浅海域における正弦波造波に伴う 2 倍周波数成分の越波量への影響

浅海域における正弦波造波に伴う 2 倍周波数成分の越波量への影響

Effect of 2nd-order Waves on Wave Overtopping by Sinusoidal Waves Generated in Shallow Water

土木工学専攻

34

号 細田 勝也

Katsuya HOSODA 1． はじめに

海岸工学において越波量の算定は重要な問題の一つであ り，現在までに数多くの研究がなされてきた．しかし，越 波量に関係する要素が多く現象が複雑なため，越波問題に はまだ研究の余地がある．過去の研究ではその要素の一つ である前後の波の干渉に着目したものがあり，例えば不規 則波の打ち上げ高に関して戻り流れの影響が小さいほど打 ち上げ高が大きくなることが示されている

(木村ら，1982)¹⁾

． また齋藤

(2006)^2）

は二連の孤立波を用いて2 波の間隔を短く していくと，

2

波が干渉を始める波峰高のピーク間隔が存在 し干渉の結果

2

波目の越波量が減少することを実験的に示 している．

本研究では，正弦波における前後の波の干渉に着目して 実験をおこなった．その結果越波量は周期によって大きく 変動した．ただしその変動は越波壁による反射（前の波と の干渉）ではなく浅海域における正弦波造波に伴う

2

倍周 波数成分によるものであることが判明した．

2．

正弦波造波による海岸堤防実験

2．1

実験概要

実験は吸収性能付きピストン型造波装置を有する断面

2

次元装置を用いておこなった．図－

1

に実験模型概要図を示 す．実験水槽は一様水深部

0.25m，一様斜面勾配1/20

であ る．なお，集水箱内には乱れを抑えるために消波マットを 設置して計測をおこなった．データの取得には

AD変換ボー

ドを装備したノート型パソコンを用い，サンプリング周波

数は

100Hzでデータを取得した．造波信号の振幅は沖波換

算波高

H0

を

5.0cmとなるように周期に応じて決定した．

個々波は水位計データからゼロダウンクロス法により定義 した．波高，越波量は水位変動の時系列データを定常状態 に達したと判断される所から連続する

5

波の平均を取り，

さらに越波量については単位幅当たりとしている．

2．2

実験結果

周期Tと越波量

Q

の関係を求めたものを図－2(

^■

印)に示す．

従来の規則波による越波量の考え方によると周期の増大に 伴い越波量は単調に増大する．しかし，今回の実験条

0.25[m]

10.30[m]

x

wave maker

s=1/20

14.91[m]

3.00[m]

10[mm]

15[mm]

X₁ X₂ X₃ X₄ wave gauge

図－1 実験模型概要図

1 1.5 2

0 20 40

0 2 4

T[s]

overtopping rate [cm3 /cm/wave]

Q_(hc=1.0cm)

η[cm]

ηp(hc=1.0cm)

Q_(hc=0cm)

図－2 周期

T

と越波量

Q

の関係

件では周期の増大に伴い越波量が単調増加するというわけ ではなく，T＝1.75，2.10s付近で越波量が減少するという 傾向がみられた．またこの図中には堤防前面における水位 変動ηのピーク値（以下 η

p

とする）を併せて示す．ただし η

p

は越波量を算出する際に用いた5 波の平均値である．こ の図より越波量

Q

はη

p

と強い相関があることがわかる．こ こで堤防前面における水位計データ，つまり越波波形に着

目すると

T＝2.10sでの越波波形は図－3

に示すように，

T＝

2.00，2.20sの越

波波形と比べ η

p

が小さくなって いるとともに

2

次波峰が存在す る．このことが 結果として越波 量Qを減少させ

41 42 43

0 2 4

time[s]

η[cm]

T=2.0[s]

T=2.1[s]

T=2.2[s]

