解 答 例
（河合塾グループ 株式会社KEIアドバンスが作成しました）
◎特別奨学生試験（平成28年12月18日実施）
数 学
数学②＝工・経営情報・国際関係・人文・応用生物・生命健康科・現代教育学部
（60分・100点）
1 式変形して
2
4
)
2
2
)(
2
2
(
2
2
2
2
2
2
1
4 44
−
+
−
=
−
−
=
+
＝
2
2
2
2
2
2
2
2
+
−
4−
4＝
4 4
2
1
2
2
1
+
−
−
＝ 4
1 4 1 2 1
2
2
2
1
+
−
−
−したがって，
4
1
,
2
1
=
=
b
a
…(ｱ)～(ｴ)2
a, bは実数であるから，
1
+
i
も解である．1
+
i
,
1
−
i
を解にもつ2次方 程式は0
2
2
2=
+
−
x
x
であるから，x2の係数に注意すると
6
4
)
3
)(
2
2
(
2 3 22 3
+
−
+
=
+
+
−
=
+
+
+
x
ax
b
x
x
x
x
x
x
x
したがって，
3
,
6
,
4
=
( )−
−
=
b
実数解 =a
…(ｵ)～(ｹ)3
AからBCにおろした垂線の足をDとおくと，
BD =√3AD, CD = AD より BC=(√3+1)AD BC=3+√3であるから，
3
BC
1
3
1
AD
=
+
=
6
AD
2
AC
,
3
2
AD
2
AB
=
=
=
=
…(ｺ)～(ｼ)4
条件式より
x
x
x
y
y
y
2
cos
tan
sin
2
tan
sin
cos
=
=
⋅
=
整理して，
x
y
x
y
2 2 22
cos
2
cos
,
sin
3
2
sin
=
=
sin
2cos
21
=
+
y
y
が成り立つから4 3 sin2 2 2
)
sin
1
(
2
sin
3
2
1
=
x
+
−
x
より x＝180°<x< 270°であるから，
2
2
2
3
sin
x
=
−
このときsiny=
−
)
270
180
(
Q
°
<
y
<
°
よって，
x
=
2
4
0
°
,
y
=
2
2
5
°
…(ｽ)～(ﾂ)5
原点をO(0,0,0)とおくと
OB
(
2
,
4
,
3
)
3
2
OP
3
1
OQ
),
7
,
2
,
4
(
OC
3
2
OA
3
1
OP
=
+
=
=
+
=
Qの座標は
(
2
,
4
,
3
)
…(ﾃ)～(ﾅ) 6r1 < r2 < r3となる確率は
4
5
5
6
1
1
2
3
4
5
6
6
C
3 3 36
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
…(ﾆ)～(ﾈ)r1 ≦ r2 ≦ r3となる確率は
7
2
7
6
1
1
2
3
6
7
8
6
H
3 3 3 6=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
…(ﾉ)～(ﾋ)7
円Cの中心を(0 , p)，半径rとおくと，
1
,
1
)
4
(
2
2 2−
=
+
=
−
+
p
r
p
r
rを消去して
2
)
4
(
2
2 2+
=
−
+
p
p
より
16
12
4
4
20
8
2 2=
⇔
+
+
=
+
−
p
p
p
p
p
8
条件式は 2
z
z
=
したがって，
z
9
F(a)の導関数は
)
(
´
a
=
F
したがって，
したがって，
3
4
=
p
1
3
2=
+
−
z
2
3
より
±
i
したがって，
,
1
8+
=
z
の導関数は
)
(
´
a
=
e
F
0
とおくと12
6
2+
a
したがって，
F
(
a
)
の増減はしたがって，
F
(
a
)
3
7
,
3
4
=
r
0
=
となるからcos
±
=
zcos
2
1
8=
+
z
) 2 ( 7 ) 2 (a+ 3− a+e
0
6
12
a
−
=
⇔
の増減は
)
はa
=
2
となるから，
sin
6
±
+
π
i
6
8
=
±
π
7 3=
−
e
a−ae
2
2−
+
