Fine
patterns
arising in
reaction-diffusion
systcms
and
Young
measure
東京大学大学院数理科学研究科大下承民 (Yoshihito Oshita)
Graduate School of Mathematical Sciences,
Universityof Tokyo
1
序論
本概説では, FitzHugh-Nagumo 方程式を考察する.
$ut=\vee \mathrm{r}^{2}\triangle u+f(u)-\tau$
,
in $\Omega\cross \mathrm{R}^{+}$.(FH-N) $\tau v_{t}=\triangle v+u-v-g(x)$ in $\Omega\cross \mathrm{R}^{+}$.
$\frac{\partial u}{\partial n}=\frac{\partial\uparrow)}{\partial n}=0$ on $\partial\Omega\cross \mathrm{R}^{+}$ .
但し, \’i. $\xi>0$ は定数, $\Omega\subset \mathrm{R}^{N}(N\geq 1)$ は滑らかな境界をもつ有界領域, \partial / n は外向き法 微分, $f_{\backslash }g$ は
\S 2
の仮定を満たす滑らかな関数とする. これは, 未知関数 $u$ と $?\acute,$ から成る反応拡散方程式のシステムである. この $u,$$\tau/$’を2種の物質 $U$ と $V$ の濃度を表す変数とみたと
き, (FH-N) 方程式は数値シミュレーションによって, $\mathrm{B}\mathrm{Z}$ 反応のような化学反応に現れる空 間パターンの特徴を再現することができる. そこで, (FH-N) 方程式を, 2つの拡散物質 $U$ と $V$ の変化を表す方程式とみたとき, 拡$|\Re_{\mathrm{J}}$と反応の組み合わせによって出現する, 複雑な構込を もった空間パターンを考察する. ここでは, $U$ の拡散係数を 0 にする特異極限問題を考える. これは, 生物の形態形成の観点 から重要なパラメータ範囲である. このような特異極限を, FitzHugh-Nagumo のような双安 定な非線形の反応項をもつ場合に考えたとき, 次のような |「相分$\mathrm{f}\dot{\mathrm{l}}([perp] \mathrm{f}$ .」 バターンが現れることが 多い. すなわち, 領域は, $u$ が 1 に近い領域 $\mathrm{f}l_{1}$ と
0
に近い領域 $\Omega_{0}$ の2つの相に$’,\mathrm{J}^{\backslash }$かれ, そ の残りの領域が薄い層 (遷移層) となったパターンである. 極限では, 遷移層の幅は 0 に近づ き, -般に「界面」 と呼ばれる領域内部の不連続面が生じる. これについては, 類似の方程式 で多くの研究がある, しかしながら, ある種のスケーリングにおいては極限状態が滑らかな曲 面になるようなおとなしいパターンが現れず 解の様子がずっと複雑になるために従来の手法 での解析は困難である. 2次元の場合, 実際の実験や数値シミュレーションで無数の水玉状の界而をもつ微細な周期 構造が頻繁に現れることが以前から知られている (図 1). しかし, これまで数学的な解析が行 われたのは本質的に1 次元の問題である直線状界面の場合だけで, 水玉状の微細パターンの厳 密な解析はなされていなかった. [10] では, 空間
2
次元でどのような微細な構造をもっている かを調べるために, 正規化された極限「エネルギー」を導入した. そして5 水玉状界面を持っ たいろいろな周期パターンのエネルギーを計算し, 正六角形の構造が最小値を与えることがわ 数理解析研究所講究録 1416 巻 2005 年 1-11$\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{o}**\mathrm{o}\mathrm{o}$a $\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{e}*0$ $\mathrm{a}.0.0.\mathrm{e}.0.0.\mathrm{a}.\mathrm{e}.0.0,0.0.0.+,*.*.0,\mathrm{e}$ 図 12次元における縞模様と斑点模様 かった. 更に, その最小値を与える斑点模様と縞模様 (直線状界面) とでエネルギーの比較をし た. これにより, あるパラメータ範囲で, 縞模様より斑点模様の方が小さいエネルギーをもつ ことが示され, 斑点模様が頻繁に現れることの理論的裏付けを与えることができた
.
ここでは, 空間 1 次元の場合に, 最小化法を用いたアプローチで定常解を構成する.
次に, その解のパターンについて, $g$ が定数の場合に発見的考察をする. その結果, この解は振動の 激しさが増していく複雑な構造をもっているため, 漸近挙動の解析が関数のクラスでは困難で あることがわかる. そこで, 局所振動の様子を表すヤング測度を考察し, 解の振動の$x$ 依存性 を調べる.21
次元での微細なパターン
$\zeta 2=(0,1)$ で, 定常 FitzHugh-Nagumo 方程式系を考える.\epsilon 2u。
$x+f(u)-v=0$
, $x\in(0,1)$,(S) $v_{xx}+\uparrow\iota-\uparrow)-g(x)=0$, $x\in(0,1)$, $u_{x}(x)=v_{x}(x)=0$, $x=(],$$1$
.