図－3 堤防前面における越波波形

ている原因の１つと考えられる．なお越波 波形に2 次波峰が存在するのはT＝2.10sの ケースのみである．

2．3

反射波の影響について

反射波の効果について検討するために 堤防高さh

c =1.0cmと堤防なしの2

ケース について，図－

1

に示した水位計群

X1, X2, X3, X4

の

4

台のデータを用いて

SLSM

法に より一様水深部において入反射分離をお こなった．各水位計の間隔は造波板から

5,7.5,10cmであり，分離地点はX2 (X=10.125m)である．そ

の結果，

hc =1.0cm

での反射率は

7%

程度，堤防なしのケー スについては反射波が

2%程度であることが確認された．ま

た，図－2 から周期Tと越波量

Q

の関係は堤防の有無によら ない．これらのことから越波量の変動には反射波は関与し ていないと考えられる．

2．4 2

倍周波数成分について

次に着目したのはX

2

地点における進行（実測）波形が周 期によりかなり異なる点である．水位計データに数値ロー パスフィルターを施すことにより基本周波数成分と高次成 分との分離をおこなった．その際カット周波数は

1.5/Tとし，

さらに高次成分についてカット周波数を2.5/Tとして

2倍周

波数成分を分離した．厳密解である有限振幅波理論では水 位変動をフーリエ級数展開すると

1

次成分（基本周波数成 分）と拘束波としての

2

倍周波数成分が存在する．そのた め正弦造波すると造波に伴う

2

倍周波数成分が自由波とし て発生する．ここで

2

倍周波数成分間の位相関係について 検討する．

2

次の拘束波は造波周期

T

に対応する波速

C 1

で伝 わる．一方自由波は周期

T2=T /2

に対応する波速C

2

で伝わ る．任意地点における拘束波と自由波の到達時間の差は式

(1)で表される．

( )

⁼

∫

^X

( )

⁻

∫

^X C

( )

x dx x

C X dx

0 2 0 1

τ

(1)

造波段階で逆位相となっていることを考慮すると，

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

+

⋅

= +

⋅

⋅

=

⋅

=

：同位相

：逆位相

) 1 2 4 ( ) 1 2 2 (

4 2 2 2

2 2

T n T n

T n T n

τ n=0,1,2… (2)

となることが予想される．式(1)，(2)から

X=10.30m（斜面

先端） ，

14.91m

（汀線）地点において拘束波と自由波との

位相差を求め，実験結果である

2

倍周波数成分の波高H

2

， 越波量との関係をそれぞれ図－4(a),(b)に示す．図中の△，

▽マークは順に各周期におけるτをT /4 で割ることにより 奇数となる場合が同位相（

H2

：最大） ，偶数となる場合が逆 位相（

H2

：最小）であることを示す．これより両地点にお いて

H2

の変動は

2

倍周波数成分の位相関係と対応している ことがわかった． ただしX=14.91mでは

2

倍周波数成分より も

1

次成分の変動量が大きく越波量の変動と相関が高い．

これはX=14.91mでの数値ローパスフィルターを施して得 られた

2

倍周波数成分は， 図－

3

で示されるような砕波後の 前傾化した三角形の越波波形を周波数分解しているに過ぎ ないことに対応している．そのため，

2

倍周波数成分の位相 関係と越波量の増減とに相関があるのではないかと推測さ れるものの，斜面での実験（砕波・遡上を含む）ではその 検証は困難である．

3．

一様水深中の鉛直壁での実験

3．1

実験概要

越波量に与える

2

倍周波数成分の影響を検討するために 非砕波となる一様水深での実験をおこなった．実験模型概 要図を図－5 に示す．造波周期は式(1),(2)から鉛直壁前面

(X=10.00m)

において2 次の拘束波と自由波とが同位相お

よび逆位相となる周期と，その間を埋めるように斜面での 実験と同様に

0.05s

刻みとした．

0.25[m]

x

wave maker

10.00[m]

45[mm]

3.00[m]

wave gauge

図－5 実験模型概要図（鉛直壁での実験）

1 1.5 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 10 20

T[s]

τ/(T/4) H[cm] overtopping rate [cm3 /cm/wave]

phase lag at X=10.30m overtopping rate Q H2(2nd.order)X=10.30m

H1(1st.order) X=10.30m

図－

4(a) 2

次成分波間の位相差と

2

次 成分の波高および越波量(

X=10.30m)

1 1.5 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 10 20

T[s]

τ/(T/4) H[cm] overtopping rate [cm3 /cm/wave]

phase lag at X=14.91m overtopping rate Q H2(2nd.order)X=14.91m

H1(1st.order) X=14.91m

図－

4(b)

