§ 4.運動量の保存
【ま と め】 1.運動量と力積
物体の運動量の変化は受けた力積に等しい. (① )=Ft
… F:力〔N〕 t:力の作用時間〔s〕 m:質量〔kg〕
… v:初めの速度 vl:t…秒後の速度〔m/s〕
… Ft:力積〔N・s〕 m vl,m v:運動量〔kg・m/s〕
2.運動量保存の法則
いくつかの物体の衝突で(② )のみがはたらき,外力がはたらかないとき,衝突の 前後で(③ )は保存される.
m v1 1+m v2 2=m v1 l1+m v2 l2
3.反発係数(はねかえり係数) e v v
v v
1 2
1 2
=- - l- l
e
0E E 1 e e
0 1
0
: 完全 弾性衝突
:非弾性衝突
:完全非弾性衝突 E 1
=
] g
*
(④ )
壁や床との衝突の場合,v2=vl2=0として,v1=v,vl1=vlとすると e=-vvl
4.衝突と力学的エネルギー 2つの物体が衝突するとき,
・弾 性 衝 突(e = 1)………力学的エネルギーは(⑤ )(保存される) ・非弾性衝突(0 ≦ e < 1)…力学的エネルギーは(⑥ )(保存されない)
衝突前
衝突
力の作用時間 t
衝突後
m1 m2
m1 m2
m1 m2
−F F
v2
v1
v'2
v'1
0〔s〕 F v
〔s〕t F v'
■解答 ①…m vl-m v ②内力 ③運動量の総和 ④…e =1 ⑤一定 ⑥減少
導 入 問 題
30.(運動量と力積)次の文の( )に適当な語句,式を入れよ.
物体の運動の激しさを表す量に運動量がある.これは物体の(
ア)と速度の積で表される.
速さv
0〔m/s〕で一定の方向に運動していた質量 m〔kg〕の物体に運動の方向に一定の力 F〔N〕
を時間 t〔s〕の間はたらかせたところ,速さが v〔m/s〕になった.この間の加速度は(
イ)
〔m/s
2〕と表されるので,この物体の運動方程式は m×(イ)= F となる.
これより…mv mv
- 0=F t…が得られるが,この式の右辺の F t を(
ウ)という.
この式を言葉で表すと「物体の(
エ)の変化は,その物体が受けた(
オ)に等
しい」ということになる.
練 習 問 題 A
31.(運動量保存則)質量m
1〔kg〕の小球Aが一直線上を右向きに速度v
1〔m/s〕で運動し,速
度v
2〔m/s〕で運動している質量m
2〔kg〕の小球Bに衝突した.衝突したときの接触時間は t
D〔s〕
であり,このときAがBにおよぼした平均の力は F〔N〕であった.その後,Aは速度v
1l〔m/s〕,Bは速度v
2l〔m/s〕になった.右向きを正として,次の文の( )に適当な語句,式を入れよ.小球Aについて,運動量と力積の関係を式で表すと,
m v
1 1l-m v1 1=(
ア)……①
となる.同様に小球Bについて,運動量と力積の関係を式で表すと,
(
イ)=F t
D……②
①式と②式から力積を消去してまとめると,次のようになる.
m v
1 1+m v2 2=(
ウ)……③
この式を言葉で表すと,「物体どうしの衝突のように,互いに力(内力)を及ぼし合い外力がは
たらかなければ,衝突の前後で(
エ)の総和は一定に保たれる」となる.
これを(
オ)の法則という.
(衝突前)
A m1 v1 B m2 v2
(衝突中)
A F
Dt B
(衝突後)
A v1’ B v2’
32.(運動量と力積)質量 2.0kg の物体が右向きに速さ 5.0m/s で飛んできて壁に垂直に衝突し,左
向きに速さ 4.0m/s ではね返った.右向きを正として次の問いに答えよ.
⑴ 衝突前の物体の運動量を求めよ.
⑵ 衝突後の物体の運動量を求めよ.
⑶ 壁との衝突による物体の運動量の変化を求めよ.
⑷ 壁が受けた力積を求めよ.
33.(運動量と力積)図に示すように,物体Aの運動量が
m v から m vl に変化した.このとき物体Aの受けた力積
を図示せよ.
