を ひ らい た 人 と見 な され る。
こ との 起 り は 賭 博 師 とみ な され た メ レ が パ ス カル に2っ の 問 題 を提 出 し た こ とに は じ ま る。 これ を パ ス カ ル が フ ェル マ に も知 らせ 両 者 が別 個 に 異 な つ た 方 法 で 解 決 し た 。2人 の 間 に と りか わ され た手 紙 は 一 一 一 一 部 分 今 日 そ の ま ＼残 つ て い る。 そ れ らの 詳 細 に つ い て は(1)(2)に お い て 述 べ た の で こ こで は 簡 単 に 概 観 し て お こ う。
パ ス カ ル か らフ ェル マ へ の 手 紙(1654年7月29日)に は 先 ず メ レ の 提 出 し
た 点 の 問 題 が 取 扱 わ れ て い る。 点 の 問 題 とい うの は,2人 の 競 技 者 が あ つ て 先
きにn点 を獲 得 し た もの が 勝 つ とい うゲ ー ム に お い て 中 途 で 申 止 し ア こら互 い の
一88一 商 学 討 究 第8巻 第3号 賭 金 を 如 何 に 分 配 し た らよ い か とい うの で あ る。
「い ま3点 問 題 に お い て 両 者 が32ピ ス トル ず つ 賭 け 甲 が2点 を と り乙 が1点 とつ た と こ ろ で 申 止 した ら賭 金 を 如 何 に 分 配 し た らよ い か 」
こ れ に対 す る答 は 甲48ピ ス トル,乙16ピ ス トル で あ る 。
「次 に 甲 が2点 を と り乙 が1点 も と らな い と こ ろ で申 止 し た ら如 何 」 答 は 甲56ピ ス トル,乙8ピ ス トル 。
「最 後 に 甲 が1点 を と り乙 が1点 も と らな い と こ ろで 申 止 した ら如 何 」 答 は 甲 必 ピ ス トル,乙20ピ ス トル 。
こ れ に 続 い て パ ス ワル は証 明 な しに 次 の 一 般 の 結 果 を与 え て い る。 これ を 今 日の 式 で が く と,
【1}2人 の 賭 金 はAず つ で,点 の 数 をn+1と し,甲 がn点 と り乙 が1点 も と らな い な らな い ところ で中 止す れ ば ・ 甲 の分 は 塾 膿 とな る』
(2〕 ま た 甲 が1点 と り乙 が1点 も と らな い と ころ で 申 止 す れ ば,甲 の 分 は
.A+A‑liilSi‑‑1‑i÷1‑fi‑1,2i5,i'.lii.簑 一1) とな る。
この あ とや は りメ レの提 出 した次 の問 題 に ふ れ て い る。 それ は1つ の 般 子 で6の 目 を出 そ うと4回 試 み る こ とは利益 で あ り(出 る率 の方 が 大 きい),2っ の 般 子で6の 目 を同 時 に2っ 出 そ う と して24回 試 み る こ とは不 利益(出 な い率 の 方 が大 きい)で あ る。 これ は ÷ と 器 が 等 しい の に 何 故 で あろ うか とい う の で あ る。
パ ス カル は この 解 決 を後 に 秩 序 立 て て し よ う と述 べ て い る。
以 上 の パ ス カル の 手 紙 に 対 す る フ ェル マ の 返 事 の 手 紙 は 現 存 し て お らな い 。 し か し次 の パ ス カル の 手 紙(1654年8月Pt日)か ら内 容 を 知 る こ とが で き
る。
これ に よ る と フ ェル マ の 方 法 は2人 の 競 技 者 の と き は成 立 す る と し て 次 の
例 を あ げ て い る 。 す な わ ち 甲 が あ と2点 とれ ば 勝 ち,乙 が あ と3点 とれ ば 勝
つ とい う問 題 の 解 決 を述 べ て い る。 と ころ が この フ ニル マの 方 法 をパ ス カル が
ロベ ル ヴ7ル(Roberval,1eo2‑‑75)に 伝 え た と ころ 反 対 され て し ま つ た 。 ロ
古典確率 論 にお け る諸 問題(1)(武 隈)‑89一
ベ ル ヴ ァル は 頑 迷 で パ ス カル の 説 得 が 理 解 で きず ま た理 解 し よ う と も し な か つ た 。
つ い で パ ス カル は フ ェル マ の 方 法 は3人 の 場 合 に は適 用 で き な い と例 を 以 て 説 明 し て い るが これ に は パ ス カ ル の 誤 解 で あ る(こ とが後 に 分 つ た)。
これ に 対 し て は フ ェル マか らパ ス カ ル へ の 手 紙2通(1654年8月29日 と9 月25日)に よ つ て 誤 解 が とけ た 。 前 の 手 紙 で 一 寸 ふ れ,後 の 手 紙 で 詳 細 に 述 べ
て い る。 フ ェル マ は ロ ベ ル ヴ ァル の 説 得 の た め に も3人 の 場 合 を懇 切 に 述 べ て い る。
こ の フ ェル マ の 手 紙 に 対 す る パ ス カ ル の 返 事(1654年10月27日)に は 誤 解 が とけ た 喜 び を表 わ して い る。
な お 日附 不 明 の フ ェル マ か らパ ス カル へ の 手 紙 が あ る。 これ に は 「6の 目 を 出 そ う と して 椴 子 を8回 投 げ る勝 負 に お い て,途 中 で 投 げ る権 利 を放 棄 し た ら ど うな るか,例 え ば3回 と もの6目 が 出 な い と き,4回 目 を申 止 した と した ら賭 金 を い く ら貰 え る で あ ろ うか 」 とい う問 題 が 論 ぜ られ て い る。
以 上 で 両 者 の 間 に 取 交 わ され た6通 の 手 紙 の 説 明 を 終 る が,次 に 「パ ス カ ル の 三 角 形 」の 出 典 に つ い て 述 べ よ う。 こ れ はTrait6dutrianglearithm6tique
(算 術 三 角 形 論)(5)(6)に 表 わ れtも の で1654年 ごろ 印 刷 され た が1665年 ま で 出 版 され な か つ た 。 この算 術 三 角 形 論 は数 の 序 位,組 合 せ,確 率 論(点 の 問 題),2項 式 に 用 い られ た 。
こ の う ち点 の 問題 を算 術 三 角 形 を用 い て 如 何 に 解 い た か を しめ そ う。 ・ 先 ず 算 術 三 角 形 とは 次 頁 の よ う な 数 の 排 列 か ら各 行 各 列 同 数 だ け とつ て 左 下 と右 上 と を結 ん だ 三 角 形 を意 味 す る。
例 え ば 第6三 角 形 とい え ば,横 行 縦 列 は1が6個 な らび底 辺 は1,5,10, 10,5,1,と な らぶ もの で あ る。
2,人 の 賭 博 者 が あ つ て 勝 つ ま で に は 甲 はm点 不 足,足 乙 はn点 不 足 し て い
る と き,第(m+n)三 角 形 を考 え そ の 底 辺 の 数 の 左 下 か らn個 の 数 の和 と残 り
の 瓶 個 の 数 の 和 を計 算 す る と,そ の 比 が 両 者 の 分 け前 の 比 に な る とパ ス カル は
解 決 し て い る。,
一90一 商 学 討 究 横
{・ ・2・3・ ㌦
1.
