E in SMExam2016 ans 最近の更新履歴 物理学ノート E in SMExam2016 ans

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全文

(1)

統計力学演習 (Wednesday February 8th 2017) 期末試験 解答例&解説 1

解答

1.

次の小問に答えよ。 (20)

1-1. ある系におけるミクロカノニカル分布の熱力学的

重率をW(U, δU)とする。系のエネルギー固有値 Ei に

属する固有状態i に与えられる確率 p(iMC) をW(U, δU) を用いて表わせ。

ミクロカノニカル分布では,許されるエネルギー固有 状態の全てに, 同じ確率を与えるので

p(iMC) =

{ 1

W(U, δ), U−δU < Ei ≤U が成り立つとき

0, それ以外

(1)

と書ける。

1-2. ある物理量 fˆに対して,統計力学で計算した期待

値⟨fˆ⟩とそのゆらぎσ[fˆ]との間にσ[fˆ] ≪ fˆが成り立

つとき,⟨fˆについてどんなことが言えるか。

大数の法則より,期待値 fˆは,多数の試行を行ったと

きの測定値の算術平均に一致する。1回の測定値は必ず

しも期待値には一致せず,期待値の周りに分布する。こ

の分布の広がりを定量的に表したのがゆらぎσ[fˆ]であ

る。大雑把に言えば,各測定値は fˆ±σ[fˆ]の範囲に入 ると期待される。

今,σ[fˆ] ≪ fˆが成り立つならば,測定値の分布が極

めて狭いことを意味する。従って1回の測定値が,ほぼ

確実に fˆに一致すると期待される。理論値として,幅

を持たずシャープに fˆを予言することになる。

1-3. カノニカル分布の分配関数Z(β)から,エネルギー

の期待値⟨Hˆ及びヘルムホルツの自由エネルギーF(β)

を導くための関係式を書け。 それぞれ

⟨Hˆ =

∂ β logZ(β), (2)

F(β)=−1

βlogZ(β). (3)

解答

2.

N 個の独立な調和振動子 (30)

系の全エネルギーは

E(M,N)= N

2ℏω+Mℏω (4) と書ける。ここで量子数M は,非負整数(0,1,2, . . .)で ある。この系の熱力学的重率W(M,N)は

W(M,N)= (M+N −1)!

M!(N−1)!

と計算できる。以下,N ≫ 1とする。

2-1. 系のエントロピーS を求めよ。仮定が必要なら,

理由を述べた上で用いて良い。

ボルツマンの関係式より

S = klogW = klog(M +N−1)!

M!(N −1)! (5)

N ≫1, M ≫ 1とし,スターリングの公式を使えば

S ≃ klog(M+N)!

M!N!

≃ k

[

(M +N){log(M+N) −1}

−M(logM−1) −N(logN−1) ]

≃ k

[

(M+ N)log(M+N) − MlogM−NlogN

] . (6)

問題よりN ≫ 1なので,(4)でM がノンゼロの値とし

て意味を持つのは M ∼ N のとき。そのため M ≫ 1と

した。

2-2. 系の全エネルギーE を温度T の関数で求めよ。

SとE,T の関係より

1

T =

∂S

∂E =

∂M

∂E

∂S

∂M = 1

ωk [

log(M+N)+1−logM−1

]

(7)

これより

ω

kT = βℏω =log

M+N

M =log

( 1+ N

M

)

eβℏω =1+ N M

∴ M = N

eβℏω

1

ここで逆温度 βを用いた。これを(4)に代入すれば

E(T,N)= Nℏω

[ 1 2 +

1

eβℏω 1

]

(8)

= N ℏω

2 coth βℏω

2 (9)

と求まる。最後の変形で双曲線関数の公式

coth x 2 =

ex/2+e−x/2 ex/2e−x/2 =1+

2e−x/2 ex/2e−x/2

=1+ 2

ex1 (10)

を用いた。(8)と(9)は,表記の違いに過ぎない。

グラフの概形を知るため,低温・高温におけるU の

振る舞いを調べる。低温 βℏω 1 で,eβℏω 1なの

で(8)より

E ≃Nℏω

[ 1 2 +e

−βℏω

] −−−−→

T→0 N

2ℏω. (11) これはゼロ点振動のエネルギーに対応し,量子効果を反

映している。(8)はゼロ点振動のエネルギーを見やすい

(2)

統計力学演習 (Wednesday February 8th 2017) 期末試験 解答例&解説 2

一方,高温βℏω 1では,cothx 1 x +

x

3 +O(x3)と

(9)より

E ≃ Nℏω 2

[ 2 βℏω +

βℏω

6 ]

≃ N β [

1+ (β ℏω)2

12 ]

−−−−→

T→∞ N kT (12)

と な り ,古 典 論 の 結 果 に 一 致 す る 。高 温 で は 量 子 効 果 N

2ℏω が 隠 さ れ ,高 温 か ら 温 度 0 に 外 挿 し て も 切 片 の 存 在 は 分 か ら な い 。グ ラ フ は 下 の 通 り*1

1 2

0.5 1 2 E Nhω

kT hω

量子数nに上限が無いことに対応して,Eにも上限は

無い。

【補足】(8)から高温極限(βℏω 1)を考える場合,

E ≃ Nℏω

[ 1 2 +

1 1+ βℏω−1

]

= Nℏω

[ 1 2 +

1

βℏω +. . .