34.(運動量保存の法則)質量 500kg の船と質量 50kg の人が⑴〜⑶のような直線上での飛び移り
をした.人が飛び移った直後の船の速度を求めよ.ただし,速度はすべて桟橋に対するものとし,
図の右向きを正とする.
⑴ 静止した船の上から桟橋へ人が 2.0m/s で飛び移る.
⑵ 0.50m/s で桟橋へ近づく船上から人が 2.0m/s で桟
橋の方へ飛び移る.
⑶ 0.50m/s で桟橋へ近づく船上へ桟橋から人が 5.0m/s
で飛び移る.
(前)
(後)
5.0m/s
4.0m/s
壁
A mv'
mv
2.0m/s 桟橋 船
水 面 2.0m/s 0.50m/s
0.50m/s 5.0m/s
35.(斜め衝突)質量 1.5kg の物体 A が 10m/s の速さ
で…x…軸の正の向きに進み,静止している質量 3.0kg の
物体 B に衝突した.その後,A,B は図のように…x…軸
からそれぞれ 60°と 30°の向きに進んだ.衝突後の A,
B の速さをそれぞれ v
A, v
Bとする.次の問いに答えよ.
⑴ v
A, v
Bを用いて,x…軸方向の運動量保存の式をかけ.
⑵ v
A, v
Bを用いて,y…軸方向の運動量保存の式をかけ.
⑶ ⑴,⑵の式より, v
A, v
Bを求めよ.ただし 3 = 1.73 とする.
36.(衝突とはねかえり係数)高さが 6.4m のところから地面に向かって静かにボールを落としたら,
ボールは高さ 3.6m のところまではね返った.重力加速度の大きさを 9.8m/s
2とする.次の問いに答
えよ.
⑴ 地面に衝突する直前のボールの速さは何 m/s か.
⑵ 地面に衝突した直後のボールの速さは何 m/s か.
⑶ ボールと地面との間の反発係数を求めよ.
⑷ もう一度地面にあたった後,はね上がる高さは何 m か.
37.(2 物体の直線上での衝突と反発係数)…質量 2.0kg の物体 A と 3.0kg の物体 B が次のア,イ,
ウのように直線上で衝突する場合,衝突直後の A,B の速度 v
A, v
Bを求めよ.ただし,反発係数
を…1…とし,図の右向きを正とする.
ア
イ
ウ
A 1.5kg 10m/s
1.5kgA B 3.0kg
30° 60° y
x
3.6m 6.4m
A B
衝突直前 衝突直後
0.60m/s 静止
A B
0.60m/s 0.20m/s
A B
0.60m/s 0.20m/s
A
vAB
vBA
vAB
vBA
vAB
vB38.(運動量と力積)図 1 のように,水平でなめらかな床に質量 0.50kg の小球が速さ 4.0m/s,床面と
なす角 30°で衝突した.このとき小球が床から受けた力の大きさは時間とともに図 2 のように変化
した.衝突の際の重力の影響は無視してよいものとして,次の問いに答えよ.
⑴ 小球が床から受けた力積の大きさはいくらか.
またその向きを答えよ.
⑵ 衝突直後の小球の速度の水平成分,
鉛直成分の大きさはそれぞれいくらか.
⑶ 小球と床との間の反発係数はいくらか.
39.(衝突とエネルギー)止まっている質量 2.0kg の球Aに同質量の球Bが 10m/s の速さで正面衝
突をした.次の問いに答えよ.
⑴ 衝突直後の球 A,B の速さを次の場合について求めよ.
⒜ 反発係数…0.60…の場合
⒝ 弾性衝突の場合
⑵ ⒜,⒝の各場合に,衝突によって失われた力学的エネルギーは何 J か.
40.(衝突とエネルギー)天井に糸の一端を固定し,他端に質量…M…の木片をつるす.水平方向から
質量…m…の弾丸が速さ…v…で木片の中心に命中し,弾丸は木片の中心に止まり,両者は一体となって
動き始めた.重力加速度の大きさを…g…として,次の問いに答えよ.
⑴ 一体となった直後の速さを求めよ.
⑵ ⑴のときの運動エネルギーを求めよ.