$( \prod_{--}\text{し},$ $fl\mathrm{h}$,
(f) 次の (W1). (W2) を満たす滑らかな関数 $W$ : $\mathrm{R}arrow[0, \infty)$ に対して, $f(u)=-W_{u}(u)$
と表される.
(W1) $W(\mathrm{O})=W(1)=0<W(s)$, $\forall s\neq 0,1$
(W2) ある定数 $C_{1},$$C_{2}>0$ に対して, $W(s)\geq C_{1}s^{2}-C_{2}$ for all $s\in \mathrm{R}$.
ま$_{\overline{-}}$
,
(g1) $g$ は滑らかで, $g(x)\in(0,1)$ for all $x\in(0,1)$
と仮定する.
$\blacksquare$解の構成 汎関数
:
を定義する. I の第一変分は,
$\langle D\mathrm{I}(u, v), (\varphi, \psi)\rangle=\lim_{tarrow 0}\frac{\mathrm{I}(u+t\varphi,v+t\psi)-\mathrm{I}(u,v)}{t}$
$=J_{0}^{1}\xi j^{2}u_{x}\varphi_{x}-v_{x}\psi_{x}-f(u)\varphi+v\varphi+u\psi-v\psi-g\psi \mathrm{r}lx$
$=[ \epsilon^{2}u_{x}\varphi-v_{x}\psi]_{0}^{1}+\int_{0}^{1}.(-\epsilon^{2}u_{xx}-f(u)+v)\varphi+(v_{xx}+u-v-g)\psi dx$
となり, 臨界点が (S) の解に対応する.
$\mathrm{K}:=$
{
$(u,$$v)\in(H^{1}(0,1))^{2}|-v_{xx}+v=u-g$ in $((),$$1)$, $v_{x}=0$ at 0,
1}
上での最小問題
(M) $\inf$ $\mathrm{I}(u, v, \epsilon)$
$(u,v)\in \mathrm{K}$
を考える. $(u, v)\in \mathrm{K}$ のとき, $-v_{xx}+v=u-g$ の両辺に, $v$ をがけて, (O、1) 上積分すると,
$\int_{0}^{1}v_{\Gamma}^{9}.’\sim$
. $+v^{2}dx= \int_{0}^{1}(u-g)vdx$.
従っで,
(2.1) $(u, v) \in \mathrm{K}\Rightarrow \mathrm{I}(u, v, \epsilon)=\int_{0}^{1}\{\frac{\epsilon^{2}}{2}u_{T}^{2}$
. $+W(u)+ \frac{1}{2}(\uparrow)^{2}+v_{x}^{2})\}\prime dx$
がわかる. 各 $u\in H^{1}(0,1)$ に対して, $(u, v)\in \mathrm{K}$ となる $v$ は$-arrow$意に定まるので, 汎関数
$\mathrm{E}(u, \epsilon):=\mathrm{I}(u, v, \epsilon)$, $(1L, ?))\in \mathrm{K}$
が定義できる. この $\mathrm{E}(\cdot, \epsilon)$ は, $H^{1}$ ノル$\Delta$に関して弱下半連続であり, コアーシブでもあるの
で, 各 $\vee\vdash\wedge>0$ に対して, (M)
が達成されることがわがる. すなゎち,
(2.2) I$(u^{\vee}, v^{\overline{\mathrm{c}}}, \epsilon)\rho=$ inf $\mathrm{I}(u, v,\vee\sigma)$
$(u,v)\in \mathrm{K}$
を満たす関数 $(u^{\Xi}, v^{\epsilon})\in \mathrm{K}$ が存在する. この $(u^{\in}, v^{\tilde{\mathrm{c}}})$ は I の臨界点, すなゎち (S) の解とな
ることも容易にわかる. $\tau\in(0,1)$ のときの (FH-N) に対する安定性解析につぃては, [33] を 参照. (2.3) ’ $\epsilon^{2}u_{xx}^{\Xi}+f(u^{\epsilon})-v^{\epsilon}=0$, $x\in(0,1)$, $v_{xx}^{\epsilon\prime}-v^{\vee}+u^{\epsilon}-g(x)=0$, $x\in(0,1)$,
.
