1 4(2x−y+ 2)√ 2x−y+ 2 （6） zx= 1 x−y+ 1 ·1 = 1 x−y+ 1 よって zxx=−(x−y x−y+ 1)−2

2章 偏微分^{§2  偏微分の応用 (p.18〜p.)} BASIC

69（1）  zx= 3·3x²y²−4·2xy³

= 9x²y²−8xy³  よって

   zxx= 9·2xy²−8·y³

=18xy²−8y³    zxy= 9·2x²y−8·3xy²

=18x²y−24xy²   zy= 3·2x³y−4·3x²y²

= 6x³y−12x²y²  よって

   zyx= 6·3x²y−12·2xy²

=18x²y−24xy²    zyy = 6·x³−12·2x²y

=6x³−24x²y

（2）  zx= 1·(x+y)−(x−y)·1 (x+y)²

= 2y (x+y)²  よって

   zxx=−2y·2(x+y)·1 {(x+y)²}²

=−4y(x+y) (x+y)⁴

=− 4y (x+y)³

   zxy= 2·(x+y)²−2y·2(x+y)·1 {(x+y)²}²

= 2(x²+ 2xy+y²)−2(2xy+ 2y²) (x+y)⁴

= 2(x²+ 2xy+y²−2xy−2y²) (x+y)⁴

= 2(x²−y²) (x+y)⁴

= 2(x+y)(x−y)

(x+y)⁴ = 2(x−y) (x+y)³   zy= −1·(x+y)−(x−y)·1

(x+y)²

= −2x

(x+y)² =− 2x (x+y)²  よって

   zyx=−2·(x+y)²−2x·2(x+y)·1 {(x+y)²}²

=−2(x²+ 2xy+y²)−2(2x²+ 2xy) (x+y)⁴

=−2(x²+ 2xy+y²−2x²−2xy) (x+y)⁴

= 2(x²−y²) (x+y)⁴

= 2(x+y)(x−y)

(x+y)⁴ = 2(x−y) (x+y)³

   zyy=−

½

−2x·2(x+y)·1 {(x+y)²}²

¾

= 4x(x+y) (x+y)⁴

= 4x

(x+y)³

（3）  zx= cosxy·y=ycosxy  よって

   zxx=y·(−sinxy·y)

=−y²sinxy

   zxy= 1·cosxy+y·(−sinxy·x)

=cosxy−xysinxy   zy= cosxy·x=xcosxy  よって

   zyx= 1·cosxy+x·(−sinxy·y)

=cosxy−xysinxy    zyy=x·(−sinxy·x)

=−x²sinxy

（4）  zx= 1

xy ·y= 1 x  よって

   zxx=− 1 x²    zxy=0

  zy= 1

xy ·x= 1 y  よって

   zyx=0    zyy=− 1

y²

（5）  zx= 1

2(2x−y+ 2)⁻¹² ·2 = (2x−y+ 2)⁻¹²  よって

   zxx=−1

2(2x−y+ 2)⁻³² ·2

=−(2x−y+ 2)⁻³²

=− 1

(2x−y+ 2)√

2x−y+ 2    zxy=−1

2(2x−y+ 2)⁻³² ·(−1)

= 12(2x−y+ 2)⁻³²

= 1

2(2x−y+ 2)⁻³²

= 1

2(2x−y+ 2)√

2x−y+ 2   zy= 1

2(2x−y+ 2)⁻¹² ·(−1) =−1

2(2x−y+ 2)⁻¹²  よって

   zyx=−1 2x·n

−1

2(2x−y+ 2)⁻³² ·2o

= 1

2(2x−y+ 2)⁻³²

= 1

2(2x−y+ 2)√

2x−y+ 2

   zyy =−1 2 ·n

−1

2(2x−y+ 2)⁻³² ·(−1)o

=−1

4(2x−y+ 2)⁻³²

=− 1

4(2x−y+ 2)√

2x−y+ 2

（6）  zx= 1

x−y+ 1 ·1 = 1 x−y+ 1  よって

   zxx=−(x−y+ 1)⁻²·1

=−(x−y+ 1)⁻²

=− 1

(x−y+ 1)²    zxy=−(x−y+ 1)⁻²·(−1)

