正規分布 経済統計 鹿野研究室

担当：鹿野（大阪府立大学）

2014 年度前期

はじめに

前回の復習

 一様分布。

 指数分布：ポアソン分布との関係。

今回学ぶこと

 正規分布。

 標準正規分布。

 テキスト該当箇所：_6.6章。

1 ^正規分布

1.1

正規分布：最も重要な確率分布

 正規分布：実数をとる連続型確率変数_Xの密度関数が

f (x) = _√¹ 2πσ^e

−(x−µ)²

2σ2 _{, −∞ ≤ x ≤ ∞} (−∞ ≤ µ ≤ ∞, ^{σ >0) (1)}

のとき、_{f (x)}を （normal distribution^{）と呼び、 と略記。}

⊲ µ^{（ミュー）、}σ（シグマ）はパラメータ。e = 2.718...^{は自然対数の底。}

⊲ ^注意：e^のべき乗e^aで、a^{の部分が複雑な場合、}e^a_{= exp(a)}^{と表記。例えば上式は} f (x) = _√¹

2πσ^exp

−(x − µ)² 2σ²



. (2)

 正規分布_{N(µ, σ}²₎の期待値・分散：_{X ∼ N(µ, σ}²₎ならば、期待値・分散は

E(X) = ^, Var(X) = ^{. (3)}

∴二つのパラメータ_µ、_σ²がそのまま期待値・分散に。

⊲ 証明：岩田暁一『経済分析のための統計的方法（第₂版）』の_p105∼107参照。

1

−10 −5 0 5 10 15 20

0.00.10.20.30.4

x

f(x)

N(−3, 1.5²)

N₍5, 2²₎

N(15, 1²)

図_1:正規分布_{N(−3, 1.5}²₎、_{N(5, 2}²₎、_{N(15, 1}²₎

 _Remark：正規分布_{N(µ, σ}²₎のパラメータ_µ、_σ²と、分布の形状（図₁）

⊲ ^期待値_{E(X) = µ}を軸に左右対称で、つりがね型。全く左右の が無い。

⊲ _{E(X) = µ}^が大きい_⇔^{分布の重心が に。}

⊲ _{Var(X) = σ}^{2が大きい}_⇔^{分布が左右に 。}

 _{N(µ, σ}²₎の具体例：正規分布で近似できる現象は、非常に多い。（特に や

。）∴統計的推測（この講義の後半）では、母集団の分布として正規分布を仮定。

⊲ 生物計測：人間の身長や昆虫の体長など。

⊲ 誤差・ノイズ：製品重量の規格からの誤差など。

⊲ データに適当な変換を施すと、正規分布になるケースも多い。（例：家計所得や消費 支出額のデータを _→近似的に正規分布。）

 例：日経平均株価の日次上昇率、₂₀₁₀年₄月₀₁日_∼9月₃₀日（_X）、₂₀₁₁年₄月₀₁日

∼9^{月30日（Y）。「Yahoo}ファイナンス」より。各年₁₂₃日分。

⊲ ^分布を_{X ∼ N(µX}, σ²_X)^、_{Y ∼ N(µY}, σ²_Y)^{でモデル化。}

⊲ 2010^{年データ：平均}_{X = −0.064}^{¯ （}_{→ ˆµX})^、分散s²_{X = 0.420}^（_{→ ˆ}σ²_X)^。

⊲ 2011^{年データ：平均}_{Y = −0.039}^{¯ （}_{→ ˆµY})^、分散s²_{Y = 0.267}^（_{→ ˆ}σ²_Y)^。

⊲ ^図2^：X ∼ N(−0.064, 0.420)^、Y ∼ N(−0.039, 0.267)を図示し、それぞれデータのヒス トグラムと比較。_⇒両年とも、正規分布がデータの分布をうまく近似。

1.2

^{正規分布の重要な性質}

 確率の対称性：_{N(µ, σ}²₎は、期待値_{E(X) = µ}を中心に左右対称。_⇒定数_cについて、

= ^{. (4)}

∴左辺_or右辺どちらかの確率で、もう一方が分かる。左右対称な確率分布に共通する性質。

⊲ ^特にPr(X < µ) = Pr(X > µ) = ^。

−2 −1 0 1 2

0.00.20.40.60.8

−2 −1 0 1 2

0.00.20.40.60.8

A: 1 Apr − 30 Oct, 2010

stock growth rate (%)

f(x)

−2 −1 0 1 2

0.00.20.40.60.8

−2 −1 0 1 2

0.00.20.40.60.8

B: 1 Apr − 30 Oct, 2011

stock growth rate (%)

f(y)

