第2回小テスト lecture Shinya Sugawara(菅原慎矢)

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全文

(1)

統計学

I

演習

,

小テスト

2

菅原慎矢

June 23

1. 正規分布

最終ページの標準正規分布表を用いて、以下を近似的に求めよ。この問題では、小数 は分数にせず、小数のままで答えよ

1. Z ∼N(0,1)の時P(Z ≤1.23) (1点)

2. Z ∼N(0,1)の時P(−1≤Z ≤1) (1点)

3. X ∼ N(1,9)の時P(X ≤ x) = 0.95となるxはなにか(途中計算で、ある値が二 つの値の間にあることがいえるので、これらの平均をとってその値の近似値とし、 計算を遂行せよ) (1点)

2. : この設問では、分数は通分すること。分数を小数にする必要なはい

以下の確率密度関数が与えられているとする

f(x) =

  

0 if x≤0

3x2

8 if 0< x <2

0 if x≥2

(1)

次を求めよ

1. F(1) (1点)

2. E(X), E(X2

) (両方出来て1点)

3. V(−X) (1点)

3. この設問では、分数・小数どちらを用いても正解とするが、どちらかというと分

数で書いてほしい。

独立な確率変数X, Y が、それぞれ確率1/2で0, 確率1/2で1を取るとする。また、 W =|X+Y|, Z =|X−Y|とする

(2)

pX(x) =

  

1/2 if x= 1 1/2 if x= 0 0 if x̸= 1,0

(2)

X, Y の同時確率関数は

pX,Y(x, y) =

          

1/4 if x= 1, y = 1 1/4 if x= 0, y = 1 1/4 if x= 1, y = 0 1/4 if x= 0, y = 0

0 if (x, y)̸= (1,1),(0,1),(1,0),(0,0)

(3)
(4)

• 1.3: 5.935 (Score:1)

• 2.1: 1/8 (Score:1)

• 2.2: E(X) = 3/2, E(X2

) = 12/5 (Score: 1 if both are correct)

• 2.3: 3/20 (Score:1)

• 3.1: (Score: 1 if both are correct)

pW(w) =

      

1/4 if w= 0 1/2 if w= 1 1/4 if w= 2

0 if w̸= 0,1,2

(1)

pZ(z) =

  

1/2 if z = 0 1/2 if z = 1 0 if z ̸= 0,1

(2)

(1/4 and 1/2 can be 0.25 and 0.5, respectively )

Note: Different notations are allowed if it is mathematically correct, such as

pW(w) =

  

1/4 if w= 0, orw= 2 1/2 if w= 1

0 otherwise

(3)

Note: 0 if w̸= 0,1,2 and 0 if z ̸= 0,1 are required. If they are missing, no score is given.

• 3.2: E(W) = 1, E(Z) = 1/2 (or 0.5) (Score: 1 if both are correct)

• 3.3: Score: 1

pW,Z(w, z) =

      

1/4 if w= 0, z = 0 1/2 if w= 1, z = 1 1/4 if w= 2, z = 0

0 if (w, z)̸= (2,0),(1,1),(0,0)

(4)

(5)

2

解答詳細

1

1.1. 標準正規分布表より

1.2.

P(−1≤Z ≤1) =P(Z ≤1)−[1−P(Z ≤1)] = 2P(Z ≤1)−1 = 2×0.8413−1 = 0.6826 (1) 1.3. Z ∼N(0,1)とする。tをP(Z ≤t) = 0.95となる実数とする。正規分布表よりt は1.64と1.65の間にあるため、問題の指示に従ってt ≃1.645とする。X ∼N(1,9)よ り、µ= 1, σ = 3として

0.95 = P(Z ≤t) (2)

= P(X−µ

σ ≤t

)

(3) = P(X ≤σt+µ) (4)

≃ P(X ≤3×1.645 + 1) (5) = P(X ≤5.935) (6)

この右辺がP(X ≤x)となるので、x= 5.935 2

2.1

F(1) =

∫ 1 0

(3x2

/8)dx (7)

= (1/8)[x3

]1

0 (8)

= 1/8 (9)

2.2

E(X) =

∫ 2

0

x(3x2

/8)dx (10)

= (3/8)[x4

/4]2

0 (11)

= (3/8)×(16/4) = 3/2 (12)

E(X2

) =

∫ 2

0

x2

(3x2

/8)dx (13)

= (3/8)[x5

/5]2

0 (14)

(6)

X Y 確率 W Z 0 0 1/4 0 0 0 1 1/4 1 1 1 0 1/4 1 1 1 1 1/4 2 0

Table 1:

3.1. Table 1を利用し

pW(w) =

      

1/4 if w= 0 1/2 if w= 1 1/4 if w= 2

0 if w̸= 0,1,2

(17)

pZ(z) =

  

1/2 if z = 0 1/2 if z = 1 0 if z ̸= 0,1

(18)

3.2. 周辺確率関数を用いて計算し

E(W) = 0×(1/4) + 1×(1/2) + 2×1/4 = 1 (19)

E(Z) = 0×(1/2) + 1×(1/2) = 1/2 (20)

3.3. Table 1を利用し

pW,Z(w, z) =

      

1/4 if w= 0, z= 0 1/2 if w= 1, z= 1 1/4 if w= 2, z= 0

0 if (w, z)̸= (2,0),(1,1),(0,0)

(21)

3.4. 同時確率関数を用いて計算する。(w, z) ̸= (2,0),(1,1),(0,0)の時pW,Z(w, z) = 0

となることに注意して

E(W Z) =

2

1

(7)

よって

Cov(W, Z) = E(W Z)−E(W)E(Z) = (1/2)−1×(1/2) = 0 (25)

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参照

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