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回帰分析 経済統計 鹿野研究室

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Academic year: 2018

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(1)

担当:鹿野(大阪府立大学)

2014 年度前期

はじめに

前回の復習

 回帰直線Y = a + bXˆ iの推定。

 データからa, bOLS推定。

今回学ぶこと

 母集団としての線形回帰モデル。

 回帰係数の統計的推測。

 テキスト該当箇所:13章。

1 母集団としての回帰モデル

1.1 線形回帰モデル

 Remark:被説明変数Yiを説明変数Xiに回帰した回帰直線(講義ノート#22

Yˆi = a + bXi (1)

OLS推定しても、残差(予測誤差)が発生。

通常、回帰直線でYiのバラつきを全て捉えるのはムリ。

決定係数R21になることは、有り得ない。

 線形回帰モデル:あらかじめ説明できない誤差の存在を認め、XiYiの関係を

Yi = α + βXi+ ui. (2)

と定式化する。これを と呼ぶ。

⊲ α, βは未知の回帰係数。

uiYiの変動のうち直線α + βXiで説明できない確率的なノイズで、 と 呼ぶ。

⊲ ∴回帰モデルは、観測されたYiのバラつきを

Yiのバラつき= Xiによる部分+確率的な誤差ui (3)

と表現。

1

(2)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

01234

Xi

Yi

α + βXi

ui~N(0,σ2)

1:古典的回帰モデルのイメージ

1.2 古典的仮定

 古典的仮定:以下、回帰モデル(2)式の説明変数Xiと誤差項uiに、次の仮定を置く。こ れらをまとめて回帰分析の と呼ぶ。

1. 説明変数Xiは、非確率変数。E(Xi) = Xi 2. 誤差項u1,u2, . . . ,unは互いに独立。

3. ui∼ N(0, σ2u)uiは期待値E(ui) = 0、分散Var(ui) = σ2uの正規確率変数。

 Remark:古典的仮定の下での回帰モデルのイメージ(図1

所与のXi回帰モデル(2)式に従って、Yiの母平均

E(Yi) = α + βXi (4)

の値が決まる。

E(Yi) = α + βXiを中心に、誤差項uiが正規分布。→ Yiが発生。

⊲ ∴回帰モデル+古典的仮定=Xiの値に応じて母平均が変化する、Yiの 。

2 回帰係数の統計的推測

2.1 OLS 推定量の不偏性・有効性

 Remark:講義ノート#22で求めた回帰直線のOLS

b = (Xi− ¯X)(Yi− ¯Y)

(Xi− ¯X)2 , a = ¯Y − b ¯X (5)

は、単に二変数(Xi,Yi)の関係・傾向をまとめた記述統計。

視点を変え、a, bを回帰モデル(2)式の母回帰係数α, βの推定量として使ってみる。

∴ココからは、α, βを未知の母数とする統計的推測問題。

(3)

a, bは、推定量としての望ましい性質(不偏性・有効性、講義ノート#19)を持つか?

a, bの推定結果からα, βに関する仮説検定(講義ノート#20)を行うには?

 bの期待値と分散:古典的仮定が成立するとき、OLS推定量bの期待値と分散は

E(b) = , Var(b) = . (6)

⊲ 導出法:山本拓『計量経済学』の第3章参照。

Xiの標本分散の定義s2X = n−11 (Xi− ¯X)2に注意すると、bの分散は

Var(b) = . (7)

∴自由度n − 1に反比例。サンプル数nが大きい分散小さい(精度が高い)。

aの期待値、分散はそれほど重要でないので、省略。

 bの不偏性・有効性:OLS推定量bは、母回帰係数βの推定量として、望ましい性質を 持つ。

不偏性:E(b) = βより、OLS推定量bβ 推定量。

有効性:βの不偏推定量は、b以外に無数に存在するが、bの分散が最小。∴ bβ の 推定量。

⊲ 証明:山本拓『計量経済学』の第3章参照。

2.2 誤差項分散の推定と標準誤差

 誤差項分散の推定:誤差項ui ∼ N(0, σ2u)の分散σ2uは、次の推定量

s2u= 1 n − 2

(Yi− ˆYi)2 = 1 n − 2

(Yi− a − bXi)2 (8)