]

(13)

とするのは不正確。通常このように書くのは,. . . 以下

が前の2項より明らかに小さい場合である。しかし今,

βℏω 1なので第1項より第2項がはるかに大きい。

そのため,上で . . . と記したテイラー展開の高次の項

に第 1項と同程度の大きさの項が現れる可能性がある。

実際この例では次に −1

2 が現れ,第1項と相殺する。2

つの項の大きさのアンバランスさと,展開の変数 βℏω

の逆数が現れたことに注意して欲しい。

2-3. 熱容量C(T)= ∂E(T,N)∂T を計算せよ。

(8)および ∂T∂ = −kβ2∂β∂ より

C(T)= ∂E

∂T = −kβ 2∂E

∂ β

= −kβ2Nℏω −

ωeβℏω

(

eβℏω

1)2

= N k(βℏω)2eβℏω

[ 1

eβℏω

1 ]2

= N keβℏω

[ βℏω eβℏω

−1 ]2

(14)

= N k(βℏω)2

[

2 sinh β

ω

2 ]−2

. (15)

低 温 と 高 温 で の 振 る 舞 い を 調 べ る 。低 温 kT

ω ≪ 1

(βℏω 1)のとき,eβℏω 1なので(14)より

C(T) ≃N k(βℏω)2e−βℏω −−−

T→0 0 (16)

となり,急激に0に近づく。これは量子効果を表してい

る。エネルギーはℏω単位でやり取りをし,それより小

さな量の移動は出来ない。そのため温度が下がり kT が

ω よりも小さくなると,熱の形によるエネルギーの移

動が出来なくなり,熱容量が急に小さくなる。

一方,高温 kT

ω ≫ 1(βℏω ≪ 1)では

C(T) ≃N k

[

1− (βℏω) 2

12 ]

−−−−→

T→∞ N k (17)

となり,温度に依らずN k に漸近する。有限系と違い減

衰しない。エネルギー準位に上限がないことを表してい

る。これは,U(T)のグラフが高温で有限の傾きを持っ

た直線に漸近することからも分かる。

1 2

kT hω 3

Nk C

解答

3.

一様な磁場H の中に置かれた互いに独立なN

個のスピン系のエネルギーは (40)

E(σ1,σ2,...,σN) = N

j=1

(−µHσj) (18)

と書ける。ここで µは磁気モーメント。σj は j 番目の

スピン変数 σˆj の固有値で,上向きなら+1を,下向き

なら−1を取る。また各スピンは固定されているので,

スピン同士の入れ換えは考えなくて良い。

3-1. 上の式から分かるように,この系ではスピン1つ

あたり−µHσ のエネルギーを持つ。1 つのスピンから

なる系の分配関数Z(β,H,1)を求めよ。 分配関数の定義より

Z(β,H,1)=

σ=↑,↓ e−βEσ

=eβµH+e−βµH

=2 cosh(βµH). (19)

3-2. スピン1つの期待値⟨σ⟩ˆ を計算せよ。

(3)

統計力学演習 (Wednesday February 8th 2017) 期末試験 解答例&解説 3

期待値の定義より⟨σ⟩ˆ は

⟨σ⟩ˆ β,H = 1 Z(β,H,1)

↑,↓

σie−βEi

= (+1)e βµH

+(−1)e−βµH eβµH +e−βµH

=tanh(βµH) (20)

と計算できる。

3-3. 互いに独立な N個のスピンからなる系の分配関数

Z(β,H,N)を計算せよ。

各スピン系は互いに独立,かつ全て等しいので

Z(β,H,N)= [Z(β,H,1)]N

= 2NcoshN(βµH). (21)

3-4. 磁化mˆ := N1 ∑Nj=1µσˆj の期待値⟨mˆ⟩を計算し,グ

ラフで表せ。

期待値の定義より

⟨mˆ⟩=

1

N N

j=1 µ0σˆj

= µ0 N

N

j=1 ⟨

ˆ σj

= µ0

N Ntanh(βµH)

= µ0tanh(βµH) (22)

である。1行目の変形では,期待値の線形性を用いた。

また,磁化の定義と(18)を比べるとmˆ = −N H1 Hˆ が

成り立つことがわかる。よって期待値の線形性より

⟨mˆ⟩= − 1

N H ⟨

ˆ

H = + 1 N H

∂ ∂ β log

{

2NcoshN(βµH)}

= µtanh(βµH) (23)

と求めても良い。 グラフにすると

3-5. 磁化率 χ(β):= ∂∂H⟨m⟩ˆ

H=0

を計算せよ。磁化し易い

のは,低温と高温のどちらか?

定義より

χ(β)=

∂Hµtanh(βµH)

H=0

= βµ2 1

cosh(βµH)

H=0

= βµ2= µ

2

k T

−1. (24)

χ(β)はT に反比例するので(Curie’s law),低温ほど磁

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参照

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