同左

(X=14.91m)

3．2

実験結果（図－

6）

ま ず 鉛 直壁の 無 い 状態

(

全 水 槽 長は

18.35m)

で ，

X=10.00mにおいて2

倍周波数成分間の波高(

^●)はほぼ計算

した位相関係と対応している．鉛直壁の設置時にも波高は 反射のために大きくなるものの同じ対応関係が確認される．

越波量は

2

倍周波数成分の波高と同様の挙動を示し，

2

倍周 波数成分間の位相関係が越波量に大きく影響していること がわかった．計算では

T

＝

2.00s

において

2

倍周波数成分の 位相関係が逆位相となり波高は打ち消されて越波量が最小 となることが期待される．しかし，実際にはもっと長周期

側の

T＝2.10sにおいて2

倍周波数成分の波高および越波量

は極小値をとっている．このことは周期の長い側における 差異は

3

次成分の影響と考えられる．

1 1.5 2 2.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 10 20 30 40

T[s]

τ/(T/4) H[cm] overtopping rate [cm3 /cm/wave]

overtopping rate Q phase lag at X=10.00m H2<壁なし> H2<壁あり>

図－6

2

次成分波間の位相差と

2

次成分の 波高および越波量

(X=10.00m)

3．3 2

倍周波数成分に対する考察

クノイド波

1

次近似解のフーリエ級数展開の係数を用い て計算した各地点の

1

次および

2

倍周波数成分の波高と実 験結果との比較をおこなう．

H2max

およびH

2min

は

2

次の拘 束波と自由波の位相関係が同位相および逆位相となった場 合の波高であり，

H2b

を

2

次の拘束波の波高とすると

H b

C

H C ₂

2 1 max

2 1⎟⎟⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= (3)

H b

C

H C ₂

2 1 min

2 1⎟⎟⎠⋅

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

= (4)

となる

³⁾

． これを基に比較をおこなったものを図－7 に示す．

概ね計算と実験結果とで

2

倍周波数成分の波高H

2

は同様の 挙動を示しているといえるが，図－

6

と同様に逆位相となる タイミングが

T

＝

2.00s

と

2.10s

とで異なる結果となった．こ

の原因として以下のことが考えられる．長周期側では非線 形性により波速が異なる．またさらに高次の成分である

3

次成分が影響し，

1

次との差の干渉を考慮する必要があるの ではないかと推測される．後者については周期が長くなる に伴い，

2

倍周波数成分に対して

3

次以降の成分の比率は大 きくなっていくことは確かである．次に波高の大きさにつ いて検討すると逆位相となる場合には計算結果に近い値と なり打ち消していることが確認できる．それに対して同位 相の場合には実験結果は計算結果の

6,7

割程度となってい る．これは孤立波同士の重ね合わせが線形でないことと同 様に，同位相時の拘束波と自由波の重なりが非線形である ことに起因していると考えられる．

1 1.5 2 2.5

0 1 2 3 4 5

T[s]

H[cm]

H₁ H_2max H_2min H₂ H1<exp>

H2<exp>

図－7

X=10.00m

における各成分波の波高（壁なし）

次に鉛直壁の高さをかさ上げすることにより越波しない 場合の鉛直壁前面での水位について検討する．

2

倍周波数成 分の振幅が増幅するケース（同位相）T＝1.54,1.78s，打ち 消すケース（逆位相）

T

＝1.64,2.10s における実測波形およ び

2

倍周波数成分の水位の

1

周期変動を図－8 に示すが，

2

倍周波数成分が増幅するケースでは波形の峰が尖っている 様子がわかる．この尖った分だけ水位のピーク値が増大し，

結果として越波量が増大するものと考えられる．

–5 0 5

t / T

η[cm]

η2nd.order<T=1.54s>

ηtotal<T=1.54s>

ηtotal<T=1.78s>

η2nd.order<T=1.64s>

0 1 2

ηtotal<T=1.64s>

ηtotal<T=2.10s>

η2nd.order<T=,2.10s>

η2nd.order<T=1.78s>

図－8 鉛直壁前面での水位データ（越波なし）

4．

富士・吉原海岸における実験結果の検討

駿河湾に面した静岡県富士・吉原海岸において台風

6626

号の高波が海岸堤防を越波し後背地に流れ込み，甚大な被 害を引き起こした．当地ではそれを契機に海岸堤防をかさ 上げすることとなり，その高さを決めるため災害当時の水 理条件を推定するべく規則波を用いた実験が実施された．

