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ッ ッ

理論 実践

政策研究大学院大学

安田洋祐 ＆ yosuke.yasuda@gmail.com ^＇

講演 流

•

• ^ッ

•

^{研修 ッ 両側 ッ}

• ^安定性 DA^方式

•

^{学校選択制 側 ッ}

• ^{ボ 方式} vs. DA^方式

•

^{学校選択問題 新展開}

• ^＆く +^＇DA^{方式 問題点}

• ^{ボ 方式 再評価}

• ^{未解決問題}

ッ _– 理論 実践 融合

ッ ＝

•  ^{経済理論 得 知見 い 現実 場}

や制度 修 設計 新 い

• ^{ッ いわゆ 場 広い概念 注意！}

•  ^{理論 く 実験や 通 事前}

実用性 検証 行う ⇒ 工学的

•  ^{経済学者 提案 新 制度 現実 応用}

役 い ⇒ 実践的

⇒  ^{実践例 あ 見 う！}

- く 事例 ！

•  ^設計

•

^周波数

•

^{国債 販売方法}

•

^ワ _(Google)

•  ^ッ

•

^{研修 ッ}

•

^{公立学校選択制}

•

^臓器交換

- く 事例 ！

•  ^{金 使う}

•

^周波数

•

^{国債 販売方法}

•

^ワ _(Google)

•  ^{金 使わ い}

•

^{研修 ッ}

•

^{公立学校選択制}

•

^臓器交換

文献案内

•

^{ッ 理論 開い 記念碑的論文}

• Gale and Shapley [1962]

•

^{ッ 理論 ＆} 80 ^{代 主要結果 網羅＇}

• Roth and Sotomayor [1990]

•

^{ッ 理論 近 発展）現実 制度設計 応用}

• Abdulkadiroğlu and Sönmez [2013]^＊Sönmez and Ünver [2011]

• ^論文集＆Handbook^＇：Vulkan, Roth and Neeman [2013]

•

^{日本語 解}

• ^{島 安田} [2009]^＊安田 [2013]^{＊書籍：坂井} [2010] ^安田 [2010]

- ＆ ッ 賞！

研修 ッ

両側 ッ

• ^安定性 DA^方式

• ^問題

＆両側＇ ッ 問題 何 ＝

•  ^{人 人 人 組織 う}

や ッ

い う ＝

•  ^{望 い ッ}

組 理論

使 析！

様々 ッ 問題

行くほ 複雑 _…

•

1 ^対 1 ^＆ One-to-One ^＇

• ^{結婚 場 男女 ッ}

•

1 ^対多＆ One-to-Many ^＇

• ^{労働 場 労働者 企業 ッ}

• ^{学校選択 入試 生 学生 学校 ッ}

•

^多対多＆ Many-to-Many ^＇

• ^{ビ 卸売 売業者 ッ}

研修 ッ ：５ 要素

1.

^{限 学生＆研修 ＇ 集合}

2.

^{限 病院 集合}

3.

^{個々 病院 定員}

4.

^{個々 学生 病院 対 ＆厳密 ＇選好}

• ^{例 学生}1^{： 病院}A — ^病院B — ^病院C

5.

^{個々 病院 学生 対 ＆厳密 ＇選好}

• ^{例 病院}A^{： 学生}1 — ^学生2 — ^学生3 ^定員 2

ッ

•

^{学生 病院 行く 指定 関数}

•

^{ッ 具体例}

• ^病院A ^{＋ 学生}1^＊学生2

• ^病院B ^{＋ 学生}3

• ^病院C

• ^学生4

•

^{ッ 解釈}

• ^病院A ^学生1 2 ^採用

• ^病院B ^学生3 ^採用

• ^病院C ^学生4 ^{ッ 立}

定 _{1 –} ッ 安定性

•

^{ッ 安定＆} stable ^{＇ あ}

1.

^{個人合理的 あ}

2.

