統計学
I
演習
,
小テスト
2
菅原慎矢
June 23
1. 正規分布
最終ページの標準正規分布表を用いて、以下を近似的に求めよ。この問題では、小数 は分数にせず、小数のままで答えよ
1. Z ∼N(0,1)の時P(Z ≤1.23) (1点)
2. Z ∼N(0,1)の時P(−1≤Z ≤1) (1点)
3. X ∼ N(1,9)の時P(X ≤ x) = 0.95となるxはなにか(途中計算で、ある値が二 つの値の間にあることがいえるので、これらの平均をとってその値の近似値とし、 計算を遂行せよ) (1点)
2. : この設問では、分数は通分すること。分数を小数にする必要なはい
以下の確率密度関数が与えられているとする
f(x) =
0 if x≤0
3x2
8 if 0< x <2
0 if x≥2
(1)
次を求めよ
1. F(1) (1点)
2. E(X), E(X2
) (両方出来て1点)
3. V(−X) (1点)
3. この設問では、分数・小数どちらを用いても正解とするが、どちらかというと分
数で書いてほしい。
独立な確率変数X, Y が、それぞれ確率1/2で0, 確率1/2で1を取るとする。また、 W =|X+Y|, Z =|X−Y|とする
pX(x) =
1/2 if x= 1 1/2 if x= 0 0 if x̸= 1,0
(2)
X, Y の同時確率関数は
pX,Y(x, y) =
1/4 if x= 1, y = 1 1/4 if x= 0, y = 1 1/4 if x= 1, y = 0 1/4 if x= 0, y = 0
0 if (x, y)̸= (1,1),(0,1),(1,0),(0,0)
• 1.3: 5.935 (Score:1)
• 2.1: 1/8 (Score:1)
• 2.2: E(X) = 3/2, E(X2
) = 12/5 (Score: 1 if both are correct)
• 2.3: 3/20 (Score:1)
• 3.1: (Score: 1 if both are correct)
pW(w) =
1/4 if w= 0 1/2 if w= 1 1/4 if w= 2
0 if w̸= 0,1,2
(1)
pZ(z) =
1/2 if z = 0 1/2 if z = 1 0 if z ̸= 0,1
(2)
(1/4 and 1/2 can be 0.25 and 0.5, respectively )
Note: Different notations are allowed if it is mathematically correct, such as
pW(w) =
1/4 if w= 0, orw= 2 1/2 if w= 1
0 otherwise
(3)
Note: 0 if w̸= 0,1,2 and 0 if z ̸= 0,1 are required. If they are missing, no score is given.
• 3.2: E(W) = 1, E(Z) = 1/2 (or 0.5) (Score: 1 if both are correct)
• 3.3: Score: 1
pW,Z(w, z) =
1/4 if w= 0, z = 0 1/2 if w= 1, z = 1 1/4 if w= 2, z = 0
0 if (w, z)̸= (2,0),(1,1),(0,0)
(4)
2
解答詳細
1
1.1. 標準正規分布表より
1.2.
P(−1≤Z ≤1) =P(Z ≤1)−[1−P(Z ≤1)] = 2P(Z ≤1)−1 = 2×0.8413−1 = 0.6826 (1) 1.3. Z ∼N(0,1)とする。tをP(Z ≤t) = 0.95となる実数とする。正規分布表よりt は1.64と1.65の間にあるため、問題の指示に従ってt ≃1.645とする。X ∼N(1,9)よ り、µ= 1, σ = 3として
0.95 = P(Z ≤t) (2)
= P(X−µ
σ ≤t
)
(3) = P(X ≤σt+µ) (4)
≃ P(X ≤3×1.645 + 1) (5) = P(X ≤5.935) (6)
この右辺がP(X ≤x)となるので、x= 5.935 2
2.1
F(1) =
∫ 1 0
(3x2
/8)dx (7)
= (1/8)[x3
]1
0 (8)
= 1/8 (9)
2.2
E(X) =
∫ 2
0
x(3x2
/8)dx (10)
= (3/8)[x4
/4]2
0 (11)
= (3/8)×(16/4) = 3/2 (12)
E(X2
) =
∫ 2
0
x2
(3x2
/8)dx (13)
= (3/8)[x5
/5]2
0 (14)
X Y 確率 W Z 0 0 1/4 0 0 0 1 1/4 1 1 1 0 1/4 1 1 1 1 1/4 2 0
Table 1:
3.1. Table 1を利用し
pW(w) =
1/4 if w= 0 1/2 if w= 1 1/4 if w= 2
0 if w̸= 0,1,2
(17)
pZ(z) =
1/2 if z = 0 1/2 if z = 1 0 if z ̸= 0,1
(18)
3.2. 周辺確率関数を用いて計算し
E(W) = 0×(1/4) + 1×(1/2) + 2×1/4 = 1 (19)
E(Z) = 0×(1/2) + 1×(1/2) = 1/2 (20)
3.3. Table 1を利用し
pW,Z(w, z) =
1/4 if w= 0, z= 0 1/2 if w= 1, z= 1 1/4 if w= 2, z= 0
0 if (w, z)̸= (2,0),(1,1),(0,0)
(21)
3.4. 同時確率関数を用いて計算する。(w, z) ̸= (2,0),(1,1),(0,0)の時pW,Z(w, z) = 0
となることに注意して
E(W Z) =
2
∑
1
∑
よって
Cov(W, Z) = E(W Z)−E(W)E(Z) = (1/2)−1×(1/2) = 0 (25)
