E in Me01 ans 最近の更新履歴 物理学ノート E in Me01 ans

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全文

(1)

1

座標変換

1.1

平行移動と反転

問題1. 下の図で表される座標変換について,(x, y)成分と(x′, y′)成分との関係を求めよ。

x

y

x'

y'

x'

y'

P (

x

,

y

)

a

b

x

y

x

y

x'

y'

P (

x

,

y

)

x'y'

Œn‚Ì

‘æ1ÛŒÀ

【解答】左図では

x′ =x−a, (1.1)

y′ =y−b (1.2)

行列を使って書くと

(

x′

y′

)

=

(

x y

) −

(

a b

)

. (1.3)

右図では(xy系とx′y′系の座標軸が区別し易いように原点をずらして描いた。もちろん原点が一致した変換

を考えている)

x′=−x, (1.4)

y′=−y, (1.5)

行列を使って書くと

(

x′

y′

)

=−

(

x y

)

. (1.6)

1.2

座標回転

x

y

x'

y'

α

cos

α

sin

α

- sinα

cosα

e

x'

e

y'

問題2. 右図の座標回転(x, y)→(x′, y′)について以下の考える。 2-1.x, y方向の単位ベクトルをそれぞれe

x′, ey′ と書く*1。これ らをxy座標系から見た成分で表せ。

【解答】単位ベクトルは大きさが1である。これを利用して各軸へ

の射影を求める。図で,ex′のx成分およびy成分は緑色の線で表し,

(2)

2 1 座標変換

ey′のx成分およびy成分はシアンの線で表してある:

ex′ = (cos

α

sinα

)

, (1.7)

ey′ = (

−sinα

cosα

)

. (1.8)

2-2.この座標回転での(x, y)成分と(x′, y′)成分との関係を求めよ。

x

y

x'

y'

α

x

sin

α

x

cos

α

x'

y

sin

α

y'

y

cos

α

P (x, y)

【解答】同一の点Pの座標が,xy座標系では(x, y)と,x′y′座標系

では(x′, y′)と表されるとする。図より

x′=xcosα+ysinα, (1.9)

y′=xsinα+ycosα (1.10)

と分かる。x′に関連する線をマジェンタで,y′に関連する線をシアン

で描いた。

2-3.上の座標変換を行列表示せよ。 【解答】行列表記をすれば

( x′ y′ ) = (

cosα sinα

−sinα cosα ) (

x y

)

(1.11)

上の変換行列において,1行目の横ベクトルはex′ の転置行列tex′一致し,2行目の横ベクトルはey′の転置 行列tey′に一致する。すなわち

(

x′

y′

)

=

(te x′ te y′ )( x y ) (1.12)

のように表せる。(1.12)式の意味を考える。規格直交化された座標系(x′, y′)において,位置ベクトルrのx′

成分とはx′軸への正射影すなわちex′との内積であり,y′成分とはy′軸への正射影すなわちey′ との内積で ある。右辺にある

(

x y

)

をベクトルrと解釈すれば,(1.12)式は,正しく上記の内容を表している。すなわち

x′=e

x′·r, (1.13)

y′=e

y′·r, (1.14)

である。これについて,問題3でも再び議論する。

2-4.この座標変換の逆変換を求めよ。求めた逆変換が回転角−αの座標回転と一致することを確かめよ。

【解答】(1.11)式の成分行列を,回転角αの座標回転行列T(α)と定義する:

T(α) : =

(

cosα sinα

−sinα cosα )

. (1.15)

T(α)の行列式は0ではないので,逆行列が存在する。従って

(

x y

)

=[T(α)]−1

( x′ y′ ) = 1 cos2

α+ sin2α

(

cosα −sinα

+ sinα cosα

) ( x′ y′ ) = (

cosα −sinα

+ sinα cosα

) (

x′

y′

)

(3)

と決まる。ここで三角関数の性質より

(

x y

)

=

(

cos(−α) sin(−α)

−sin(−α) cos(−α) ) (

x′

y′

)

=T(−α)

(

x′

y′

)

. (1.17)

図から予想できた様に,回転角αの座標回転の逆変換は,回転角−αの座標回転となることが分かった。

問題3. xy平面上の任意のベクトルAは

A=Axex+Ayey (1.18)

と表される。ここでAxおよびAyを,それぞれAのx成分およびy成分という。同様に問題2のx′y′座標

系では,Aは

A=Ax′ex′+Ay′ey′ (1.19)

と表される。これらの成分間の関係を求めよ。

【解答】(1.18)と(1.19)は,同一のベクトルを単に違う座標系で表現したものに過ぎない。従って当然これ

らは等しい。すなわち

Ax′ex′+Ay′ey′ =Axex+Ayey (1.20)

