ゲーム理論講義資料 14kouki exam ans

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全文

(1)

ゲー ム理 論

2期

末試 験

ゲー ム理 論

2期

末試 験

Feb 2. 2015

・ 解 答 は解 答 用紙のマー クに記 入 して提 出せ よ

.

問題

1図

ゴの

2つ

の展 開形 ゲー ムについて

, 部

分 ゲーム完全均衡 を求め よ

. 答

は表 1に お いて

, 各

プ レイヤーが情報集合 で選択す る代替案 ( ″ か

yか , ま

たは

z か

りかを記入 しな

さい。 ここで情報集合 〃

″ はプ レイヤー j の

′ 番 目の情報集合 を表 してお り

, 利

得 は左 にプ レイヤー

1, 右

にプ レイヤー

2が

与 え られ てい る.

間 1

21

"

l

χ

[ r

・・ 21 χ

12 Z

馬2

χ

Z

0 W   Z χ 1 6 , 0 2 ) '

1ヽ′

W

0

う 1

2

名1

χ / 0 Z ) ' 〃 12 y

^       ′ 4 W           ¨ ■

ング

4 5

1: 部

分 ゲー ム完 全均衡 を求 め よ

1ヽ'

∬11

イ プ レイヤ ー1

12

ウ ∬

21

∬22

プ レイ ヤー2

f f l l

プ レ

イヤー

1

21

プ レイ ヤ ー2

〃22

1: 図

1のゲー ムの解

一 

(2)

ゲ ー ム理 論

2期

末 試 験

問題

22つ

の企業r 企業1と企業2ノが同質財 を供給 し

, 複

占市場 で クール ノー競争 を してい

るもの とす る

. 企

業1と企業

2の

生産量の合計 を

0と

した とき

, 財

の価格

pは

P=180- 0

で与 え られ る としよ う

. 企

1は

, 限

界費用 が72と高い場合 と

, 36の

低 い場合 があ る とす る

. 前

者 を高費用 タイプ

, 後

者 を低 費用 タイプ と呼ぶ こ とにす る

. 企

2の

限界費用 は48 とす る

_ 企

1は

自分の タイ プが分 か つてい るが

, 企

2は

分 か ってお らず

, 高

費用 タイ プ と低費用 タイ プ をそれ ぞれ確 率

: と : と して推測 してい る もの とす る

. 以

下の問い に答 に当て は ま る数値 を答 えな さい.

1企

1高

費用 タイ プ の生産 量 を ■1″

, 企

2の

生 産量 を ■2と す る

. 企

業1高費用 タイ

プ の最 適 反応 関数 ( 利潤 を最 大 にす る生産 量

) は

I

srE

:

-

rr2

+

Ltr6.

2ベ

イ ズナ ッシュ均衡 にお け る企 業1高費用 タイ プの生 産量 は

, 企

2の

生産 量は で あ る.

3ベ

イ ズナ ッシ ュ均 衡 にお け る企 業

1低

費 用 タイ プの価 格 は で あ る.

問題

3多

数 のプ レイ ヤー が

, 毎

期 ランダムに多 くのプレイ ヤー と出会 い

2人

でゲー ム をす る

. 図

2に

示 した利 得表 は

, こ

のゲー ムの プ レイ ヤー

1の

利 得 を表 してい る。 プ レイ ヤー 1と

2の

利 得 は対 称 的 で あ る

. 各

プ レイ ヤー は

, こ

の ゲー ムの戦 略

Aと

戦 略

Bの

どち らか を選 ぶ こ とにな ってお り

, 期

間 中変 え る こ とは ない

. 各

期 の最 初 に

, 各

戦 略 を選 ん でい た プ レイ ヤー の うち

, 僅

か な比 率 の プ レイ ヤー だ けが戦 略 を変 え

, ほ

とん どのプ レイヤー は 前 の期 と同 じ戦 略 を とる.

こ こで各期 の最 初 に戦略 を変 え るプレイ ヤー は

, す

べて前 の期 の平均 利 得 が 高 い プ レイ ヤー の戦 略 に変 更す る とす る

. 次

の問 い に答 えな さい_

ヤー2

A

ブレイヤー

A

2: 各

タイ プ に対応 す る利 得行 列

1こ

の ゲー ムのナ ッシュ均衡 は ( 均衡

1) す

て の プ レイ ヤー が 五 を選 ぶ , ( 均 衡

2) す

べ てのプ レイヤー が

3を

選 ぶ, ( 均 衡

3) す

べての プ レイ ヤー が確率

pで

Aを

選 び

, 1- p

で β を 選 ボ の

3つ

で あ る

. こ

こ で

P=

あ る。

,,ft

I

yra,:rifiz

2上

記 の θつ のナ ッシュ均衡 の 中で

, 進

化 ゲー ム の安 定 な定常状 態 に対応 す る均 衡 は ど れ か。当て は ま る均 衡 の番 号 ( 1, 2, 3〉 を全 てマ ー ク し

, な

い場合 は

0を

マ ー クせ よ

.