^{ッ 組 一 存在 い 言う}

•

^{あ ッ 個人合理的 あ}

• ^{学生や病院 入 可能 相手 ッ}

• ^{病院 定員 い い 指}

•

^{任意 ッ い}

• ^学生i ^{現在割 当 い 病院 別 病院}h ^好

• h ^{定員 空 あ あ い} h ^{割 当 い 学生 誰}

h ^{望 く い学生 い 場合}

• ^学生i ^病院s ^{組 ッ ッ 言う}

定理 _{1 –} 安定 ッ 存在

•

^{研修 ッ 必 安定 ッ 存在}

•

^{複数存在 う 安定 ッ う} DA ^{方式 い}

う 見

•

^注意点

• DA = Deferred Acceptance^{＆ 入保留＇ 略}

• ^{確 生 提案 ＆}student proposing^＇ DA^方式

• ^{考案者 前} Gale-Shapley

• DA^{方式 ッ 理論 要}

• ^{現実 研修 ッ 制度＆日米 ＇ 応用 い}

DA ^{方式 手順}

•

^{ッ 1}

• ^{各学生 自 第}1^{希望 病院 応募}

• ^{各病院 応募 学生 中 優先順 高い順 定員 範囲}

内 応募者 暫定的 採用 残 応募者 拒否

•

^{ッ t}

• ^ッ t – 1 ^{拒否 各学生 自 拒否 い い病院}

中 自 第₁希望 病院 応募

• ^{各病院 暫定的 採用 学生 新 応募者 両方}

合わ 考慮 入 優先順 高い順 定員 範囲内 応募者

暫定的 採用 残 応募者 拒否

•

^終了

• ^{新 病院 拒否 学生 い く 時点 終了}

• ^{各病院 時点 暫定的 採用 い 学生 式 採用}

定理 ₁ 証明

•

^{ッ 学生 い い 示 ＆個人合理性 自明＇}

1.

^学生 1 DA ^{方式 ッ 病院 病院} A ^{好 仮定}

2.

^学生 1 ^{ッ 病院} A ^{拒否 い}

い

3.

^{ッ 病院} A ^{定員 学生} 1 ^{望 い学生}

埋 い

4.

^{性質 各病院 暫定的 や く 学}

生 ッ 改善 いく一方

5.

^{終的 実現 ッ 病院} A ^学生 1 ^望

い学生 定員い い 入 い

6.

^学生 1 ^{＆ 病院} A ^{＇ ッ い！}

定理 _{2 – DA} 方式 側 効率性

•

DA ^{方式 見 出 ッ 各学生 安定 ッ}

ッ ＆一般 複数存在 ＇病院 中

望 い病院 ッ い

• DA^{方式 安定 ッ 中 学生 全員 望 い}

ッ ＆ 学生 適 安定 ッ 呼 ＇ 実現

• ^{安定性 視 限} DA^{方式 学生 効率的＆}

安定 ッ 支配 い＇ ッ 方式

•

^注意点

• ^{安定 い ッ 結果 支配 危険性}

• ^{安定性 ＆ 側＇効率性 避 い}

定 _{2 –} 耐戦略性

•

^{あ ッ 方式 耐戦略性 満}

• ^{参 者}

• ^{参 者 う 選好 申告 い 場合}

• ^{自 選好順 偽 申告 絶対 得 い 言う}

•

^注意点

• Strategy-proofness ^{訳 戦略的操作 可能性 呼}

• ^{耐戦略的 ッ 方式 嘘 く ッ 全く い}

• ^{直 選好 申告 支配戦略＆ 適戦略＇ い}

定理 _{3 – DA} 方式 側 耐戦略性

•

DA ^{方式 個々 学生 直 選好 申告}

支配戦略 い

• DA^{方式 ＆学生 限定 ＇ 側耐戦略性 満}

• ^{病院 嘘 い 得 可能性 あ}

•

^{安定性 耐戦略性 時 満 ッ 方式 無い}

•

^注意点

• Dubins and Friedman [1981] Roth [1982] ^証明

• DA^{方式 各学生 真 選好順 申告}

• ^{実際 病院 嘘 く 程度あ ＝}

• ^{参 者 数 増え ほ 問題 い＆}Large Market ^議論＇

• ^{完備情報 直 申告 ッ 均衡＆理論予測＇}

学校選択制

側 ッ

• ^{両側 ッ い}

• ^{ボ 方式} vs. DA^方式

両側 側 い

•

^{側＆生 側＇ 厚生 評価}

• ^{学校 選好 く 優先順 持}

• ^安定性 → ^{当化 望＆}justified envy^{＇ い状態}

• ^効率性 → ^{生 ＆ ＇効率性}

•

^{学校 優先順 定 い}

• ^{学校 戦略的 い}

• ^{生 考慮 い}

•

^{以外 両側 ッ 全く}

• ^{選好 優先順 え 数学的 値}

学校選択制 ：５ 要素

1.

^{限 生 集合}

2.

^{限 学校 集合}

3.

^{個々 学校 定員}

4.