2.
3.
縦4 .
5.
列6.
7.
8.
9.
10.
第8巻 第3号 行
5.6.7.8.9.10,
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1.1.1.1.1.1.
2.3.45.6.7.
3.6.陰10.15.21.28.
4.10.20.35.56.84.
5.15.35.70.126.
6。21.56.126.
7.28.84.
辺 8.36.
9.
1 8 %
これ を今 日の 記 号 で か く と,m十n‑1=kと お く と き
甲:乙=(kCo十kC1+・
:(kCo十kCl十 ・
と な る 。
・…+kCn ‑、)
… ・・+kCm ‑、)
1.1.
9.
底
例 え ば 甲 が2回 不 足 乙 が4回 不 足 して い る と き,第(2+4)三 角 形 の 底 辺 は1,5,10,10,5,1,な の で
甲:乙==(1十5十10十10):(5十1)=26:6 とな る。
以 下 に パ ス カル の 解 い た 問 題 を 述 べ て お こ う。
1.2人 の 賭 博 者 が あ つ て,そ の い ず れ か が 上 りに 達 す る ま で に は,い ず れ に もそ れ ぞれ ま だ幾 回 か の 勝 が 不 足 して い る と き に,(も し 彼 等 が 勝 負 をせ ず に 別 れ る こ と を欲 す る な らば)各 々 に な お 不 足 し て い る勝 の 回 数 に 応 じ て 行 わ る べ き分 け前 を,算 術 三 角 形 に よ つ て 見 出 す こ と。
2・2人 の 賭 博 者 が あ つ て,或 る一 定 の 回 数 の 勝 負 を す る こ と を 申 合 せ,各
々 が こ れ に 同 額 の 金 を賭 け た とす る。 そ の 場 合,負 け て い る方 の 賭 金 に つ い て
最 後 の 回 の 勝 負 の 値 を算 術 三 角 形 で 求 め る こ と。
古 典確率論 にお ける諸問題(1)(武 隈)‑91‑
(こ れ は 甲 が あ と1回 勝 て ば よ く・ 乙 はn回 勝 た ね ば な らぬ 場 合 で 南 る。) 3.2人 の 賭 博 者 が あ つ て,或 る一 定 の 回 数 の 勝 負 を す る こ とに し,各 々 が 同 額 の 金 を 賭 け た とす る 。 そ の 場 合,負 け て い る方 の 賭 金 に つ い て,最 初 の 回 の 勝 負 の 値 を算 術 三 角 形 で 求 め る こ と。
(こ れ は 甲 が あ とn‑1回,乙 がn回 勝 た ね ば な らぬ 場 合 で あ る 。)
4・2人 の 賭 博 者 が あ つ て,或 る一 定 の 回数 の 勝 負 を す る こ とに し,各 々 が こ れ に 同 額 の 金 を賭 け た とす る 。 そ の 場 合,負 け て い る方 の 賭 金 に つ い て ・第 2回 目の 勝 の 値 を算 術 三 角 形 で 求 め る こ と。
(こ れ は 甲 が あ とn‑2回,乙 がn回 勝 た ね ば な らぬ場 合 で あ る 。)
皿 ホ イ ヘ ソ ス
確 率 論 に 関 す る 論 文 で は じ め て 印 刷 物 と な つ た もの は ホ ィ ヘ ン ス(Chris‑
tianHuygens・1629‑1695)の も の で あ る 。 題 名 はDeRat美ociniisinLudo
Aleee(運 ま か せ の 勝 負 ご と に お け る 計 算 に つ い て)で,そ れ は ス ホ ー テ ン (Frans.vanSchooten,1615‑1661)の 著 書Exercitationummathemati(rarum
Libriquinque(1657)に の つ て い る 。 ス ホ ー テ ン は ラ イ デ ン 大 学 の 数 学 教 授 で ホ イ ヘ ン ス を 教 え た 。 こ の 論 文 は は じ め オ ラ ン ダ 語 で 書 か れ た が ス ホ ー テ ン に よ つ て ラ テ ン 語 に 訳 さ れ た も の で あ る 。 ウ ォ リ ス と ラ イ プ ニ ッ ツ は こ の 論 文
を 賞 讃iし て い る 。 こ れ は 後 に ヤ コ ブ ス ・ ベ ル ヌ ー一!f(JacobusBernoulli,1654
‑1705)の 著 書ArsConjectar}di(推 論 法,1713)の な か に 註 釈 づ き で 再 刊 さ
れ た 。 そ れ は こ の 書 物 の4部 の な か の 第1部 を な す も の で あ る 。 こ の 書 物 の 全 貌 に つ い て は 後 に 述 べ よ う 。
ホ イ ヘ ン の 論 文 は14の 命 題 を 含 ん で い る 。
第1の 命 題 は,競 技 者 が 金 額aを 得 る チ ァ ン ス(運 又 は 機 会)と 金 額bを 得 る チ ァ ン ス を 等 し く も つ と き,彼 の 期 待 値 は 量(a+b)で あ る 。
第2の 命 題 は,競 技 者 がa又 はb又 はcを 得 る 等 し い チ ァ ン ス を も つ と き 彼 の 期 待 値 は 善(a十b十c)で あ る 。
第3の 命 題 は,競 技 者 がaを 得 るpチ.ン ス とbを 得 るqチ7ン ス を も つ
■
●
一92一 商 学 討 究 第8巻 第3号
とき・彼の鵬 値は 黒 艶 である・
以 上 の よ うに 「期 待 値 」 は彼 に 負 う もの で あ る。.
