計量経済学 #02 ：確率論 (1) ・補足資料
担当：鹿野（大阪府立大学） 2013 年度後期
1 期待値の公式
期待値E(·)の公式：定数cについて、 1. E(c) = c。
2. E(X + c) = E(X ) + c。 3. E(cX ) = cE(X )。
証明
積分の性質、および密度関数 f(x)の定義より
∞
−∞f(x)dx = 1
であることに注意すれば、 E(c) =
∞
−∞
c f(x)dx = c
∞
−∞
f(x)dx = c · 1 = c, (1)
E(X + c) =
∞
−∞
(x + c) f (x)dx =
∞
−∞
x f(x)dx +
∞
−∞
c f(x)dx = E(X ) + E(c) = E(X ) + c, (2) E(cX ) =
∞
−∞
cx f(x)dx = c ·
∞
−∞
x f(x)dx = cE(X ). (3)
X が離散型の場合も、 同様に示せる。（積分記号で成立する演算は、 和記号でも成立する。）
2 分散の公式
分散Var(·)の公式：定数cについて、 1. Var(c) = 0。
2. Var(X + c) = Var(X )。
3. 要注意：Var(cX ) = c2Var(X )。
1
証明
期待値・分散の定義および期待値の公式を使えば Var(c) =
∞
−∞
(c − E(c))2f(x)dx =
∞
−∞
(c − c)2f(x)dx =
∞
−∞
0 · f (x)dx = 0, (4) Var(X + c) =
∞
−∞
(x + c − E(X + c))2f(x)dx
=
∞
−∞
(x + c − E(X) − c)2f(x)dx =
∞
−∞
(x − E(X))2f(x)dx = Var(X ), Var(cX ) =
∞
−∞
(cx − E(cX))2f(x)dx
=
∞
−∞
[c(x − E(X))]2f(x)dx
=
∞
−∞
c2(x − E(X))2f(x)dx = c2
∞
−∞
(x − E(X))2f(x)dx = c2Var(X ). (5) X が離散型の場合も同様。
2