^{個々 生 学校 対 ＆厳密 ＇選好}

• ^{例 生} 1^{： 学校}A — ^学校B — ^学校C

5.

^{個々 学校 生 対 ＆厳密 ＇選好 優先順}

• ^{例 学校}A^{： 生} 1 — ^生 2 — ^生 3 ^定員 2

制度変更

•

• 2003 ^{公立高校 対象}

• ^{ッ 理論 提唱} DA^{方式 変更}

•

^ボ

• 2005 ^{公立 中学校 対象}

• ^{通称 ボ 方式} DA^{方式 変更}

•

^{大学 教授 経済学者 活躍}

• – Abdulkadiroğlu, Pathak and Roth [2005; 2009]

• ^ボ – Abdulkadiroğlu, Pathak, Roth and Sönmez [2005; 2006]

•

^{い 旧方式 代わ} DA ^{方式 採用！}

ボ 方式

•

^{暫定的 ＆仮 ッ ＇ い} DA ^方式

• ^{各 ッ 割 当 暫定的 く ッ 確定}

• ^以外 DA^{方式 完全}

•

^{制度変更前 ボ 行 い 学校選択制 組}

• ^{通称 ボ 方式 呼 う}

•

^{多く 自治体 ＆今日 い ＇採用 い}

• ^{直感的 や い}

• ^{理論的 様々 欠点} …

•

^{特 深刻 問題}

具体的 学校選択問題

•

^生 1 ^{： 学校} B — ^学校 A — ^学校 C

•

^生 2 ^{： 学校} A — ^学校 B — ^学校 C

•

^生 3 ^{： 学校} A — ^学校 B — ^学校 C

•

^学校 A ^{： 生} 1 — ^生 3 — ^生 2 ^定員 1

•

^学校 B ^{： 生} 2 — ^生 1 — ^生 3 ^定員 1

•

^学校 C ^{： 生} 2 — ^生 1 — ^生 3 ^定員 1

•

^{ボ 方式 用い} …

• ^学校A ^{＋ 生} 3

• ^学校B ^{＋ 生} 1

• ^学校C ^{＋ 生} 2

ッ _M1

問題

•

M1 ^{各生 真 選好順 出}

• ^{直 申告 う い生 い 場合 ＝}

•

^第 3 ^{希望 学校} C ^{割 当 う生} 2 ^ッ 1

第 ₂ 希望 _B 応募 ＝

• ^生 1 3 ^{行動 以前 変わ い}

• ^生 2 ^学校B ^{行く ！}

• ^学校B ^生 2 ^{優先順 生} 1 ^高い

•

^{戦略的 キ 操作 自 状況 改善！}

• ^{生 や保護者 戦略的 熟慮 頭 悩}

• ^{事後的 間 ＆ 適 い＇戦略 選 う}

定理 _{4 – DA} 方式 _vs. ボ 方式

•

DA ^{方式 結果 ボ 方式 ＆ ッ 均衡 ＇}

ッ 結果 弱い意味 支配

• DA^方式 → ^{生 適 安定 ッ}

• ^{ボ 方式} → ^{安定 ッ 均衡 実現＆複数均衡＇}

•

^注意点

• Ergin and Sönmez [2006] ^{示 定理}

• ^{生 互い 選好順 や学校 ＆厳密 ＇優先順 いう}

情報 把握 い いう完備情報 仮定 い い

• ^{現実 生 均衡 限 い}

• ^{優先順 厳密 く 結果 立 い＆後述＇}

– DA ^{方式 性質}

学校選択問題 い _DA 方式

1.

^{安定 ッ 常 見 出}

2.

^{安定 ッ 方式 支配}

3.

^{耐戦略性 満}

4.