第4,第5,第6,第7の 命 題 は点 の 問 題 の 単 純 な場 合 で 競 技 者 が2人 の と き を 論 じ て い る 。 方 法 は パ ス カル の もの(1654年7月29日 の 手 紙)と 似 て い る。
第8,第9の 命 題 は 同 じ く競 技 者 が3人 の と き を論 じて い る。 方 法 は2人 の と き と似 て い る 。
そ の 後 は椴 子 に 関 す る問 題 へ と進 み,第10の 命 題 に お い て は,1っ の 般 子 を投 げ る と き6の 目 が何 回 出 るか を研 究 し て い る 。
第11の 命 題 で は,1対(2っ)の 般 子 を投 げ る と き12の 目 が 何 回 出 るか を 研 究 し て い る。"'
第12の 命 題 で は,1回 の 投 げ で 少 く と も2つ の6の 目 が 表 わ れ る た め に は い くつ の 段 子 を ふ らな け れ ば な らな い か を研 究 し て い る。
第13の 命 題 は 次 の 問 題 を論 じ て い る。AとBと が2つ の 般 子 で 勝 負 す る。
7が 投 げ られ た らAは 勝 ち,10が 投 げ られ た らBが 勝 ち,そ の 他 の 数 が 投 げ ら れ7ら 賭 金 は 折 半 され る。AとBの チ.ン ス を比 較 せ よ 。 そ れ は13対11で あ
る。
第 の14命 題 は次 の 問 題 を論 じ て い る。AとBと は次 の 条 件 の 下 に2つ の 般 子 で 勝 負 す る 。Bが7を 投 げ る前 にAが6を 投 げ た ら賭金 が 貰 え る。 ま たAが 6を 投 げ る前 にBが7を 投 げ た ら賭 金 が 貰 え る。Aか ら始 め て 交 互 に 投 げ る。
AとBの チ ァ ンス を比 較 せ よ 。 答 は30対31で あ る 。
これ らの 命 題 の あ とに5つ の 問 題 を解 な し で読 者 に 提 出 し て い る が,解 は ベ ル ヌ ー イ に よ り 「推 論 法 」 に お い て 与 え られ た 。
〔1)AとBは 次 の 条 件 の 下 に2っ の 殼 子 で 勝 負 す る。Aが6を 投 げ た ら勝 ち,Bが7を 投 げ た ら勝 つ 。Aが 始 め に1回 投 げ,次 にBが2回 投 げ る。 そ れ か らAが2回 投 げ る とい うよ うに し て い ず れ か 一 方 が勝 つ ま で 争 う。AとBの
チ7ン ス は10355対12276で あ る こ と を し め せ 。
{2〕3人 の 竸 技 者A,B,Cが12個 の 球 を と る。 そ の 各 々 は8つ が 黒 で4
古典 確率論 にお け る諸 問題(1)(武 隈)‑93‑・
つ が 白 で あ る。3人 と も 目隠 し され て,臼 を つ か ん だ 人 が 勝 ち とす る。Aか ら 始 め てA,B,Cの 順 で 勝 負 を す る。3人 の チ ァ ン ス を決 定 せ よ 。
ベ ル ヌ ー イ を これ を解 くの に3つ の 場 合 に 分 け た 。 第1は 各 球 が 取 出 され る毎 に 元 へ か え す 。 第2は12個 の 球 が1組 し か な くて 取 出 し て か らは 戻 さ な い とす る。 第3は 各 人 が12個 の 球 を も ち取 出 し て か らは戻 さな い とす る。
〔3}10枚 の カ ー ドが4組 で如 枚 あ る。A,Bが4枚 ひ・ い て 各 組 の1枚 つ つ が 入 つ て お れ ば勝 と す る。AとBの チ7ン ス は1000対8139で あ る。
四12個 の 球 が あ つ て8っ は 黒4つ は 白 で あ る。AとBが 目 隠 くし て7っ の 球 を と り3つ が 白 に な れ ば勝 とす る。AとBの チ.ン ス を比 較 せ よ 。
{5).AとBが12個 の 模 造 貨 幣 を もつ て3っ の 般 子 で 勝 負 す る 。11が 投 げ ら れ た らAがBに1枚 の 模 造 貨 幣 を渡 す 。14が 投 げ られ た らBはAに1枚 の 模 造 貨 幣 を渡 す 。 か く し て 相 手 の す べ て の 貨 幣 を とつ た ら勝 ち とす る。AとBの チ ァ ン ス は244140625対282429536481で あ る。
ホ イヘ ン ス の 論 文 は ベ ル ヌ ー イ,モ ン モ ール,ド ・モ ァ ヴ ル の もの に よ つ て 置 換 え られ る ま で は最 良 の もの で あ つ た 。 これ らの3人 に つ い て 述 べ る前 に 組 合 せ の 理 論,死 亡 数 の 法 則,生 命 保 険 の 原 理 に 関 す る歴 史 や そ の 他 の 研 究 に 触 れ な け れ ば な らな い 。
IV組 合 せ に つ い て
