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プレゼンファイル・集中講義ノート Jun O'Hara

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Academic year: 2018

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図 3: モチヴェーション. 運良くエネルギー汎関数の極値に到達し、更に運良くそれがその元々の結び目型のエネルギー最小元になれば 解決したことになる。(図 3 参照。下の空間には C 2 -位相を入れる。)(但し、この試みは実際には、数値実験でし か出来ていない。)その為には、変形の途中で、結び目型が変わってしまっては困る。結び目が自己交叉すると、 結び目型が変わってしまうかもしれないので、これが起こらないようしたい。その為に、 定義 1.2 結び目の空間上定義された汎関数は、結び目が自己交叉しようとすると
図 4: A planar figure eight singular knot. ∫ c −c ∫ c −c dsdt(s2+ t 2 ) α2 ∼ 4 ∫ c ′0 ∫ π20 dθdrrα−1 { < ∞ (α < 2)= ∞ (α ≥ 2)
図 6: • p ∈ R 3 に対して |T ′ (p) | = | det dT (p)| 1/2n とおく。ここで det dT (p) は T の p におけるヤコビアン。特に T が中心 C で半径 r の球面に関する折り返しの場合は、|T ′ (p) | = r/|C − p| となる。この時 p, q ∈ R 3 および f : S 1 or R → R 3 に対して |T (p) − T (q)| = |T ′ (p) ||T ′ (q) ||p − q| |(T ◦ f) ′ (s) | =
図 7: The inverted open knot, the conformal angle, and the exess-length. 以上から V ◦ (2) (K; x) = lim ε →0 (∫ y∈K,δ(x,y)≥ε dy |x − y| 2 − 2ε ) = lim ε→0 ∫ p ˜ − (ε) ˜p + (ε) d˜ y(1 − cos θ) = lim ε→0 ∫ y ∈K (1 − cos θ)dy|x − y|2
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参照

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