が成り立つ。ここで(1.20)の両辺に対してex′ との内積をとる:

Ax′ex′·ex′+Ay′ey′ ·ex′ =Axex·ex′+Ayey·ex′. (1.21)

左辺ではex′とey′との直交性を,右辺では(1.7)式を用いると

Ax′ex′·ex′ | {z }

1

+Ay′ey′ ·ex′ | {z }

0

=Axex·ex′

| {z } cosα

+Ayey·ex′ | {z } sinα

∴ Ax′ =Axcosα+Aysinα (1.22)

が導かれる。同様に(1.20)の両辺に対してey′ との内積をとり,ex′ とey′ との直交性および(1.8)を用い ると

Ax′ex′·ey′ | {z }

0

+Ay′ey′ ·ey′ | {z }

1

=Axex·ey′

| {z }

−sinα

+Ayey·ey′ | {z } cosα

∴ Ay′ =−Axsinα+Aycosα (1.23)

が導かれる。(1.22)および(1.23)をまとめると

(

Ax′

Ay′ )

=

(

Axcosα+Aysinα

−Axsinα+Aycosα )

(1.24)

=

(

cosα sinα

−sinα cosα ) (

Ax

Ay

)

(1.25)

と書ける。これらは(1.9)および(1.10),あるいは(1.11)と同じ形である。すなわち,座標回転に対してベク

トルは,座標成分と同じ様に変換することが分かる。

(1.20)から(1.23)の計算によって,ベクトルAの両辺に対してex′ およびey′との内積をとると,そのx′

成分およびy′成分を取り出せることが明らかになった。

✓ ✏

定義: 座標回転に対して座標と同じ様に変換する量をベクトルと呼ぶ。

(4)

4 1 座標変換

x

y

x'

y' z' z

参考: 右図のような3次元の座標回転を考える。xyz座標系から見たx′, y′, z′ 方向の単位ベクトルを次式で表す:

ex′ = 

l1

m1

n1 

, ey′ = 

l2

m2

n2 

, ez′ = 

l3

m3

n3 

. (1.26)

この場合,3次元の座標変換は次式の通りである:

x′=l1x+m1y+n1z,

y′=l2x+m2y+n2z, (1.27)

z′=l

3x+m3y+n3z.

✎ 2次元座標回転の合成によって任意の3次元座標変換が作られるので,ここでは詳しく述べない。

1.3

直線の記述

問題4. ある直線上にある任意の点Pを表す位置ベクトルをpとする。pの満たす方程式は以下の3つの考 え方から求められる。

1. 直線上のある点Aの位置ベクトルaに,直線と平行なベクトルdの定数倍を加える。

2. 原点から直線に降ろした垂線の足をH,Hの位置ベクトルをhとする。P とHを結ぶ線は,hと直

交する。

3. 直線の上の同一でない2つの点S, T の位置ベクトルをそれぞれs, tとする。P は線分ST を適当に

内分または外分した点である。

下図を参考にして,それぞれの場合でpを表す式を作れ。

d

a

H

h

T

S p

p

p s

t

【解答】図を参考に問題文のヒントをそのまま数式で表せばよい。結果は

1. p=a+kd (kは実数のパラメータ), (1.28)

2. (p−h)·h= 0, (1.29)

3. p=s+k(t−s) = (1−k)s+kt (kは実数のパラメータ) (1.30)

となる。

3つの式を比べると(1.28)および(1.30)は2本の等式を含むのに対し,(1.29)は一本の等式しか含まない。

また,(1.28)および(1.30)はベクトルの等式であるのに対し,(1.29)はスカラーの等式である。以下で少し

詳しく調べる。

(1.28)および(1.30)はベクトルに対する式なので,2本の等式を含んでいる。等式が2本あるのは2次元

(5)

2本の等式(制約)があるため1点を指定することになるが,実数パラメータkが変化することで,直線(1

次元のオブジェクト)が記述できる。この構造は3次元以上でも同じで,どんな次元でも直線(1次元のオブ

ジェクト)を記述する式である。

一方,(1.29)はスカラーに対する式なので,1本の等式しか含まない。3次元空間でも,一般にn次元空間

でも等式は1本しかない。平面を考える場合には,2次元空間に1本の等式があるため直線(1次元のオブ

ジェクト)を記述する。しかし3次元空間の場合,3次元空間に1本の等式があるため平面(2次元のオブ

ジェクト)を記述することになる。一般にn次元空間の場合,n次元空間に1本の等式があるためn−1次元

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参照

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