組 合 せ の 理 論 は確 率 論 に 関 係 が深 い の で,こ れ に 関 し て17世 紀 の 終 りま で 一 通 り調 べ て み よ う。
組 合 せ に 関 す る 最 初 の 注 目 は ウ 。 リス(JohnWallis,1616‑1703)の 代 数 書(Algebra,1693)に お い て な され た 。 そ れ は バ ック レ イ(NVilliamBuc・
kley)の 業 蹟 を 引 証 し た もの で あ る 。 バvク レイ は ケ ン ブ リ ッジ の キ ン グ ・カ レ ッ ジ の 会 員 で エ ド ワ ー ド6世 時 代 の 人 で あ る 。 彼 は ラ テ ン 語 で 算 術 の 法 則 を 含 む 小 冊 子 の 数 学 書 を か い た 。
バ ッ ク レ イ の 法 則 に よ る と,4つ の 物 か ら1度 に1っ,2っ,3っ,4つ と
と る組 合 せ の 数 は1+2+4+8=15で あ る とい う。 この 求 め 方 は後 に 述 べ る ス
ホ ー テ ン の もの と同 じ で あ る 。
一94一 商 学 討 究 第8巻 第3号
次 に 歴 史 的 に評 判 の 高 か つ た 例 とし て,プ チ 。ヌ ス(EryciusPuteaUUS) が 著 わ し た 書 物EryciiPuteaniPietat{sThaumatailiBernardiBauhusiiO
SocietateJesuProteumParthenium(1617,Antwerp)が あ る 。 こ れ は 組 合 せ の 理 論 と は あ ま り結 び つ きは な い が,後 に ヤ コ ブ ス ・ベ ル ヌ ー イ が 自著 「推 論 法 」 に お い て 詳 し く論 じ た 程 さわ が れ た 書 物 で あ る。
BernardusBauhusiusが 処 女 マ リ ア を讃 え た 詩 の 一 行 に Tottibisuntdotes,Virgo,quotsideracaelo.
とい うの が あ る。 これ を 並 べ か え る と1022通 りあ る とい つ て48頁 も説 明 し て い る。
組 合 せ に 関 す る最 初 の 論 文 は パ ス カ ル の 「 算 術 三 角 形 論 」 の 本 論 とそ の 附 帯 論 文 で あ る 。 彼 の 得 た主 な結 果 を今 日の 記 号 で 書 い て み よ う。 「組 合 せ に 関 す る算 術 三 角 形 の 応 用 」 とい う附 帯 論 文 に お い て 次 の3つ を 述 べ て る。
1・ 底 辺 がrの 三 角 形 に お い てP番 目の 横 行 の 数 を加 え る と,そ れ はr個 の もの か ら1度 にP個 と る組 合 せ の 数(multitude)に な る。(命 題 第 一)
例 え ば 底 辺10の 三 角 形 に お い て8番 目 の 横 行 の 数 を加 え る と,1+8+36=
45が10か ら1度 に8個 と る組 合 せ の 数 に な る。
2.算 術 三 角 形 の 任 意 の 数 値 は,そ の 底 辺 よ り1だ け少 な い 数 か ら,そ の 横 行 よ り1だ け 少 な い 数 を 取 出 す 組 合 せ の 数 に 等 し い 。(命 題 第 二)
3.2数 が 与 え られ て い る と き,一 方 か ら他 方 を 取 出 す 組 合 せ の 仕 方 が幾 通 りあ るか を,算 術 三 角形 に よ つ て 見 出 す る と。(問 題 第 一,命 題 第 三)
この う ち最 後 の もの は 本 論 に お い て,r個 の もの か ら1度 にP個 と る 組 合 せ の 数 は
(P十1)(P十2)(P十3)… …r (r‑P)!
r(r‑1)(r‑P十1) 又 は
P!
と求 め て い る 。 後 者 の 式 が 今 日親 レ み 深 い 。
次 に ス ホ ー テ ン は 自著Exercitationumに お い て 組 合 せ に一 寸 触 れ て い る 。
彼 は4つ の 交 字a,b,c,dを 次 の よ うに並 べ た 。
古 典 確 率 論 に お け る 諸 問 題(1)(武 隈)‑95‑
a, b,ab.
c,ao,bc,abc.
d,ad,bd,abd,cd,acd,bcd,abcd.
こ れ に よ り4っ の も の か ら選 び 出 す 方 法 は15通 り あ る と い う 。 つ い で5っ の 文 字 を 取 り,一 般 にn個 の も の か ら 取 出 す 方 法 は2n‑1通 り あ る こ と を 推 測 し て い る 。 こ れ は 整 数 を 素 因 数 分 解 し た と き,約 数 の 個 数 を 計 算 す る の に 用 い ら れ る 。
つ い で 同 じ 文 字 が 繰 返 さ れ る と き を 論 じ て い る 。 例 え ばa,a,b,cと 与 え ら れ た と き,
翫,
a,aa・
b,ab,aab.
c,ac,aac,bc,abc,aabc.
