メカニズムデザイン・宿題解答 utgame2017 solution08

メカニズムデザイン 宿題 8

奥村 恭平

^∗†‡

November 17, 2017

Case A: ui

(

ω, ωi

) =

ω

·

ω_i

−

si, Case B: ui

(

ω_i, ωj

) =

ω_j

·

ω_i

−

si

(1)

ケース A における BNE を求めよ．

コメント

問題文では明記されていませんが，symmetricなBNEを求めます．Symmetric BNEを求めるときの常 套手段は，

1. symmetric equilibrium strategy βがincreasing, differentiableだと推測する．

2. FOC(微分方程式になる)を解いて，βの候補を求める．あくまで必要条件であることに注意．

3. βが実際に均衡戦略であること，つまり，局所的のみならず大域的にも最適な行動を与えることを 確認する．

というものです．

答

β^A

(

ω_i

) =

¹ 4^ωi 解⁾

コメントで述べたように，対称な均衡戦略β^Aが，単調増加かつ微分可能であるとguessした上で，実 際にβ^Aを求めていく．まず，si

^{∈ [}

0, β^A

(

1

)]

以外の行動は考えなくてもよいこと，β^A

(

0

) =

0となる必 要があることを確認する．（各自確認されたし．）β^Aが単調増加かつ連続であることに注意すると，均衡 からの逸脱先として，「他のタイプのふりをする」ものだけを考えればよいことになる．

Bidder 1に着目し，Bidder 2は均衡戦略に従うとする．真のタイプがω₁なbidder 1が，タイプω_f1 のふりをしたときの利得を^Π1

(

ω_f1, ω1

)

と表すことにすると，

Π₁

₍

_{ωf1, ω1}

_{) =}

_Eω

_[

_ω

_·

_ω1

₋

_β^A

₍

_ωf1

_{)] ·}

_P

₍

_ω2

_≤

_ωf1

₎

=

(1

2^ω1

⁻

^β

A

₍

_ωf 1

⁾

) f ω₁

FOCは，

∂Π₁

∂ω_f1  

f ω₁=ω₁

=

0

⇐⇒

^dβ

A

dω1

(

ω₁

) +

¹ ω₁^β

A

₍

_ω 1

^{) −}

¹

2

⁼

⁰ この微分方程式を解くと，β^A

(

ω₁

) =

ω₁/4が求まる．¹

∗first-year master student at Graduate School of Economics, the University of Tokyo

†E-mail: [email protected]

‡誤り等見つけた場合は教えて頂ければ幸いです．質問がある場合も上のメールアドレスまでご連絡ください．

1微分方程式の解き方を知らない人は，適当な微分方程式の本を参照してください．「一階線形微分方程式」「定数変化法」な どで調べればどの本にも書いてあると思います．(例えば，金子晃(2014)『微分方程式講義』の第二章．)

1

次に，このβ^Aが実際にBNEになっていることを確認する．

∀

ω_f1

∀

ω₁; ^Π1

⁽

^ω1, ω1

^{) −}

^Π1

⁽

^ωf1, ω1

^{) ≥}

0 を示せばよい．

Π₁

₍

_{ω1, ω1}

_{) −}

Π₁

₍

_{ωf1, ω1}

_{) =}

[(1

2^ω1

⁻

1 4^ω1

) ω₁

]

−

[(1

2^ω1

⁻

1 4^ωf1

) f ω₁ ]

=

¹

4

⁽

^ω1

⁻

^ωf1

⁾

2

_≥

₀

となることより，β^AがBNEであることがわかる．

(2)

(2-1)_{各プレイヤーが}(1)_{で求めたβ}^A_{に従うときの，ケース}Bにおけるプレイヤーの均衡利得を求めよ．

Bidder 1に着目する．両者がβ^Aに従うときのbidder 1の期待利得^Πe₁は， e

Π1

⁽

^ω1

^{) =}

P

(

ω2

^<

ω₁

) ·

E [

ω2ω₁

−

¹ 4^ω1



 ω²

^<

^ω1 ]

=

ω₁ (

ω₁

·

¹ 2^ω1

⁻

1 4^ω1

)

=

¹ 4^ω

12

⁽

^2ω1

⁻

1

)

(2-2)期待利得が負のタイプが存在することを確認せよ．

(2-1)の結果より，ω₁

∈ (

0, 1/2

)

のとき，^Πe₁

(

ω₁

) <

0となることがわかる．つまり，この場合一部のタ イプのbidderは損をしており，winner’s curseが存在している．

(3)

ケース B における BNE を求めよ．

答

β^B

(

ω_i

) =

¹ 3^ω

2i

解⁾

問題文中のヒントより，ケースBにおける均衡戦略β^Bがβ^B

(

ω_i

) =

Cω²_i の形であることはわかってい るものとする．(このようにguessをした上で，guess and verifyをすると考える．)²Bidder 1に着目 すると，

Π1

⁽

^ωf1, ω1

^{) =}

P

(

ω2

^<

^ωf1

^{) ·}

E^[ω2ω₁

−

C^ωe1²

^|

^ω2

^<

^ωf1

]

=

ω_f1 (1

2^ωf1ω1

⁻

^Cωe

12

)

FOCは，

∂Π₁

∂ω_f1  

f ω1⁼ω1

=

0

⇐⇒

ω²₁

−

3Cω₁²

=

0 となるので，C :