^{ボ 方式 ＆弱い意味 ＇ 支配}

•

^{効率性 両面 文句 う 無い}

•

^{現実 学校選択制 近い状況 析} …

• ^{性質 多く 立 い}

• ^{あ い 修 迫 ！}

学校選択問題 新展開

• ^く + DA^{方式 問題点}

• ^{ボ 方式 再評価}

• ^付 DA^方式

• ^生

ボ 優先順

•

^{各学校 生 対 優先順}

1. ^{学校 学 内＆ 歩通学圏＇ 弟や姉妹}

学校 通 い

2. ^{弟や姉妹 学校 通 い}

3. ^{学校 学 内 い}

4. ^{記 い 該当 い}

•

^く +DA ^方式

• ^{初 く 用い 順 属 生 順 付}

• ^{優先順 人工的 厳密 変え} DA^{方式 実行}

• ^{共通 順 解消＆}single tie-breaking^＇

• ^{複数 順 解消＆}multiple tie-breaking^＇

• ^{く 引 前後 優先順 対 安定 ッ ！}

Erdil and Ergin [2008] ^例

•

^生 1 ^{： 学校} B — ^学校 A — ^学校 C

•

^生 2 ^{： 学校} C — ^学校 B — ^学校 A

•

^生 3 ^{： 学校} B — ^学校 C — ^学校 A

•

^学校 A ^{： 生} 1 — ^＆生 2 3 ^{順 ＇ 定員} 1

•

^学校 B ^{： 生} 2 — ^＆生 1 3 ^{順 ＇ 定員} 1

•

^学校 C ^{： 生} 3 — ^＆生 1 2 ^{順 ＇ 定員} 1

•

^{順 解消＆ 生} 1 — ^生 2 — ^生 3 ^場合＇

• ^学校A^{： 生} 1 — ^生 2 — ^生 3 ^定員 1

• ^学校B^{： 生} 2 — ^生 1 — ^生 3 ^定員 1

• ^学校C^{： 生} 3 — ^生 1 — ^生 2 ^定員 1

事後 非効率性

学校 _A ＋ 生 ₁

学校 _B ＋ 生 ₂

学校 _C ＋ 生 ₃

く _+DA 方式

•  ^{く 引 後 優先順}

対 安定的

•  ^{右側 ッ}

支配

学校 _A ＋ 生 ₁

学校 _B ＋ 生 ₃

学校 _C ＋ 生 ₂

別 ッ

•  ^{く 引 後 優先順}

大 安定

•  ^{く 引 前 優先順}

対 安定的

安定改善 ＆ _SIC ＇方式

•

^{安定改善 ＆} stable improvement cycles ^＇方式

• Erdil and Ergin [2008] ^提案

• ^{く ）}DA^{方式 安定 ッ 見 あ 安定性 損 わ 生}

間 学校 交換 効率性 改善 交換 繰 返

• ^{終的 効率性 高い安定 ッ 見 出}

• ^残念 SIC^{方式 耐戦略性 満 い}

•

Abdulkadiroğlu, Pathak, and Roth [2009]

• ^{ボ 関 ほ ッ 結果 変化 見 い}

• ^{い 無視 い効率性 改善 見}

• ^{く ）}DA^{方式 支配 耐戦略性 満 う ッ}

方式 存在 い 証明

• ^{耐戦略性 諦 い限} DA^{方式 非効率性 改善 可能}

ACY ^{注目 選好 強}

Abdulkadiroğlu, Che and Yasuda [2008, 2011]