$u_{x}^{\in}(x)=v_{x}^{\mathcal{E}}(x)=0$, $x=0,1$.2.1
-媒質の場合
本節では,
(g2) ある定数 $rr\iota\in(0,1)$ に対して, $g\equiv rn$
とし, 激しく振動する相分離パターン $u^{\overline{c}}$ の構造を $\Omega=(0,1)$ の場合に考察する. まず
$\overline{v}=\frac{1}{1}\int_{\mathrm{U}}^{1}v$ を $v$ の平均としたとき, $v$ に対する方程式を積分して, $\overline{v}=\overline{u}-m$ となる $||\uparrow)||^{2},_{\lrcorner}.=|_{\mathrm{I}}^{1}v-\overline{\prime\downarrow’}||_{f_{d}^{2}}^{2}+||\overline{v}||_{L^{2}}^{9}\sim\gamma_{\mathrm{d}\mathrm{i}}\mathit{0}\supset \text{て^{}\backslash ^{\backslash }}$ ,
(2.4) $\mathrm{E}(u, \in)=\cdot\acute{0}.1\{\frac{1}{2}\epsilon^{\underline{9}}u_{x}^{2}+\mathrm{I}V(u)+\frac{1}{2}(\overline{u}-m)^{2}\}+\int_{0}^{1}\{\frac{1}{2}v_{x}^{2}+\frac{1}{2}(v-\overline{v})^{2}\}$
と表される. $u$ が 0 から 1 へ変わる遷移層 (拡散的界面) は $\in$ スケールである. 実際、 界而の
近くで, $u(x)\sim Q(\pm(x-z)/\epsilon)$, ただし, $z$ は界面の位置, $Q$ は遷移のプロファイルで,
$\{$
$\ddot{Q}(\xi)+f.(Q(\xi))=0$, $\forall\xi\in \mathrm{R}$,
$Q(-\infty)=0$, $Q(\infty)=1$, $f_{\mathrm{R}}\xi\dot{Q}(\xi)d\xi=0$
の -意解である. 最後の式は正規化条件であり,
$./_{-\infty}^{0} \cdot Q=.\acute{0}\infty(1-Q)\Leftrightarrow J^{Q(())}0^{\cdot}\frac{B}{\sqrt{2W(s)}}ds=.\cdot\frac{1-s}{\sqrt{2W(s)}}ds\acute{Q}(0)1$
と同値である. 各遷移層に対して、$u$ を含むエネルギーの部分のコスト (界面エネルギー) C 虚, およそ $\sigma-’./\cdot$ $\sigma:=\int_{0}^{[perp]}.\sqrt{2W(s)}ds$ である. したがって, 界面の数が少ないほど, 全界面エネルギーは小さくなる. 一方、 界面がたくさんなければ, 相領域 ($u\sim 0$ または $u\sim 1$ のところ) は長くなり, (2.4) の第2 の積分 (相互作用エネルギー) は小さくならない. 実際, 2つの界面間の距離を $l$ とした
とき, $\mathrm{t}$’ に関する方稈式を$v”=\gamma’+v-\prime n\sim n\iota$ or$rn-1$ で近似すると, B 互{乍用エネノレギー $l\mathrm{h}8\Re h$, $\frac{m^{2}(1-m)^{2}}{6}l^{3}$ となる. 故に, エネルギー密度(単位長さ当たりのエネルギー) は $\frac{1}{l}(\sigma_{\overline{\mathrm{C}}}+\frac{rn^{2}(1-rn)^{2}}{6}l^{3}$ . $)$ で近{以できる. これは, $l\sim L_{0}\epsilon^{1/3}$, $L_{0}:=( \frac{3\sigma}{m^{2}(1-rn)^{2}})^{1/3}$
のとき, 最小値 $(\epsilon\sigma)^{2/3}As(m)$,
As
(m) $:= \frac{1}{2}[3m(1-m)]^{2/3}$ をとることが容易にわかる. 従って界面間の距離が, $L_{0}\epsilon^{1/3}$ というポテンシャルスヶ$-l\triangleright$に 近づくことが期待される. 言い換えれば, (2.2), (2.3) の解 $u^{\epsilon}$ l よこのスヶ–’で振動してぃる ということである. 厳密な結果は [9] を参照.2.2 \ni F--
媒質の場合
本節では, (f), (g1) を仮定する. $(u^{\in}, v^{\in})\in \mathrm{K}$ を (2.2), (2.3) の解とする. 次の結果が成立
する.
定理 21(1) 連続関数 $h\in C(\mathrm{R})$ に対して, $\{h(u^{\epsilon})\}$ が $\epsilon\backslash 0$のとき$L^{1}((\{), 1))$ で弱収束
するならば, 弱極限は関数
$\overline{h}(x)=(1-g(x))h(0)+.q(x)h(1)$
$-C^{\backslash ^{\backslash }}\text{ある}$.
(2) 任意の $h\in C_{0}(\mathrm{R}):=\{\rho\in C(\mathrm{R})||s|arrow\infty 1\mathrm{i}\mathrm{n}1\rho(s)=$($]$$\}$ に文$\backslash \oint$$\text{し}$
て、 $\overline{b}[searrow] 0$ のとき
$h(u^{\epsilon})arrow\overline{h}(x)*=(1-g(x))h(0)+g(x)h(1)$ wcak $\star \mathrm{i}_{11}L^{\infty}((0,1))$
である.
注意 $h\in C_{0}(\mathrm{R})$ のとき, $\overline{h}(x)=\langle h, \mu_{x}\rangle=\int_{\mathrm{R}}h(\lambda)d\mu_{x}(\lambda)$ とがける. 但し,
$\mu_{x}=(1-g(x))\delta_{0}+g(x)\delta_{1}$, $x\in(0,1)$
は R-l–の確率測度で, $\langle\cdot, \cdot\rangle$ は $C_{0}(\mathrm{R})$ との双対積を表す, $\mu_{x}$ の族 $\mu=\{\mu_{x}\}_{x\in(0,1)}\in$
$\mathrm{Y}\mathrm{M}((0,1);\mathrm{R})$ は, $\epsilonarrow 0$ のとき$u^{\epsilon}$ が生成するヤング測度と呼ばれる.
