『新しい計量経済学』 鹿野研究室 slide22

計量経済学#22

内生性と操作変数法

(1)

鹿野繁樹

大阪府立大学

2017年11月更新

Outline

1 内生性問題

2 内生性の発生するケース

テキスト：鹿野繁樹 [2015]、第12.1章・第12.2章。

前回の復習

1 比例的不均一分散

2 加重最小2乗法（WLS）

Section 1

内生性問題

外生性と

OLS

推定量の一致性：再考

講義ノート#19：線形回帰モデル

Yi =α+βXi+ui (1)

に関し、サンプル数がn→ ∞のとき、OLS推定量βˆの確率極限は

ˆ

β =β+ sXu

s2_X

確率極限

−−−−→ plim ˆβ =β+Cov(Xi, ui) Var(Xi)

. (2)

外生性の仮定が成立すればCov(X_i, u_i) = 0なので

plim ˆβ =β+ 0 Var(Xi)

=β. (3)

∴βˆは係数βの一致推定量。

nが十分多ければ、βˆを未知のβとみなして間違いない。

なぜX_iとu_iが無相関だとOLSで係数βを一致推定できる？

(1)式に登場する(X_i, Y_i, u_i)の関係を模式図で表せば、

( Xi ) ... ց

独立な振動 (

Yi )! ... ր ( ui ) (4)

... YiはX_iとu_iからの「波」を受けて変動。

データとして観測されるのはX_iとY_iのみ。⇒X_iがu_iと独 立に振動していれば、u_iを観測せずとも、X_iからY_iに伝わっ た「波」の大きさを正確に知ることが可能！

uiから来た「波」は、X_iが引き起こしたY_iの変動の残余とし て測られる。

内生性バイアス：

OLS

の敗北

外生性が成立せず、X_iとu_iが相関するデータにOLSを適用する と？：外生性を満たさない説明変数X_iを、内生変数と呼ぶ。

この場合Cov(X_i, u_i)= 0⇒ OLSの確率極限は

plim ˆβ =β+

=0

Cov(Xi, ui)

Var(Xi)

=β+ bias( ˆβ)=β. (5)

βの一致推定量にならない。

ˆ

βとβの漸近的なズレ

bias( ˆβ) = Cov(Xi, ui) Var(Xi)

(6)

を、内生性バイアスと呼ぶ。

Xiとu_iが相関⇒βˆは内生性バイアスの分だけ、真のβから 外れた、見当違いの値（過大評価・過小評価）をとる。

Xiとu_iの相関によりOLSが失敗する理由。

再び模式図で考えると、

( Xi ) ց

共振 (

Yi )? ր ( ui ) (7)

データとして確認できる「X_i →Y_i」の変動は、一部

「u_i →Y_i」の変動を含んでしまう。⇒純粋に「X_i →Y_i」だけ を識別することが不可能に！

内生性バイアスのメカニズムは、除外変数バイアス（この コースの前半）と類似。

Remark 1

内生性バイアスの原因は、説明変数X_iと誤差項u_iの相関にあり。

外生性: Cov(X_i, u_i) = 0 ⇒ plim ˆβ =β+

=0

Cov(Xi, ui)

Var(Xi)

=β,

(8)

内生性: Cov(X_i, u_i)= 0 ⇒ plim ˆβ =β+

=0

Cov(Xi, ui)

Var(Xi)

=β.

(9)

実験データでは、X_iが意図的にランダムに与えられるので、X_iが

uiと相関しない。⇒内生性バイアスは起こらない。

∴内生性は、非実験データ特有の問題。

通常の統計学のテキストは、実験データを前提にしているの で、内生性バイアスに言及しない。

Xiが内生変数ならば、OLSに代わる新たな推定法が必要。⇒

操作変数法（次回）。

いかなる状況で、内生性問題が発生するか？

1 観測不可能な個体属性。

2 同時方程式モデル。

Section 2

内生性の発生するケース

観測不可能な個体属性

内生性問題の例として、次の回帰モデルのOLS推定を考える。

Yi =α+βXi+ai+vi. (10)

aiは個体iが持つ観測不可能な個体属性で、平均的に

E(ai) = 0と仮定。

viは，通常の意味での確率的な誤差。

説明変数X_iはv_iに関しては外生的だが、a_iとは相関する。

Cov(vi, Xi) = E(viXi) = 0, Cov(ai, Xi) = E(aiXi)= 0.

(11)

aiの存在を無視してOLS回帰⇒a_iは誤差項に取り込まれ、

Yi =α+βXi+ui, ui =ai+vi. (12)

誤差項u_iとX_iの共分散は

Cov(Xi, ui) = E(Xiui) = E(Xiai)

=Cov(ai,Xi)

+ E(Xivi)

=0

= Cov(ai, Xi)= 0.