図_2:日経平均株価の上昇率（_%、縦棒はヒストグラム）

 正規分布の一次変換の分布：_{X ∼ N(µ, σ}²₎ならば、その一次式_{Y = a + bX}の分布は、 X ∼ N(µ, σ²⁾ −−−−−−−−−−−−→^{変換Y = a + bX} Y ∼ ^{. (5)}

∴_Yの分布型は、正規分布（左右対称・つりがね型）のまま。ただし

⊲ ^期待値E(X) = µ → E(Y) = ^に置換。

⊲ ^分散_{Var(X) = σ}²_{→ Var(Y) =} ^に置換。

⊲ ^{証明：岩田（前述）の}_p105∼107と同様の方法で確認できる。

 _Remark：一次式の期待値・分散の公式（講義ノート_#08）より、一次変換の期待値・分

散は一般にE(Y) = a + bE(X)^、Var(Y) = b^2Var(X)。... X ∼ N(µ, σ^{2)に限らず成立。}

⊲ ^{一方、一次変換後の}Y^{の分布が、常に元の}Xの分布と同じである保障はない。∴₍₅₎ 式（分布型の保持）は、一部の確率分布だけで成立する特殊な性質。

⊲ ^例：X ∼ Bin(n, p)^{のとき、Xの一次式}Y = 3 − 2X^{は二項分布に 。}Y ∼ ?

2 ^{標準正規分布}

2.1

標準正規分布：正規分布の標準化

 標準正規分布：_{µ= 0}、_σ²_{= 1}の特殊な正規分布_{N(0, 1)}を、 と呼ぶ。

⊲ ^{任意の正規分布}_{X ∼ N(µ, σ}²)^{を標準化（講義ノート}#08^{）し、変形すると} Z = ^{X − E(X)}_√

Var(X) ⁼ X − µ

σ ^{= −}

µ σ ⁺

1

σ^{X. (6)}

a = −σ^{µ、b =} 1

σ ^{と置けば、(5)式の性質からZは正規分布に。}

Z ∼ N



−^µ σ ⁺

1 σ^µ,

1 σ^2σ

2



整理

−−−→ Z ∼ N(0, 1). ⁽⁷⁾

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.00.10.20.30.4

z

φ(z)

A: Z ~ N(0,1)

0.00.10.20.30.4

z

φ(z)

0 z=1 Pr(Z>1) 1−Φ=0.159 Pr(Z<1)

Φ=0.841

B: Pr(Z>1)=1−Φ(1)=0.159

図_3:標準正規分布Z ∼ N(0, 1)^と確率Pr(Z > z) = 1 − Φ(z)

⊲ ∴Z ∼ N(0, 1)^は、元のX ∼ N(µ, σ^{2)の標準化で得られる。}

 Z ∼ N(0, 1)の密度関数と累積分布：_{µ= 1}、_σ²_{= 1}を₍₁₎式に代入_{→ Z}の密度関数は

= _√¹ 2π^e

−z²

2 ₌ ¹

√2π^exp

−z² 2



. (8)

Z ∼ N(0, 1)^{の密度関数に限り、fではなくφ}（小文字のファイ）で表す伝統。

⊲ Z^がある値z^{以下になる確率}_{Pr(Z ≤ z)}は、累積分布関数（講義ノート_#10）

= Pr(Z ≤ z) =

 z

∞

φ(w)dw (9)

から得る。（_{Φ =}大文字のファイ。）∴記号_φ、_Φを見たら、Z ∼ N(0, 1)^。

⊲ この積分は手計算ではムリ！_⇒後述の正規分布表（_orパソコン）で計算。

 正規分布表：標準正規分布Z ∼ N(0, 1)^{の、さまざまなzに対する次の確率}

Pr(Z > z) = 1 − Pr(Z ≤ z) = ⁽¹⁰⁾

をまとめた表を、正規分布表と呼ぶ。今回配布の表（簡略版）参照。

⊲ ^図3Bの右端斜線部の面積。この例では_{z = 1}、Pr(Z > 1) = 0.159^。

⊲ ^{より細かい確率}_→^テキストp280^参照。

 _Remark：Pr(a < Z < b)の確率をグラフの面積（図₄）で考えると Pr(a < Z < b) = Φ(b) − Φ(a) = Pr(Z < b)

 

斜線部_R

− Pr(Z < a)

 

斜線部_Q

(11)

で得られる。_{⇒ Z}の確率計算で、覚えておくと便利。

⊲ 確率の計算で混乱したら、図₄のような略図を描いて面積の確認すると良い。

⊲ 正規分布以外の確率にも使える！

0.00.10.20.30.4

z

φ(z)

a 0

Q

0.00.10.20.30.4

z

φ(z)

