等比数列の和の公式

1

等比数列の和の公式

 のとき，

r ≠ 1

S_n = na

数

日付(        月         日        曜日  )   名前 (       ）

初項   公比   の等比数列の初項から第   項までの和   はa r n S_n

等比数列の和の公式

( r < 1 ) S_n = a(1− rⁿ)

1− r

( r > 1 ) S_n = a(rⁿ− 1)

r − 1

 のとき，

r = 1

x

次のような等比数列の初項から第   項までの和   を求めよ。n S_n

例題１

(1) 初項  ,  公比 3 2 (2) ^{初項  ,  公比} 1 1 2 解

= 3(2ⁿ− 1) r > 1 より，

(1)

S_n = 3(2ⁿ− 1) 2 −1

(2) r < 1 より，

S_n = 1⋅ {1− (¹₂)ⁿ}

1− ¹₂ = 2{1 − (¹₂)ⁿ}

2(1− ¹₂) = 2(1− 1 2ⁿ)

(1

2)ⁿ = 1 2ⁿ

2

x

例題３

x

次の和を求めよ。

例題２

解

初項から第   項までの和が   , 第   項から第   項までの 和が   である等比数列の初項   と公比   を求めよ。

3 3 2 4

−6 a r

解

等比数列の和の公式

数

日付(        月         日        曜日  )   名前 (       ）

(1) 2 + 4 + 8 +・・・+ 128

(2) −3 + 9 + (−27) +・・・+ 729

初項  ,  公比   の等比数列なので，2 2

(1) a_n = 2⋅ 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ

末項 128 なので， 2ⁿ = 128 ^より，n = 7

よって，

= 254 S₇ = 2(2⁷− 1)

2 −1

初項  ,  公比 3 −3 の等比数列なので，

(2) a_n = 3 ⋅ (−3)ⁿ⁻¹

末項 729 なので， 3 ⋅(−3)ⁿ⁻¹ = 729 ^より，n = 6

よって，

= 546 S₆ = −3{(1− (−3)⁶)}

1− (−3)

条件から a + ar + ar² = 3 ・・・①  ・・・②

ar + ar²+ ar³ = − 6

②より,   r(a+ ar + ar²) = − 6 3r = − 6 r = − 2

 を①に代入

r = − 2

a− 2a + 4a = 3 a = 1

よって,  初項   と公比 1 −2

a, ar, ar², ⋯, arⁿ⁻¹

初項から第   項までの  数列の並び

n