3■

( 0) =0. 2の

とき

, 進

化 ゲー ムの 定 常状態 は

, 上

記 の均衡 の どれ に対応 す るか

' 当

て は ま る均衡 の番 号 ( 1, 2, 3) を 全 てマ ー ク し

, な

い場 合 は

0を

マー クせ よ.

L。

1部

0

B

,

B

l _ ′

[ ′ . イ l

´ .

(3)

ゲ ー ム理 論

2期

末 試 験

問題

41, 2, 3の

3人

の女子 を ム

B, σ

4人

の男子 とマ ッチ ングす る

. 各

個人 の好み は以下の よ うに与 え られ てい る とす る。

女 子の好 み

: : : : El , E

σ

この とき

, 女

子 が好 チ ン グの結 果 は

,

1-みを る 受 れ 保 留 ( Gα l e―SLα pι θ υアル

リズ ム

) の

マッ

とな る

. マ

ッチ ン グす る相 手 を求 め,

→ 一

,

2

Q

ア に

, Cを

マ ー クせ よ.

問題

5以

下 の

3人

ゲー ムを考 え よ う。なお

, 説

明 にお い て各 プレイ ヤー の利 得 は カ ッコの 左 か ら順 にプ レイ ヤー

1, 2, 3の

利 得 を表 してい る

. 例

えば( 4, 5, 6) は

, プ

レイ ヤー

1の

利 得 が

4, プ

レイヤー

2の

利 得 が

5, プ

レイ ヤー

3の

利 得 が

6で

あ る こ とを表 す.

oま

ず プ レイ ヤー

1が

最 初 に α か らを選 ぶ

. こ

こで α が選 ばれ れ ば ゲー ム は終 り

, 利

得 は

( 3, 1, 2) であ る.

プ レ

イヤー

1が

bを

, プ

イヤー 2が c か dを 選び

, プ

イヤー 3が eか ∫ を

選ぶ

. プ

イヤー

2と

3の 選択は同時である。

ここ

でプレ

イヤー

2が

c , プ

イヤー 3が

eを

ば利得は

( 2ュ, 4) .

ここでプ レ

イヤー

2が

c , プ

イヤー 3が ∫ を選

ば利得は

( 5, 4, 6) .

ここでプ レ

イヤー 2が

d, プ

イヤー 3が

c を

ば利得は

( 1, 0, 6) .

ここでプ レ

イヤー

2が

J , プ

イヤー 3が ∫ を選

ば利得は

( 2, 1, 4) .

次の問いに

答えなさ

. 混 合戦略は考えなくて良い. 答 は, 下 の戦略の組から

選び当ては

まるものをす

べてマークせ よ

( 複

数あるときは複数

マークし

, な

い場合 θ をマーク

せ よ

. ノ

1( 戦

略形 ゲーム に変換 し

) ナ

ッシ ュ均衡 をすべて求 め よ 間

2支

配 され な いナ ッシュ均 衡 を求 め よ.

3部

分 ゲー ム完 全 均衡 を求 め よ.

00, 0

o・

0

0

⑤ な し

( b, C, θ )

( α

, C, C) ②

( α

( b, C, ∫

) ⑦

( b

α

( α, d, ∫ )

(4)

ゲー ム理 論

2期

末試 験

問題

62人

戦 略 形 ゲー ム にお い て

, プ

レイ ヤー

1に

は タイ プ ん タイ プ

Bの

2つ

の タイ プ が あ る よ うな不 完備 情報 ゲー ム を考 え る。図 θ は

, こ

2つ

の タイ プ に対応 す る利 得 行 列 で あ る

. プ

レイ ヤー

1は

自分 の タイ プ を知 って い るが

, プ

レイ ヤー

2は

相 手 の タイ プが分 か らず

, タ

イ プ スで あ る確 率 を P, タ イ プ

3で

あ る確 率 を

1- Pで

推 測 してい る.

l p=: の

とき

, 純

粋 戦 略 のベイ ズナ ッシ ュ均 衡 をすべて求 め

, 以

下 の選 択 肢 か ら選 びマー クせ よ

. こ

こで

( ( 臥

D

) , L) は

, プ

レイ ヤ ー1のタイ プ ス が υ を

, タ

イ プ

3が

D

,

プ レイヤー

2が

ι を選 んで い る戦略 の組 を表す

. 混

合戦 略 は考 えな くて 良い

. 複

数 あ る時 は複 数 マー クせ よ

.

プレイヤー 1が タイプAの とき

プレイヤー 1が タイプBの とき

2

2

R

L

R

L

3: 各

タイ プ に対応 す る利 得行 列

( 12, 12)

( i 3, 8)

( 1, 4)

( 4, 0)

( 2, 0) ( 3, 12)

( 4, 12) ( 1, 4)

2( ( D

, の

, 2) が

イズ

ナッ

衡と

なる

のは

, p≦

あ る.

5

な し

( ( D, び) , ■ )

811り

, 詠

2) 81( 5, 勁 , 3811り

, 働

, 3

( ( 仏 D) , ■ )

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参照

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