0 b

R

0.00.10.20.30.4

z

φ(z)

a 0 b

R−Q

図4: Pr(a < Z < b) = Pr(Z < b) − Pr(Z < a) = Φ(b) − Φ(a)

 例：Pr(0 < Z < 1)^{はいくら？}

⊲ ^{分布表を使うと}Pr(Z < 1) = = 1 − 0.159 = 0.841^、Pr(Z < 0) = 0.5^。 (11)^式より

Pr(0 < Z < 1) = Pr(Z < 1) − Pr(Z < 0) = 0.841 − 0.5 = ^{. (12)}

 _Remark：Z ∼ N(0, 1)^{が2を超える、}−2を下回る確率は、分布表から

Pr(Z > 2) = Pr(Z < −2) = ^{. (13)}

... 2.5%^{にも満たない。∴「}Z^{のスケール」で考える}_{→ ±2}より外れた実現値は、めったに

出ることのない な値。

⊲ ^図3A^{を再度確認}_{⇒ Z}^{の密度関数}φ(z)^は、 ぐらいの区間をカバー。

∴_±2を超える両端の面積（確率）は、無視できるほど小さい。

⊲ 一方、標準化しない正規分布_{X ∼ N(µ, σ}²₎は、スケール感が不明。 2.2

^{正規分布の確率}

 _Xの確率と_Zの確率の対応関係：_{Z =} ^X−µ

σ ^{、σ >0に注意すると、}

Pr(a < X < b) = Pr^{ a − µ} σ ^<

X − µ σ ^<

b − µ σ



 

全部標準化！

= ^{, (14)}

ここで

a^′ ₌ ^{a − µ} σ ^,

 

下限_{a の標準化}

Z = ^{X − µ} σ ^,

 

X ∼ N(µ, σ^{2) の標準化}

b^′₌ ^{b − µ}

 σ

上限_{b の標準化}

. (15)

∴Z ∼ N(0, 1)の確率から、一般的な正規分布_{X ∼ N(µ, σ}²₎の確率が得られる。

⊲ Xの標準化に合わせて、範囲 も に標準化するのがポイント。

⊲ X^の確率をZのスケールで表現したのが、₍₁₄₎式右辺。

 _Remark：正規分布表による_Zの確率計算と、上の対応関係をうまく使えば、一般的な正 規分布_{X ∼ N(µ, σ}²₎の確率計算が可能。

⊲ ^{ただし 、} の値が分からないとムリ。（コレが無いと標準化できない。）

 例：_{X ∼ N(4, 2}²₎のとき、確率Pr(X > 1)^、Pr(2 < X < 5)^{はいくら？}

⊲ Pr(X > 1) → Z = ^X−4₂ のスケールに換算（標準化）。 Pr(X > 1) = Pr^{ X − 4}

2 ^> 1 − 4

2



= ^{. (16)}

分布表からPr(Z ≤ −1.5) = Pr(Z > 1.5) = 0.067^なので

Pr(X > 1) = Pr(Z > −1.5) = = 0.933. ⁽¹⁷⁾

⊲ Pr(2 < X < 5) → Z = ^X−4₂ のスケールに換算（標準化）。 Pr(2 < X < 5) = Pr^{ 2 − 4}

2 ^< X − 4

2 ^< 5 − 4

2



= ^{. (18)}

⊲ ^{分布表から}Pr(Z < −1) = Pr(Z > 1) = 0.159^、Pr(Z < 0.5) = 1 − Pr(Z > 0.5) = 1 − 0.309 = 0.691 ⇒ (11)^式より

Pr(2 < X < 5) = Pr(−1 < Z < 0.5)

=

= 0.691 − 0.159 = 0.532. ⁽¹⁹⁾

まとめと復習問題

今回のまとめ

 正規分布_{X ∼ N(µ, σ}²₎。

 標準正規分布Z ∼ N(0, 1)^：X ∼ N(µ, σ^{2)の確率計算に利用。}

復習問題

出席確認用紙に解答し（用紙裏面を用いても良い）、退出時に提出せよ。 1. X ∼ N(−5, 3^{2)ならば、}Pr(X > −5) =^＿＿。（積分不要。分布表不要。）

2. 次の確率を、今回配布した正規分布表を利用して求めよ。（計算結果のみ解答。） (a) Pr(Z > −1.2) =^＿＿。

(b) Pr(−1.2 < Z < 1.5) =^＿＿。

3. X ∼ N(2, 1²⁾とする。次の確率を求めよ。（計算結果のみ解答。）

(a) Pr(X < 4.3) =^＿＿。 (b) Pr(1 < X < 3) =^＿＿。