その結果被災時は，最大波で周期

T=20 s，沖波波高H0=21m

と推定され，それに対応するために

T.P.17m

という非常に高 い海岸堤防が築かれた

(富永ら，1967)

．齋藤(2006)は再実験 をおこない検討しており，ここではその時の実験条件に対 して

2

倍周波数成分について検討する．実験模型概要図は 図－

9

に示す通りであり，ここに

T=1.1

，

1.3s

の規則波を入 射させている．その結果が図－10 である．T=1.1，1.3sと もに斜面先端（X=11.90m）では

2

次の拘束波と自由波との 位相差は同位相である．ここで齋藤(2006)の実験条件を基 にクノイド波

1

次近似解のフーリエ級数展開をおこなった ものを図－

11(a),(b)に示す．X=6.30m地点では2

倍周波数 成分は逆位相である．

H=5.0cmのケースでは2

倍周波数成 分は

1

次成分の波高の

28％程度であり，H=10.0cmのケー

スでは

53

％程度である．波高の増大に伴い非線形性が強く なり，そのあたりから

2

倍周波数成分の影響が顕著になり 急激に越波量は変動する可能性がある．このことを念頭に 図－

10

をみると富永ら

(1967)の実験結果では，H0=8.5cmよ

り大きい範囲では越波量は直線的に増加せず，指数関数

X

11.90

13.20 13.69

0.260 0.297 0.017

1/5

1/13

wave maker

unit:(m) 0.266

0.010

／

／

／ ／

／ ／

／

／

／ ／／

／

／

／

／

／

／

／

／

／

／

／

／

／

／

／ ／ ／ ／ ／ ／ ／

／

図－

9

実験模型概要図（富士・吉原海岸）

4 6 8 10 12

0 10 20

overtopping rate (cm3 /cm/wave)

wave height H₀(cm)

T=1.3s (20s)

齋藤 （1967）

周期（現地換算）

T=1.1s (17s)

図－10 沖波換算波高と 1 波当たりの越波量の関係

的に増大している．以上のことから，この実験においても

2

倍周波数成分は越波量に対する影響が有意であった可能性 が高く，規則波による実験が災害時の推定越波量に対応す る入射波高の推定にあたって過大評価になっている可能性 を指摘できる．

–5 0 5

10 20

–5 0 5

time[s]

η[cm]

η₁ η_2b+η_2f X=6.30m

X=11.90m

η_total

図－11(a) クノイド波

1

次近似解のフーリエ級数展開

（

T=1.3s， H=5.0cm）

–10 0 10

10 20

–10 0 10

time[s]

η[cm]

η₁ η_2b+η_2f

2

）齋藤典之

(2006)

：越波現象に及ぼす波の連なりの効果，中央大 学大学院理工学研究科土木工学専攻修士論文

X=6.30m

X=11.90m

η_total

図－

11(a)

クノイド波

1

次近似解のフーリエ級数展開

（

T=1.3s， H=10.0cm）

2． まとめと今後の課題

以下に主要な結論を列記する．①斜面での実験から周期 の増大に伴い越波量が一様に増加しないことを確認した．

②その原因として

2

次成分の拘束波と自由波の位相関係に 着目した．③鉛直壁での実験により，

2

倍周波数成分が越波 量に影響を与えることを検証した．④この応用例として富 士・吉原海岸における実験結果を検討し，災害時の推定越 波量に対応する入射波高の推定にあたって過大評価になっ ている可能性があることを指摘した．

今後の課題としては①斜面上での

2

倍周波数成分と浅水 変形，砕波との関係の解明．②クノイド波造波により周期 の増大に伴い越波量が一様に増大するかどうかの検証実験 などが挙げられる．

参考文献

1）木村晃・瀬山明・若狭聡(1982)：波のうちあげ高におよぼすも

どり流れの効果，第

29

回海岸工学講演会論文集，

pp.380－384．

3）関克己(2007)：中央大学流体力学研究室勉強会資料(1/22)