で不偏推定できる。 。

a, bの推定により、自由度が二つ落ちて 。

Yiの標本分散s2Y = n−11 (Yi− ¯Y)2と似ているが、異なるので注意。

⊲ 山本拓『計量経済学』の第3章参照。

 bの標準誤差:(6)式より、bの標準偏差は σu

(Xi− ¯X)2

未知のσu(8)式で求めたsuで 置き換えれば、bの標準誤差

s.e.(b) = (9)

を得る。

s.e.(b) 推定の精度が高い。

⊲ 回帰分析では、誤差項分散σ2uの推定値s2u自体はあまり重要でない。ただしbの標 準誤差を求める際、必須。

(4)

2.3 回帰係数の t 検定

 bの標本分布:古典的仮定が成立すれば、期待値・分散の形状(6)式に加え、さらに

b ∼ N



β, σ

2u

(Xi− ¯X)2



. (10)

上式を標準化→ bZ統計量

Z = b − β

σu/(Xi− ¯X)2 ∼ N(0, 1).

(11)

誤差項の分散σ2uは未知。このZβの仮説検定に使えない。

 回帰係数のt統計量:(11)式のσuをその推定値suで置換すると、自由度 の t統計量

t = b − β

su/(Xi− ¯X)2 = ∼ T(n − 2) (12) となる。

⊲ t分布表から臨界値を求め、係数βに関するt検定が可能。両側検定なら、仮説値 β = βに関し

H0: β = β, H1: β  β. (13)

推定値bと理論値βの差b − βを、(12)式のt値に直して判定。

t統計量のもうひとつの使い道=βの区間推定(講義ノート#19)。今回の復習問題 参照。

 Remark:母回帰係数βt検定では、次の帰無仮説が特に重要。

H0: β = 0, H1: β  0. (14)

これをβの と呼ぶ。

回帰モデル(2)式でβ = 0 ⇒ Yi= α + 0 · Xi+ ui = α + ui有意性の検定は、Xi

Yiが無関係であるか否か」を判定する重要な検定。

⊲ この帰無仮説の下で、求めるべきt値は

t= b − 0

s.e.(b) = . (15)

回帰分析で「t値」という場合、このt値を指すことが多い。βの推定値bだけでな く、有意性検定のt値も必ずレポート。

検定の結果H0 : β = 0が棄却された場合、「係数β XiYi

には統計的に有意な関係がある」などと言う。

 例:講義ノート#22で推定した消費関数。係数推定値、決定係数R2に加え、有意性検定 のt値(係数下のカッコ内)を求めると

Yˆi = 101.84

(3.14) + 0.37(5.64)Xi, n = 10, R

2= 0.80. (16)

自由度m = n − 2 = 8t値の右端2.5%臨界値はt0.025= 2.306

⊲ ∴t= 5.64 > 2.306 → H0: β = 0は棄却。βは統計的に有意。

(5)

まとめと復習問題

今回のまとめ

 線形回帰モデルYi = α + βXi+ ui

 回帰係数の統計的推測:OLS推定量a, bα, βを推定、仮説検定。

復習問題

出席確認用紙に解答し(用紙裏面を用いても良い)、退出時に提出せよ。 1. t統計量による、回帰係数βの区間推定

(a) bβの差に関するt統計量(12)式から、β95%信頼区間[L, U]を導出せよ。ヒン ト:母平均の信頼区間(講義ノート#19)と、形式上全く同じ。

Pr(−t0.025<t < t0.025) = 0.95 (17)

から出発し、うまくβを挟むような形に−t0.025<t < t0.025を変形。

(b) n = 20b = 100s.e(b) = 10とする。上で求めた[L, U]の公式を使って、95%信頼 区間を求めよ。

参照

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