と並 べ て2+3+6=12通 りあ る とい う。 そ し て これ を再 び整 数 の 約 数 の 問 題 に 用 い て い る。 例 え ば 「約 数 を16個 もつ 最 小 の 整 数 は い く らか 」 な ど を 解 い て い る。
次 に ラ イ プ ニ,ツ(G・W.Leibniz,IM6‑‑1716)は1666年 に 「組 合 せ 論 」 Disertatiodeartecombinatoriaを 発 表 し た 。 これ は数 学 に 関 係 あ る彼 の 最 も 卑 い 業 蹟 とし て 興 味 深 い もの で あ る。 こ の 論 文 の 最 初 に パ ス カル の 算 術 三 角形
に 似 た 表 を掲 げ,定 め られ た 物 の 集 合 か ら2っ,3っ,4っ … … 全 部 を と る組 合 せ の 数 を見 出 す の に 応 用 し て い る。 論 文 の 後 の 方 で は,定 め られ た 物 の 集 合 か ら全 部 を と り出 す順 列 の 数 をい か に し て 求 め るか を示 し て い る。 そ し て 最 初 の 24の 自然 数 の 積 を作 つ て み せ た 。
こ の 論 文 は 実 は 数 学 よ りは 哲 学 の 面 に お い て 重 要 な 意 味 を も つ て い る 。 彼 の 哲 学 の 業 蹟 に 含 ま れ るErdmannの 判 断 の 妥 当 性 を裏 付 け る とい う性 格 の 論 文 な の で,例 え ば 三 段 論 法 の 様 式 の 個 数 に 関 す る長 い 研 究 が あ る。 ま た 神 の 存 在 の 証 明 が あ るが,そ れ は3つ の 定 義 と1つ の 公 準,4っ の 公 理,1つ の 観 察
の 結 果 す な わ ちaliquodcorpusmoveturに 基 礎 を お く もの で あ る。
・ ・ 一 ・ ・96t‑一 ・ 商 学 討 究 第8巻 第3号 い ま この 論 文 か ら興 味 深 い もの を 拾 い あ げ る と,
(1」 物 の 集 ま りか ら一 時 に2っ の もの を と る と き,com2nat三 ・(cornbi1iatio>
3っ の もの を と る と き,com3natio(conternatio),4っ の もの を と る と き・
con4natio,… … とい う記 号 を つ くつt。
{2)組 合 せ に つ い て は ラ イ プニ ッ ツは パ ス カ ル よ り遙 か に 劣 る。 そ れ とい う の もパ ス カ ル の もの を見 て お らぬ らしい 。 一 時 に2っ の もの を と る組 合 せ の 数
n(n‑1) と与 え
,こ れ よ り3つ 以 上 に 進 め て は い るが,3っ 以 上 の 組 合 は2
せ の 数 が い か に な るか は 与 え て お らな い 。 そ れ らは パ ス カル に よ つ て 既 に 得 られ て い る。
(3)パ ス カル の 算 術 三 角 形 に 似 た表 を与 え た 後 で,い く らか 重 要 と思 わ れ る もの は次 の 定 理 で あ る。 定 理 ・nが 素 数 な らばn個 の もの か ら一 時 にr個 と る 組 合 せ の 数 はnで 割 切 れ る。
{4}算 術 の 記 号 とし て+,一,=を 用 い た 外 に 乗 法 とし て(プ 除 法 と し て )を 用 い た 。 ま たproductumを 和 の 意 味 で 用 い た 。 例 え ば4を3+1の
prOductumと よ ん だ 。
次 に ウ ォ リス の 代 数 書 に あ る 組 合 せ 論 に つ い て 述 べ よ う。 これ は 英 語 版 (1685)に の せ られtも の で ラ テ ン語 版(1693)で は485頁 か ら529頁 ま で に あ
る。1795年 の 英 語 版 の 表 題 は次 の 通 りで あ る。TheDocto血eofPermutations andComb㎞ations,beinganessentialandfnndamentalpartoftheDoctorine
ofChanceS.
第1章 は い くつ か の もの か ら1っ 又 は そ れ 以 上 を取 るか 残 す た め の 選 び方 の 数 を述 べ て い る。 パ ス カル の 算 術 三 角 形 と一 致 す る表 を掲 げ そ の 用 い 方 を示 し て い る。 ウ 。 リ は パ ス カ ル 以 上 の もの を与 え て お らな い し,ま た パ ス カル を 引 照 し た と もい っ て な い 。 彼 の 不 器 用 な 筆 致 は パ ス カ ル の 輝 か し い そ れ と よ い 対 照 を な し て い る。 第1章 は バ,ク レ イの 算 術 の 抜 粋 とそ の 説 明 で と じて い る
が そ れ は 既 述 の 通 りで あ る。
第2章 は い くつ か の もの の な らべ 方 を 述 べ て い る。 今 日の 順 列 で あ る。4
つ の 文 字 の24の 順 列 を与 え7c。 まtc24個 の もの の 順 列 の 数 で あ る最 初 の24個 の
古典確 率論に お け る諸 問題(1)(武 隈)‑97一 自然 数 の 積 を作 つ た 。
Romaの 順 列 を24個 つ く り,そ の うち ラ テ ン 語 とし て 使 え るの はRoma, ramo,oram,mora,maro,armo,amorの7っ だ け で 他 は意 味 が な い 語 で あ る と附 加 え た ρ さ らに進 ん で 繰 返 し の あ る場 合 を考 え,そ の 例 とし てMessesを と りあ げ た 。eが2回,sが3回 あ るの で1×2×3×4×5×6=720を2×2×3
=12で 割 つ ナ こ60が 求 め る個 数 で あ る とい う。 最 後 に次 の 詩 の 排 列 の 数 を決 定 し よ う と試 み て い る。