これは, 各 $x$の 近くで $u^{\in}$ がある特定の値をとる確率の極限である. 今の場合, $x$ の近くでランダムに 点を選んだときの $\{u^{\Xi}\}$ の値の確率分布は, 極限においては,
0
をとる確率が l-g 仮), 1 をとる確率が $g(x)$, それ以外の値をとる確率が0
ということである. これは直感的 には次のことを示している. $\inarrow 0$ のとき, $u^{\Xi}$ は, 0 または 1 の近くに値をとりっつ, その局所平均は $g(x)$ に近づぐ そのため, u\in l 虚 0 と 1 の間を激しく振動してぃく. 定理2.1
の証明:
まず 次を示す.6
$i..\sqrtarrow\backslash -...-\cdots.-.\ldots..\wedge\cdot.-\cdot’rightarrow\sim\prime\prime-\sim\cdot--\cdot--\wedge---\cdot\sim\cdot-\cdot--arrow..\ldots’...-\cdot--\cdot---\sim\cdot\cdot\cdot\sim\cdot\cdot\cdot\ldots.."\cdots\cdot\cdot\cdots\cdots\cdot\cdots\sim\cdot\backslash \cdot\cdot$
. $\mathrm{i}$ $|$ $\grave{j\}\mathrm{i}}$
it‘
$ji$ ’ ‘. : $\mathrm{t}$ $!\mathfrak{j}\mathrm{t}ji$ $\dot{}_{}\dot{.}$ $j’.\cdot$ . $_{\backslash }.\cdot$ , $\grave{\mathrm{j}}$ $\mathrm{i}$ . $(!$ . $\backslash \}¡ i\}i$ ,$)\acute{/}.|\backslash ’.-\wedge\cdot..-\cdot\cdot,--\cdot\sim"\cdot\cdot\cdot-\cdots\wedge\cdot\vee-\wedge\cdot-\cdot\cdot\cdot-\vee\backslash \cdot".-\cdot\wedge\cdot\cdot\cdot\vee\cdot\sim\sim\cdot\cdot-\cdots\cdot-\cdot\cdot\cdot\vee\cdots\ldots.-\cdots\cdot\backslash \cdot----arrow’-\backslash -,\wedge\cdot\cdot$
.
$\vee--’-\cdot--\cdot\cdot\wedge\cdot\cdot p\acute{\prime\{_{}\dot{\mathrm{t}}}$
図2 関数 $\hat{v}_{\epsilon}’$
Pro$()$
f.
$7l\in \mathrm{N}$ に$\mathrm{X}\backslash \mathrm{f}\mathrm{b}$で, $x_{k}=k/n,$ $k=0,1,$$\ldots,$$n$ とおく. 関数 1)、を, $v_{n}(0)=0$,
$v_{n}’(J:)=\{$
$g(x_{k})(x-x_{k}.)$, $x \in[x_{k}, \frac{x_{k}+x_{k|1}}{2}-\frac{g(x_{k}}{\mathrm{o}_{n},4}]_{\tau}0\leq k<n$ のとき
$-(1-g(x \kappa.))(x-\frac{x\kappa+x_{k+1}}{2})$, $x\in$ [$\frac{x_{k}+x_{h\cdot\}1}}{2}-\frac{g(x_{k}}{2\tau\iota}$. ,
x
虹
–+–2x-k
$\llcorner 1+\cdot\frac{q(x_{k})}{\sim 0_{7\iota}}$],$0\leq k<n$ のとき
$g(x_{k})(x-x_{k+1})$, $x \in[\frac{x_{k}+\tau_{\mathrm{A}\cdot+1}}{2}+\mathrm{g}_{\frac{(x_{k}}{271}\mathit{1}}, x_{k+1}]$
$|$
$0<k<n$
のときとなるようにとる. このとき, $v_{n}(x_{k})=0(k=0_{\backslash }1, \ldots, n),$ $v_{\tau\iota}=O(1/n^{2}),$ $v_{n}’=O(1/7?)$ が
bし. また,$?\iota_{n}=g(x\mathrm{I}-\tau)’’,\mathrm{t}+v_{r\iota}$ とおくと, $x \in(x_{k}, \frac{x_{k}+x\kappa+\}}{2}.-\frac{g(x_{k}}{2\mathit{7}l})\cup(.\frac{\mathrm{z}_{k}+x_{k\vdash 1}}{\mathit{2}}+_{2n}^{g(\vec{.}c_{k}}\cdot., x_{k+1})$,
$0<k<7l$. のとき $u_{n}(x)=g(x)-g(x_{k})+v_{\mathrm{n}}=O( \frac{1}{n})$, $x\in$ ($\frac{x_{k}+x_{k_{*}1}}{2}$ . 一 $\underline{g}\mathrm{L}^{x_{k^{-}}}\Delta_{7}2n.\frac{x\kappa+x_{k+1}}{2}+\frac{g(x_{k})}{2n}$), $0\leq k<n$ のとき $2l_{\tau\iota}(X)=g(x)+1-g(x \kappa.)+v_{n}=1+O(\frac{1}{n})$ となる. 故に. $W(u_{71})=O(_{\tau\iota}^{1}-_{7})$ より, (2.5) $J_{0}^{1}.W(?\iota_{n})+\frac{1}{2}((?f’)^{2}n+v_{\tau\iota}^{2})dx=\mathrm{C}\mathrm{t}(\frac{1}{n^{2}})$
がわかる. ここで, $v_{n}\in W^{2.\infty}((0,1))$
.