(13)

⇒上式を(5)式に代入すれば、除外変数バイアス発生：

plim ˆβ =β+Cov(ai, Xi) Var(Xi)

=β. (14)

ˆ

βは、a_iがY_iに与える影響をも拾ってしまうので、X_iからY_i

への影響βを過大・過小評価。

例：Cov(a_i, X_i)>0⇒β > βˆ で過大評価。

もしa_iが観測できる変数ならば、a_iをコントロール変数に入れ

「a_iを一定にした」重回帰をすることで、バイアスを回避可能。

∴除外変数バイアスの問題の本質は、「a_iが観測不可能である こと」。

コントロール変数アプローチの限界（講義ノート前半）。

例：教育の人的資本形成に関する実証分析（労働・教育経済学）。

給与所得者の年収wage_iを就学年数educ_iとコントロール変数 群others_i（年齢や性別、業種ダミーなど）に回帰し、追加的

な教育によりiが享受する私的リターンを計測。

wagei =α+β1educi +β2othersi+ai+vi. (15)

ai =個人iの生まれつきの能力：認知能力やコミュニケーショ ン能力、家庭の財力、人間性、etc.

aiはwage_iに影響する一方で、educ_iの選択にも影響。

観測可能な変数群others_iで、a_iの影響を完全にコントロール するのは困難。

∴係数β₁のOLS推定値βˆ₁に、除外変数バイアス！

OLSによる教育のリターン推定をめぐる問題を図示すると、

otheri （コントロール可能）

ւ ց

educi

OLS推定値βˆ₁

−−−−−−−−−→

=教育の効果（？）

wagei

տ ր

ai

（コントロール不可能）

(16)

要するに、「教育が賃金を上げるのか、もともとの能力が賃金を上

げるのか区別できない」状況。

類似の問題が多数：補習のテストへの効果、喫煙の健康への 影響、etc.

共通点：効果を評価したい説明変数X_iの量が、個人iの自己 選択で決まっている点。⇒X_iが、iの個人属性a_iと相関。

Xiを本人の意思と独立に、ランダムに与える無作為化実験で

は、X_iとa_iは無相関。

同時方程式モデル

変数間の相互依存関係が同時方程式モデルを成す場合：

Xi →Yi : Yi =α+βXi+ui, (17)

Yi →Xi : Xi =γ0+γ1Yi+vi. (18)

上式は「X_i →Y_i →X_i →Y_i → · · ·」という，X_iとY_i のフィードバック構造のモデル。

実際に観測される標本(X_i, Y_i)は、二つの式で同時決定される 均衡点（解）。

簡単化のため、誤差項についてE(u_i) = E(v_i) = 0、またu_iの 分散および(u_i, v_i)の共分散は

E(ui) = σ2, E(uivi) = 0 (19)

であると仮定。

二本の同時方程式をX_iについて解き、整理すると

Xi =

γ₀+αγ₁

1−βγ1

+ 1 1−βγ1

(γ₁ui+vi) = π0+π1(γ1ui+vi). (20)

Xiは、(17)式の誤差項u_iを含むため、u_iと相関する。

実際にX_iとu_iの共分散を求めると（テキストp207）

Cov(Xi, ui) = E(Xiui) =

γ₁σ2

u

1−βγ1

= 0. (21)

上式を(5)式に代入・整理すれば

plim ˆβ =β+ γ1 (1−βγ₁)

σ_u2 σ2

X

=β, σ_X2 = Var(Xi). (22)

で、OLS推定量にバイアスが発生！

説明変数と被説明変数の相互依存関係（フィードバック）によっ

て生じるOLSのバイアスを同時性バイアスと呼ぶ。

もしここでγ₁ = 0で、(18)による「Y_i →X_i」のフィード バックが存在しなければ、(21)式は

Cov(Xi, ui) =

γ₁σ_u2

1−βγ1

= 0·σ

2

u

1−β·0 = 0 (23)

∴X_iは外生。

同時性バイアスは、X_iの変動σ2_Xがu_iの変動σ_u2に比して大 きいほど縮小する傾向。

例:「警官数police_iの増加は、犯罪crime_iに対し抑止効果がある か」の実証分析で、次の回帰モデルを推定。

crimei =α+β1policei+β2othersi+ui. (24)

各地域の警官数はランダムか？⇒犯罪の多い地域ほど、警官

が多く配備されているはず。

∴フィードバック（警官への需要）が存在し、

policei =γ0+γ1crimei+γ3othersi+vi (25)

分析者がこの構造に気づかず(24)式をOLS推定すると、推定 値βˆ₁に同時性バイアスが発生。

この問題を図示すると、

OLS推定値βˆ₁

−−−−−−−−→

=抑止効果（？）

policei crimei フィードバック

←−−−−−−−−

警官への需要

տ ր

othersi

(26)

「警官数をランダムに増減する」実験なら、フィードバック はなくなりOLSでβ₁の一致推定が可能。... コレは無理。 同時方程式で描写され得る自然・社会現象は多数存在。

経済学で重要な「市場均衡モデル」も、同時方程式モデルの

一種。⇒詳しくは今後の講義で。

今回の復習問題

次の設問に答えよ。各自用意した紙に解答し、退出時に提出せよ。 講義名、日付、学籍番号、氏名を明記すること。

1 _{テキスト第}12_{章復習問題}12.1_。

References

鹿野繁樹. 新しい計量経済学. 日本評論社, 2015.