Tottibisuntdotes,virgo,quotsideracaelo・
第3章 は整 除 数 に つ い て 述 べ て い る。 数 の 素 因 数 分 解 を行 い,与 え られ た 数 の 除 数 の 個 数 と与 え られ た 個 数 の 除 数 を もつ 最 小 の 整 数 に つ い て 論 じて い
る。
第4章 は 整 数 に 関 す る フsル マ の 問 題 に つ い て 述 べ て い る。 そ れ は フ 呂ル マ が ウtリ ス と英 国 の 数 学 者 に 挑 戦 し72つ の 問 題 の 解 法 を 含 む もの で あ る が い か な る問 題 で あ るか は 原 著 を 見 な い と分 らな い 。
以 上 で 組 合 せ の 概 観 は 終 る が,こ れ に よ る とパ ス カル 以 後 彼 を し の い だ も の は な く,飛 躍 的 発 展 は 後 に の べ るモ ン モ ー ル ま で 待 た ね ば な らな か つ た 。
V死 亡 数 と 生 命 保 険
死 亡 数 と生 命 保 険 に つ い て 述 べ るな らば そ れ 丈 で優 に 何 冊 もの 書 物 が で き る。 こ こ で は そ れ らの 起 原 に つ い て 一 寸 ふ れ て お く。
死 亡 数 に 始 め て 注 目 し た 人 は グ ラ ン ト(JohnGraunち1620‑‑1674)で あ る。 ロ ン ドン に お け る毎 年 の 死 亡 表 が黒 死 病 の 流 行 し た1592年 か ら作 られ,15 94年 か ら1603年 ま で は 申 断 され た が,以 後 連 続 し て い る。 これ を利 用 し て グ ラ
ン トは1662年 にNaturalandPoliticalObservationsmentionedinfQllowing
index,andmadeupontheBillsofMotarityを 著 わ し た 。 こ の 功 労 に よ り 一 商 人 か ら王 立 協 会 の 会 員 に 選 ば れ た 。
,序 言 の 巻 頭 に 「 私 は ロ ン ドンの 市 内 に 生 ま れ 育 つ て,毎 週 の 死 亡 表 を継 続
購 読 し て い る人 の 大 部 分 が,そ の 下 欄 に 目 を や つ て 埋 葬 数 が ど れ く らい 増 加 し
た か 減 少 し た か を知 り,ま た 死 因 に 目 を通 し て,そ の 週 の う ち に どの よ うな 珍
一 一‑98一 商 学 討 究 第8巻 第3号
ら し い 異 状 な も の が あ つ た か を 見 出 し,以 て そ れ ら を 次 の 会 合 の 話 題 に し よ う と す る の と,さ ら に 黒 死 病 の 時 に は 如 何 に こ の 病 気 が 増 加 し ま た は 減 少 し た か を み て,金 持 は 転 地 の 必 要 の 有 無 を 判 断 し,商 人 は 各 自 の 商 売 に お け る 取 引 の 見 込 を 推 測 す る 以 外 に は,そ れ ら の 表 を 殆 ん ど 利 用 し な い こ と を 常 に 見 て い た の で,私 は 市 の 賢 者 達 が こ れ ら の 記 録 を と つ て 配 布 す る と い う 称 讃 す べ き 慣 行 を 設 定 し た 本 年 の 目 的 は,上 述 の も の と は 別 な,も つ と 大 き な 利 用 に あ つ た に 相 違 な い と 考 え た 。 … … 」 と あ る 。 彼 の 優 れ た 劃 期 的 研 究 は 広 く 知 ら れ て い る の で こ こ に は 割 愛 し て お く 。
グ ラ ン ト は イ ギ リ ス の 政 治 算 術 学 派 の 一 人 と し て 著 名 で あ る が,他 に ペ テ 4(WilliamPetty,1623‑87)と バ リ(Edmund.Halley,1656‑‑1742)が
い る 。 こ の 両 者 に つ い て も よ く知 ら れ て い る の で 詳 細 は 省 略 す る が 後 者 に つ い て は 一 寸 ふ れ て お こ う 。
バ リ は 元 来 天 文 学 者 で あ る が,統 計 学 に お い て も輝 か し い 足 跡 を 残 し た 。 彼 を 有 名 な ら し め た 論 文 は1693年 の1》hilosophi(nlTransactionsに 発 表 さ れ た Anestimateof、the・DegreesoftheMortalityofMankind,drawnfrom
curiousTablesoftheBirthsandFuneralsattheCityofBreslaw;Withan
AttempttoascernthePriceofAnnuitiesuponLives.で あ る 。 バ リ の 表 は 次 の 通 りで あ る 。
現 在 年 令 1 2 3 4 5 6 7
人 数 1000
855 798 760 732 710 692
現在年令
8 9 10 11 12 13 14
人 数 680 670 661 653 鰯 脚 634 (以 下 略)
し か し この 表 を 読 取 る こ とが 容 易 で は な い 。Montuclaは1000人 生 れ て
855人 が1年 に到 達 し,そ の う ち798人 が2年 に 到 達 す る と理 解 し た 。Danie1
古典 確率論 にお け る諸問 題(1)(武 隈)‑99‑
Bernoulliは1000人 が1年 に 到 達 し,そ の う ち855人 が2年 に 到 達 す る と理 解
ジ