$v_{?l}’$ は折れ線関数, $\mathrm{t}_{n}’\acute,(0)=v_{n}’(1)=0,$ $u_{n}$ は高々 $3n$個の点でジャンプする区分的連続関数であることに注意する.
$\epsilon\in(0_{\tau}1)$ に対して, $\epsilon^{-1/3}\leq n<\tilde{\epsilon}^{-1/3}.+1$ を満たす $n\in \mathrm{N}$ をとる. $\mathrm{t})’n$ の微分不可能点
の $\epsilon$ 近傍を正則化して, $(\grave{u}_{\epsilon}$
,
7^$)$。)\in K を作る. $3n$ 個の点の $\epsilon$ 近傍では, $|\hat{u}_{\in}’|=O(1/\epsilon)$, それ以外の領域では, $|\hat{u}_{\epsilon}’|=O(1)$ であるから,
となる. よって, (2.2), (2.5) より
$0\leq \mathrm{I}(u^{\epsilon}, v^{\epsilon}, \epsilon)\leq \mathrm{I}(\hat{u}_{\mathrm{r}}.,\hat{v}_{\epsilon}, \epsilon)=O(\epsilon^{2/3})arrow 0$
がわかる. ロ
ヤング測度の生成定理を思い出そう.
命題 2.1 [35, Theorem 62] $\Omega\subset \mathrm{R}^{n}$ を可測集合,
$z_{j}$ :
$\Omegaarrow \mathrm{R}^{m}$ を
$\sup_{j}\int_{\Omega}g(|z_{j}|)dx<\infty$
を満たす可測関数とする. 但し, $g$ : $[0, \infty)arrow[0, \infty]$ !訓$i\mathrm{m}_{tarrow\infty}$$g(t)=\infty$ を満たす連続非減
少関数である. このとき, ある部分列 $\{z_{j_{\tau\iota}}\}$ と $\mathrm{R}^{m}$ [の確率測度の族$\nu=\{\nu_{x}\}_{x\in\Omega}$
で次の性
質をもつものが存在する.
壬意の Carath\’eodory 関数$\psi(x, \lambda)$ :$\zeta 2\cross \mathrm{R}^{rn}arrow \mathrm{R}$ に対して, $\{\psi(x, z_{j_{7}}‘(_{i}\mathrm{r}.))\}$ が $L^{1}((\})$
で弱収束するならば, 弱極限は関数
$\overline{\psi}(x)=\int_{\mathrm{R}^{\tau\prime 1}}\psi(x, \lambda)d\mu_{x}(\lambda)$
である.
定理 2.1 の証明の続き (1) が成立しないと仮定すると, 関数 $h\in C(\mathrm{R}),$ $\varphi\in L$“$((0_{\backslash }1))$,
数列$\hat{\mathrm{c}}_{n}\backslash 0$, 定数 $\delta>0$ があって, $\{h(u^{\epsilon_{n}})\}$ は $L^{1}(((\mathrm{J}, 1))$ で弱収束し,
(2.6) $| \int_{\cap}^{1}\varphi(x)h(u^{-}\llcorner\wedge n)dx-\int_{0}^{1}\varphi\overline{h}dx|\geq\delta$ for all $n\geq 1$
を満たす. 仮定 (W2)
:
$W(’\iota\iota)\geq C_{1}u^{2}-C_{2}$ と (2.1) より,(2.7) $C_{1}||u^{\epsilon}’ \iota||_{L^{2}}^{2}\leq\int_{0}^{1}W(u^{\epsilon_{n}})dx+C_{2}\leq \mathrm{I}(\iota\iota^{c}, \tau n\mathit{1}^{\epsilon_{2l}}\overline{\mathrm{c}}_{n})\vee,+C_{2}<\infty$
なので, $\{u^{\epsilon}’ 1\}$ は $L^{2}((0_{7}1))$ で弱収束しているとしてよい. $u^{\epsilon}’ 1arrow u$ wcak in $L^{2}((0,1))$ とす
ると, $-d^{2}/dx^{2}$ のグリーン作用素のコンパクト性より, $v^{\epsilon,}‘arrow v$in $H^{1}((0,1))$ となる. 但し, $v$ は $(u, v)\in \mathrm{K}$ となる関数である. このとき, (2.1) より
$0 \leq\frac{1}{2}.\int_{0}^{1}v_{x}^{2}+?)^{2}dx=\lim_{r\iotaarrow\infty}\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(v^{\epsilon_{n}})_{x}^{2}+(v^{\epsilon_{\mathrm{Y}}}‘)^{2}dx\leq\lim_{r\iotaarrow\infty}$ I
$(u^{\rho_{\gamma}}\vee‘, v^{\epsilon}’\iota, \epsilon_{n})--0$.