•

A — B — C ^{いう共通 選好順 学校 対 持}

•

^{各学校 行 い 好 強 異}

学校A 学校B 学校C

生 _{1 4 1 0}

生 _{2 4 1 0}

生 _{3 3 2 0}

DA ^{方式 結果} – M2

•

^{全員 キ 提出} – ^{割 当}

•

M2 ^{生 期待効用}

• ^生 1 2^： 4×1/3 + 1×1/3 = 5/3

• ^生 3^： 3×1/3 + 2×1/3 = 5/3

学校A 学校B 学校C

生 _{1 1/3 1/3 1/3}

生 _{2 1/3 1/3 1/3}

生 _{3 1/3 1/3 1/3}

＆確率的 ＇ ッ _{– M3}

•

M3 ^{生 期待効用}

• ^生 1 2^： 4×1/2 + 0×1/2 = 2

• ^生 3^： 2×1 = 2

•

M3 M2 ^{＆ 生 ＇望 い}

学校A 学校B 学校C

生 _{1 1/2 0 1/2}

生 _{2 1/2 0 1/2}

生 _{3 0 1 0}

DA ^方式 vs. ^{ボ 方式}

•

^実 M3 ^{ボ 方式 ッ 均衡}

• ^生 1 2 ^{直申告 支配戦略＆ 適戦略＇}

• ^生 3 ^{ソ い 学校}B ^第1^{希望 適 応}

• ^{唯一 ッ 均衡＆ 結果＇} M3 ^実現

•

DA ^方式 – ^{耐戦略性 満}

• ^{各生 自 選好順} “ ” ^{基 い キ 提出}

• ^{＆選好順 超え ＇選好 強 一 く い}

•

^{ボ 方式} _– ^{耐戦略性 満 い}

• ^{各生 自 選好 強 応 申告順 変更 可能性}

• ^{例 選好 強 い 戦略決定 う く 映}

• ^生 1 2^{： 学校}A ^第1^{希望 指定}

• ^生 3^{： 確実 席 確保 学校}B ^第1^希望

ACY [2011] ^完備情報

•

^{学校 い 生 順}

• ^{事前 優先順 全く い＆ 順 多 単純化＇}

•

^{各生 選好 強 ＆} vNM ^{効用＇ 共通 事前 う}

• ^{生 選好 確実 い}

•

^{生 選好順 共通}

• ^{学校間 人気／ 人気 映}

•

^{キ 提出 後 順 解消}

• ^{事後的 優先順 い 生 知 い}

• ^{現実 学校 選択制 定式化}

定理 _{5 –} ボ 方式 _{vs. DA} 方式

•

ACY ^い

• ^{ボ 方式 ベ ッ 均衡 ッ}

• DA^{方式 実現 ッ ＆ 割 当 ＇}

• ^{事前 意味 支配}

•

^注意点

• ^{耐戦略性 事前 効率性}

• ^{効率性 改善} DA^{方式 耐戦略的 ッ 方式 可能}

• ^定理4^{＆ 順 存在 い場合} DA^{方式 ボ 方式 事後的}

支配 ＇ 対照的

• ^{順 関 仮定 学校選択制 効率性評価 大 影響 え}

ボ 方式 再評価

•

^{事前 効率性 視点 ボ 方式} DA ^{方式 比較}

• Miralles [2008] – ACY [2008] ^{析手法 踏襲}

• Featherstone and Niederle [2011] – ^{直申告均衡 注目}

• ^{ボ 方式} DA^{方式 支配 状況 発見}

•

^{事前＆ 無知 ＇ 視点 比較}

• Akyol [2013] – ^{学校 対 好 完全 対称的}

• Troyan [2012] – ^{実際 選好順 一 優先順 入}

• ^{ボ 方式} DA^{方式 一般的 状況 支配}

生

•

Abdulkadiroğlu et al. [2006] – ^{実際 学校選択 熟慮}

直 選好 報告 い 生 多い

•

Pathak and Sönmez [2008] – ^{生 満足度 戦}

略的 報告 生 い 証明

• ^{ボ 方式 ＆追 的 ＇欠点 主張}

• ^{厳密 優先順 完備情報 前提 い 点 注意}

•

ACY [2011] – ^{順 存在 場合 生 一部 戦}

略的 虚偽申告 生

確率的 割 当 改善 う 例 発見

付 _DA 方式

•

ACY [2008] ^{第３ ッ 方式 提案}

• ^付 DA^＆Choice-Augmented Deferred Acceptance^＇方式

• ^{耐戦略性 崩 事前 効率性 改善}

• DA^{方式 ボ 方式 方 利点 く 組}

•

^{選好順 提出 ＆} 1 ^{＇選 学校 対 自}

優先順 指定校 追

•

^{修 優先順} DA ^{方式 実行}

• ^{順 全く存在 い場合} DA^{方式 確 一致}

• ^{順 増え 戦略的 決定 ＆ボ 方式}

似 ッ ＇効率性 高

付 _DA 方式 性質

•

^{指定校 提出} – ^戦略的

• ^第1^{希望 学校 送 適 限 い}

•

^{選好順 提出} – ^耐戦略的

• ^{直 申告 常 得}

• DA^{方式 使 い}

•

^{指定校 入 事前 効率性 大 く改善}

• ^理論 – ^{事前 効率性 環境＆範囲＇ 大 い}

• – DA^{方式 均利得 十 大 い}

ACY [2008, 2011] ^{開い 論点}

•

^{順 存在 明示的 析}

• ^{学校選択問題 顕著 特徴}

• ^{既存 ッ 研究 十}

•

^{事後 厚生評価 え 事前 厚生評価}

• ^{生 確率的 割 当}

•

^{政策提言 大 影響}

• ^旧理論 DA^{方式 利点 解明}

• ^{ボ 採用 繋}

• ^新理論 DA^{方式 問題点 浮 彫}

• ^{現実 状況 虚心坦懐 析 ！}

論点

•

^{大 場} – Large market

• ^{生 人数 増え 理論的 特徴 鮮明}

•

– Controlled school choice

• ^{追 的 制約 影響 析}

•

^{申告 限制約} – Constrained school choice

• ^短く DA^{方式 耐戦略的 く} …

•

^経済実験 – Experimental studies

• ^{頑健 結果} – ^{耐戦略的 方式 直申告 割合 い}

• ^{曖昧 結果} – ^{ッ 方式間 優劣}

学校選択制 ＆ NTT出 ＇

既存 研究書 比較 本書 大 特徴

来 研究 一線 画 斬新

あ 単 現状 析や 選択制

入あ い 廃 いう是非論

制度 いう視点 望

い学校選択制 制度設計 い

理論 応用研究 得 先端 学術的 知見 基 い 析 行 い