⇔
a
a
1
2
−
で極小値
(
6
複号同
±
π
1
−
(
6 12 7 2 3−a a+ ae
e
0
1
=
−
よりa極小値をもつ
…(ﾌ)～(
) 複号同順
…(ﾐ)～(
)
1
6 12−
− a 1 2− ± = a. …(ﾓ)， (ﾏ)
(ﾒ)
(ﾔ)
2−1 2−
− 1
)
(
a
a
F´
+
0
−
0
+
)
(
a
F
↑
極大
↑
極小
↑
数学①＝経営情報・国際関係・人文・応用生物・生命健康科・現代教育学部
（60分・100点）
1
式変形して
) 1 7 12 )( 2 (
与式 2 2
1
3
+
+ ++
x xx
x
＝
であるから，展開式におけるx2の係数は
5
3
12
21
2
12
1
7
3
1
2
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
+
=
…(ｱ)，(ｲ)2
a + b + c =－3, ab + bc + ca =－9 であるから，
a2 + b2
+ c2
= (a + b + c)2－
2(ab + bc + ca) =
2
7
…(ｳ)，(ｴ)
さらに
abc
=
3
であるから，9
9
)
(
2
)
(
2 2 2 2 2 2 2=
+
+
−
+
+
=
+
+
b
c
c
a
ab
bc
ca
abc
a
b
c
b
a
…(ｵ)，(ｶ)
また，
θ
tan
os
sin
1
sin
1
sin
1
3
5
)
(
2
)
(
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4=
+
+
−
+
+
=
+
+
b
c
a
b
c
a
b
b
c
c
a
a
…(ｷ)～(ｹ)
3
=+ 2++ 5がx軸と共有点をもたないaの条件は
1 −+ 5< 0 ⇔> −4
= −2+ (− 2)+ 2(+ 1) がx軸と共有点をもたないaの条件
は
2
10
0
20
12
0
)
1
(
2
2
4
)
2
(
2 2−
<
<
−
⇔
<
+
+
⇔
<
+
⋅
⋅
+
−
a
a
a
a
a
したがって，求めるaの値の範囲は
−
4
<
a
<
−
2
…(ｺ)～(ｽ)4
sin, cos, tanについて
θ
θ
θ
θ
θ
θ
tan
1
)
90
tan(
,
sin
)
90
cos(
,
cos
)
90
sin(
°
−
=
°
+
=
−
°
−
=
が成り立つから，第１式の値は
2
cos
cos
2
sin
1
cos
2
sin
1
cos
sin
1
cos
2 2 2 2 2 2=
=
−
=
−
+
+
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
…(ｾ)
第2式の値は
θ
θ
θ
θ
θ
θ
2 2 2 2 2 2cos
)
sin
2
(
sin
cos
tan
1
1
tan
1
−
−
−
+
+
＝ 2
θ
2θ
2θ
2θ
2θ
tan
sin
tan
2
cos
tan
−
−
+
＝ 2
θ
2θ
2θ
tan
)
sin
1
(
cos
−
−
−
＝
cos
2(
1
tan
2)
θ
θ
+
−
＝
−
1
…(ｿ)，(ﾀ)5
BD =xのとき，
3
3
EF
CE
,
3
DG
EF
=
=
x
=
=
x
であるから，
3
4
2
3
2
CE
BD
BC
DE
=
−
−
=
−
x
−
x
=
−
x
したがって，長方形DEFGの面積をSとおくと4
3
4
3
3
3
4
3
2
3
3
4
3
4
2
3
2 2+
−
−
=
+
−
=
−
=
x
x
x
x
x
S
したがって，Sは最大値
. である 4 3 の値は をとり，そのときの
4
3
=
x
6 条件式
200 = 29 × 6 + 26, 200 = 28 × 6 + 32
より，得票数が29の場合は6位以上に位置し，得票数が28の場合は 7位に位置する可能性がある.したがって，無関係に選ばれるためには， 最低
2
9
