解析学特論（担当：小森）演習問題（６月７日）

解析学特論（担当：小森）演習問題（６月７日）

定義

1. (X, O )

は位相空間とする。関数

f : X → R

が下半連続であるとは、

任意の

a ∈ R

に対し、{

x ∈ X | f (x) > a }

が開集合になることとする。関数

f : X → R

が上半連続であるとは、任意の

b ∈ R

に対し、

{ x ∈ X | f (x) < b }

が開集合になることとする。

問題

1. (X, O )

は位相空間とする。以下を示せ。

1. U ⊂ X

は開集合とする。このとき

U

の特性関数

χ

U は下半連続で ある。

2. C ⊂ X

は閉集合とする。このとき

K

の特性関数

χ

U は上半連続で ある。

3. X

上の下半連続な関数族

{ f

_α

}

α∈A に対し、sup_α∈A

f

_α も下半連続で ある。

4. X

上の上半連続な関数族

{ g

_β

}

β∈B に対し、infβ∈B

f

_β も上半連続で ある。

5.

関数

f : X → R

が連続であるための必要十分条件は、下半連続かつ上 半連続となることである。

定義

2. (X, O )

は位相空間とする。

K ⊂ X

はコンパクト集合、

U ⊂ X

は開集 合とする。f

∈ C

_c

(X)

に対し、K

≺ f

とは、f

(X ) ⊂ [0, 1]

かつ

f (K) = { 1 }

となることとする。また

f ≺ U

とは、f

(X ) ⊂ [0, 1]

かつ

Supp(f ) ⊂ U

と なることとする。

問題

2. (X, O )

は位相空間とする。X のコンパクト集合

K

と、開集合

U

が

K ⊂ U

を満たすとき、f

∈ C

c

(X)

が

K ≺ f ≺ U

となる必要十分条件は、

χ

_K

≤ f ≤ χ

_U であることを示せ。

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