したがって $v\equiv 0,$ $u^{\overline{\mathrm{c}}}\prime 1arrow u\equiv g$ weak in $L^{2}((0,1))$ かわがる. また,
$0 \leq||\sqrt{W(u^{\epsilon_{\mathrm{n}}})}||_{L^{2}}^{2}=\int_{0}^{1}W(u^{\epsilon_{\tau\iota}})dx\leq \mathrm{I}(u^{\epsilon}’‘, v^{\epsilon_{\tau\iota}}, \epsilon_{n})arrow 0$
に注意する. ここで, (2.7) と命題 2.1 から, $\{u^{\in}’ \mathrm{t}\}$ が確率測度の族$\mu=\{\mu_{\iota}.\cdot\}_{x\in(0,1)}$ を生成 しているとしてよい. 特に,
0 は, 確率測度 $\ovalbox{\tt\small REJECT}$ が
$\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}$ の零点 $\lambda\ovalbox{\tt\small REJECT} 0$ と が成立. $(\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}, j’\ovalbox{\tt\small REJECT} x|)\ovalbox{\tt\small REJECT} f_{\mathrm{R}}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} d\ovalbox{\tt\small REJECT}(\lambda)$
$\lambda\ovalbox{\tt\small REJECT} 1$ に集中していることを意味しているので,
$\mu_{x}=(1-\theta(x))\delta_{0}+\theta(x)\delta_{1}$, $\theta(x)\in[0,1]$
とかける. 更に, $g(x)= \langle 1\mathrm{d}, \mu_{x}\rangle=\int_{\mathrm{R}}\lambda d\mu_{x}(\lambda)=\theta(x)$ より, $h(u^{\epsilon_{n}})arrow\overline{h}$ wcak in $L^{1}((0,1))$
がわかる. これは (2.6) に矛盾. よって (1) が示された.
(2) が成立しないと仮定すると, 関数$h\in C_{0}(\mathrm{R}),$ $\varphi\in L^{1}((0,1))$, 数列$\epsilon_{n}[searrow] 0$, 定数 $\delta>0$
があって,
(2.8) $| \int_{0}^{1}\varphi(x)l_{l}(u^{\epsilon_{r\iota}})dx-\int_{0}^{1}\varphi\overline{h}dx|\geq\delta$ for all $n\geq 1$
を満たす、 $||h(u^{\in_{7l}})|_{|}^{1}|L\infty\leq||h||_{f_{\lrcorner}\infty(\mathrm{R})}<\infty$より, $h(u^{\epsilon_{r\iota}})$ は $L^{\infty}((0,1))$ で汎弱1又束, $L^{1}((0,1))$
で弱収束していると仮定してよい. (1) より, $., \lim_{\iotaarrow\infty}\int_{0}^{1}\varphi(x)h(u^{\overline{\mathrm{c}}_{\mathrm{n}}})dx=J_{0}^{1}\varphi\overline{h}dx$ となり, これは (2.8) に矛盾. よって (2) が示された. 口
3
量複に
2 つの部分 $\mathrm{a},\mathrm{b}$から分子が形成されている高分子共重合体の相分離問題のモデルにおい
て、 類似の汎関数が Helmholtz 自由エネルギーとして使われる ($[4, 18]$ を参照, また実験は [19], モデリングに関しては [3, 22, 32] も参照, 最初の数理解析は [29], その後の解析的結果 は $[11, 13, 16, 20, 31, 36, 37_{:}38]$ にある). $O(1)$ の界面パターンと特異摂動法については, [6, 28, 30, 34, 40, 41, 42] を参照. 界而運動については, [5, 7, 8, 15, 17, 23] を参照. 2 つの スケールをもつ変分問題については, [1, 12, 26] を参照. FitzHugh-Nagumo 方程式の波につ いては, [2, 14, 21] を参照.参考文献
[1]
G.
ALBEIITI ANDS.
$\mathrm{M}\ddot{\mathrm{U}}$LLER, A new approach to variational problems with rrvultiplescales,
Cornm.
Pure Appl. Math.,54
(2001),pp.
761825.
[2] D.
G.
ARONSON AND H. F. WEINBERGER, Nonlinear $diff\dot{u}sion$ in populationgenet-ics, $com.b\uparrow\iota.\mathrm{s}\dagger.ion$, and $ne.r\uparrow$)$e$ pulse propagation, in Partial
Differential
Equations andRelatcd Topics, Lecture Notes in Math. 446, Springer, New York, 1975, pp.