=

1/3が必要であることがわかる．

Π1

⁽

^ω1, ω1

^{) −}

^Π1

⁽

^ωf1, ω1

^{) =}

¹

6

⁽

^ω1

⁻

^ωf1

⁾

2

₍

_ω

1

⁺

2f^ω1

^{) ≥}

0

より，上で求めたβ^Bが実際にBNEであることが確認できる．また，均衡利得は，^Π₁

(

ω₁, ω1

^{) =}

^ω₁³/6 であり，

∀

ω₁

∈ [

0, 1

]

; Π1

⁽

^ω1, ω1

^{) ≥}

0であることもわかる．つまり，この場合winner’s curseは起き ていない．

2_{実は，(1)のようにFOC}から導出される微分方程式を解けば，均衡戦略がヒントで与えられているような形になることが わかります．問題文では定数がβになっていますが，均衡戦略と紛らわしいのでここではCにしています．

2

(4) Winner’s curse

とはどのようなことか，上の結果を元に論評せよ．

Winner’s curseという言葉は，「現実のオークションにおいて，しばしば勝者が支払い過多になり，結果

的に損をする(呪いにかかる)ような状況」を指して一般に用いられる．プレイヤー全員が合理的である ならば均衡において各プレイヤーは損をしないはずだが，現実では人間は限定合理的であるために合理 的な場合の均衡戦略(この場合BNE)をとることができず，結果として損をしてしまうことがある．

勝者の呪いが起こるメカニズム(つまり，人々がどういう意味で「限定合理的」であるが故に勝者の呪 いが起こるのか)については色々と考えられるかもしれないが，一つの有力な候補として，「プレイヤー が財の価値を予測する過程で間違いを犯している」というものが考えられる．³問題(1),(2),(3)は，その ように，「財の価値を正しく予測することに失敗した結果，winner’s curseが起きてしまう」例になって いると考えられる．以下，より詳しくみていく．

Interdependent valuesの場合，財の価値Vは，自分のタイプのみならず他人のタイプにも依存し てV

(

ω₁, ω2

)

のように表される．⁴このため，例えばタイプがω₁ :

=

ω₁であるbidder 1に着目すると， interdependent valuesの設定におけるbidder 1の期待利得は，

(

E

[

V

(

ω₁, ω2

) |

ω2

^<

ω₁

] −

[amount of bid]

) ·

P

(

ω2

^<

ω₁

)

(1) となる．一方，independent private valuesの場合は，財の価値V0は自身のタイプにのみ依存してV0

⁽

^ω1

⁾

^と

表せる．⁵IPVの設定におけるbidder 1の期待利得は，

(

E

[

V0

⁽

^ω1

^{)] −}

[amount of bid]

) ·

P

(

ω₂

^<

ω₁

)

(2) となる．いま，interdependent valuesの場合の財の価値の期待値E

[

V

(

ω₁, ω2

^)]

^がω1, ω2^{について増加だと}

する．このとき，

E

[

V

(

ω₁, ω2

^{) |}

^ω1

⁼

^ω1, ω2

^<

^ω1

^{] ≤}

E

[

V

(

ω₁, ω2

^{) |}

^ω1

⁼

^ω1

^{] (⋆)}

となることがわかる．⁶つまり，interdependent valuesの場合，「自分が勝つという条件下での財の価 値の期待値」は「自分のタイプのみがわかっているときの財の価値の条件付期待値」より小さい．完全 に合理的なプレイヤーは， 「自分がオークションに勝って財を得られるということは，相手のタイプが 自分より低かったということであり，それは，勝ったときに得られる財の価値の期待値が低いことを示 唆している」 というような推論を行い，自身の期待利得が式⁽¹⁾のような形をしていることに気づく． その結果，自身のタイプのみから推測される財の価値より，実際に勝った場合に得られる財の価値の期 待値が低いことに気づき，十分に低い値を均衡においてbidできる．

一方，限定合理的なプレイヤーはこのような推論を行うことができない．問(2)では各プレイヤーが このような推論を行うことができず，あたかも自身の期待利得が式(2)のような形をしているように考え て(i.e.自身のタイプで条件付けた財の価値の期待値をもとに，Case Aと同様に考えて)自身の戦略を決 めている．結果，指値を十分に低く抑えることに失敗しwinner’s curseにかかった，と解釈できる．⁷

3その他にも，例えば，「財の価値はうまく予測できているが，均衡戦略がうまく計算できない」といった限定合理性も考え られると思う．

4_{Case Bの場合，V(ω}

1^{, ω}2^{) =ω}1^·ω2^{となっている．} 5_{Case Aの場合，V}

0^(ω1^{) =ω·ω}1^{となっている．} 6_{この問題の設定では，E[V(ω}

1, ω2^{) |ω}1^=ω1^{] =E[V}0^(ω1^{)])であり，}

E[V(ω₁, ω₂) |ω₁=ω₁, ω₂^<ω₁] =¹ 2^ω1

2_≤ ¹

2^{ω1=E[V(ω1, ω2) |ω1=ω1]}

一般に，affiliated signals(タイプの分布が独立の場合はaffiliated signalsの特殊ケースとみなせる)の場合は， Vが各ω_iについて増加 =⇒ (⋆)

が言える．Krishna(2009) Appendix D参照．

7_{以上の議論から，IPV}の場合は，ここでいうようなwinner’s curseは起きないこともわかる．

3