し た 。G.F.KnaPP(1842・ 一 ・‑1926)も こ の 表 の 理 解 に 努 力 し た が つ い に 失 敗 に 終 つ た 。 これ に つ い て は 例 え ば(7)を 参 照 され7Cい 。 ・ バ リは この 表 を 用 い て 生 命 保 険 の 年 金 替 次 の よ うに 計 算 し た 。n年 経 過 後 に 生 き る チ ァン ス を表 に よ つ て 求 めn年 後 に 支 払 わ れ る額 に これ を 掛 け た もの を1か らそ の 人 の 生 きな が ら え る年nま で 加 え た もの が 年 金 で あ る。 これ は バ リ も言 う如 く大 変 な 計 算 で あ る。 彼 は70才 ま で に5年 毎 に支 払 わ れ る年 金 の 表 を与 え た 。
次 に2人 が 何 年 か の 後 に 生 存 ま た は 死 亡 す る確 率 を考 えt。 若 い 方 が 現 在 の 年 令 に お け る人 数 をNと し,何 年 か 後 の 人 数 をRと す る と,N=R+Yに お け るYは 死 亡 す る人 数 とな る。 同 様 に 年 とつ た 方 の 人 数 をn,r,yと お く。
そ の と き2人 と も嗣 年 か の 後 に死 ぬ チ ・ンス は 吾 で あ り・若 い方 が生 存
し年 とつ ナ こ方 が死 ぬ チ ・ン ス は 筈 で あ る・ バ リは時間 の形 式 磯 何 学的 説
明 で 与 え た 。
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ABとCDはNを,DEとBHはRを,し た が つ てECとHA・ は ・Y "導 を表 わ す 。 同 様 にAC,AF,CFはn,r,yを 表 わ す 。長 方 形!EqFGIはYy
を表 わ す とい うよ うに 。 一…触 ∋躍
メ同様 に バ リtは3人 の場 合 を代 数 の形 式 や平 行六 面 体 に よ る幾 何 学 的説 明 で
一 一100一 商 学 討 究 第8巻 第3号 述 べ て い る。
バ リの 表 は後 年 ド ・モ ァ ヴル の 著 書 に 再 刊 され た 。
W1670年 か ら1700年 ま で
こ こ で は ホ ィ ヘ ン ス か らJ・ ベ ル ヌ ー 一イ ま で の 期 間 に お け る種 々 の 研 究 に つ い て 述 べ よ う。
イ エズ ス会 の 修 道 士JohnCaramuelが1670年 にMathesisBicepsを 出 版 し た 。 この 書 物 にCombinatoriaと い う章 が あ るが,こ れ に よ る と彼 が 組 合 せ を現 代 の 意 味 で 明 らか に し た 最 初 の 人 で あ る こ とが 分 る。 組 合 せ に つ い て 特 別 に 述 べ た て る こ と は な い が,彼 は 例 を以 て し め し 一 般 の 記 号 で は証 明 し な か つ た 。 まtClaviusやJzquierdusを 案 内役 と し て し ば し ば 引 用 し て い る 。
ニ コ ラス ・ベ ル ヌ ーイ は し き りにCaramue1に っ い て 述 べ て い る。 例 え ば
「私 の 論 文 で 引 用 し て い るCaramuelと い うイ エ ズ ス会 修 道 士 は ・ … ・ 一 で あ る が,し か し 彼 の 与 え た す べ て は妄 論 の か た ま りに 過 ぎ な い か ら私 は何 も得 られ な か つ た 」 と。 し か し これ は 仕 損 じ を誇 張 し た もの で 実 際Caramnelは 次 の 問 題 を正 し く 解 い て い る。2っ の 般 子 に よ る投 げ の チ ァン ス,2人 の 競 技 者 の 点 の 問 題,2回 又 は3回 投 げ た と き1の 目 が1度 出 るチ ァン ス,3つ の 椴 子 を投
げ るゲ ー ム に つ い て 。
彼 は3人 の 競 技 者 の 点 の 問 題 と他 の2つ の 問 題 に つ い て 誤 りを お か し た 。 1っ は ホ ィ ヘ ン ス の 第14番 目 の 問 題 で あ り,他 は そ れ と同種 の 問 題 で あ る。
彼 は 第14番 目 の 問 題 を次 の よ うに 解 い た 。 い ま 賭 金 を36と す る。 最 初 の 投.
げ でA.の チ ァ ンス は 蓄 な の で,畜 ×36=5がAの もの で あ る。 従 つ て36か ら 5を 引 い た31・ に 対 し てBの チ ァン ス は 者 な の で 蓄 ×31=5÷ がBの 最 初 の 投
げ の 値 に な る。Caramuelは こ こ で 残 りの25÷ をA,Bで 等 分 す れ ば よ い とい つ た が これ は誤 りで あ る。 こ の25÷ の 一 素 がAの 第2回 の 投 げ の 値 とな り,そ の 残 りの 音 がBの 第2回 の 投 げ の 値 に な る。 これ を 続 け て 無 限 幾 何 級 数 の 和 を 求 め る と 正 解 が 得 ら れ る 。
JosephSauveurがJourlユaldesSgavans(1679年2月)に お い てBassette
と い う ト ラ ン プ 遊 び の 公 式 を 証 明 な し に 与 え た 。 こ れ の 証 明 は ベ ル ス ー イ の
古 典 確 率 論 に お け る諸 問 題(1)(武 隈)‑101‑一
の
「推 論 法 」 の191頁 か ら199頁 ま で に あ る。 公 式 は6つ あ つ て 最 初 の5っ は 難 か し い が 両 者 は 一 致 し て い る。 最 後 はSauveurが 誤 ま つ て い るが ベ ル ヌ ー イ の 答 は き つ す ぎ る。SauveurはFontenelleに よ つ て 賞 讃 され,ま た 宮 廷 に 呼 ば れ て王 と女 王 の 前 に 計 算 を説 明 す る光 栄 に 浴 し た 。
J.ベ ル ヌ ー イ が1685年JoumaldesSgavansに 次 の2っ の 問 題 を提 出 し た 。