=(x−y+ 1)⁻²

= 1

(x−y+ 1)²   z_y= 1

x−y+ 1 ·(−1) =− 1 x−y+ 1  よって

   zyx=−{−(x−y+ 1)⁻²·1}

=(x−y+ 1)⁻²

= 1

(x−y+ 1)²

   zyy =−{−(x−y+ 1)⁻²·(−1)}

=−(x−y+ 1)⁻²

=− 1

(x−y+ 1)²

（7）  zx= 1·e^x−y+x·e^x−y·1 = (x+ 1)e^x−y  よって

   zxx= 1·e^x−y+ (x+ 1)e^x−y·1

=(x+ 2)e^x−y    zxy= (x+ 1)e^x−y·(−1)

=−(x+ 1)e^x−y   z_y=xe^x−y·(−1) =−xe^x−y  よって

   zyx=−(1·e^x−y+xe^x−y·1)

=−(x+ 1)e^x−y    zyy =−xe^x−y·(−1)

=xe^x−y

70（1）  zx=y³−4xyより，zxy=3y²−4x   zy= 3xy²−2x²より，zyx=3y²−4x  また，zxx=−4yより，zxxy=−4    zxy= 3y³−4xより，zxyx=−4    zyx= 3y²−4xより，zyxx=−4  以上より，zxxy =zxyx =zyxx

（2）  zx=− 2

(2x+ 3y)^{2 より}   zxy=−

½

−2·2(2x+ 3y)·3 (2x+ 3y)⁴

¾

= 12

(2x+ 3y)³   zy=− 3

(2x+ 3y)^{2 より}   zyx=−

½

−3·2(2x+ 3y)·2 (2x+ 3y)⁴

¾

= 12

(2x+ 3y)³

  ま た ，zxx=−

½

−2·2(2x+ 3y)·2 (2x+ 3y)⁴

¾

= 8

(2x+ 3y)³ より

  zxxy=−8·3(2x+ 3y)²·3

(2x+ 3y)⁶ =− 72 (2x+ 3y)⁴    zxy= 12

(2x+ 3y)^{3 より}   zxyx=−12·3(2x+ 3y)²·2

(2x+ 3y)⁶ =− 72 (2x+ 3y)⁴    zyx= 12

(2x+ 3y)^{3 より}   zyxx=−12·3(2x+ 3y)²·2

(2x+ 3y)⁶ =− 72 (2x+ 3y)⁴  以上より，zxxy= zxyx=zyxx

（3）  zx=−sin(2x−y)·2 =−2 sin(2x−y)より   zxy=−2{cos(2x−y)·(−1)}=2 cos(2x−y)   zy=−sin(2x−y)·(−1) = sin(2x−y)より   zyx= cos(2x−y)·2 =2 cos(2x−y)  また

   zxx=−2·cos(2x−y)·2 =−4 cos(2x−y) より   zxxy=−4{−sin(2x−y)·(−1)}=−4 sin(2x−y)    zxy= 2 cos(2x−y)より

  zxyx= 2{−sin(2x−y)·2}=−4 sin(2x−y)    zyx=−2 cos(2x−y)より

  zyxx=−2·sin(2x−y)·2 =−4 sin(2x−y)  以上より，zxxy= zxyx=zyxx

（4）   zx=e^−xy·(−y) =−ye^−xyより

  zxy=−{e^−xy+ye^−xy·(−x)}=(xy−1)e^−xy    zy=e^−xy·(−x) =−xe^−xtより

  zyx=−{e^−xy+xe^−xy·(−y)}=(xy−1)e^−xy  また

   zxx=−ye^−xy·(−y) =y²e^−xyより   zxxy= 2ye^−xy+y²e^−xy·(−x)

= 2ye^−xy−xy²e^−xy=y(2−xy)e^−xy    zxy= (xy−1)e^−xyより

  zxyx=ye^−xy+ (xy−1)e^−xy·(−y)

=ye^−xy−y(xy−1)e^−xy=y(2−xy)e^−xy    zyx= (xy−1)e^−xyより

  zyxx=ye^−xy+ (xy−1)e^−xy·(−y)