票あればよい. …（ﾅ），(ﾆ)7
事象A , B , Cについて，それぞれの確率は
2
1
)
(
P
,
2
1
)
(
P
,
2
1
)
(
P
A
=
B
=
C
=
…(ﾇ)，(ﾈ)
A∩Bは大小のコインに同時に表が出る事象であるから，A∩B∩Cは 空集合である.したがって，
8
1
0
2
1
)
(
P
)
(
P
)
(
P
)
(
P
3
=
−
=
∩
∩
−
A
B
C
C
B
A
…(ﾉ)，(ﾊ)
8
集合A , B , Cについて，
{
=
3
+
2
(
3
32
)
}
,
(
)
=
30
=
x
x
k
≦
k
≦
n
A
A
{
=
4
(
3
24
)
}
,
(
)
=
22
=
x
x
k
≦
k
≦
n
B
B
C
=
{
x
x
=
7
k
+
1
(
2
≦
k
≦
13
)
}
,
n
(
C
)
=
12
A∩Bに属する整数は3k + 2 = 4l (k , l は整数)とおくことができ，
)
2
(
3
)
2
(
4
2
3
4
l
−
k
=
⇔
l
−
=
k
−
ここで4と3は互いに素であるから，l－2＝3m (m は整数)とおくと，
8
12
)
2
3
(
4
4
l
=
m
+
=
m
+
7
1
8
12
m
+
∈
U
より，≦
m
≦
であり，
n
(
A
∩
B
)
=
7
…(ﾋ)また，
A
∩
B
の要素の個数は15
7
22
)
(
)
(
)
(
A
∩
B
=
n
B
−
n
A
∩
B
=
−
=
n
であるから5
7
15
90
)
(
)
(
)
(
A
∪
B
=
n
U
−
n
A
∩
B
=
−
=
n
…(ﾌ)，(ﾍ)C
A
∩
に属する整数を3k + 2 = 7m + 1 (k , mは整数)とおくと，7
m
−
3
k
=
1
⇔
7
(
m
−
1
)
=
3
(
l
−
2
)
ここで，7と3は互いに素であるから，
m
−
1
=
3
p
（p
は整数）とお くと
7
(
3
p
+
1
)
+
1
=
21
p
+
8
(
p
=
1
,
2
,
3
,
4
)
したがって，部分集合の個数は
2
41
6
=
…(ﾎ)，(ﾏ)9
1辺の長さ1の正8面体の表面積は
2
3
2
3
1
2
1
8
2=
⋅
⋅
⋅
…(ﾐ)，(ﾑ) 体積は
3
2
2
1
3
1
2=
⋅
⋅
…(ﾒ)，(ﾓ)英 語
工・経営情報・国際関係・人文・応用生物・生命健康科・現代教育学部
（60分・100点〈英語英米文化学科は150点〉）
〔１〕
1 ウ 2 エ 3 ア 4 エ 5 エ6 ア 7 ウ 8 イ 9 ウ 10 ア
〔２〕
11 エ 12 ウ 13 ウ 14 ア 15 イ16 イ 17 ア 18 イ 19 エ 20 ア
〔３〕
21 ウ 22 カ 23 イ 24 ア 25 オ26 ク 27 エ 28 カ 29 オ 30 ウ
〔４〕
31 イ 32 ア 33 ウ 34 エ 35 ウ〔５〕
36 オ 37 エ 38 ア 39 イ 40 ウ理科（物理，化学，生物）
物理②＝工・応用生物・生命健康科・現代教育学部
（60分・100点）
Ⅰ
1 オ 2 イ 3 カ 4 カ 5 オ6 キ 7 ア 8 イ 9 エ 10 エ
11 オ 12 オ 13 エ 14 イ 15 ウ
Ⅱ
16 ア 17 エ 18 ウ 19 エ 20 カ21 イ 22 エ 23 エ 24 イ 25 ア
26 コ
Ⅲ
27 ア 28 ア 29 イ 30 カ 31 ウ物理①＝生命健康科・現代教育学部
（60分・100点）
Ⅰ
1 オ 2 イ 3 カ 4 カ 5 オ6 キ 7 ア 8 イ 9 エ 10 エ
11 オ 12 オ 13 エ 14 イ 15 ウ
Ⅱ
16 ア 17 カ 18 エ 19 ク 20 ウ21 カ 22 キ 23 エ 24 ウ 25 ア
26 コ
Ⅲ
27 ア 28 ア 29 イ 30 カ 31 ウ32 キ 33 エ 34 コ 35 イ 36 ウ
化学②＝工・応用生物・生命健康科・現代教育学部
（60分・100点）
Ⅰ