⑶ この衝突によって失われた力学的エネルギーを求めよ.
⑷ 木片が達する最高点の初めの位置からの高さを求めよ.
30° 図
図2 力〔N〕
時間〔s〕 300
0 0.005 0.01
弾丸
木片 M m
v
練 習 問 題 B
41.(運動量の保存と力積)水平でなめらかな机上に静止している 480g
の木片に,20g の弾丸を 300m/s の速さで水平に打ち込んだ.次のA,
Bの各場合についてそれぞれ答えよ.
A.弾丸が木片中にとどまり,両者が一体となってすべり出した場合.
⑴ 一体となった両者がすべり出した速さは何 m/s か.
⑵ 打ち込まれてから両者の速度が一定になるまでの時間を .
1 0#10-2秒として,木片に弾丸が
及ぼした平均の力の大きさは何 N か.
B.弾丸が木片を通り抜けて 180m/s の速さで飛び去った場合.
⑶ 木片の速さは何 m/s になったか .
⑷ 弾丸が木片を通り抜けるのにかかる時間を .
2 0#10-3秒として,木片に弾丸が及ぼした平均
の力の大きさは何 N か.
42.(運動量の保存)図において,斜面 AB,水平面 BC,水平な床面 DE はなめらかで,壁 CD に
接する位置に質量…M…の台車が置かれている.台車の上面は水平であらく,水平面 BC と同じ高
さである.
いま,質量…m…の物体を水平面 BC からの高さ…h…の斜面上に置いて静かにはなすと,物体は斜
面をすべり下りた.重力加速度の大きさを…g…として,次の問いに答えよ.
⑴ 面 BC 上をすべっているときの物体の速さはいくらか.
物体が面 BC 上から台車の上面に移ると同時に,台車は床面上を動き出した.やがて物体は
台車に対して静止し,両者は一体となって運動した.台車の上面と物体との間の動摩擦係数をn
とする.
⑵ 一体となって運動しているときの台車の速さはいくらか.また,台車が動き出してから
物体と一体となるまでの時間はいくらか.
⑶ この過程で失われた力学的エネルギーはいくらか.また,そのエネルギーは,何に変わっ
たか.
⑷ 一体となるまでに物体が台車の上面を台車に対してすべった距離はいくらか.
480g 300m/s
A m
h
B C
D E
M
― 9 ― 28.⑴
物体がすべり出す直前の加えた力の大きさを F=F1とすると,このとき物体には最大摩擦 力 f0=nN(N は垂直抗力の大きさ)がはた らいている.
力のつり合いの式 水平方向:F1=nN 鉛直方向:N mg= より,F1=nmg ⑵
物体が倒れ始める直前の加えた力の大きさを F=F2とすると,図2のPのまわりの力のモー メントのつり合いの式
mgl F l 2= 2: より F2=21mg
⑶ 物体が倒れるより先にすべり出すためには, F11F2
より mgn 121mg n121
29.⑴ A 端,B 端が受ける垂直 抗力をそれぞれNA,NB とおき,はしごを x〔m〕 まで登ることができると すると,はしごにはたら く力は図のようになる.
水平方向のつり合いの式 NA-0 . 4 0 NB=0 ……① 鉛直方向のつり合いの式
NB- 10 98 5#. - 0 98#. =0 ……② l
F1
f0 N l
mg 図1
l
F2
f N
P l
mg 図2
A
B 60°
50×9.8N 10×9.8N
10m x
0.40NB〔N〕 N〔N〕A
NB
〔N〕
B 端のまわりのモーメントのつり合いの式 -NA#10sin60c+10#9 8.#102 cos60c 50 9.8+ # x cos60c=0 ……③ ①②より
NA=0 40. NB=0 40. #]10+50g#9 8. ③に代入して整理すると
0 40 60 10. x
2 3 10 5
2 1 50
2 1 0
# # # # # #
- + + =
x=240#1 7350. -50=7 30. ∴ 7.3m ⑵ 綱の張力を T,⑴の x の値を 10m とすると,
⑴の①の式は NAl-0 40. NB-T=0
A 端のまわりのモーメントのつり合いの式は NB#10cos60c-10#9 8.#102 cos60c -]0 40. NB+Tg#10sin60c=0 また②より
NB=]10+50g#9 8. 上式に代入
60#9 8. #10#21-10#9 8. # #5 21 -]0 40. #60#9 8. +Tg#10# 23 =0 ∴T 600 9 8. 50109 8.1 73.240 9 8. 1 73.