5-49.
[3] BAHIANA AND OONO, Cell dynamical system approach to block copolymers, Phys.
RRV., 41 (1990), pp.
6763-6771.
[4] F.
S.
BATES AND G. H. $\mathrm{F}\mathrm{R}\mathrm{h}^{\urcorner}\mathrm{D}\mathrm{R}1\mathrm{C}\mathrm{K}\mathrm{S}\mathrm{O}\mathrm{N}$, Block Copolymers-Designersoft
materials,[5] A. BONAMI, D. HILHORST, AND E. LOGAK,
Modified
motion by mean curvaturc:Local existence and uniqueness and qualitative properties,
Differential
IntegralEqua-tions, 13 (2000), pp.
1371-1392.
[6] J. CARR, M. E.
GURTIN
AND IVI. SLEMROD, Structured phase transitions on afinitc
interval, Arch. Ration. Mech. Anal.,
86
(1984), pp.317-351.
[7] X. CHEN, Generation and propagation
of
interfaces
inreaction-cliffusion
systerns,Trans.
Amer.
Math. Soc.,334
(1992), pp.877-913.
[8] X. CHEN, D. HILHORST, AND E. LOGAK, Asymptotic $behavi_{\mathit{0}7}$.
of
solution.c;of
anAllen-Cahnequation $u\dagger ith$a nonlocal term,Nonlinear Anal., 28 (1997), pp. 1283-1298.
[9] X. CHEN ANDY. OSHITA, Periodicity
of
minirnizerof
an energyfunctional
containinga long-range interaction term, preprint.
[10] X. CHEN AND Y. OSHITA, An application
of
the rnodularfunction
ininterfacial
dynamics, preprint.
[11] R. CHOKSI, Scalinglaws in rnicrophase separation
of
diblock copolymers, J. NonlinearSci., 11 (2001), pp.
223-236.
[12] R. CHOKSI, R. KOHN, AND F. $\mathrm{O}\mathrm{T}\mathrm{T}\mathrm{O}_{?}$ Domain branching $ir\iota$ unirwial$f\dot{e}rro7\gamma\iota agne.t\mathrm{t}\backslash \cdot\cdot$.
A scaling law$f\dot{o}r$the minimum energy, Comm. Math. Phys.,
201
(1999), pp. 61-79.[13] R.
CHOKSI
AND X. F. REN, On the $derivatior\iota$of
a densityfunctional
$thco\tau\cdot y$for
7ni-$cr\cdot oscopic$ separation
of
$d_{l}.blockcopoly_{7}ne7^{\cdot}s$, J.Statistical
Physics, 113 (2003),pp. 151–176.
[14] G. B. ERMENTROUT, S. P. HASTINGS, AND W.
C.
TROY, Large amplitudest,ation-$ary$
waves
in an excitable $lo_{l}teral$-inhibitory medium,SIAM
J. Appl. Math., 44 (1984),pp. 1133-1149.
$\lceil 15]\llcorner$ P. C. FIFE, $Dy\tau bamics$
of
Internal Layers andDiffusive
Intcrfaces,CBMS-NSF
Re-gional Conf. Ser. in Appl. Math. 53, SIAM, Philadelphia, 1988.
[16] P. FIFE AND D. HILHORST, The Nishiura-Ohnishi Free Boundary Problem in the 1D
case,
SIAIVI
J. Math. Anal,33
(2001), pp.589 606.
[17] P.
C.
FIFE AND L. HSIAO, The generation and propagationof
internal layers,Non-linear
Anal.
, 12 (1988), pp. 19-41.[18] I. W. HAMLEY, The Physics of Block Copolymers, Oxford University Press, $\mathrm{O}\mathrm{x}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{j}$
England, 1999.
[19] T. HASHIMOTO, M. SHIBAYAMA, AND H. KAWAI, DOmain-F30undary Structure
of
Styrene-Isoprene Block Copolymer Films Cast
frorn
Solution.4.
Molecular-WeightDependence
of
Lamellar Microdomains, Macromolecules,13
(1980), pp.1237-1247.
[20] M. HENRY, D. HILHORST, AND Y. NISHIURA, $S\iota.r\iota gula7^{\cdot}ll.7nit$
of’
$\mathrm{f}\mathrm{J}$ secontl$\mathit{0}7\tau lc7^{\cdot}7|_{J}(J7l-$
local parabolic equation
of
censervative type arising in the micrO-phase $sepa7^{\cdot}ation$of
10
[21] G. A. KLAASEN AND W.
C.
TROY, Stationarywcvve solutionsof
a systernof
reaction-diffusion
equations clerivedfrom
the FitzHugh-Nagumo equations,SIAM
J. Appl.Math., 44 (1984), pp.
96-110.
[22] L. $\mathrm{L}\mathrm{P}_{\lrcorner}\mathrm{I}\mathrm{B}\mathrm{L}\mathrm{b}^{\urcorner}\mathrm{R}$, Theory
of
Microphase Separation in Block Copolymers, Macromolecules,13
(1980), pp.1602-1617.
