区間力学系に対する L i ‑ Y o r k e の定理について

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区間力学系に対する L i ‑ Y o r k e の定理について

教科・領域教育専攻自然系コース(数学) 鈴木真匡

はじめに

カオスに関連した研究としては， 19世紀末から20世紀にかけての 3つの天体の運動に関するポアンカレの研究がある。現在のカオス研究に直接つながっている，という意味での実質的なカオスの発見は 1960年代から 70年代にかけて行われた。カオスの発見にまつわる全体的な状況については，研究者たちの興奮や当惑，さらに当時の周りの人々の反応などがあって面白い。

気象学，物理学，生物学などの各モデル式から解のある領域で軌道が不規則にふるまうことが示されている。

L i ‑ Y o r k e

は r3周期が存在するならばカオスであるjということを証明した。このことはカオスの概念を決定する上で重要となっている。本研究ではこの

L i ‑ Y o r k e

の定理についてくわしく紹介しようと思う。

1 3

周期はカオスを導く

ここでは，定理を証明するために必要な補題の証明を行う。

ψ

:X

ー →

Xを，区間X上で定義された連続写像とする。以下この

ψ

をX 上の区間力学系と呼ぶ。

補題1.1

( i )閉区間1CXでψ(1)

c

1あるいはψ(1)

コ

Iならば， 1内に固定点が存在する。

(益)閉区間

1

，

JcX

において

ψ

が上への写像でかつψ(1)

コ

Jならば，閉区間F c 1で，

ψ ( F ) =

Jとなるものが存在する。

区間力学系

ψ

が(拡張された)3周期条件をみたすとは，X内の 4点d

: : ; α

く Cく bで， ψ(α)

=

c，ψ(c)

=

b，ψ(b)

=

dが成り立っとき

指導教官村田博

をいうo

b ^y=x

補題1.2

閉区間 JoとJ1において，

ψ

(Jo)

コ

JoU J1 かっ

ψ

(J1)

コ

Joを仮定し，JoとJ1の共通集合が 3周期点

C

からなり，

ψ( c )

は Jo，

ψ 2

(c) はJ1の端点であるとする。このとき記号力学系~~から X への写像宙で ψn宙 (x) ε JWn(:z;)'

x=(

ωn(x))

二

^lをみたすものが存在する。

2 周期点の存在

区間力学系

ψ

が3周期条件をみたすとき，

Jo

=

[c， b]， J1

= α [

，

c ]

に対して補題1.1，1.2で証明した事柄を用いれば次の定理を得る。

定理1.1

区間力学系

ψ

が3周期条件をみたせば，全ての周期の周期点が存在するo

3 スクランブル集合

L i ‑Y o r k e

は，力学系の軌道の不規則な動きそのものを記述するものとして，スクランプル

‑ 346一

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集合を定義した。次に述べる定理がそのもう 1 つの重要な主張である。

定義2.1

距離空間 (X，d)上の連続な力学系

ψ

において部分集合8 c Xがスクランプ、ル集合とは， 8 が次の条件を満たすときにいうo

( i )任意の異なる 2点 x，yE

8

に対して limsupd

( ψ η

(x)

， ψ η

(y))

> 0 ，

n ‑ + o 。

liminf d (

ψ

ⁿ(x)

， ψ η

(y))

= 0 . n ‑ + o o

(証)任意の周期点pεXと任意のzεSに対して limsupd

( ψ η

(x)

， η ψ

(p)) ，>

o .

n ‑ + o 。

定理2.1

区間力学系

ψ

が3周期条件をみたせば非可算濃度のスクランプ、ノレ集合が存在するo

ここではスクランプ、ル集合Sの構成法について述べる。 J1^又はJoの部分区間から成る無限列 {ん}で

ととれば， 8は定義2.1におけるスクランプ、ル集合となっている。すなわち定理2.1が成り立つこ

とを， 3つの部分に分けて順に示す。

補題2.1

任意の異なる 2点x，y εSに対して limsupd

( ψ η

(x)

， ψ η

(y))

> 0

nー~o。

が成立する。

この証明のアイデアを述べよう。

x，y ε8， x =1= yに対して，

8

の作り方から x

=

Xr

， Y =

Xr' r

>

r'

>

_~

と仮定できる。このとき

ψ

η

²(x)

ε

_J1

， η ψ

²(y)

ε

Jo

をみたす整数 nが無限に多く存在する。この区間力学系

ψ

に対する仮定より

ψ n 2 + 1

(x)εJo ，

ψ η 2 + 2 ( X )

εJo となっていることに注意すれば，

ヨ 8>0ψπ

²

( X )

^く

c‑8

が成り立ち，

limsupd

( ψ η ( x ) ， η ψ ( y ) )

三

8>0 n ‑ + o 。

I n =

^J

1

^又は

I n

c JO，かつ

ψ ( I n ) コ I n + 1( * )

を得る。

I n =

J

1

^なら ⁿは平方数で，

I n + 1

，

I n + 2 c

JO をみたすもの全体をZで表す。

{ん}εZに対して，

P ( { I n }

，m)でん =J1をみたす n(l三n三m)の個数を表す。このとき，

各^T

ε(

か)に対して

lim P({広}

，

n²

L =

n→∞ n

をみたすような Z の元 {I~} が選べる。また，この区間列{立}に対して，補題1.2より

ψη (xr^{) ε I~} n

= 1 ， 2 ， .

をみたすx_rε Xがとれることに注意しよう。

以上の考察のもとで

8 =

{Xr : r

ε( か)}

補題2.2

任意の異なる 2点x，yεSに対して liminf d (

ψ η ( x )

，

ψ η

(y))

= 0

nー~o。

が成立する。

この証明においては，区間列

{ I n }

のとり方 (*)に更なる工夫をする。

補題2.3

任意の周期点pεXとZ巴Sに対して limsupd

ψ (

n (x)

， ψ η

(p))

> 0

n ‑ + o o

が成立する。

以上より定理2.1が証明された。

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