=ye^−xy−y(xy−1)e^−xy=y(2−xy)e^−xy  以上より，zxxy= zxyx=zyxx

71 d²z

dt² =h²∂²z

∂x² + 2hk ∂²z

∂x∂y +k²∂²z

∂y² · · ·°¹ は証明済みとします．

 x=a+ht, y=b+ktより，dx

dt =h, dy dt =k  °¹ より

左辺= d³z dt³

= d dt

µd²z dt²

¶

= d dt

µ h²∂²z

∂x² + 2hk ∂²z

∂x∂y +k² ∂²z

∂y²

¶

= ∂

∂x µ

h²∂²z

∂x² + 2hk ∂²z

∂x∂y +k²∂²z

∂y²

¶ dx dt + ∂

∂y µ

h² ∂²z

∂x² + 2hk ∂²z

∂x∂y +k²∂²z

∂y²

¶ dy dt

= µ

h² ∂³z

∂x³ + 2hk ∂³z

∂x²∂y +k² ∂³z

∂x∂y²

¶

·h

+ µ

h² ∂³z

∂x²∂y + 2hk ∂³z

∂x∂y² +k²∂³z

∂y³

¶

·k

=h³ ∂³z

∂x³ + 2h²k ∂³z

∂x²∂y +hk² ∂³z

∂x∂y² +h²k ∂³z

∂x²∂y + 2hk² ∂³z

∂x∂y² +k³∂³z

∂y³

=h³ ∂³z

∂x³ + 3h²k ∂³z

∂x²∂y + 3hk² ∂³z

∂x∂y² +k³∂³z

∂y³ =右辺 72（1） zx= 2x+y−5

 zy=x+ 2y−1

 よって，極値をとり得る点の座標が満たす必要条件は   

(2x+y−5 = 0 · · ·°¹ x+ 2y−1 = 0 · · ·°²  °¹ より，y=−2x+ 5  これを°² に代入して   x+ 2(−2x+ 5)−1 = 0   x−4x+ 10−1 = 0   −3x=−9

  x= 3

 これより，y=−2·3 + 5 =−1

 したがって，極値をとり得る点は(3, −1)

（2） zx= 2x+ 2y−2  z_y= 2x+ 4y−2

 よって，極値をとり得る点の座標が満たす必要条件は   

(x+y−1 = 0 · · ·°¹ x+ 2y−1 = 0 · · ·°²  ° −² °¹ より，y= 0  これを°¹ に代入して   x+ 0−1 = 0   x= 1

 したがって，極値をとり得る点は(1, 0)

（3） zx= 2x+ 4y

 zy= 4x+ 3y²+ 4y+ 1

 よって，極値をとり得る点の座標が満たす必要条件は   

(x+ 2y= 0 · · ·°¹ 4x+ 3y²+ 4y+ 1 = 0 · · ·°²  °¹ より，x=−2y

 これを°² に代入して

  4·(−2y) + 3y²+ 4y+ 1 = 0   3y²−4y+ 1 = 0

  (3y−1)(y−1) = 0   y= 1, 1

3

 y= 1のとき，x=−2  y= 1

3 ^のとき，x=−2 3

 したがって，極値をとり得る点は(−2, 1), µ

−2 3, 1

3

¶

73（1） zx= 2x−y= 0  zy =−x+ 2y−3 = 0  これを解いて，x= 1, y= 2

 よって，極値をとり得る点は，(1, 2)である．

 第2次導関数は

 zxx= 2, zxy=−1, zyy = 2であるから，(1, 2)に対し て

   H = 2·2−(−1)²

= 3>0  また，zxx= 2>0

 よって，zは，点(1, 2)で極小となる．

 極小値は

   z= 1²−1·2 + 2²−3·2

= 1−2 + 4−6 =−3

  よって，zは，点(1, 2)で極小値−3をとる．

（2） zx= 3x²−3 = 0 · · ·°¹  zy =−3y²+ 12 = 0 · · ·°²  °¹ より，x=±1

 °² _より，y=±2

 よって，極値をとり得る点は

  (1, 2), (1, −2), (−1, 2), (−1, −2) である．

 第2次導関数は，zxx= 6x, zxy= 0, zyy =−6y

(i ) (1, 2)に対して

   H = (6·1)×(−6·2)−0²

=−72<0

 よって，zは，点(1, 2)で極値をとらない．

(ii ) (1, −2)に対して

   H = (6·1)× {−6·(−2)} −0²

= 72>0

 また，zxx= 6·1 = 6>0

 よって，zは，点(1, −2)で極小となる．

 極小値は

   z= 1³−(−2)³−3·1 + 12·(−2)