1 オ 2 ウ 3 ア 4 エ 5 ウ6 イ 7 オ 8 キ
Ⅱ
9 エ 10 カ 11 エ 12 オ 13 オ14 エ 15 カ 16 カ
Ⅲ
17 エ 18 イ 19 ア 20 イ 21 ア22 イ 23 ア 24 ウ
Ⅳ
25 エ 26 カ 27 ウ 28 ア 29 イ30 エ 31 オ
化学①＝応用生物・生命健康科・現代教育学部
（60分・100点）
Ⅰ
1 オ 2 ウ 3 ア 4 エ 5 ウ6 イ 7 オ 8 キ
Ⅱ
9 エ 10 カ 11 エ 12 オ 13 オ14 エ 15 カ 16 カ
Ⅲ
17 カ 18 ア 19 イ 20 オ 21 ウ22 カ 23 エ 24 エ 25 エ 26 オ
生物①＝応用生物・生命健康科・現代教育学部
（60分・100点）
Ⅰ
1 キ 2 ウ 3 ケ 4 カ 5 ク6 キ 7 オ 8 エ
Ⅱ
9 エ 10 ア 11 キ 12 ア 13 カ14 ウ 15 エ
Ⅲ
16 ク 17 ケ 18 キ 19 エ 20 ア21 キ 22 オ 23 ウ
Ⅳ
24 エ 25 オ 26 コ 27 カ 28 ク29 ウ 30 エ
Ⅴ
31 ア 32 ア 33 カ 34 エ 35 イ国 語
工・経営情報・国際関係・人文・応用生物・生命健康科・現代教育学部
（60分・100点）
（一）
1 カ 2 キ 3 オ 4 エ 5 ア6 イ 7 エ 8 キ 9 ウ 10 カ
11 カ 12 オ 13 イ 14 オ 15 ウ
16 エ
（二）
17 エ 18 イ 19 ウ 20 エ 21 オ22 イ 23 ア 24 ア 25 エ 26 ウ
27 イ 28 エ 29 カ 30 ア 31 イ
32 エ 33 ウ 34 ウ
（三）
35 エ 36 イ 37 オ 38 エ 39 ア40 ウ
社会（世界史，日本史，地理，政治･経済）
世界史＝経営情報・国際関係・人文・現代教育学部
（60分・100点）
〔Ⅰ〕
1 エ 2 ア 3 イ 4 エ 5 イ6 エ 7 ア 8 ウ 9 イ
〔Ⅱ〕
10 エ 11 ウ 12 ア 13 イ 14 イ15 エ 16 ア 17 ウ
〔Ⅲ〕
18 イ 19 ウ 20 エ 21 エ 22 イ23 ア 24 ウ 25 ア
〔Ⅳ〕
26 ア 27 イ 28 ウ 29 エ 30 ウ31 ウ 32 ア 33 エ
日本史＝経営情報・国際関係・人文・現代教育学部
（60分・100点）
〔Ⅰ〕
1 イ 2 エ 3 ア 4 イ 5 エ6 ウ 7 エ 8 ア
〔Ⅱ〕
9 イ 10 エ 11 ア 12 ウ 13 エ14 ウ 15 エ 16 イ
〔Ⅲ〕
17 イ 18 エ 19 ア 20 ウ 21 イ22 エ 23 イ 24 エ
〔Ⅳ〕
25 ウ 26 エ 27 ア 28 ウ 29 エ30 ウ 31 イ 32 イ
〔Ⅴ〕
33 ウ 34 イ 35 ア 36 エ 37 イ地理＝経営情報・国際関係・人文・現代教育学部
（60分・100点）
〔Ⅰ〕
1 イ 2 ア 3 イ 4 ア 5 ウ6 イ 7 エ 8 ア 9 ウ 10 エ
11 イ 12 ウ 13 イ 14 エ 15 ア
〔Ⅱ〕
16 ウ 17 エ 18 ア 19 エ 20 ウ21 ア 22 イ 23 ウ 24 ア 25 ア
〔Ⅲ〕
26 エ 27 エ 28 ウ 29 ア 30 ア31 イ 32 エ 33 エ 34 ア 35 ウ
〔Ⅳ〕
36 ア 37 イ 38 ウ 39 ウ 40 エ41 イ 42 イ 43 ウ 44 ウ 45 ウ
政治・経済＝経営情報・国際関係・人文・現代教育学部
（60分・100点）
〔Ⅰ〕
1 ウ 2 エ 3 イ 4 ウ 5 イ6 ア 7 ア 8 ウ 9 エ 10 エ
11 イ 12 ウ 13 ア
〔Ⅱ〕
14 ウ 15 イ 16 ア 17 エ 18 イ19 ア 20 ウ 21 ア 22 ウ 23 エ
24 イ 25 エ
〔Ⅲ〕
26 ア 27 ア 28 エ 29 ア 30 イ31 エ 32 エ 33 ウ 34 イ 35 ウ
36 ア 37 イ 38 ウ
〔Ⅳ〕
39 イ 40 イ 41 ウ 42 ウ 43 エ44 ア 45 エ 46 ア 47 イ 48 イ
