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第 ₃ 回

均 散

本日 容

• ^ータ

• ^{ータ 表}

– ^ヒス

• ^{ータ 統計量 表}

– ^{標本 均}

• ^中央値

• ^{加重 均}

– ^{標本 散}

• ^標準偏差

ータ

• ^{目的 集 観測値 集}

– 1 1 ^値→^観測値

– ^{観測値 集} → ^ータ

i

1

2

n

xi y_i

x1

x2

xn

y1

y2

yn

  

ヒス

• ^{い 大 観測値 い}

在 表 ヒス ＆度数

布表＇ 呼ぶ

• ^{ータ全体 階級 区 各階級 観測値}

い 入 数え

ヒス

• ^{や う！}

– ^{配布資料1枚目 成25 10月 都道府県別}

推計人口 ヒス 作成 う

1. 1^{県目 推計人口 見 あ 画}

線集計 正 書い い 表 入 ータ チ ッ け 二度数え い う

2. ^{全 チ ッ 正 画数 数え 度数} 欄 書 ＆正 ／ ₅県 表 ＇

ヒス

0 5 10 15 20 25 30 35

標本 均

• ^変数 x = {x , x , ⋯ , x

} ^{＆ ＇}

• Σ ^{全 数 足 いう意味 和記号}

• ^{標本 均 観測値 中心 表}

– ^{観測値 中 極端 値 含 い 場}

合 そ 値 引 張 中心 考え い値

均 場合 あ

• ^例えば {7,7,8,10,79} ^均 22.2

• ^中心？





i

xi

x n

1

1

中央値

• N ^{個 観測値 最小 値 最大 値 順}

並べ 列 中心 位置 値 中央値＆

ン＇ 呼ぶ

– ^例えば {3,4,5,7,8} ^中央値 5

– ^{偶数個 場合 真 中2個 均 中央値}

• {2,4,7,8,10,10} ^{中央値 7 8 均 7.5}

• ^{中央値 極端 値 影響 受け 安定}

い

– ^{前 例} {7,7,8,10,79} ^均 22.2 ^中央値 8 – 79 ^{外 {7,7,8,10} 均 8 中央値 7.5} – ^{均 比べ 影響 小 い わ}

加重 均

• ^{観測値 異 重 ＆ ＇ え}

重 使 均 計算 方法 加重

均 呼ぶ

– ^{重 負 い値}

– ^{確率 う 合計 1 場合 あ 距} 逆数 う 合計 ₁ い場合 あ

1

,

1 2

2 1

1 1









 _



^

標本 散

• ^{標本 均 中心 ータ 広 具合}

示 指標 標本 散 呼ぶ

– ^{各観測値 標本 均} _� ^{差 ０乗 均 標本} 散

– ^{ータ 均 周 固 い ば 標本}

散 小 _→ば 小 い



^

 

i

i

x

^{x x}

s n

1

2

2

( )

1

1

標本 散

• ^{標本 散 式 式変形}

• ^{式 べ 同 値 手計}

算 行う際 計算 や い方法 用い 構

わ い

2

1 1

2 2

1

2 1

2

¹

)

( _



 



 







 _{  }



^x

^x

^x

^{n x}

^x

_n

^x

例

• {3,7,8,12,20} ^時

– ^{通常 計算方法 求}

– ^{均 2乗 観測数 け 引い 求} – ^{均 2乗 観測数 割 引い 求}

_ ^



5

1

)2

10 1 (

5 1

i

xi {(3 10) (7 10) (8 10) (12 10) (20 10) } 4

1 _{2 2 2 2 2}





















5 . 41 )

500 400

144 64

49 9 4( 10 1

1 5 5

1 ⁵ ₂

1

2 _{       }



 



 _{ }

 ^i ⁱ

x

5 . 41 )

50 1( 1 666

) 20 12 8 7 3 5( 400 1 144

64 49 4 9

1 5

1 1

5 1

2

2 5 2

1 5

1 2

 

 

 _









 _{        }

 









 



 



 

 ^i ^{i i} ⁱ

x x

標本標準偏差

• ^{標本 散 正 方根} _�

^{標本標準偏差}

呼ぶ

– ^{標本 散 ば 大 把握}

– ^{2乗 い 実際 ータ}

比較 便

– ^{そ 方根 ータ 直接比較}

う

標本標準偏差

• ^経験則

– ^{均 標準偏差 け 範 ＆1シ マ区} 間＇_→全 ータ _2/3程度 入

– ^{均 標準偏差 倍 範 ＆2シ マ区} 間＇_→全 ータ ₉₅％ 入

– ^{均 標準偏差 3倍 範 ＆3シ マ区} 間＇_→全 ータ _99.7% 入

標本標準偏差

均

2/3 ^い 95^{％ い}

99.7^{％ い}

標準化

• ^{各観測値 均 引 散 割}

標準化＆基準化＇ 呼ぶ

– ^{標準化 必 均 0 標準偏差 1}

– ^{標準化 単位 異 ータ 比べ} – _� ^{シ マ区間} _{[−�, �]}

x n n

x ^s

x z x

s x

z_{1 } x^{1 } ,, _ ^

例

• ^{例えば 過去 5 間 GDP 日米比較}

– ^{日本 均480兆 散160.7 標準偏差12.7} – ^{米国 均15.1兆 散0.51 標準偏差0.72} – ^{単位 違い 比較 い}

2008 2009 2010 2011 2012

日本 ₅₀₁兆 ₄₇₁兆 ₄₈₂兆 ₄₇₁兆 ₄₇₄兆 カ _14.7兆_{$ 14.4}兆_{$ 14.9}兆_{$ 15.5}兆_{$ 16.2}兆_$

例

• ^{日本 カ GDP 標準化}

• ^{標準化 比較 容易 ！}

2008 2009 2010 2011 2012

日本 _{1.67 -0.69 0.17 -0.69 -0.46} カ _{-0.61 -1.03 -0.34 0.50 1.48}

例

• ^{や う！}

– ^{成25 推計人口 成22 世帯数 ヒス} 書い 比べ う

例

• ^{同 う 形 い ？}

0 5 10 15 20 25 30 35

0 5 10 15 20 25 30 35

例

標準化 ータ 布 形 比較可能

0 5 10 15 20 25 30 35

-1以 ～0以 ～1以 ～2以 2

0 5 10 15 20 25 30 35