#
# # # #
= - -
= 76.3 ∴ 76N
導入問題
30.ア.質量 イ.v v-t0 ウ.力積 エ.運動量 オ.力積
練習問題A
31.ア.衝突中,小球Aには小球Bから F の反作用 として− F〔N〕の力がはたらくから,力積は
F tD
- となる. ∴ F t- D イ.m v2 2l-m v2 2
ウ.m v1 1l-m v1 1=-F tD m v2 2l-m v2 2=F tD 辺々加えると,
m v] 1 l1+m v2 l2g-]m v1 1+m v2 2g=0
よって,m v1 1+m v2 2=m v1 1l+m v2 2l
∴m v1 1l+m v2 2l
エ.運動量 オ.運動量保存
― 10 ― 32.衝突の前後の速度をそれぞれv,vlとする.
⑴ mv=2 0. #5 0. =10 ∴ 10kg・m/s ⑵ mvl=2 0. #]-4 0. g=-8 0. ∴− 8.0kg・m/s ⑶ 物体の運動量の変化を pD とすると
D =p mvl-mv=-8 0. -10=-18
∴− 18kg・m/s
⑷ ( 物体が壁から受けた力積 ) = ( 物体の運動 量の変化 ) で,壁はその反作用を受け, Ft=-Dp=18 ∴ 18N・s 33.力積=運動量の変化より
Ft=m vl-m v=m vl+ -_ m vi または
34.船の速度を v とする.
⑴ 初め,船と人は静止しているので飛び移る前 の運動量は0である.
運動量保存則より 0 = 50 × 2.0 + 500 × v
∴ v =− 0.20 ∴− 0.20m/s ⑵ 船も人も 0.50m/s の速度で運動しているので,
(500 + 50)× 0.50 = 500 × v + 50 × 2.0 ∴ v = 0.35 ∴ 0.35m/s ⑶ 人が飛び移った後,人と船の速度は同じにな
るので,
500 × 0.50 + 50 ×(− 5.0)=(500 + 50)v ∴ v = 0 ∴ 0m/s 35.
⑴ .1 5#10+3 0. #0
=1 5. #vAcos60c+3 0. #vBcos30c
∴ .1 5#10=1 5. #vA#21+3 0. #vB# 23
⑵ 0=1 5. #]-vAs i n 60cg+3 0. vBs i n 30c ∴0 1 5. v . v
2 3 3 0
2 1
A B
# # # #
=- +
⑶ ⑴× 3+⑵より
.1 5#10 3=3 0. #vB#23+3 0. #vB#12 A
mv'
mv Ft
−mv 力積
mv' F t
mv
A 10m/s
vBsin30°vB
vA
vBcos30°
vAcos60°
vAsin60°
30° 60°
B A
3 0. v v 2 4 6
B B
# #
= =
vB=2 5. 3=2 5. #1 73. =4 32. ⑴−⑵× 3
.1 5 10 1 5. v . v 2 1 1 5
2 3
A A
# = # # + # #
=1 5. #vA#24=3vA vA=5 0.
∴vA=5 0. m/s,vB=4 3. m/s
36.⑴ 求める速さ v は,6.4m 自由落下したときの 速さを求めればよいので,v2=2gy より v2=2#9 8. #6 4.
v=11 2. ∴ 11m/s ⑵ 求める速さは,鉛直に打ち上げたときの最高 点が 3.6m となるときの初速を求めればよいの で,v2-v02=-2gy より
02 v0 2 9 8. 3 6.
2 # #
- =-
v0=8 4. ∴ 8.4m/s ⑶ e= vvl に⑴⑵の結果を代入して
e=11 28 4.. =0 75. ∴ 0.75 ⑷ 3.6m はね上がった時と同じ速度で地面と衝 突するので,再度はね返った後の速さをvmと するのと,⑶と同様に
.0 75=8 4v.m ∴vm=6 3. 求める高さをhmとすると
02-6 3. 2=-2#9 8. #hm
∴hm=2 02. ∴ 2.0m
⑶⑷の別解
力学的エネルギー保存より mv mgh
2 1 2
= ∴v= 2gh
.