1.AとBが 次 の 条 件 で般 子 遊 び を す る。 最 初 に1の 目 を投 げ た 人 を勝 ち と す る。 先 ずAが1回 投 げBが1回 投 げ る。 つ い でAが2回 投 げBが2回 投 げ
る。 つ い で3回 つ つ とい う よ うに1の 目 が 出 るま で 続 け る。
2.ま ずAが1回 投 げ,次 にBが2回 投 げ,Aが3回 投 げ,Bが4回 投 げ,
… … こ れ を続 け る 。
、 この 問 題 は ベ ル ヌ ー イ 自 身 に よ つ て そ の 結 果 がActaEruditOrum(1690)
に 発 表 され るま で 解 か れ な か つ た 。 後 に 同 雑 誌 に ラ イ プ ニ 。ツ が そ の 結 果 を与 え た 。 チ ァ ンス は 和 の な い 無 限 級 数 に 絡 ん で い る。 ベ ル ヌ ーイ の 解 法 は 「推 論 法 」 の52頁 か ら56頁 に もあ る。
ラ イ プ ニ ッツ もま た 確 率 論 忙 大 きな 関 心 を もつ て い た 。 彼 自 身 は そ の 発展 に 貢 献 し た とは 言 え な い が 重 要 さ を痛 感 し て い た こ とは 間違 い な い 。 彼 の 注 意 を特 に 引 い た もの はゲ ー ム に 関 す る題 目 で,こ れ に彼 の 創 意 あ る力 量 を ふ る う 場 所 を 見 出 し た 。 彼 は ゲ ー ム に 関 す る系 統 的 な 論 文 を書 こ う とし た 。 第1は 数 だ け を含 む もの,第2は ヂxス の よ うに 位 置 に 関 係 あ る もの,最 後 に 玉 突 きの よ うに 運 動 に 関 係 あ る もの に つ い て で あ る。 これ らは 発 明 や 思 考 の 技 術 を完 成 す るの に 有 用 な もの で あ る。
ラ イ プ ニ ゥッ は2つ の 般 子 を投 げ た と き11が 出 るチ ァン ス は12が 出 るチ ァ ン スの2倍 で あ るこ と,7が 出 るチ ァン ス は12が 出 るチ ァン ス の6倍 で あ る こ と を知 つ て い た 。
さ て1692年 ロ ン ドン でOfthehawsofChanceと い う書 物 が 出 版 され た 。
… 著者 は 王 立 学 会 の 秘 書Ben ,iaminMotteと い わ れ て い るが,こ の よ うな 人 は 名 簿 に は な い 。 ト ドハ ン タ ー は 著 者 はArbuthnotで あ る と断 言 し て い6。
'内 容 は2部 に 分 れ 第1部 は ホ イ ヘ ン ス の 論 文 の 翻 訳 で 第2部 は 種 々 の 応 用
一10Z‑一 一 商 学 討 究 第8巻 第3号
噺 ■
を述 べ て い る。1頁 か ら25頁 ま で に ホ ィ ヘ ン ス が 解 か な い で 残 し た5つ の 問 題 が あ る。 そ れ に 関 し て こ う述 べ て い る。 「 読 者 が い ま の 方 法 を応 用 し て 解 く と い う満 足 を得 るで あ ろ う。 そ れ は 困 難 とい うよ りは 面 倒 で あ る。 例 え ば 私 は 第 2と 第3に と りか か つ て 見 よ う。 何 故 な ら残 りは 同 じ方 法 で 解 け るか ら」 と。,
そ し て 著 者 は 第2の 問 題 を ベ ル ヌ ー イ の 「推 論 法 」 に よ る3っ の 場 合 の う ち最 初 の もの とし て これ を解 い た 。 結 果 は 「推 論 法 」58頁 の もの と一 致 し て い る。
そ の 後 に ゲ ー ム に 関 す る計 算 を述 べ て い る。注 目 す べ き もの とし てRoyal・
OakLotteryが あ るが,こ れ は後 章 に 述 べ る ド ・モ ァヴル の 著 書Doctorine ofChancesr偶 然 論 」 の 序 文 に あ る もの と類 似 し て い る。3っ の 殿 子 で な され る種 々 の 投 げ の 数 の 表 が与 え られ て い るが,パ ス カ ル の 丸 写 し で それ 以 上 の も.
の で は な い 。
ま た カ ル タ遊 び の 一 種 で あ るWhistに つ い て ふ れ て い るが,こ れ も ド ・ モ.ヴ ル の 「偶 然 論 」 で厳 密 に 研 究 され た 。
次 に ホ ィ ヘ ンス の 問 題 よ り も更 に 復 雑 な もの を解 くに は次 の 定 理 が 必 要 で あ る と これ を書 加 え て い る。 即 ち
「私 がaに 対 し てPチ ァン ス,bに 対 し てqチ ァ ンス,Cに 対 し てrチ ァン ス を もつ な らば,私 の 賭 け は.塾P± 璽+c「 に 値 す る。 」.
P十q十r
こ れ を証 明 し た 後 にdに 対 し てsチ ァ ンス を もつ場 合 に 拡 張 し,つ い で 賭 け の ゲ ー ム を 考 察 し て い る。 これ らは や は り ド ・モ ァ ヴル の 「偶 然 論 」 の 結 果 に 導 か れ る。
以 上 第1部 に お い て は チ ァ ン ス がequalProbabilityに 起 る 場 合 の み を 考 え た が,然 ら ざ る場 合 に は問 題 は 違 つ た 結 果 に な りこれ は あ ま り面 白 くな い と 述 べ て い る。 例 え ば そ の よ うな 問 題 とし て 次 の もの を提 出 し て い るが 解 答 は読 者 に 委 せ て い る。
平 行 六 面 体 の 各 稜 の 比 がa,b,cの 比 に な つ て い る と き,与 え られ たab 面 に ぶ つ か るよ うな 投 げ は 如 何 程 お こ るか 。
こ6解 決 は 後 年 シ ンプ ソ ン の 第27の 問 題 と して 解 か れ るま で な され な か つ
た 。
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