[23] E. LOCAK, Singular limit
of reaction-diffusion
systems andmodified
rnotion by meancurvature, Proc. Roy.
Soc.
Edinburgh Sect. $\mathrm{A},$ $132$ (2002), pp.951-973.
[24] M. MIMURA AND K. KAWASAKI, Spatial segregation in competitie $\dot{\iota}nteraction-$
diffusion
equations, J. Math. Biol., 9(1984), pp. 4964.
[$25|$ L. MODICA, The gradient theory
of
phase transitions ancl the minimalinterface
cri-$ter.i_{\mathit{1}}or\iota$, Arch. Ration. Mech. Anal.,98
(1987), pp.123-142.
[26] S. $\mathrm{M}i^{+}\mathrm{L}\mathrm{L}\mathrm{E}\mathrm{R}$, Singular
$r$)$\theta,7turbations$ as a selection criterion
for
periodic minimizingscquences. Calc. Var. Partial Differential Equations, 1 (1993), No. 2, pp.
169-204.
[27] S. $\mathrm{M}\ddot{\mathrm{U}}\mathrm{I}_{\lrcorner}1\lrcorner \mathrm{F}_{\lrcorner}\mathrm{R}$
AND G. WEISS, private communication,
1996.
[28] Y. NlsHlultA, $D’.\iota/na7r\iota.icsRepur\cdot ted(Nev’ Se\gamma\cdot ies)$, Vol. 3, Springer, Berlin,
1994.
[29] Y. $\backslash |[perp] \mathrm{I}\mathrm{S}\mathrm{H}1\mathrm{U}\mathrm{R}\mathrm{A}$ AND I. OHNISHI, Sorne mathematical aspects
of
$\cdot$the micrO-phase
scpa-ration in diblock $c()polymers$, Phys. $\mathrm{D},$ $84(1995),$
$\mathrm{p}\mathrm{p}$. $31-39$.
[30] Y. NISHIURA AND H. $\mathrm{S}\mathrm{U}\ulcorner\Delta \mathrm{U}\mathrm{K}1,$ $Nonexister\iota(j\rho$,
of
higher dirnensional stable turingpat-terns in the singular lirnit,
SIAM
J. Math. Anal.,29
(1998), pp.1087-1105.
[31] I. OHNISHI, Y. NISHTURA, M. IMAI, AND Y. MATSUSHITA, Analytical solution
de-scribing the phase separation driven by a
free
energy $fur\iota ctional$ containing along-ran.qe interaction term, Chaos, 9(1999),
pp.
329-341.
[32] T.
OHTA
AND K. KAWASAKI, Equilibrium $rr\iota or\beta Jl\iota ology$of
$\cdot$
block copolymcr melts,
Macromoleculcs, 19 (1986), pp.
2621-2632.
[33] Y. OSHITA, On stable stationary solutions and rnesoscopic patterns
for
FitzHugh-Nagumo equations $\dot{\iota}\tau\iota$ higher dimensions, J.
Differential
Equations,188
(2003),pp.
110-134.
[34] Y. OSHITA, Stable stationary pattems and
interfaces
$a7\dot{\mathrm{v}}sing$ inreaction-diffusion
systerns,
SIAM
J. Math. Anal.,36
(2004)$)$ pp.479-497.
[35] P. $\mathrm{P}\mathrm{E}\mathrm{D}\mathrm{R}\mathrm{b}^{\tau}\mathrm{G}\mathrm{A}\mathrm{L}$, Parametrized
measures
and variational Principles, Progress inNpn-linear Partial Differential Equations, Birkh\"auser, Basel, 1977.
[36] X. REN $\Lambda \mathrm{N}\mathrm{D}$J. WEI, Concentricallylayeredenergy equilibia
of
the$di$-blockcopolyrnerproblem, European J. Appl. Math., 13 (2002), pp.
479-496.
[$37|$ X. REN AND J. WEI, On energy minimizers
of
the diblock copolymer problem,Inter-faces and Free Boundaries, 5(2003), pp.
193 238.
[38] X. REN AND.J. WEI, On the spectra
of
three-dimensional
lamellar solutionsof
the[39] P. STERNBERG, The
effect
of
a singular perturbation onnonconvex
variationalprob-lerns, Arch. Ration. IVIech. Anal., 101 (1988), pp.
209-260.
[40] H. SuzUKI, Asymptotic $character\cdot ization$
of
stalionaryinterfacial
$patter\cdot ns$for
reactiondiffusion
systerns, Hokkaido Math. $\mathrm{J}_{)}$. Vol. 26, No. 3, pp. 631-667, 1997.[41] H. SUZUKI,
Construction
and stabilityof
stationaryinterfacial
patterns in rescaledreactzon
diffusion
systems, InProcecdings ofthe International ConferenceonAsymp-totics in Nonlinear
Diffusive
Systems (Sendai, 1997), Vol. 8of Tohoku Math. Publ.,pp. 257-262, Sendai,
1998.
Tohoku Univ.[42] IVI.