. .
e v v
gh gh
h h 2
2
6 4 3 6 0 75
= l= l= l= =
.
. 0 75 h
= 3 6m hm=0 75. 2#3 6. =2 02.
∴ 2.0m
37.運動量保存の法則と,反発係数の関係より, ア .2 0#0 60. =2 0. vA+3 0. vB ……① .
v v 0 60 0 1
A B
- -
- = ……②
①,②を解いて vA=-0 12. m/s vB=0 48. m/s
イ .2 0#0 60. +3 0.#0 20. =2 0. vA+3 0. vB ……① . .
v v 0 60 0 20 1
A B
- -
- = ……② ①,②を解いて vA=0 12. m/s
vB=0 52. m/s
― 11 ― ウ .2 0#0 60. +3 0.#]-0 20. g=2 0. vA+3 0. vB……①
-0 60. v- -A-] v0 20B. g=1 ……② ①,②を解いて vA=-0 36. m/s
vB=0 44. m/s
38.⑴ 力積の大きさは F − t グラフ(図2)のグ ラフの囲む面積に等しいので,
Ft=21#300#0 01. =1 5. ∴ 1.5N・s 向きは,なめらかな床面だから,鉛直上向き ⑵ 衝突直後の速度の水平成分,鉛直成分をそれ
ぞれvx,vyとする. 運動量の変化=力積 より
水平方向,鉛直方向それぞれについて考える と,
0.50 0.50 4.0 30 0
. . . .
cos sin v
v
0 50 0 50 4 0 30 1 5
x
y
#
#
- =
- - =
c
] cg
)
これより,vx=2 3=2#1 73. =3 46. vy=1 0.
∴水平成分 3.5m/s,鉛直成分 1.0m/s ⑶ 反発係数=床面に垂直な速度成分の大きさの
比より,
e . sin. . 4 0 30
1 0 0 50
= =
39.⑴ 衝突直後の A,B の速度をvc 1,v2とすると,
運動量保存の法則より .2 0#10=2 0. v1+2 0. v2…① ⒜ 反発係数の式より -v01--10v2=0 60. …② ①,②式より,
v1=8 0. , v2=2 0. A:8.0m/s,B:2.0m/s ⒝ 反発係数の式より
-v01--10v2=1…③ ①,③式より,
v1=10, v2=0 A:10m/s,B:0m/s ⑵ ⒜の場合
21#2 0 10.# 2- d21#2 0 8 0.#. 2+ 12#2 0 2 0.#. 2n
= 32 ∴ 32 J
⒝の場合
. . .
2 1 2 0 10
2 1 2 0 10
2 1 2 0 0
2 2 2
# # -d # # + # # n
= 0 ∴ 0 J
40.衝突後一体となったのちは,質量 (M + m) の物 体と考える.
⑴ 求める速さを V とすると,
mv=]M+m Vg ∴V=M+mmv
⑵ M m M m
mv
M m m v 2
1
2
2 2 2
+ + = +
] gd n ] g
⑶ mv
M m m v
M m Mmv 2
1
2 2
2
2 2 2
- ] + g= ] + g
⑷ 求める高さを H とすると,力学的エネルギー 保存則より
M m
m v M m gH 2
2 2
+ = +
] g ] g ∴H 2Mm vm g2
2 2
=
] + g
練習問題B
41.⑴ 衝突の前後で,運動量は保存されるので,求 める速さを v とすると
.0 020#300=]0 02. +0 48. g#v
v = 12 ∴ 12m/s ⑵ 平均の力を F とすると,木片の運動量の変
化は受けた力積に等しいので F#]1 0. #10-2g=0 48. #12-0 48. #0 .
. .
F 1 0 10
5 76 2 5 76 10
2
# #
= - =
よって,大きさは .5 8#102N ⑶ 運動量保存の法則より
木片の速さを v とすると .0 020#300=0 020. #180+0 48. #v
.