考察 え 望 い学校選択

制 あ 方 い 々独自 視点 具体 的 政策提言 試 い 点 大 特徴 あ

＆ え ＇

参考文献

• Abdulkadiroğlu, A., Che, Y-K., and Yasuda, Y. [2011] “Resolving Conflicting Preferences in School Choice: the “Boston” Mechanism Reconsidered,” American Economic Review, 101, 399-410.

• Abdulkadiroğlu, A., Pathak, P. A., and Roth, A. E. [2005] “The NYC High School Match,” American Economic Review P&P, 95. 364–367.

• Abdulkadiroğlu, A., Pathak, P. A., and Roth, A. E. [2009] “Strategy- Proofness versus Efficiency in Matching with Indifferences:

Redesigning the NYC High School Match,” American Economic Review, 99. 1954–78.

• Abdulkadiroğlu, A., Pathak, P. A., Roth, A. E., and Sönmez, T. [2005]

“The Boston Public School Match,” American Economic Review P&P, 95, 368–371.

• Abdulkadiroğlu, A., Pathak, P. A., Roth, A. E., and Sönmez, T. [2006]

“Changing the Boston School Choice Mechanism: Strategy-proofness as Equal Access,” mimeo.

• Abdulkadiroğlu, A. and Sönmez, T. [2013] “Matching Markets: Theory and Practice,” in Acemoglu, D., Arello, M., and Dekel, E. (eds.),

Advances in Economics and Econometrics, Vol.1, Cambridge.

• Akyol, E. [2013] “Welfare Comparison of School Choice Mechanism under Incomplete Information,” mimeo.

Shapley Algorithm,” American Mathematical Monthly, 88, 485-494.

• Erdil, A. and Ergin, H. [2008] “What’s the Matter with Tie-breaking? Improving Efficiency in School Choice,” American Economic Review, 98, 669-689.

• Ergin, H. and Sönmez, T. [2006] “Games of School Choice under the Boston Mechanism,” Journal of Public Economics, 90, 215-237.

• Featherstone, C. and Niederle, M. [2011] “School Choice Mechanisms under Incomplete Information: An Experimental Investigation,” mimeo.

• Gale, D. and Shapley, L. S. [1962] “College Admissions and the Stability of Marriage,” American Mathematical Monthly, 69, 9-15.

• Miralles, A. [2008] “School Choice: The Case for the Boston Mechanism,” mimeo.

• Pathak, P. A. and Sönmez, T. [2008] “Leveling the Playing Field: Sincere and Sophisticated Players in the Boston Mechanism,” American Economic Review, 98, 1636-1652.

• Roth, A. E. [1982] “The Economics of Matching: Stability and Incentives,” Mathematics of Operations Research, 7, 617-628.

Monograph Series, Cambridge University Press, 1990.

• Sönmez, T. and Ünver, U. [2011], “Matching, Allocation, and

Exchange of Discrete Resources,” in Benhabib, J., Bisin, A., and

Jackson, M. (eds.), Handbook of Social Economics, Vol.1A, Elsevier.

• Troyan, P. [2012] “Comparing School Choice Mechanisms by Interim and Ex-Ante Welfare,” Games and Economic Behavior, 75, 936-947.

• Vulkan, N., Roth, A. E. and Neeman, Z. [2013] The Handbook of Market Design, Oxford University Press.

日本語文献

• ^{島武仁 安田洋祐} [2009] ^{ッ ッ 経済}

第₆₄₇号＆_{4 5} 号＇, 135-145.

• ^坂井豊貴 [2010] ^{ッ 入門 ッ 経}

済学 書房

• ^安田洋祐 [2013] ^{ッ 理論 ビ 実践 一橋ビ}

ビ 第₆₁巻₅号_{, 6-21.}

• ^{安田洋祐編著} [2010] ^{学校選択制 理論} NTT^出 .