= 1 + 8−3−24 =−18 (iii) (−1, 2)に対して

   H ={6·(−1)} ×(−6·2)−0²

= 72>0

 また，zxx= 6·(−1) =−6<0

 よって，zは，点(−1, 2)で極大となる．

 極大値は

   z= (−1)³−2³−3·(−1) + 12·2

=−1−8 + 3 + 24 = 18 (iv) (−1, −2)に対して

   H ={6·(−1)} × {−6·(−2)} −0²

=−72<0

 よって，zは，点(−1, −2)で極値をとらない．

 以上より，zは

  点(1, −2)で極小値−18   点(−1, 2)で極大値18 をとる．

（3） zx= 24x²−6y= 0· · ·°¹  zy=−6x−3y²= 0· · ·°²  °¹ より，y= 4x² · · ·°¹⁰  °² に代入して

  −6x−3·(4x²)²= 0   −6x−48x⁴= 0   x(8x³+ 1) = 0

  x(2x+ 1)(4x²−2x+ 1) = 0  これを満たす実数解は，x= 0, − 1

2  これらを°¹⁰_{に代入すると}

  x= 0のとき，y= 0   x=−1

2 ^のとき，y= 4·³

−1 2

´₂

= 1  よって，極値をとり得る点は，(0, 0), ³

−1 2, 1´

である．

 第2次導関数は

  zxx= 48x, zxy=−6, zyy =−6y

(i ) (0, 0)に対して

   H = (48·0)×(−6·0)−(−6)²

=−36<0

 よって，zは，点(0, 0)で極値をとらない．

(ii ) ³

−1 2, 1´

に対して    H =n

48·³

−1 2

´o

×(−6·1)−(−6)²

=−24·(−6)−36 = 108>0  また，zxx= 48·³

−1 2

´

=−24<0

 以上より，zは，点(1, −2)で極大となる．

 極大値は    z= 8·

³

−1 2

´₃

−6·

³

−1 2

´

·1−1²

=−1 + 3−1 = 1   よって，zは，点

³

−1 2, 1´

で極大値1をとる．

（4） zx= 3x²−6x−9 = 0· · ·°¹  zy= 2y−2 = 0· · ·°²  °¹ _より，x²−2x−3 = 0

 これより，(x−3)(x+ 1) = 0であるから，x= 3, −1  °² より，y= 1

 よって，極値をとり得る点は，(3, 1), (−1,1)である．

 第2次導関数は

  zxx= 6x−6, zxy= 0, zyy = 2

(i ) (3, 1)に対して

   H = (6·3−6)×2−0²

= 24>0

 また，zxx= 6·3−6 = 12>0

 よって，zは，点(3, 1)で極小となる．

 極小値は

   z= 3³−3·3²−9·3 + 1²−2·1

= 27−27−27 + 1−2 =−28

(ii ) (−1, 1)に対して

   H ={6·(−1)−6} ×2−0²

=−24<0

 よって，zは，点(−1, 1)で極値をとらない．

  以上より，zは，点(3, 1)で極小値−28をとる．

74（1） f =x²−xy+ 2y²−1とおくと   fx= 2x−y

  fy=−x+ 4y  よって

   dy

dx =− 2x−y

−x+ 4y

= 2x−y x−4y

（2） f =x³+y³−3x²yとおくと   f_x= 3x²−6xy

  fy= 3y²−3x²  よって

   dy

dx =−3x²−6xy

3y²−3x² =−3(x²−2xy) 3(y²−x²)

= x²−2xy x²−y²

（3） f =x+y+ log(x²+y)−1とおくと   f_x= 1 + 1

x²+y ·2x= 1 + 2x x²+y   fy= 1 + 1

x²+y ·1 = 1 + 1 x²+y  よって

   dy dx =−

1 + 2x x²+y 1 + 1

x²+y

=−x²+y+ 2x x²+y+ 1

=−x²+ 2x+y x²+y+ 1

（4） f =√ x+√

y−1とおくと   fx= 1

2x⁻¹² = 1 2√ x   fy= 1

2y⁻¹² = 1 2√ y  よって

   dy dx =−

1 2√ x 1 2√

y

=−

√y

√x

（5） f = sinx+ cosy−1とおくと   fx= cosx

  fy=−siny  よって

   dy

dx =− cosx

−siny = cosx siny

（6） f =e^x+e^y−x−yとおくと   fx=e^x−1

  fy=e^y−1  よって    dy

dx =−e^x−1 e^y−1

75（1） f =x²+y²−z²−1とおくと   fx= 2x

  fy= 2y