. .
v 0 48
0 020 300 180
# 5 0
= ] - g= ∴ 5.0m/s ⑷ 平均の力を F とすると,木片の運動量の変化
は受けた力積に等しいので, F#]2 0. #10-3g=0 48. #5 0. -0 48. #0 .
. .
F 2 0 10 0 48 5 0
# 3
= # -
=1 2. #103
よって大きさは .1 2#103N
42.⑴ なめらかな面上の運動だから,力学的エネル ギーが保存される.求める速さを v とすると, 0+mgh=21mv2+0より v= 2gh ⑵ 物体が台車の上面をすべっているとき,物体
と台車の上面との間で水平方向に及ぼし合う動 摩擦力は,物体と台車を一つの物体系と考える と内力となるので,全体の運動量が保存される.
求める速さを V ,時間を t とすると, 物体:mV mv- =-nmg t$
台車:MV- =0 nmg t$
nmg nmg
N
mg
― 12 ― 辺々加えると, m M V mv 0] + g - =
mv=]m+M Vg V
m M mv
m M m 2gh
= + = +
⑶ ED =21mv2-21]M+m Vg 2より E 2m gh M m mmM gh
1 2
2
1 2
2
2
D = _ i- ] + gd + n
mgh mmM gh
2
= -
+
=mMmgh+M ∴mMmgh+ M また,物体と台車の上面との間の動摩擦力に
より,台車の運動エネルギーの一部は物体と台 車の上面との間の摩擦熱に変わる.
⑷ 一体となるまでに物体,台車が床面に対して 動いた距離を x,X とすると,
物体:21mV2-21mv2=-nmg$x
台車: MV21 2- =0 nmg X$ 辺々加えると,
m M V mv mgx X
2 1
2
2 1 2
n
+ - =- -
] g ] g
ここで, x X d- = とおき,⑵の V の式を代入 すると,d=2n]mMv+2Mgg=n]mMh+Mg 43.⑴ 分裂前の A の運動量は
m× 60〔 kg・m/s〕, 分 裂後の A の運動量は m
× 90〔kg・m/s〕,運動量 変化,すなわち力積は右 図のFt
⑵ 分裂後の B の速度をv=]vx, vygとする と,運動量保存の法則より
2m 60 mv mv m
0 90
x
y
#
#
=
= - 3
∴vx=120m/s,vy=90m/s
nmg nmg
m v
V
X x
d
(=力積) F t
→ m×60 m×90
これより
v= 1202+902=150
tani =12090 =0 75.
∴ .1 5#102m/s,t a ni =0 75.
44.⑴ 力学的エネルギー保存則より,求める速さ を v として
m ghA =21m vA 2 よって v= 2gh v= 2#9 8. #5 0. =7 2=9 87.
∴ 9.9m/s
⑵ 衝突直後の A,B の速度をvA,vB(右向き正) とする.
運動量保存の法則より
.5 0#7 2+10#0=5 0. #vA+10#vB
反発係数の式より 1 v v
7 2 0
A B
=- - -
2式より,
v .
3
7 2 3 29
A=- =- ∴ 3.3m/s ⑶ m v m gh
2 1
A A A
2= lよりh
g v
2
A 2
l= となるので
. . .
h 2 9 8 3 7 2
2 9 8 9 98 0 555
2
# # #
= = =
l
e o
∴ 0.56m
⑷ 衝突直後の A,B の速度をvlA,vlB(はじめ の A の向きを正)とする.
運動量保存の法則より m v m vA = A lA+m vB lB 反発係数の式より 1=-vlvA--0vlB 2式を連立して解いて
vA mm mm v v, m2mm v
A B
A B
B
A B
= A
+
- =
l l +
はねかえるためにはvlA10となればよい. mA-mB10 ∴mA1mB
※45.⑴ ばねが最も縮んだとき,A,B の速度は等 しくなるので,運動量保存の法則より mv=]m+2m Vg ∴V v
3
=1
⑵ 運動エネルギーが減った分だけ弾性エネル ギー U に変わっているので,
U=21mv2-21:3mV2
mv m v mv 2
1 2 1 3
3 3
2 1
2
: 2
= - d n =
⑶ ばねの縮みを x とすると,⑵で U=21kx2とおいて
→
θ vy
vx
v